文档文本内容
1.5 一元二次方程、不等式
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、一元二次不等式................................................................................................................3
知识点二、高次不等式........................................................................................................................3
知识点三、分式不等式........................................................................................................................3
知识点四、无理不等式........................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................8
题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点）............................................8
题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点）................................9
题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点）......................12
题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点）..........................15
题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点）..................................17
题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点）..................................................19
题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点）......................................20
题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点）..........................23
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点）..............................................24
题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点）..........................................26
05 课后拓展精练................................................................................................................................30
知识点一、一元二次不等式
一元二次不等式
或
的解法：
对于一元二次方程
，设
，（当
时，方程两根为
）
的图象
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
R
的解集
知识点二、高次不等式
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为
(或
)的形式，然后用穿针引
线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负
出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
知识点三、分式不等式
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于
与
均意味a，b 同号，故
与
等价的；
与
均意味a，b 异号，故
与
等价的；
①
，
且
.
②
，
且
.
知识点四、无理不等式
⑴
或
⑵
⑶
常用二级结论
1、一元二次不等式恒成立常用结论：
⑴
的解集为R，则一定满足
⑵
的解集为
，则一定满足
⑶
的解集为R，则一定满足
⑷
的解集为
，则一定满足
⑸
在
上恒成立，则
⑹
在
上恒成立，则
1．（2025 年高考天津卷数学真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为_______
【答案】
【解析】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
2．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））不等式
的解集为_________．
【答案】
【解析】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案为：
.
3．（2025 年上海春季高考练习数学试题）不等式
的解集为_____．
【答案】
【解析】由题意得不等式
即
，
即不等式
的解集为
，
故答案为：
4．（2024 年上海春季高考练习数学试题）已知
，求
的
的取值
范围_______.
【答案】
【解析】根据题意知
.
当
时，
,即
，解得
，则有
；
当
时，
,即
，
，即
时，不等式
都成立.
综上所述，
的
的取值范围为
.
故答案为：
.
5．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
则不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】方程
的解为
或
，
故不等式
的解集为
，
故答案为：
.
6．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，若函数
在
上单调递增，
则a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设
，使不等式
成立的
的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】
，
即
，
即
，
故
的取值范围是
．
题型一：不含参数的一元一次、一元二次不等式求解（基础考点）
【解题妙招】
解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直
观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，
从而得出最终答案。
例1．求函数
的解集__________.
【答案】
【解析】对原不等式
两边同时乘以
，不等号方向改变，得到
.
因式分解得
，因此原不等式等价于
.
令
，解得两根为
和
.
由于二次函数
的二次项系数为正，图象开口向上，
因此
解集为
.
例2．不等式
的解集是____.
【答案】
【解析】不等式
化为
，
因式分解得
，解得
.
不等式
的解集为
，
例3．（2026·陕西渭南·二模）不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】当
时，不等式变为
，即
，
解得
，又
，所以此时不等式的解集为
；
当
时，不等式变为
，即
，
解得
，又
，所以此时不等式的解集为
；
所以不等式
的解集为
.
变式1．（2026·上海闵行·二模）设
，不等式
的解集是______.
【答案】
【解析】因为
，即
，
令
，
解得
，
所以
的解集为
.
即不等式
的解集是
.
题型二：含参数的一元一次、一元二次不等式分类讨论求解（高频考点）
【解题妙招】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
例4．已知关于
的不等式
．
(1)若不等式的解集为
，求a，b 的值；
(2)若
，求已知关于
的不等式的解集．
【解析】（1）因为不等式
的解集为
，所以
，
且
和
是方程
的两个实根，
可得
，
，
解得
，
；
（2）当
，不等式为
，即
① 当
时，不等式化为
，解得
，解集为
；
② 当
时，若
，则
，不等式解集为
；
若
，则
，不等式为
，解集为
；
若
，则
，不等式解集为
；
当
③
时，不等式化为
解得
或
，解集为
.
综上， 当
时，解集为
； 当
时，解集为
；
当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
例5．解关于
的不等式
．
【解析】由已知，得
，
：
当
时，不等式化为
，解得
；
当
时，不等式等价于
，
若
，解得
，或
；
若
，解得
，
若
，解得
，或
；
当
时，不等式等价于
，解得
.
