1.4 基本不等式
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、基本不等式....................................................................................................................................3
二、利用基本不等式求最值................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................5
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：基本不等式核心性质与变形................................................................................................6
题型二：比较大小................................................................................................................................7
题型三：不等式的证明技巧................................................................................................................7
题型四：直接使用基本不等式............................................................................................................8
题型五：拆项或添项法........................................................................................................................9
题型六：消元化简求解........................................................................................................................9
题型七：整体代换与局部代换..........................................................................................................10
题型八：三角函数法..........................................................................................................................10
题型九：多次迭代法.......................................................................................................................... 11
题型十：参数构造法.......................................................................................................................... 11
题型十一：三元、四元元均值不等式..............................................................................................12
题型十二：判别式法..........................................................................................................................12
题型十三：双变量换元法..................................................................................................................12
题型十四：比值代换法......................................................................................................................13
题型十五：实际应用建模..................................................................................................................13
题型十六：跨知识点综合..................................................................................................................14
题型十七：特定形式的最值问题......................................................................................................15
题型十八：恒(能)成立问题...............................................................................................................15
题型十九：常见的几何无字证明模型..............................................................................................16
题型二十：构造不等式法求最值......................................................................................................18
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................19
05 数学思想方法.................................................................................................................................20
①数形结合..........................................................................................................................................20
②转化与化归......................................................................................................................................20
③分类讨论..........................................................................................................................................21
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................22
基础过关篇..........................................................................................................................................22
能力拓展篇..........................................................................................................................................23
1、了解基本不等式的推导过程.
2、会用基本不等式解决简单的最值问题.
3、会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
4、理解基本不等式在实际问题中的应用.
5、掌握基本不等式在其他知识中的应用.
一、基本不等式
1、对公式
及
的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求
都是实数，而后者要求
都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当
时取等号”．
2、由公式
和
可以引申出常用的常用结论
①
（
同号）；
②
（
异号）；
③
或
知识点诠释：
可以变形为：
，
可以变形为：
．
3、基本不等式
的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形
中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为
．这样，4 个直角三角形的面积
的和是
，正方形
的面积为
．由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：
．当直角三角形变为等腰直角三角形，即
时，正方形
缩为一个点，这时有
．
得到结论：如果
，那么
（当且仅当
时取等号“=”）
特别的，如果
，
，我们用
、
分别代替、，可得：
如果
，
，则
，（当且仅当
时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果
，
，
，（当且仅当
时取等号“=”）
方法二：代数法
∵
，
当
时，
；
当
时，
．
所以
，（当且仅当
时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果
，
，我们用
、
分别代替、，可得：
如果
，
，则
，（当且仅当
时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果
，
，
，（当且仅当
时取等号“=”）．
4、基本不等式
的几何意义
如图，
是圆的直径，点
是
上的一点，
，
，过点
作
交圆于点
D，连接
、
．
易证
，那么
，即
．
这个圆的半径为
，它大于或等于
，即
，其中当且仅当点
与圆心重合，即
时，等号成立．
知识点诠释：
（1）在数学中，我们称
为
的算术平均数，称
为
的几何平均数．因此基本不等式可
叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）如果把
看作是正数
的等差中项，
看作是正数
的等比中项，那么基本不等式可
以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
二、利用基本不等式求最值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：
与
成立的条件是不同的，前者要求a，b 都是实数，后者要
求a，b 都是正数．
2、两个不等式：
与
都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取
“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则
考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的
“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
常用二级结论
常见求最值模型
模型一：ax + b
x ≥2❑√ab(a>0,b>0)，当且仅当x = ❑√
b
a 时等号成立.
模型二：x(n-mx)= mx(n-mx)
m
≤1
m ⋅（mx +n-mx
2
)
2= n
2
4 m (m>0,n>0,0< x< n
m )，当且仅当
x = n
2m时等号成立．
模型三：
x
a x
2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2❑√ac+b (a>0 , c>0)
，当且仅当x = ❑√
c
a时等号成立.
