文档内容
专题 01 数列的概念
目录
题型一： 数列的通项.........................................................................................................................................3
题型二： 已知Sn＝f(n)求通项公式..............................................................................................................4
题型三： 数列的单调性....................................................................................................................................5
题型四： 数列的最值.........................................................................................................................................9
题型五： 数列的周期性..................................................................................................................................13
知识点总结
1．数列的概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列
数列
数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项
的项
通项
如果数列{a}的第n项a 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这
n n
个式子叫做这个数列的通项公式
公式
前n
数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a}的前n项和，记作S
n n n
项和
2.数列的分类
分类标准 类型 含义
按项数 有穷数列 项数有限的数列无穷数列 项数无限的数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有 a
递增数列 n＋
> a (n∈N*)
1 n
按项的
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有 a
递减数列 n＋
< a (n∈N*)
变化趋势 1 n
常数列 各项都相等的数列，即恒有a ＝ a(n∈N*)
n＋1 n
3.数列的表示法
表示法 定义
列表法 列出表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点 ( n ， a )画在平面直角坐标系中
n
公 通项公式 a＝f(n)
n
式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式
递推公式
子叫做这个数列的递推公式. 如a ＝f(a)，a＝f(a ，a )(n≥2)等
n＋1 n n n－1 n＋1
法
4.a 与S 的关系
n n
数列{a}的通项a 与前n项和S 之间的关系为a＝
n n n n
5．数列最值：若(n≥2)，则a 最大；若(n≥2)，则a 最小．
n n
例题精讲
题型一：数列的通项
【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见
数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，
分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正
负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”
“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列 1,0,1,0，…的通项
公式可写成a＝或a＝，甚至分段形式a＝等．
n n n
【例1】数列2，5，11，20， ，47， 中的 值为
A．28 B．32 C．33 D．27
【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20， ，47，
， ， ，
则 ，解得 ，
故选： ．
【变式训练1】数列 ，7， ，13， 的一个通项公式为
A． B．
C． D．
【解答】解：由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是 ，
数值4，7，10，13， 满足 ，所以通项公式可以是 ．
故选： ．
【变式训练2】数列 的一个通项公式可以是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，数列 ，
即 ， ， ， ， ，
故该数列的一个通项公式可以为 ．
故选： ．题型二：已知Sn＝f(n)求通项公式
【要点讲解】S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
值得注意的是：最后要么确定首项a ，要么就是验证a 是否满足n≥2时得到的通项，满足
1 1
的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式．
【例2】已知数列 的前 项和 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为数列 的前 项和 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】若数列 的前 项和 ，则
A．7 B．8 C．9 D．17
【解答】解： 数列 的前 项和 ，
．
故选： ．
【变式训练2】设数列 的前 项和 ，则 的值为
A．15 B．17 C．49 D．64
【解答】解：数列 的前 项和 ，则 ．
故选： ．
设数列 前 项和为 ， ，求数列 的通项公式．
【解答】解：由 ．
当 时， ；当 时， ．
不适合上式．
【变式训练3】已知数列 的前 项和为 ．
（1）求出 的通项公式；
（2）求 的最小值及取最小值时 的值．
【解答】解：（1）因为 ，所以当 时， ；
当 时， ；
显然 是，也满足 ，所以 ；
（2）因为 ，
又 ，所以当 或 时， 取得最小值 ．
题型三：数列的单调性
【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数
列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过
列不等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意n∈N*取值的离散性.
