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专题 1.5 不等关系与不等式性质-重难点题型精讲
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法，(a，b∈R)；
(2)作商法，(a∈R，b>0).
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔ b < a ⇔
传递性 a>b，b>c⇒ a > c ⇒
可加性 a>b⇔ a ＋ c > b ＋ c ⇔
⇒ ac > bc
可乘性 注意c的符号
⇒ ac < bc
同向可加性 ⇒ a ＋ c > b ＋ d ⇒
同向同正可乘性 ⇒ ac > bd ⇒
可乘方性 a>b>0⇒ a n > b n (n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数
【题型1 判断不等式是否成立】
【方法点拨】
(1)逐一给出推理判断或举反例说明．
(2)结合不等式的性质、对数函数、指数函数的性质等进行判断．
【例1】（2022•顺义区校级模拟）若非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． ＞ B．a+b＞2√ab C．lga2＞lgb2 D．a3＞b3
a b
【变式1-1】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）1 1 1 1
A． ＜ B．ab＜b2 C．ab＞a2 D．− ＜−
a b a b
【变式1-2】（2022春•海淀区期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
1 1 a
A． ＜ B．a2＜b2 C． ＜1 D．ab＞b2
a b b
【变式1-3】（2022春•巴中期末）若b＜a＜0，则下列不等式中成立的是（ ）
1 1 a b
A． ＜ B． + ＞2
b a b a
C．b2＜a2 D．ln（﹣b）＜ln（﹣a）
【题型2 利用不等式的性质比较大小】
【方法点拨】
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
【例2】（2022春•武威期中）已知a=√7−√6，b=√6−√5，则（ ）
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．a，b大小不确定
11
【变式2-1】（2022•山西自主招生）已知a=1.2，b= ，c=e0.2，则（ ）
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A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【变式2-2】（2021春•铜鼓县校级月考）设a＝x2﹣x，b＝x+3，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．与x有关
【变式2-3】（2021秋•河南月考）已知：x＞1，y R，则a＝2x+2y﹣3，b＝﹣x2+2y，c＝x2+y2的大小关系
是（ ） ∈
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【题型3 利用不等式的性质证明不等式】
【方法点拨】
①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不
等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更
不能随意构造性质与法则．
【例3】（2021春•阳高县校级月考）设a=√3+2√2，b＝2+√7，则a、b的大小关系为？并证明你的结论．b b+m
【变式3-1】（2021秋•科尔沁区期末）若a＞b＞0，m＞0，判断 与 的大小关系，
a a+m
并加以证明．
【变式3-2】（2021秋•徐汇区校级月考）已知实数a、b、c、d满足下列三个条件：①d＞c；②a+b＝
c+d；③a+d＜b+c．
（1）请把a、b、c、d四个数依次从小到大排列；
（2）证明你的上述结论．
【变式3-3】（2021春•桃江县期末）（Ⅰ） 比较下列两组实数的大小：
①√2−1与2−√3； ②2−√3与√6−√5；
（Ⅱ） 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明．
【题型4 利用不等式的性质求取值范围】
【方法点拨】
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用不等式的性质求取值范围时，要充分利用所
给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【例4】（2021秋•朝阳区校级月考）已知1≤a≤8，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围是（ ）
A．3≤a﹣b≤5 B．﹣2≤a﹣b≤10 C．﹣2≤a﹣b≤5 D．3≤a﹣b≤10
x
【变式4-1】（2020秋•河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则 的取值范围是（ ）
x−2y
1 1 1 2 1 2
A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ，1） D．（ ，2）
10 4 4 3 5 3π π
【变式4-2】（2021秋•九原区校级期末）若角 ， 满足− ＜ ＜ ＜ ，则2 ﹣ 的取值范围是（
2 2
α β α β α β
）
3π π 3 3π
A．（﹣ ，0） B．（﹣ ， ） C．（− ， ） D．（− π， ）
2 2 2 2
π π π
【变式4-3】（2022春•枣阳市校级月考）设实数x，y满足0＜xy＜1且0＜x+y＜1+xy，那么x，y的取值范
围是（ ）
A．x＞1且y＞1 B．0＜x＜1且y＜1
C．0＜x＜1且0＜y＜1 D．x＞1且0＜y＜1