题型一：基本不等式核心性质与变形
【例1】（2025·河北·三模）已知x>0，那么以下关于式子x
2+ 1
x 的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x
2+ 1
x ≥2❑√x；
（2）上式当且仅当x
2= 1
x 即x =1时，等号成立；
（3）所以当x =1时，x
2+ 1
x 取得最小值2
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
【解题总结】
基本不等式的常见变形
(1)ab≤(
a＋b
2 )
2
≤a
2＋b
2
2
.
(2)
2
1
a ＋1
b
≤❑√ab≤a＋b
2
≤
❑√
a
2＋b
2
2
(a>0,b>0)
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当x>0且x≠1时，ln x + 1
ln x ≥2
B．当x∈(0, π
2]时，sin x +
4
sin x 的最小值为4
C．当x>0时，x + 1
x ≥2
D．当ab≠0时，b
a + a
b ≥2
【变式1-2】下列命题中正确的是（ ）
A．当x>1时，x + 1
x 的最小值为2
B．当x<0时，x + 1
x ≤-2
C．当0< x<1时，
❑√x + 1
❑√x 的最小值为2 D．当x>1时，
❑√x + 1
❑√x ≥2❑√2
【变式1-3】下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．
❑√x + 1
❑√x ≥2(x>0)
B．|x|+ 2
|x|≥2❑√2(x≠0)
C．- 4
x - x
16 ≥1(x<0)
D．
❑√x
2+5+
1
❑√x
2+5
≥2(x∈R)
题型二：比较大小
【例2】（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b 满足a>b，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A．a
3>b
3
B．a
b >1
C．a
2+b
2>2ab
D．2
a>2
b
【解题总结】
直接利用性质比较大小
【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，且a+b=ab，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+b≤4
B．lo g2a+lo g2b>2
C．b ln a>1
D．❑√a+ ❑√b≥3
【变式2-2】（2025·云南·一模）已知a=lo g32，b=lo g53，c =lo g85，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【变式2-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知定义在(0,+ ∞)上的函数f ( x)满足f ( x
y )= yf ( x)- xf ( y)，
且当x>1时，f ( x)>0，则（ ）
A．f ( x
2)≥2f ( x)
B．f ( x
3)f ( x)≥f
2( x
2)
C．f ( x
2)≤2f ( x)
D．f ( x
3)f ( x)≤f
2( x
2)
【变式2-4】（2025·河南开封·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，a≠b，则下列不等式成立的是（ ）
A．
❑√a+ ❑√b<❑√2< 1
2
a + 1
2
b
B．
❑√a+ ❑√b< 1
2
a + 1
2
b <❑√2
C．1
2
a + 1
2
b <❑√2<❑√a+ ❑√b
D．1
2
a + 1
2
b <❑√a+ ❑√b<❑√2
题型三：不等式的证明技巧
【例3】已知a、b、c、d为正实数．
(1)证明：a+b+c +d
4
≥
4√a⋅b⋅c⋅d；
(2)请利用（1）的结论，证明：a+b+c
3
≥
3√a⋅b⋅c.
【解题总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
【变式3-1】已知a，b，c 都是非负实数，求证:❑√a
2+b
2+❑√b
2+c
2+❑√c
2+a
2≥❑√2(a+b+c).
【变式3-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）（1）求函数f (x)=e
x的图像在点(0,f (0))处的切线方程；
（2）证明：2e
x>(e+1)x +1；
（3）已知a，b，c 均为正数，且a+b+c =1，请证明：e
a
a + e
b
b + e
c
c >12．
【变式3-3】（2025·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c 均为正实数，且a+3b+ 4 c =12．
(1)求abc 的最大值；
(2)求证：a+6
a
+ b+2
b
+ c +6
c
≥11．
题型四：直接使用基本不等式
【例4】（2025·贵州黔东南·一模）若x
4+9 y
4=10，则x
2 y
2的最大值为 ，此时x
2= ．
【解题总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
【变式4-1】已知a>0，b>0，且2a+b=1，则ab的最大值为 ．
【变式4-2】设x，y >0，若4 x + 1
y =1，则x
y 的最大值为 .