综上所述，当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为全体实数，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
例6．解答下列各题.
(1)若
，求
的最小值；
(2)若正数
满足
，求
的最小值；
(3)解关于
的不等式:
．
【解析】（1）因为
，由题
.
当且仅当
，即
时取等号；
所以
的最小值为7.
（2）由
结合基本不等式可得：
，
又
为正数，则
，当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
（3）由
，可得
，令
，解得
或
，
当
时，有
，
的解集为两根之间，即
；
当
时，原不等式变为
，无解；
当
时，有
，
的解集为两根之间：
.
综上：当
时，解集为
；当
时，无解；当
时，解集为
变式2．设
．
(1)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
．
【解析】（1）因为
对一切实数
恒成立，
所以
对一切实数
恒成立，
所以，当
时，
，不满足成立；
当
时，需满足
，即
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
（2）
，
，
因为
的实数根为
，
所以，当
，即
时，
的解集为
；
当
，即
时，
的解集为
；
当
，即
时，
的解集为
.
综上，
时，解集为
；
时，解集为
；当
时，解集为
.
题型三：一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的相互转化（必考考点）
【解题妙招】
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出
相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
例7．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知
，若关于
的方程
有
两个不相等的实数根
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的最小值为4
C．关于
的不等式
的解集为
D．
是关于
的不等式
的一个解
【答案】ACD
【解析】选项A，因为方程有两不等实根，所以
，解得
，
因为
，所以
，即取
，A 正确；
选项B，由韦达定理
，则
，由A 选项可知
，且
，所以
，
，当
时，
单调递增，因此
，则
，无法取到最小
值4，B 错误；
C 选项，令
，代入原方程得
，即若
为原方
程两根，则
为
的两根，又因为
，
所以
，已知
，所以不等式解集为
，C 正确；
D 选项，将
代入得
，因为
，因此
，
即
是不等式的一个解，D 正确.
例8．（多选题）（2026·西藏林芝·二模）已知关于
的不等式
的解集为
，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
【答案】AD
【解析】对于选项A：由关于
的不等式
的解集为
，可得
，故A 正确；
对于选项B：由题意可得
，
故
，
，则
，故B 错误；
对于选项C：
，由
，故
，即
，
所以不等式
的解集为
，故C 错误；
对于选项D：
，
由
，则该不等式解集为
，故D 正确.
例9．（多选题）已知不等式
的解集是
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
【答案】ACD
【解析】因为不等式
的解集是
，
所以有
，
，
，
所以
，
，因此选项A 正确，选项B 错误；
，因此选项C 正确；
若
，则
，即
，
解得
，选项D 正确.
变式3．（多选题）已知关于
的不等式组
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，不等式组的解集为
B．当
时，不等式组的解集可以为
的形式
C．不等式组的解集恰好为
，那么
D．不等式组解集恰好为
，那么
【答案】ABD
【解析】由
，可得
，
A：当
，显然
，而
，即不等式无实数解，对，
B：当
，则
，而
，故
，
所以不等式组的解集可以为
的形式，对，
C、D：当不等式组解集恰好为
，则
，
所以，不等式的解集，即
的解集为
，
所以
，可得
，其中
（此时不满足
，舍），
所以
或
（舍），故
，C 错，D 对.
题型四：一元二次不等式在给定区间上的恒成立与能成立问题（高频考点）
【解题妙招】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判
别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
例10．（2026·河南·一模）已知函数
，若
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
的对称轴
在
轴的右边，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
，解得
，结合
得，
；
当
时，
，
恒成立，满足条件
；
当
时，
在
上单调递减，所以
，解得
，
所以只需考虑
的情况，
的对称轴为
，
若
，即
时，
的最小值为
，
，解得
，故
满
足条件；
若
，即
时，
在
上单调递减，
，解得
，所以
满足条件；
综上所述，a 的取值范围是
.
例11．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
设
，
，则
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，所以
.
的最小值为
.
