文档文本内容
1.5 一元二次方程、不等式
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、一元二次不等式............................................................................................................................3
二、高次不等式....................................................................................................................................3
三、分式不等式....................................................................................................................................3
四、无理不等式....................................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型..................................................................................................................................6
题型一：不含参的不等式....................................................................................................................6
题型二：含参的不等式........................................................................................................................7
题型三：三个二次之间的关系..........................................................................................................10
题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题.......................................................................................12
题型五：一元高次不等式的解法......................................................................................................14
题型六：绝对值不等式......................................................................................................................15
题型七：一元二次函数根的分布问题..............................................................................................17
题型八：探讨含参数绝对值不等式的求解方法..............................................................................19
题型九：根据不等式组的整数解个数或范围..................................................................................21
题型十：通过解不等式组确定参数的取值范围..............................................................................23
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................26
05 数学思想方法................................................................................................................................28
①数形结合..........................................................................................................................................28
②转化与化归......................................................................................................................................30
③分类讨论..........................................................................................................................................31
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................34
基础过关篇..........................................................................................................................................34
能力拓展篇..........................................................................................................................................40
1、会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2、结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3、了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
一、一元二次不等式
一元二次不等式
或
的解法：
对于一元二次方程
，设
，（当
时，方程两根为
）
的图象
的根
有两相异实根
有两相等实根
无实根
的解集
R
的解集
二、
次不等式
高
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为
(或
)的形式，然后用穿针引
线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负
出现，特别要注意奇穿偶切，奇
“
”
“
”(“偶”)指的是某个因式的次数.
、
式不等式
三
分
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于
与
均意味a，b 同号，故
与
等价的；
与
均意味a，b 异号，故
与
等价的；
①
，
且
.
②
，
且
.
、
不等式
四
无理
⑴
或
⑵
⑶
二
常用
级结论
1、一元二次不等式恒成立常用结论：
⑴
的解集为R，则一定满足
⑵
的解集为
，则一定满足
⑶
的解集为R，则一定满足
⑷
的解集为
，则一定满足
⑸
在
上恒成立，则
⑹
在
上恒成立，则
一
题型
：不
不等式
含参的
【例1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为减函数，由
，可得
，
即
，即
，解得
.
因此，不等式
的解集为
.
故选：D.
【解题总结】
解一元二次不等式时，我们首先要找出与之对应的方程的根。将这些根标记在数轴上，有助于我们直
观地理解不等式的解集分布。随后，结合二次函数的图象特征，我们可以清晰地确定不等式的解集范围，
从而得出最终答案。
【变式1-1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【解析】不等式可化为
，即
，解得
．
故选：B
【变式1-2】不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得
，解得
，
故选：D
【变式1-3】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】
或
，
的图象是开口向上的抛物线，
所以不等式
的解集是
.
故选：B
二
题型
：
不等式
含参的
【例2】设函数
．
(1)命题
，使得
成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；
(2)求不等式
的解集．
【解析】（1）
为假命题，
，
为真命题，即不等式
在R 上恒成立，
当
时，
恒成立，则
满足题意；
当
时，需满足
，解得
，
综上，实数a 的取值范围
．
（2）不等式
等价于
．
当
时，不等式可化为
，解得
；
当
时，
，由不等式解得
；
当
时，则
，原不等式即为
，解得
；
当
时，则
，解得
或
；
当
时，则
，解得
或
；
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
当
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
．
【解题总结】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式2-1】若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，
所以不等式的解集为
.
故选：D.
【变式2-2】设
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)解关于的不等式
.
【解析】（1）若
，则由
，
解得
，所以不等式
的解集为
.
（2）不等式
，
即
，
当
时，
，解得
；
当
时，则
，解原不等式可得
；
当
时，
，解原不等式可得
或
；
当
时，原不等式即为
，即
恒成立；
当
时，
，解原不等式可得
或
.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
【变式2-3】已知
．
(1)若
的解集为
，求实数a，t 的值；
(2)当
时，求关于x 的不等式
的解集．
【解析】（1）
的解集为
，
所以
，解得
.
（2）当
，
，即
，即
，
当
时，得
，解得
，
当
时，方程
只有一根，所以不等式的解集为
；
当
，即
时，不等式的解集为
，
当
，即
时，不等式的解集为
，
综上所述：当
时，不等式
的解集为
，
当
时，不等式
的解集为
，
当
，不等式
的解集为
，
当
，不等式
的解集为
.
题型三：
二次
三个
之间的关系
【例3】（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的
是 （ ）
A．
B．
的解集为
C．
D．
的解集为
【答案】AD
【解析】由题意得
是方程
的两根，且
，A 正确；
故
，即
，
，
所以
，B 错误；
，C 错误；
，
解得
，D 正确.
故选：AD
【解题总结】
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出
相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【变式3-1】（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
或
D．不等式
的解集为
【答案】ABD
【解析】
的解集为
，故
，且
，即
；
对A：
，故A 正确；
对B：
，故B 正确；
对CD：不等式
，即
，又
，故
，
也即
，解得
，即不等式解集为
，故C 错误，D 正确.
故选：ABD.
【变式3-2】（多选题）已知关于x 的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．
的最小值为6
【答案】ACD
【解析】对于A，根据题意，
方程
的两根，且
，故A 正确；
对于B，由
，
，
，即
，
，则
，故B 错误；
对于C，因为
，
，
所以不等式
为
，又
，
所以不等式变为
，解得
，即不等式的解集为
，故C 正确；
对于D，
，
，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为6，故D 正确.
故选：ACD.
