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专题 1.5 不等关系与不等式性质-重难点题型精讲
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法，(a，b∈R)；
(2)作商法，(a∈R，b>0).
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔ b < a ⇔
传递性 a>b，b>c⇒ a > c ⇒
可加性 a>b⇔ a ＋ c > b ＋ c ⇔
⇒ ac > bc
可乘性 注意c的符号
⇒ ac < bc
同向可加性 ⇒ a ＋ c > b ＋ d ⇒
同向同正可乘性 ⇒ ac > bd ⇒
可乘方性 a>b>0⇒ a n > b n (n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数
【题型1 判断不等式是否成立】
【方法点拨】
(1)逐一给出推理判断或举反例说明．
(2)结合不等式的性质、对数函数、指数函数的性质等进行判断．
【例1】（2022•顺义区校级模拟）若非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． ＞ B．a+b＞2√ab C．lga2＞lgb2 D．a3＞b3
a b
【解题思路】根据不等式基本性质，用特值法判断ABC，用函数单调性判断D．1 1
【解答过程】解：对于A，因为当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但 ＞ 不成立，所以A错；
a b
对于B，因为当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a+b＝﹣3，2√ab=2√2＞0，所以a+b＞2√ab不成
立，所以B错；
对于C，因为当a＝﹣1，b＝﹣10时，满足a＞b，但lga2＝0，lgb2＝2，所以lga2＞lgb2不成立，所以C
错；
对于D，因为y＝x3是单调递增函数，所以a＞b a3＞b3，所以D对．
故选：D． ⇒
【变式1-1】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A． ＜ B．ab＜b2 C．ab＞a2 D．− ＜−
a b a b
【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可．
1 1 1 1
【解答过程】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以 ＜ ＜0，即 ＞ ，选项A错误；
b a a b
因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误；
因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误；
1 1 1 1 1 1
因为a＜b＜0，所以 ＜ ＜0，所以− ＞− ，即− ＜− ，选项D正确．
b a b a a b
故选：D．
【变式1-2】（2022春•海淀区期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
1 1 a
A． ＜ B．a2＜b2 C． ＜1 D．ab＞b2
a b b
【解题思路】运用不等式的性质直接求解．
1 1
【解答过程】解：选项A，∵a＜b＜0，∴ ＞ ，选项A错误；
a b
选项B，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，a2＞b2，选项B错误；
a
选项C，∵a＜b＜0，∴ ＞1，选项C错误；
b
选项D，∵a＜b＜0，∴ab＞b2，选项D正确．
故：选D．
答案为：D．
【变式1-3】（2022春•巴中期末）若b＜a＜0，则下列不等式中成立的是（ ）1 1 a b
A． ＜ B． + ＞2
b a b a
C．b2＜a2 D．ln（﹣b）＜ln（﹣a）
【解题思路】取a＝﹣1，b＝﹣2说明A、C、D不成立，由基本不等式说明B正确即可．
1
【解答过程】解：取a＝﹣1，b＝﹣2， ＞−1，A错误．
2
（﹣2）2＞（﹣1）2，C错误．
ln2＞ln1，D错误．
b a b a √a b b a
易得 ， ＞0，则 + ≥ ⋅ =2，当且仅当 = ，即a＝b时取等号，又b＜a＜0，显然取不到等
a b a b b a a b
b a
号，则 + ＞2，B正确．
a b
故选：B．
【题型2 利用不等式的性质比较大小】
【方法点拨】
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．