例12．（2026·高三·天津宝坻·阶段检测）已知函数
满足
，且
时
.若对
任意实数
，有不等式
恒成立，则非零实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，由
，
由此可知
在
单调递增，且
而
在
单调递增，且
又因为
，所以
在
上单调递增，
由
可得：
，解得
，
又因为非零实数
，所以
，
由于
，所以
，
而对于任意实数
，有不等式
恒成立，
则
，
则
，即
，
所以由不等式
，
解得
，
即根据题意可得：
，
所以
，再由
，可得
，
故选：B.
变式4．（2026·高三·广东·期末）已知函数
满足对任意
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以由
，
得
，得
，
得
对任意
恒成立，
所以
或
对任意
恒成立，
所以
或
，
且
在区间[3，4]上单调递减，在区间[4，5]上单调递增，当
时，
；
当
时，
，
当
时，
，
所以
，对任意
，
，所以
．
故选：D
题型五：一元高次不等式与分式不等式的穿针引线法求解（基础考点）
【解题妙招】
穿根法
例13．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
例14．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不等式
，等价于
或
，
解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：A
例15．（2026·高三·河南南阳·阶段检测）不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
当
时，不等式显然不成立；
当
时，
，所以原不等式
，
解得
.
综上，原不等式的解集为
.
故选：C
变式5．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由
，得
，
等价于
，
由穿根法可得不等式的解集为
.
故选：B
题型六：单绝对值与双绝对值不等式的基本解法（高频考点）
【解题妙招】
一般的，
与
或
同解；
与
同解．
一般的，
，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，
那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
例16．（2026·上海静安·模拟预测）不等式
解集为_________ ．
【答案】
【解析】当
时，原不等式可化为
，即0＞0，矛盾，舍去；
当
时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此
；
综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1 解集为
.
例17．（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】因为不等式
，不等式
的最大值为
，
对任意
，不等式
恒成立，所以
，
则
的取值范围为
，即得
的取值范围为
.
例18．（2026·上海·一模）若不等式
对于任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为
______．
【答案】
【解析】不等式
恒成立，即不等式
恒成立，
即不等式
恒成立，
所以
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，两边平方化简得
，解得
，
即a 的取值范围为
.
变式6．（2026·高三·辽宁·期末）
的解集为_____
【答案】
【解析】原不等式等价于
当
时，原不等式等价于
，即得
不成立，不等式无解；
当
时，原不等式等价于
，解得
，不等式的解集为
；
当
时，原不等式等价于
，即得
，不等式的解集为
；
综上所述，原不等式的解集为
.
故答案为：
题型七：一元二次方程实根的分布与参数范围问题（压轴小题考点）
【解题妙招】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处
函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2026·高三·全国·一轮复习）若关于
的方程
的两个不相等的实数根均小于，则实数
的取值范围为________．
【答案】
.
【解析】因为关于
的方程
的两个不相等的实数根，
所以
，解不等式得
，
设方程的两个根为
，则根据韦达定理，可得
，
，
又方程的两个不相等的实数根均小于，
所以
，展开得
，
代入韦达定理的结果，得
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.
故答案为：
例20．（2026·河北石家庄·一模）已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则
实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】（1）当
时，方程
化为：
，此时无解，舍去；
（2）当
时，考虑方程正实数根情况，只需研究当
时方程
解的情况，
即此时方程化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当
时，因为
，
所以方程
化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当
时，函数
与
轴有两个零点
函数
与
轴有两个零点
因为
，所以
即
作出函数
与函数
图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程
有两个不相等
的正实数根，
综上，满足条件
的取值范围为
或
，即
故答案为：
例21．（2026·高三·北京·阶段检测）已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，
则实数
的范围是____________.
【答案】
【解析】因为方程
的两根一个比
大另一个比
小，
则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
变式7．若关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实根
，且
．则实
数a 的取值范围为________．
【答案】
【解析】令函数
，依题意，
的两个不等实根
满足
，
而函数
图象开口向上，因此
，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
题型八：含参数绝对值不等式的分类讨论与几何意义解法（高频难点考点）
【解题妙招】
对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值
符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则
借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。
例22．函数
的最小值为_____.
【答案】15
【解析】因为
，结合绝对值三角不等式可得：
，
等号成立的充要条件是
且
.