【变式4-3】若x>0，y >0，且2 x
2+ y
2
3 =8，求x
❑√6+2 y
2的最大值为 ．
【变式4-4】（2025·河北保定·二模）已知x，y 是非零实数，则y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．2
D．4
题型五：拆项或添项法
【例5】若x>3，则2- x -
1
x -3的最大值为 .
【解题总结】
通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
【变式5-1】已知x∈(0,+∞)，则y =2 x +
4
2 x +1的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．3 ❑√2
D．6
【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y = x + 1
2 +
1
2 x +1的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．❑√3
【变式5-3】已知5 x
2 y
2+ y
4=1（x , y ∈R），则x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．3 ❑√2
5
B．4
5
C．3
5
D．1
2
【变式5-4】若x> y , xy =1则x
2+ y
2
x - y 的最小值为（ ）
A． 2❑√2
B．4 ❑√2
C．17
6
D．5 ❑√2
2
题型六：消元化简求解
【例6】已知x>-1, y >-1, xy + x + y +1=1，则x + y的最小值是（ ）
A．0
B．-1
C．- 1
2
D．1
【解题总结】
对应不等式中的双元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．
【变式6-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数m，n满足mn=2，则1
m + 2
n +
9
2m+n的最小值为
（ ）
A．2❑√2
B．3
C．3 ❑√2
D．4
【变式6-2】已知角α , β ∈(0, π
2)，且sin β =2cos(α + β)sin α，当tan β取得最大值时，角α =（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【变式6-3】已知α , β为锐角，且cos(α + β)sin β =sin α，则tan α的最大值为（ ）
A．❑√2
B．1
C．
❑√2
2
D．
❑√2
4
题型七：整体代换与局部代换
【例7】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知x>0，y >0，x + y =1，则1
x + 2
y 的最小值为 ．
【解题总结】
整体代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过
程中要特别注意等价变形．
【变式7-1】已知x>0, y >0, x + y =1，则1
x + x
y 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．1
D．3
【变式7-2】已知正数m,n满足2m+n=6，则
1
2m+1 +
1
n+1的最小值为 ．
【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若a>b>1，且a+3b=5，则1
a-b +
4
b-1的最小值为 ．
【变式7-4】（2025·河南·三模）函数f (x)=lo ga(x -1)+1过定点A，若
A ∈{(x , y)|mx +ny =1 ,m>0,n>0}，则1
m + 2
n的最小值为（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式7-5】已知正数m,n满足1
m + 3
n =2，则m+3n的最小值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
题型八：三角函数法
【例8】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若x , y ∈R满足x
2+ 4 y
2-2 xy =1，则（ ）
A．x
2+ 4 y
2≤2
B．- 2❑√3
3
≤x ≤2❑√3
3
C．x +2 y ≤1
D．x +2 y ≥-2
【解题总结】
出现平方和结构（ma
2+nb
2）形式，引入三角函数表示a和b.
【变式8-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数x , y满足❑√9 x
2-1+
❑√9 y
2-1=9 xy，则4 x
2+ y
2的最小
值为 ．
【变式8-2】已知非负实数x，y满足2 x
2+ 4 xy +2 y
2+ x
2 y
2=9，则2❑√2( x + y)+ xy的最大值为 .
【变式8-3】已知x , y ∈R
+，满足2 x + y =1，则x +
❑√x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．4
5
B．2
5
C．1
D．1+ ❑√2
3
题型九：多次迭代法
【例9】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1
a + a
4 b
2 +b的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．2❑√2
C．4
D．2
【解题总结】
在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的
等号成立条件是否相互契合、保持一致。
【变式9-1】（2025·江苏盐城·三模）已知a∈R ,b∈R
+，则e
2a+[b- ln (a+b)]
2的最小值为 ．
【变式9-2】已知x , y ∈(0,+∞)，则( x - y)
2+2 y +1- x + 4
x 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式9-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知x>-1，y >0，z>0，2 x +3 y + z =2，则1
x +1 + 1
y + 3
z 的最
小值为（ ）
A．7
2 + ❑√6
B．7+ ❑√6
2
C．5+ ❑√6
2
D．5
2 + ❑√6
题型十：参数构造法
【例10】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知m>0,n>0，且m+n=1，则
3
3m+2n + 2+3n
1+3n的最小值是
.