【例2】（2022春•武威期中）已知a=√7−√6，b=√6−√5，则（ ）
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．a，b大小不确定
【解题思路】首先利用分子有理化，将a，b分别化简，再比较分母的大小，即可判断选项．
1 1
【解答过程】解：a=√7−√6= ，b=√6−√5= ，
√7+√6 √6+√5
因为√7＞√6＞√5＞0，所以√7+√6＞√6+√5＞0，
所以a＜b．
故选：A．
11
【变式2-1】（2022•山西自主招生）已知a=1.2，b= ，c=e0.2，则（ ）
9
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【解题思路】可先分别计算出a5，b5，c5，进行比较即可得出a，b，c的大小关系．
【解答过程】解：由a＝1.2，故a5＝2.48832，
11
由b= ，故b5≈2.72741，
9由c＝e0.2，故c5＝e≈2.71828，
因为a5＜c5＜b5，所以a＜c＜b，
故选：C．
【变式2-2】（2021春•铜鼓县校级月考）设a＝x2﹣x，b＝x+3，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．与x有关
【解题思路】先求出a﹣b＝x2﹣2x﹣3，再解一元二次不等式求解即可．
【解答过程】解：∵a＝x2﹣x，b＝x+3，
∴a﹣b＝x2﹣2x﹣3，
①当x2﹣2x﹣3＞0，即x＞3或x＜﹣1时，a＞b，
②当x2﹣2x﹣3＝0，即x＝3或x＝﹣1时，a＝b，
③当x2﹣2x﹣3＜0，即﹣1＜x＜3时，a＜b，
∴a与b的大小与x的值有关，
故选：D．
【变式2-3】（2021秋•河南月考）已知：x＞1，y R，则a＝2x+2y﹣3，b＝﹣x2+2y，c＝x2+y2的大小关系
是（ ） ∈
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【解题思路】利用作差，配方法，即可比较大小．
【解答过程】解：a﹣b＝2x+2y﹣3﹣（﹣x2+2y）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
因为x＞1，所以（x+1）2﹣4＞（1+1）2﹣4＝0，
所以a﹣b＞0，即a＞b，
a﹣c＝2x+2y﹣3﹣（x2+y2）＝﹣（x2﹣2x+1）﹣（y2﹣2y+1）﹣1＝﹣（x﹣1）2﹣（y﹣1）2﹣1，
因为x＞1，y R，所以﹣（x﹣1）2＜0，﹣（y﹣1）2≤0，所以﹣（x﹣1）2﹣（y﹣1）2﹣1＜0，
所以a﹣c＜0∈，即c＞a，
综上，c＞a＞b．
故选：A．
【题型3 利用不等式的性质证明不等式】
【方法点拨】
①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不
等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更
不能随意构造性质与法则．
【例3】（2021春•阳高县校级月考）设a=√3+2√2，b＝2+√7，则a、b的大小关系为？并证明你的结论．【解题思路】由已知求得a2，b2的值并比较大小即可得解．
【解答过程】解：a、b的大小关系为：a＜b，证明如下：
∵a=√3+2√2＞0，b＝2+√7＞0，
∴a2＝11+4√6，b2＝11+4√7，
∵a2＜b2，
∴a＜b．
b b+m
【变式3-1】（2021秋•科尔沁区期末）若a＞b＞0，m＞0，判断 与 的大小关系，
a a+m
并加以证明．
b b+m
【解题思路】利用作差法，判断出 ＜ ，基本步骤是（1）作差，（2）判断正负，（3）确定大
a a+m
小．
b b+m
【解答过程】解： ＜ ，证明如下；
a a+m
作差，得；
b b+m b(a+m)−a(b+m)
− =
a a+m a(a+m)
bm−am
=
a(a+m)
m(b−a)
= ；
a(a+m)
∵a＞b＞0，m＞0，
∴b﹣a＜0，a+m＞0，
m(b−a)
∴ ＜0；
a(a+m)
b b+m
∴ ＜ ．
a a+m
【变式3-2】（2021秋•徐汇区校级月考）已知实数a、b、c、d满足下列三个条件：①d＞c；②a+b＝
c+d；③a+d＜b+c．
（1）请把a、b、c、d四个数依次从小到大排列；
（2）证明你的上述结论．
【解题思路】由等式及不等式的性质化简即可．
【解答过程】解：（1）a＜c＜d＜b；（2）证明：∵a+b＝c+d，∴a﹣c＝d﹣b，
又∵a+d＜b+c，∴a﹣c＜b﹣d，
∴a﹣c＜0＜b﹣d，
∴a＜c，d＜b，
又∵d＞c，
∴a＜c＜d＜b．
【变式3-3】（2021春•桃江县期末）（Ⅰ） 比较下列两组实数的大小：
①√2−1与2−√3； ②2−√3与√6−√5；
（Ⅱ） 类比以上结论，写出一个更具一般意义的结论，并给出证明．
