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专题 01 数列的概念
目录
题型一： 数列的通项.......................................................................................................................3
题型二： 已知Sn＝f(n)求通项公式...............................................................................................3
题型三： 数列的单调性...................................................................................................................5
题型四： 数列的最值.......................................................................................................................6
题型五： 数列的周期性...................................................................................................................8
知识点总结
1．数列的概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列
数列
数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项
的项
通项
如果数列{a}的第n项a 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这
n n
个式子叫做这个数列的通项公式
公式
前n
数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的前n项和，记作S
n n n
项和
2.数列的分类
分类标准 类型 含义
按项数 有穷数列 项数有限的数列无穷数列 项数无限的数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有 a
递增数列 n＋
> a (n∈N*)
1 n
按项的
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有 a
递减数列 n＋
< a (n∈N*)
变化趋势 1 n
常数列 各项都相等的数列，即恒有a ＝ a(n∈N*)
n＋1 n
3.数列的表示法
表示法 定义
列表法 列出表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点 ( n ， a )画在平面直角坐标系中
n
公 通项公式 a＝f(n)
n
式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式
递推公式
子叫做这个数列的递推公式. 如a ＝f(a)，a＝f(a ，a )(n≥2)等
n＋1 n n n－1 n＋1
法
4.a 与S 的关系
n n
数列{a}的通项a 与前n项和S 之间的关系为a＝
n n n n
5．数列最值：若(n≥2)，则a 最大；若(n≥2)，则a 最小．
n n
例题精讲
题型一：数列的通项
【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见
数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，
分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正
负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”
“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列 1,0,1,0，…的通项
公式可写成a＝或a＝，甚至分段形式a＝等．
n n n
【例1】数列2，5，11，20， ，47， 中的 值为
A．28 B．32 C．33 D．27
【变式训练1】数列 ，7， ，13， 的一个通项公式为
A． B．
C． D．
【变式训练2】数列 的一个通项公式可以是
A． B． C． D．
题型二：已知Sn＝f(n)求通项公式
【要点讲解】S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
值得注意的是：最后要么确定首项a ，要么就是验证a 是否满足n≥2时得到的通项，满足
1 1
的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式．
【例2】已知数列 的前 项和 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练1】若数列 的前 项和 ，则
A．7 B．8 C．9 D．17【变式训练2】设数列 的前 项和 ，则 的值为
A．15 B．17 C．49 D．64
设数列 前 项和为 ， ，求数列 的通项公式．
【变式训练3】已知数列 的前 项和为 ．
（1）求出 的通项公式；
（2）求 的最小值及取最小值时 的值．
题型三：数列的单调性
【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数
列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过
列不等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意n∈N*取值的离散性.
【例3】下列通项公式中，对应数列是递增数列的是
A． B．
C． D．【变式训练1】已知数列 的前 项的积为 ，且 ，2，3， ，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【变式训练2】已知数列 中， ，则数列 的最小项是
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
【变式训练3】写出一个同时具有下列性质①②的数列 的通项公式： ．
① ， ， ；
② 单调递增．
【例4】已知数列 的通项公式为 ， ，且 为单调递增数列，则实数
的取值范围是 ．
【变式训练1】设 且 ，已知数列 满足 ，且 是递增数
列，则 的取值范围是 ．
【变式训练2】已知数列 满足 ，若对于任意 都有
，则实数 的取值范围是 ．
【变式训练3】若数列 的通项公式是 ，且 恒成立 ，则．
【变式训练4】已知数列 为递减数列，其前 项和 ，则实数 的取值
范围是 ．
题型四：数列的最值
【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”．解决“项的最值”问题
一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足
通过解不等式组得到n的范围，再结合n∈N*，确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，
以函数的视角从单调性出发得到最值．
解决“和的最值”问题，一般有两种角度：(1)从“通项”着手，研究通项的函数单调性和
“变号”情况，从而确定“和的最值”；(2)从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性
得到最值．
【例5】在数列 中， ，则数列 中的最大项是第 项．
【变式训练1】在数列 中， ，则 的最大值是
A． B． C． D．
【变式训练2】若数列 的通项公式为 ，则这个数列中的最大项是
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【变式训练3】若 ，则数列 的最大项是第 项．
【变式训练4】已知数列 的通项公式为 ，设数列 的最大项和最小项分别为 ， ，则 ．
【变式训练5】记 为数列 的前 项和．若 ，2， ，则
A． 有最大项， 有最大项 B． 有最大项， 有最小项
C． 有最小项， 有最大项 D． 有最小项， 有最小项
【例6】已知数列 的前 项和 ．
（1）求 的最大值；
（2）求数列 的通项公式．
【变式训练1】已知等差数列 中满足 ， ，
（1）求通项公式 ；
（2）试求数列 中的最大项与最小项．题型五：数列的周期性
【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解.
待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如a
n＋1
＝，即f(x＋1)＝，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.
(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、
余弦函数的最小正周期公式T＝得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变
化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题．
【例7】数列 中， ， ， ，那么
A． B． C． D．
【变式训练1】在数列 中，已知 ， ，则 ．
【变式训练2】在数列 中，已知 ， ，记 为数列 的前
项和，则
A．1 B．1010 C．1 D．2019
【变式训练3】已 知 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 若 ， 则
；
课后练习
一．选择题（共6小题）1．若数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，设数列 的通项公式为 ，则下列选
项错误的是
A． 的值域是 B． 的最小值为
C． D．数列 是单调递增数列
3．已知数列 中， ，则数列 的最小项是
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
4．记 为数列 的前 项和．若 ，2， ，则
A． 有最大项， 有最大项 B． 有最大项， 有最小项
C． 有最小项， 有最大项 D． 有最小项， 有最小项
5．若数列为 ， ， ， ， ，则 是这个数列的
A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项
6．已知数列 满足 ，若 为递增数列，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是A． 是递减数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
8．已知数列 的通项公式为 ，则
A．数列 为递增数列 B．
C． 为最小项 D． 为最大项
三．填空题（共4小题）
9．已知数列 的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令 ，则 的
最小值点 ．
10．已知数列 为递增数列， ．则 的取值范围是 ．
11．已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式为 ．
12． ， ， ， ， ， 的一个通项公式是 ．
四．解答题（共4小题）
13．已知数列 的通项公式为 ．
（1）数列中有多少项是负数？
（2） 为何值时， 有最小值？并求出最小值．
14．用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个
数列 ．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若 ，求 ．15．已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 是 ， 的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和，求使 成立的所有 的值．
16．已知数列 满足 ．
（1）数列 是递增数列还是递减数列？为什么？
（2）证明： 对一切正整数恒成立．