【解题总结】
出现a x
2+b y
2+c z
2
mxz +nxy +tyz 结构形式，通常用待定系数法.
【变式10-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c 均为正实数，则
ab+bc
a
2+2b
2+c
2的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
❑√2
2
D．
❑√3
2
【变式10-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若a>0，b>0，3a+5b=1，则
11a+13b
2a
2+6ab+ 4 b
2的最小值
为（ ）
A．16
B．18
C．20
D．22
【变式10-3】已知实数a，b，c满足a
2+b
2+c
2=1，则ab+bc+2ca的最大值为 .
题型十一：三元、四元元均值不等式
【例11】已知a>0,b>0，则1
a +ab
2+ 2
b的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题总结】
a1+a2+a3+......+an≥n
n√a1a2a3......an，a1,a2,a3,......,an为正数.
【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若a>0，b>0，求b
a
2 + 1
b +a 的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4
【变式11-2】函数y = 3
16 x
2+ 3
x ( x>0)的最小值是（ ）．
A．3
3√3
2
B．9
4
C．1
D．不存在
【变式11-3】已知a>0,b>0，则4+b(a
2+25b)
ab
的最小值为 ．
题型十二：判别式法
【例12】（2025·浙江·二模）设a,b∈R，λ>0，若a
2+ λb
2= 4，且a+b的最大值是❑√5，则λ = .
【解题总结】
利用一元二次方程有实数根时Δ≥0.
【变式12-1】若x , y ∈R，4 x
2+ y
2+ xy =1，则当x = 时，x + y取得最大值，该最大值为 .
【变式12-2】设x、y 为实数，若4 x
2+ y
2+ xy =1，则2 x + y的最大值是 ．
【变式12-3】若实数x，y 满足x
2+ y
2+ xy =1，则x 的最大值是 .
题型十三：双变量换元法
【例13】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数a，b满足a+b=1，则a
2
a+1 + b
2
b+2的最小值是 ．
【解题总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式
的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
【变式13-1】设a,b为正实数，且a+b=3，则a
2
a+2 + b
2
b+1的最小值为 .
【变式13-2】已知a>0,b>0,a+b=2，则P = 3a
2+b
1+b + 3b
2+a
1+a 的最小值为 .
【变式13-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数a，b，c满足2a+b+3c =8，则a+b+2c
b+c
+
1
a+c 的最
小值为（ ）
A．2❑√2
B．3+2❑√2
4
C．3 ❑√2-1
D．5+2❑√2
4
题型十四：比值代换法
【例14】已知a>b>0，则a
2+b
2
ab-b
2的最小值为 .
【解题总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式
进行求解．
【变式14-1】设正实数x，y，z满足x
2-3 xy + 4 y
2- z =0，则当xy
z 取得最大值时，2
x + 1
y - 2
z 的最大值为
（ ）
A．0
B．3
C．9
4
D．1
【变式14-2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知a>0，b>0，a+b=1，则b+1
a
+ a+1
b
的最小值为 .