【解题思路】（Ⅰ）根据题意，对于①、②，将不等式的左右两边同时平方，再作差比较大小，即可得
答案；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则√n+1−√n＞√n+3−√n+2，利用作差法证明即
可得证明．
【解答过程】解：（Ⅰ） ①（√2+√3）2﹣（2+1）2＝2√6−4＞0．
故√2+√3＞2+1，即√2−1＞2−√3．
②（2+√5）2﹣（√6+√3）2＝4√5−2√18=2√20−2√18＞0．
故2+√5＞√6+√3，即2−√3＞√6−√5．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得一般结论：若n是正整数，则√n+1−√n＞√n+3−√n+2．
证 明 如 下 ： 左 ﹣ 右 ＝ （ √n+1−√n） ﹣ （ √n+3−√n+2）
1 1 √n+3+√n+2−√n+1−√n
= − = ＞0，
√n+1+√n √n+3+√n+2 (√n+1+√n)(√n+3+√n+2)
则有√n+1−√n＞√n+3−√n+2．
【题型4 利用不等式的性质求取值范围】
【方法点拨】
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用不等式的性质求取值范围时，要充分利用所
给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
【例4】（2021秋•朝阳区校级月考）已知1≤a≤8，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围是（ ）
A．3≤a﹣b≤5 B．﹣2≤a﹣b≤10 C．﹣2≤a﹣b≤5 D．3≤a﹣b≤10
【解题思路】a﹣b转化为a+（﹣b），而由﹣2≤b≤3可得﹣3≤﹣b≤2，结合不等式的性质化简即可．
【解答过程】解：∵﹣2≤b≤3，∴﹣3≤﹣b≤2，
又∵1≤a≤8，∴﹣2≤a﹣b≤10，
故选：B．x
【变式4-1】（2020秋•河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则 的取值范围是（ ）
x−2y
1 1 1 2 1 2
A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ，1） D．（ ，2）
10 4 4 3 5 3
1
x
【解题思路】把 变形为 2y ，再由已知结合不等式的性质得答案．
x−2y 1−
x
x 1
=
【解答过程】解：x−2y 2y ，
1−
x
1 1 1
∵2＜x＜4，∴ ＜ ＜ ，
4 x 2
又﹣3＜y＜﹣1，∴2＜﹣2y＜6，
1 2y
∴ ＜− ＜3，
2 x
3 2y 1 x 2
则 ＜1− ＜4，可得 ＜ ＜ ．
2 x 4 x−2y 3
故选：B．
π π
【变式4-2】（2021秋•九原区校级期末）若角 ， 满足− ＜ ＜ ＜ ，则2 ﹣ 的取值范围是（
2 2
α β α β α β
）
3π π 3 3π
A．（﹣ ，0） B．（﹣ ， ） C．（− ， ） D．（− π， ）
2 2 2 2
π π π
π π π π π π
【解题思路】由条件可得− ＜ ＜ ，− ＜ ＜ ，进而可得﹣ ＜2 ＜ ，− ＜− ＜ ，由
2 2 2 2 2 2
α β π α π β
3π 3π 3π π
不等式可得性质可得− ＜2 ﹣ ＜ ，和− ＜2 ﹣ ＜ ，取交集可得．
2 2 2 2
α β α β
π π π π
【解答过程】解：由题意可得− ＜ ＜ ，− ＜ ＜ ，
2 2 2 2
α β
π π
故﹣ ＜2 ＜ ，− ＜− ＜ ，
2 2
π α π β
3π 3π
由不等式的性质可得− ＜2 ﹣ ＜ ，
2 2
α β
π π 3π π
又可得﹣ ＜ ﹣ ＜0，和− ＜ ＜ 可得− ＜2 ﹣ ＜ ，
2 2 2 2
π α β α α β3π π
综合可得− ＜2 ﹣ ＜ ，
2 2
α β
故选：C．
【变式4-3】（2022春•枣阳市校级月考）设实数x，y满足0＜xy＜1且0＜x+y＜1+xy，那么x，y的取值范
围是（ ）
A．x＞1且y＞1 B．0＜x＜1且y＜1
C．0＜x＜1且0＜y＜1 D．x＞1且0＜y＜1
【解题思路】x+y＜1+xy，x﹣xy+y﹣1＜0 x（1﹣y）+y﹣1＜0 （x﹣1）（1﹣y）＜0 （x﹣1）（y﹣
1）＞0 x＞1，y＞1或x＜1，y＜1，由0＜⇒xy＜1，所以，0＜x＜⇒1，0＜y＜1． ⇒
【解答⇒过程】解：x+y＜1+xy，
x﹣xy+y﹣1＜0，
x（1﹣y）+y﹣1＜0，
（x﹣1）（1﹣y）＜0，
（x﹣1）（y﹣1）＞0，
x＞1，y＞1或x＜1，y＜1，
由0＜xy＜1，
所以，0＜x＜1，0＜y＜1．
故选：C．