即当
时，满足
，
取到最小值15.
故答案为：15
例23．（2026·江西宜春·模拟预测）若函数
的最小值为，则
_____．
【答案】
或
【解析】由绝对值三角不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，
且该函数的最小值为，即
，故
或
.
故答案为：
或
.
例24．（2026·上海杨浦·二模）不等式
对一切实数
恒成立，则实数
的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】
表示
到
的距离，
表示
到
的距离，它们的和为
到
和
到
的距离之
和，
根据三角不等式，当
位于
和
之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为
，
所以不等式
对一切实数
恒成立等价于若最小值
，则原式对所有
恒成立，
所以
或
，解得
或
.
故答案为：
.
变式8．若对于任意
，总存在
使得
，则实数
的取值范围是
_______________.
【答案】
【解析】设
，
一方面，令
，即
，解得
，
此时
，
在
上的最大值为2，因此
；
另一方面，当
时，考虑
，
，
，
则
，
于是
中至少有一个不小于2，符合题意，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围求参数（高频考点）
【解题妙招】
在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分
类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而
确定参数的合适值。
例25．（2026·高三·山东青岛·期中）若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，
则
的范围是______；
【答案】
【解析】当
时，显然不合题意；
当
时，原不等式可化为
，即
，所以
，
因为解集中恰有两个整数，所以
，即
；
当
时，原不等式可化为
，即
，
所以若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
，不合题意.
综上可得，
；
故答案为：
例26．（2026·高三·河北沧州·阶段检测）已知集合
，集合
，若集合
内恰有两个整数，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】不等式
可化为
，解得
或
，
所以
，
若集合
内恰有两个整数，则这两个整数为
，所以
.
故答案为：
.
例27．若关于
的不等式
的解集中恰好含有2025 个整数，则实数
的取值集合是
______
【答案】
或
【解析】当
，即
时，
，解集为
，有无数个解，不符合题意；
当
，即
时，
，
当
时，
，则不等式的解集为
，
包含无数个解，不符合题意；
当
时，
，则不等式解集为
，
包含无数个解，不符合题意；
当
时，解得
或
，
当
时，
，不等式解集为
，
因为
，所以
，
因为解集中恰好含有2025 个整数，
所以
，解得
；
当
时，
，不等式解集为
，
因为
，所以
，
因为解集中恰好含有2025 个整数，
所以
，解得
，
综上，实数
的取值集合
或
.
故答案为：
或
变式9．若关于x 的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数m 的取值范围是
___________.
【答案】
或
【解析】由
得：
，
①当
时，不等式
的解集为：
，
因为解集中恰有3 个整数，所以
；
②当
时，不等式
的解集为
，不符合题意；
当
③
时，不等式
的解集为：
，
因为解集中恰有3 个整数，所以
；
综上所述：实数m 的取值范围是：
或
.
故答案为：
或
题型十：通过解含参数不等式组确定参数的取值范围（高频考点）
【解题妙招】
在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）
的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范
围。
例28．已知关于x 的不等式组
仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，即
，解得
或
，
由
，即
，
当
时，不等式
为
，无解；
当
时，不等式
解集为
，
结合题意，此时原不等式组的解集为
，且仅有一个整数解，
所以
，即
，
当
时，不等式
解集为
，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则
，即
，
综上所述，k 的取值范围为
，
故选：D
例29．关于
的不等式组
的整数解的集合为
，求实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得
或
；由
，可得
（*）.
① 若
，即
时，则由（*），可得
，此时原不等式的解集为
，显然不符
合题意；
② 若
时，则由（*），可得
，显然不符合题意；
若
③
时，则由（*），可得
，
此时要使不等式组的整数解的集合为
，须使
，即
.
综上可得，实数
的取值范围
故选：B.
例30．已知关于
的不等式组
仅有一个整数解，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，即
，
解得
或
，由
，
即
，因为
，
不等式
的解集为
，
结合题意，此时原不等式组的解集为
，且仅有一个整数解，
所以
.
故选：B.