【变式14-3】已知正数x , y满足
8
3 x
2+2 xy
+
3
xy +2 y
2 =1，则xy的最小值是 ．
题型十五：实际应用建模
【例15】（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫
会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分
米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v
2=
4 H
1- H v
2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为
（ ）
A．0.2米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7米
【解题总结】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标
函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
【变式15-1】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已
知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v
2=
4 H
1- H v
2，则该
类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
【变式15-2】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码
放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取
出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）高相同的圆柱与圆台的体积分别为V 1，V 2，且圆柱的底面积是圆台
上、下底面积的等差中项，则V 1与V 2的关系为（ ）
A．V 1>V 2
B．V 1<V 2
C．V 1=V 2
D．不确定
题型十六：跨知识点综合
【例16】（2025·北京朝阳·二模）在△ABC中，a+c =2❑√5，且tan B =2，则sin B = ；△ABC面积
的最大值为 ．
【解题总结】
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析
几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
【变式16-1】（2025·天津河西·二模）在平行四边形ABCD中，cos∠BAD =- 4
5 ，⃗DC = 4⃗EC，⃗
BC =⃗CF，四边形ABCD的面积为6，则⃗EA ⋅⃗FA的最小值为 ；当⃗AB在⃗AD上的投影向量为-⃗AD时，⃗
EA ⋅⃗FA = .
【变式16-2】（2025·北京朝阳·二模）设a>0，过原点O的直线（不与x轴重合）与圆A : x
2+( y -a)
2=a
2
交于点P 与直线y =2a交于点Q．过点P作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，这两条直线交于点
M (x , y)，称y为x的箕舌线函数，记作y = f (x)，给出下列四个结论：
①函数y = f (x)的图象关于y 轴对称；
②若x1< x2，则f (x1)>f (x2)；
③设函数h(x)= xf (x)，则h(x)的最大值为2a
2；
④设函数g(x)= f (x)+ x
2，则g(x)的最小值为2a．
其中所有正确结论的序号是 ．
【变式16-3】《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵ABC - A1B1C1中，
A1B =3 ❑√2，AB = AC，则堑堵ABC - A1B1C1体积的最大值为 .
题型十七：特定形式的最值问题
【例17】（多选题）（2025·河南·三模）已知正数x，y 满足2 x + y =1，则（ ）
A．xy ≤1
16
B．1
x + 2
y ≥8
C．❑√2 x + ❑√y ≤❑√2
D．x
2+ y
2≥1
5
【解题总结】
利用基本不等式变形求解
【变式17-1】（多选题）（2025·河北·二模）已知x>0，y >0，x +2 y =2，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1
2
B．4
x + x
y 的最小值为4
C．x
2+ 4 y
2的最大值为2
D．x
2+ y
2的最小值为4
5
【变式17-2】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数x , y满足8(x + y)= x
3 y + x y
3，则（ ）
A．x + y ≥4
B．x
2 y
2≥16
C．x
3
2 + y
3
2 ≥4 ❑√2
D．xy (x + y)≤16
【变式17-3】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知a>0,b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．若a+b=1，则a
2+ 4 b
2≥5
4
B．若a+b=1，则❑√a+ ❑√b的最大值为❑√2
C．若a+b=2，则a
2
a+1 + b
2
b+1的最小值为1
D．若a+b=2，则
1
a
2+1
+
1
b
2+1的最大值为1+ ❑√2
2
题型十八：恒(能)成立问题
【例18】当x>1时，不等式x +
1
x -1 ≥a恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(-∞,2]
B．[2,+ ∞)
C．[3,+∞)
D．(-∞,3]
【解题总结】
∃x∈M，使得f ( x)⩾a ，等价于f ( x)max⩾a ，∃x∈M，使得f ( x)⩽a ，等价于
f ( x)min⩽a
【变式18-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）设实数x，y 满足x> 3
2，y >3，不等式
k (2 x -3)( y -3)≤8 x
3+ y
3-12 x
2-3 y
2恒成立，则实数k 的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．2❑√3
D．4 ❑√3
【变式18-2】（2025·广东湛江·二模）当x，y ∈(0,+∞)时，4 x
4+17 x
2 y + 4 y
2
x
4+2 x
2 y + y
2
< m
4 恒成立，则m 的取
值范围是（ ）
A．(25,+ ∞)
B．(26,+∞)
C．(
99
4 ,+∞)
D．(27,+∞)
【变式18-3】已知实数 x、y满足x + y - xy =0， 且xy >0， 若不等式4 x +9 y -t ≥0恒成立， 则实数t
的最大值为 （ ）
A．9
B．12
C．16
D．25
题型十九：常见的几何无字证明模型
【例19】在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯
形ABCD中，AB //CD，且CD =a，AB =b，EF和GH为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，
GH过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）
A．a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B．
2
1
a + 1
b