【例3】下列通项公式中，对应数列是递增数列的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于 ， 选项对应数列是递减数列；对于 选项， ， 数列 是递增数列；
对于 选项， ， 数列 不是递增数列．
故选： ．
【变式训练1】已知数列 的前 项的积为 ，且 ，2，3， ，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【解答】解：当 时 ，当 时 ，
所以 ，而 ，
故 为最小项， 为最大项．
故选： ．
【变式训练2】已知数列 中， ，则数列 的最小项是
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 数 列 中 ， ， 则
，
当 时，有 ，则有 ，
当 时，有 ，则有 ，
当 时，有 ，则有 ，
故数列 的最小项是第2项、第3项．
故选： ．
【变式训练3】写出一个同时具有下列性质①②的数列 的通项公式：（符合此种形式即可） ．
① ， ， ；
② 单调递增．
【解答】解：假设数列为等差数列，设其公差为 ，首项为 ，
由性质①可得： ，
即 ，
再根据②可知，公差 ，显然 满足题意．
故答案为： （符合此种形式即可）．
【例4】已知数列 的通项公式为 ， ，且 为单调递增数列，则实数
的取值范围是 ．
【解答】解： 数列 的通项公式为 ，且数列 是递增数列，
， 恒成立，
即 ， 恒成立，
而 ， 随 的增大而增大，
即当 时， ， 取得最小值2，则 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【变式训练1】设 且 ，已知数列 满足 ，且 是递增数列，则 的取值范围是 ．
【解答】解：因为 是递增数列，所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式训练2】已知数列 满足 ，若对于任意 都有
，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解： 对于任意的 都有 ，
数列 单调递减，可知 ．
①当 时， ， 单调递减，
而 单调递减，
，解得 ，
因此： ．
②当 时， ， 单调递增，应舍去．
综上可知：实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【变式训练3】若数列 的通项公式是 ，且 恒成立 ，则
．【解答】解：因为 ，
则 ，
所以 ，
故当 或6时， 取得最大项，
因为 恒成立，
则 或6．
故答案为：5或6．
【变式训练4】已知数列 为递减数列，其前 项和 ，则实数 的取值
范围是 ．
【解答】解：①当 时， ，
② 当 时 ， ，
，
当 时， ，数列 递减，
综上所述，若使 为递减数列，只需满足 ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
题型四：数列的最值
【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”．解决“项的最值”问题
一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足
通过解不等式组得到n的范围，再结合n∈N*，确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，以函数的视角从单调性出发得到最值．
解决“和的最值”问题，一般有两种角度：(1)从“通项”着手，研究通项的函数单调性和
“变号”情况，从而确定“和的最值”；(2)从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性
得到最值．
【例5】在数列 中， ，则数列 中的最大项是第 项．
【解答】解：根据题意知： ，解得 ；
，解得 ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：8．
【变式训练1】在数列 中， ，则 的最大值是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得 ．
根据对勾函数与复合函数的单调性， 在 上递增，在 上递减，
所以在 中， ， ．
当 时， ， ；
当 时， ． ；
因为 ，所以 ，
所以 的最大值是 ．
故选： ．【变式训练2】若数列 的通项公式为 ，则这个数列中的最大项是
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【解答】解： ，
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
当 时， 取得最大值 ．
故选： ．
【变式训练3】若 ，则数列 的最大项是第 项．
【解答】解：根据题意，设 ，是开口向下，对称轴为 的二次函数，
距离对称轴最近的正整数为8，
若 ，该数列中最大项是第8项．
故答案为：8．
【变式训练4】已知数列 的通项公式为 ，设数列 的最大项和最小
项分别为 ， ，则 ．
【解答】解：当 时， ，
由 ，得 ，
则当 且 时， ，， ，
， ；
当 时， ，
由 ，得 ，
则当 且 时， ，
又 ， ， ，
．
故答案为：0．
【变式训练5】记 为数列 的前 项和．若 ，2， ，则
A． 有最大项， 有最大项 B． 有最大项， 有最小项
C． 有最小项， 有最大项 D． 有最小项， 有最小项
【解答】解：根据题意，数列 ， ，
对于二次函数， ，其开口向下，对称轴为 ，即当 时，
取得最大值，
对于 ， 时， 最大；
且当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故当 或8时， 最大，故 有最大项， 有最大项；
故选： ．
【例6】已知数列 的前 项和 ．
（1）求 的最大值；
（2）求数列 的通项公式．
【解答】解：（1）数列 的前 项和 ．
对称轴为 ，
因为 ，将 ， 代入得 ， ， ，
所以当 时， 取得最大值15．
（2）当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ．
【变式训练1】已知等差数列 中满足 ， ，
（1）求通项公式 ；
（2）试求数列 中的最大项与最小项．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ， ， ，
，解得 ．或 ．
（2） 时，数列 单调递增， 时，取得最小值为 ，无最大值；
时，数列 单调递减， 时，取得最大值为 ，无最小值．
题型五：数列的周期性
【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解.
待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如a
n＋1
＝，即f(x＋1)＝，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.