变式10．设集合
，集合
为关于
的不等式组
的解集，若
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为不等式组
的解集
，
，
，
所以不等式
在
上恒成立，
且不等式
的解集包含集合
，
又不等式
可化为
，
所以不等式
的解集为
，
所以
，所以
，且
，所以
.
不等式
在
上恒成立，故
，其中
，
设
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
所以当
时，函数
，
取最大值，最大值为，
所以
，
所以当
时，
取最小值，最小值为.
故选：C.
变式11．（2026·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组
的解集是关于
的不等式
的解集的子集，则实数a 的取值范围为（ ）
A．a≤0
B．a<0
C．a≤-1
D．a<-2
【答案】A
【解析】
，解得：
，因为
是不等式
的解集的子集，故
要满足：
，解得：
，
故选：A
1．（2026·宁夏·一模）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由不等式
，即
，
则
，解得
，即
，
所以不等式
的解集为
．
2．（2026·高三·全国·一轮复习）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
即为
，故
，故
.
3．已知
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得
或
，解得
，故选项D 正确．
4．（2026·吉林·三模）若
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知得
，所以问题转化为
恒成立，
设
，则
，代入上式，所以问题转化为
时
恒成立，则只需
即可，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
，所以
，解得
.
5．（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
.
因为
，且
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数
，
满足
.若不等式
恒成
立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，不等式
恒成立，
即
，
，即
，
，
，
，
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
当
时，
取得最小值为8，
，即
，解得
.
7．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意当
时，解得
当
时，不等式
恒成立，符合题意；
当
，不等式
，不符合题意；
当
，
的不等式
的解集为
，
所以
，解得
综上所述，
.
8．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
设
，
，则
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，所以
.
的最小值为
.
9．（多选题）（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
【答案】BC
【解析】不等式
，
由不等式
恒成立，可知
，
即
，解得：
，
选项中满足条件的只有BC.
10．（多选题）（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
【答案】AC
【解析】对于A：
等价于
，解得
或
，故A 正确，
对于B：
等价于
，即
，
整理得
，解得
，且
，故B 错误；
对于C：当
时，
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D：
，
，即
，故D 错误.
11．（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集是
D．不等式
的解集为
【答案】ACD
【解析】
关于
∵
的不等式
的解集为
，
∴
，
和3 是关于
的方程
的两根，A 选项正确；
由根与系数的关系得
，则
，
∴
，B 选项错误；
不等式
∴
可化为
，即
，解得
，C 选项正确；
不等式
可化为
，即
，解得
或
，
D 选项正确．
12．（2026·上海普陀·二模）设
，若关于x 的不等式
的解集是
，则a 的值为
______.
【答案】
【解析】由不等式
可得
，等价于
，
因为原不等式的解集是
，所以
是方程
的两根，
所以
，解得
.
13．（2026·高三·上海黄浦·阶段检测）设函数
， 若
恒成立，则实
数
的取值范围____
【答案】
【解析】当
时，
恒成立，即
恒成立，
当
时，上式成立；
当
时，
，
因为
在
上都是增函数，所以函数
在
上单调递增，
所以
，所以
；
当
时，
恒成立，即
恒成立，
令
，则
在
上恒成立，
又
开口向下，对称轴为
，
所以
的最大值为
，
所以
，
综上：实数a 的取值范围是
14．（2026·广东汕头·模拟预测）已知
，对任意实数x 恒成立．若
，则t 的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
，即
，
所以关于b 的一元二次不等式有解，且
，
所以
，
因为
，所以
，解得
或
，
当
时，不等式为
，得
，符合题意；
当
时，不等式为
，得
，符合题意，
则t 的取值范围是
.
故答案为：
15．解不等式
．
【解析】原不等式可化为
，
当
时，不等式为
，解得
；
当
时，不等式可化为
，
则当
时，不等式可化为
，解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
则不等式的解集为
．
综上可得：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
．
16．（2026·云南·模拟预测）已知二次函数
，且
的解集为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
，求
在区间
上的值域．
【解析】（1）因为
的解集为
，所以
，且
的两根为
和2.
所以
，
，解得
，
.
所以
.
（2）
.
因为
，所以
，令
，则
.
又
在
上单调递增，
，
，
所以
在
上的值域为
，
即
在区间
上的值域为
.