≤a+b
2
(a>0,b>0)
C．a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D．a
2+b
2≥2❑√ab(a>0,b>0)
【解题总结】
利用几何法转化
【变式19-1】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我
们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果a>b,b>c，那么a>c
B．如果a>b>0，那么a
2>b
2
C．如果a>b,c>0，那么ac>bc
D．对任意实数a 和b，有a
2+b
2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立
【变式19-2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直
角三角形△ABC中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD =a，BD =b，
用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B．2ab
a+b ≤❑√ab(a>0,b>0)
C．a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D．a
2+b
2≥2❑√ab(a>0,b>0)
【变式19-3】《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏
晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线
将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个
小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2 所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为
内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直
角三角形ABC 的内接正方形对角线AE，过点A 作AF ⊥BC于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由图1 和图2 面积相等得d = 2ab
a+b
B．由AE≥AF可得❑√
a
2+b
2
2
>❑√
a+b
2
C．由AD≥AE可得
❑√
a
2+b
2
2
≥
2
1
a + 1
b
D．由AD≥AF可得a
2+b
2>2ab
题型二十：构造不等式法求最值
【例20】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数m,n满足2m
3+2n
3+6mn=27，则m+n的取值范围为 .
【解题总结】
利用
2
1
a ＋1
b
≤❑√ab≤a＋b
2
≤
❑√
a
2＋b
2
2
(a>0,b>0)求解.
【变式20-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z 满足x + y + z =0，且x> y > z，则
y
❑√x
2+ z
2的取值范围为
（ ）
A．(-
❑√5
5 ,
❑√5
5 ) B．(-
❑√2
2 ,
❑√2
2 )
C．(- 1
2 , 1
2)
D．(-1,1)
【变式20-2】（2025·山东·模拟预测）已知3
x⋅9
y =3
xy>1，则x +2 y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．4
C．4 ❑√2
D．8
【变式20-3】已知三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a<b)在R上单调递增，则a+b+c
b-a
最小值为（ ）
A．2❑√6+5
2
B．
❑√6+5
3
C．7+ ❑√5
2
D．2❑√7+5
3
1．已知x , y为正数，求
x
2 x + y +
y
x +2 y 的最大值（ ）
A．2
3
B．1
C．3
4
D．5
8
2．已知实数a，b，c 满足a+b+c =1．
(1)若2a
2+b
2+c
2= 1
2，求证：0≤a≤2
5；
(2)若a，b，c∈(0,+∞)，求证：a
2
1-a + b
2
1-b + c
2
1-c ≥1
2．
①数形结合
1．如图，在一个圆心为O，半径为R 的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，
则这个矩形的面积最大时，∠AOD的大小是( )
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5 π
12
2．在△ABC中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点M，N，若⃗
AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，m>0，n>0，则1
m + 9
n的最小值为( )
A．3
B．8
C．9
2
D．9
3．如图，在△ABC中，⃗BD = 2
3⃗BC，E 为线段AD 上的动点，且⃗CE = x⃗CA + y⃗CB，则2
x + 6
y 的最小值为(
)
A．8
B．12
C．32
D．16
②转化与化归
4．若正数x，y 满足x
2- xy +2=0，则x + y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．2❑√3
C．4
D．6
5．非零实数a，b，c 满足bc
a ，ac
b ，ab
c 成等差数列，则a
2+2c
2
b
2
的最小值为( )
A．2❑√2
B．3
2 + ❑√2
C．3
D．3+2❑√2
6．已知正实数a，b，满足(a-1)
3+(b-1)
3⩾2-a-b，则a
2+b
2的最小值为( )
A．2
B．1
C．1
2
D．4
③分类讨论
7．已知数列{an}的前n 项和Sn=n
2+n，当
Sn+9
an
取最小值时，n= ．
8．以max A表示数集A 中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M =max{
1
c + b
a , 1
ac +b, a
b +c}的最
小值为 ．
9．设m>1，n>3，且3m+n=mn-24，则lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)的最大值为 ．
基础过关篇
1．（2024 年北京高考数学真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．lo g2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．lo g2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．lo g2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．lo g2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足x
2+ y
2- xy =1，则（ ）
A．x + y ≤1
B．x + y ≥-2
C．x
2+ y
2≤2
D．x
2+ y
2≥1
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知a , b∈R，且a-3b+6=0，
则2
a+ 1
8
b的最小值为 .