(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、
余弦函数的最小正周期公式T＝得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变
化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题．
【例7】数列 中， ， ， ，那么
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练1】在数列 中，已知 ， ，则 ．
【解答】解：由 ， ，
可得 ， ， ，， ，
所以数列 的最小正周期为4，
所以 ．
故答案为：1．
【变式训练2】在数列 中，已知 ， ，记 为数列 的前
项和，则
A．1 B．1010 C．1 D．2019
【解答】解：可得， ， ， ， ．
， ， ， ；
， ； ， ，
所以每四项和为2，
则 ．
故选： ．
【变式训练3】已 知 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 若 ， 则
；
【解答】解： 各项都为正数的等比数列 ， ，
，解得 ，．
故答案为：19．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．若数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
经检验，可得 ．
故选： ．
2．已知函数 ，设数列 的通项公式为 ，则下列选
项错误的是
A． 的值域是 B． 的最小值为
C． D．数列 是单调递增数列【解答】解：由于函数 ，
所以 ，
故 ，
由于 ，故 ，
所以 ，故 错误； 正确；
由于 故函数 为单调递增函数，故数列 是单调递增数列，
故 正确；
由于函数 为单调递增函数，故 的最小值为 ，故 正确．
故选： ．
3．已知数列 中， ，则数列 的最小项是
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 数 列 中 ， ， 则
，
当 时，有 ，则有 ，
当 时，有 ，则有 ，
当 时，有 ，则有 ，
故数列 的最小项是第2项、第3项．
故选： ．
4．记 为数列 的前 项和．若 ，2， ，则
A． 有最大项， 有最大项 B． 有最大项， 有最小项C． 有最小项， 有最大项 D． 有最小项， 有最小项
【解答】解：根据题意，数列 ， ，
对于二次函数， ，其开口向下，对称轴为 ，即当 时，
取得最大值，
对于 ， 时， 最大；
且当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故当 或8时， 最大，
故 有最大项， 有最大项；
故选： ．
5．若数列为 ， ， ， ， ，则 是这个数列的
A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项
【解答】解：设数列7，10，13，16， ，为数列 ，
则数列 是以7为首项，3为公差的等差数列，其通项公式为 ，
令 解得 ．
故选： ．
6．已知数列 满足 ，若 为递增数列，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：若 为递增数列，则 ，
则有 ，对于 恒成立．
，对于 恒成立， ．
故选： ．二．多选题（共2小题）
7．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是
A． 是递减数列 B．
C．当 时， D．当 或4时， 取得最大值
【解答】解：当 时， ，又 ，
所以 ，则 是递减数列，故 正确；
，故 错误；
当 时， ，故 正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，
而 是正整数，且 或4距离对称轴一样远，
所以当 或4时， 取得最大值，故 正确．
故选： ．
8．已知数列 的通项公式为 ，则
A．数列 为递增数列 B．
C． 为最小项 D． 为最大项
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，数列 的通项公式为 ，当 时， ，当 时，
，故数列 不是递增数列， 错误；
对于 ，数列 的通项公式为 ， ， ， ，则
错误；对于 和 ，由于 ，
易得当 时， ，有 ，
当 时， ，有 ，
则 为最小项， 为最大项，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列 的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令 ，则 的
最小值点 7 ．
【解答】解： ，
结合二次函数可得当 时，
取得最小值，
即 的最小值点 ．
故答案为：7．
10．已知数列 为递增数列， ．则 的取值范围是 ．
【解答】解：数列 为递增数列， ，
，
，
， ，
的取值范围是 ．
故答案为： ．11．已知数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式为 ．
【解答】解：由 ，
当 时， ．
当 时， ．
所以 ．
故答案为 ．
12． ， ， ， ， ， 的一个通项公式是 ．
【解答】解：分子为偶数列，分母为两个相邻连续奇数相乘，
则 ， ， ， ， ， 的一个通项公式是 ．
故答案为： ．
四．解答题（共4小题）
13．已知数列 的通项公式为 ．
（1）数列中有多少项是负数？
（2） 为何值时， 有最小值？并求出最小值．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
故数列中有两项为负数；
（2） ，因此当 或3时， 有最小值，最小值为 ．
14．用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个
数列 ．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若 ，求 ．
【解答】解：（1）由题意可得，数列 的前8项分别为：111，112，113，114，121，
122，123，124，
故这个数列的第8项为124．（3分）
（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，
根据分步计数原理，共有 项．（6分）
（3）比 小的数有两类：①百位上是1或2的，共有 （个 ；
②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有 （个 ．
再根据分类计数原理可得，比 小的数有 （个 ．
所求的 ．（10分）
15．已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 是 ， 的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和，求使 成立的所有 的值．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差 ， 是 ， 的等比中项， ，
，
化为： ，又 ，联立解得： ， ，．
（2）由（1）可得： ．
不等式 ，即 ，化为： ，解得 ．
，3，4，5，6．
使 成立的所有 的值为2，3，4，5，6．
16．已知数列 满足 ．
（1）数列 是递增数列还是递减数列？为什么？
（2）证明： 对一切正整数恒成立．
【解答】解：（1） ，
，
，
又 ， ， ，
数列 是递增数列．
（2）由（1）知数列 为递增数列，
所以数列 的最小项是 ，
所以即 对一切正整数恒成立．