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若a,b∈R，ab>0，则
a
4+ 4 b
4+1
ab
的最小值为 .
5．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知x>0, y >0，则“lo g2 x +lo g2 y ≥0”是“lo g2(x + y)≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
6．（2025·湖北·模拟预测）已知实数a，b满足(
1
a -2)(
1
b -3)=6，则ab的最大值为（ ）
A．1
25
B．1
24
C．1
12
D．1
4
7．（2025·山东济宁·二模）若圆x
2+ y
2-2ax -2 y -1=0关于直线x +by -2=0对称，其中a>0，b>0，
则1
a + 4 a+1
b
的最小值为（ ）
A．2
B．5
2
C．4
D．2+2❑√5
8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量⃗a=(x ,1),⃗b=(3,- y),⃗c =(1,1)，若⃗a,⃗b在⃗c上的投影向量相等，
则x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．-1
9．（2025·山东临沂·二模）已知{an}为正项等差数列，若4 a3-a7=8，则a1a3的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
10．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线y =ax +b(a>0，b>0)过函数f (x)= x +
1
x -1图象的对称中心，
则4 a+b
ab
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知x>0，y >0，且x + y - xy +8=0，则xy的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
12．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）若0<a<b<1，则（ ）
A．a
b > a-1
b-1
B．a+ ln b>b+ ln a
C．2
a+2
b>2
a+b
D．a⋅sin b>b⋅sin a
13．（多选题）（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（ ）
A．若a
2+b
2=1，则a+b的最大值为❑√2
B．若(a+1)(b+1)= 4，则a+b≥2
C．若a>0，b>0，则a
2+b
2+ 1
ab 的最小值为2❑√2
D．若θ∈(0,π )，则
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ+1
≥2
14．（多选题）（2025·河北张家口·三模）已知a，b∈R，且ab=3，若a∈(0,6]，则（ ）
A．b∈(0, 1
2]
B．a+b的最小值为2❑√3
C．2
a + 1
4 b 的最小值为
❑√6
3
D．a-2b的取值范围为(-∞,5]
15．已知a，b 为正数，且满足a
3+b
3=2，则1
a + 1
b 的最小值为 ．
16．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知F1, F2是椭圆C : x
2
9 + y
2
4 =1的两个焦点，点M在C上，则
1
|M F1|
+
1
|M F2|的最小值为 .
能力拓展篇
17．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角α，β满足α + β = π
4 ，则
1
sin α cos β +
1
cosα sin β 的最小值为
（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4 ❑√2
D．2❑√3
18．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数f (x)为R上的单调递增函数，且当a>b>0时，
f (a-1)=- f (b-1)，则1
a +
1
b+1的最小值为 .
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数a,b满足1
a + 1
b =m，若(a+ 1
b)(b+ 1
a)的最小值为4，则实数
m的取值范围是 ．
20．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y 满足1
x + 1
y =1，设z = 1
2 (x
2+ y
2)-20(ln x + ln y)﹐则z 的最小
值为 ．
21．已知函数f (x)=2024
x -2024
- x，若a>0，b>0且f (a-1)+ f (b-1)= f (0)，则2
a+2 +
3
b+1的最小值
为 ．
22．已知a>0，b>0，且a+ ❑√b=c，若a+b+c
a+c
+
a
2
❑√b+2c
的最小值为3，则c = .