【变式3-3】（多选题）关于
的不等式
的解集为
或
，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
或
【答案】ACD
【解析】由一元二次不等式得解集结构可得：
且
和
是
的两个根，
故
，
，得
，
，
A 选项：由
可判断A 正确；
B 选项：
，故B 错误；
C 选项：由
得
得
，故C 正确；
D 选项：由
得
，得
，得
或
，故D 正确；
故选：ACD
题型四：一元二次不等式恒(能)成立问题
【例4】（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
.
原不等式可化为：
.
因为
，所以
，
.
当
时，
，所以
在
恒成立，所以
；
当
时，
，所以
成立；
当
时，
，所以
在
上恒成立，所以
.
综上可得：
.
故选：A
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判
别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
【变式4-1】已知实数
，
，满足
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，则
，故
，
所以
，而
，
故
，则
，即
的最小值为2.当且仅当
时取到.
故选：A
【变式4-2】若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是一元二次不等式，所以
．
因为
对一切实数
都成立，
所以
，解得
．
故选：D.
【变式4-3】（2025·高三·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实数
的最
大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【解析】
，
恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，则实数
的最大值为
.
故选：C
【变式4-4】若关于x 的不等式
在区间
上有解，则实数m 的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．
D．5
【答案】D
【解析】关于x 的不等式
在区间
上有解，
等价于
在区间
上有解，即
在区间
上有解，
又
，当且仅当
时，
取最小值6.
故
，可得
.
故选：D
题型五：一元
次不等式
高
的解法
【例5】不等式
的解集为 ．
【答案】
或
【解析】原不等式可化为
．
将方程
的各个根
，
，1 标在数轴上，
用穿根法依次通过每一个根（如图所示）．
当
时，必有
成立，不合题意，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，不合题意，
当
时，
，符合题意.
故原不等式的解集为
或
．
故答案为：
或
.
【解题总结】
穿根法
【变式5-1】不等式
的解集为
【答案】
或
或
【解析】由题设得
，
所以
或
或
，故解集为
或
或
.
故答案为：
或
或
【变式5-2】不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】根据题意可知
，解得
；
当
时，易知
，满足题意；
当
时，
，所以
，符合题意；
当
时，当
时，
，原不等式成立；
当
时，
，若要满足题意只需
，解得
，所以可得
；
综上可知，原不等式的解集为
.
故答案为：
【变式5-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】
，即
，即
，
则
，根据穿根法解得
，
故答案为：
.
题型六：
不等式
绝对值
【例6】不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】根据题意可知不等式等价于
或
，
解得
或
.
故答案为：
【解题总结】
一般的，
与
或
同解；
与
同解．
一般的，
，需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，
那么就需要对每个绝对值号进行讨论．
【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）设
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由
.
所以不等式
的解集为：
.
故答案为：
【变式6-2】（2025·高三·全国·开学考试）不等式
的解集为 ；
【答案】
【解析】左右两侧同时平方得
，
所以
，故
，
化简得
，解得
.
故答案为：
【变式6-3】不等式
的解集是 ．
【答案】
【解析】当
时，
；
时，
；
时，
；
当
时，
，无解；
时，
，解为
；
时，
，解为
.
取并集，所以最终解集为
.
故答案为：
.
题型七：一元二次函数根的分布问题
【例7】（2025·河北石家庄·一模）已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则
实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】（1）当
时，方程
化为：
，此时无解，舍去；
（2）当
时，考虑方程正实数根情况，只需研究当
时方程
解的情况，
即此时方程化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当
时，因为
，
所以方程
化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当
时，函数
与
轴有两个零点
函数
与
轴有两个零点
因为
，所以
即
作出函数
与函数
图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程
有两个不相等
的正实数根，
综上，满足条件
的取值范围为
或
，即
故答案为：
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处
函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式7-1】已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，则实数
的范围是 .
【答案】
【解析】因为方程
的两根一个比
大另一个比
小，
则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式7-2】（2025·高三·上海浦东新·期中）若关于
的一元二次方程
有两个同号实根，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题设
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
【变式7-3】若关于x 的方程
在
上有两个不等实根，则实数a 的取值范围是
【答案】
【解析】由方程
等价于
，
设
，可得
，
即方程等价于
在
上有两个不等的实根，
设
，
则满足
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型八：
不等式
方
探讨含参数绝对值
的求解
法
【例8】若关于
的不等式
的解集为
，则实数
．
【答案】2
【解析】根据绝对值不等式的性质可得
，
又
，所以
，则
，
当
时，不等式
可化为
，解得
，即
，
当
时，不等式
可化为
，即
恒成立，
当
时，不等式
可化为
，即
，
解得
与
矛盾，
综上不等式
的解集为
，
又不等式
的解集为
，所以
，
故答案为：2.
【解题总结】
对于含参型绝对值不等式，零点分段法与图象法是行之有效的求解途径。零点分段法通过剖析绝对值
符号内表达式取零的点，将数轴划分为不同区间，进而在各区间内去除绝对值符号求解不等式；图象法则
借助函数图象直观呈现绝对值函数与相关参数函数的交互关系，助力确定不等式的解集。
【变式8-1】若对任意
，都有
，则实数
的最大值为
【答案】
【解析】根据绝对值不等式
.
对于
，这里
，
，则
.
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值是.
因为对任意
，都有
恒成立.
这就意味着
要不大于
的最小值.
而
最小值是，所以
，那么实数
的最大值就是.
故答案为：3.
【变式8-2】存在
使不等式
成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】存在
,不等式
成立，变形即
成立，
由于
，当且仅当
时取等号，
因此有
，
两边平方
，解得
或
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式8-3】若不等式
的解集为
，则实数a 的取值集合为
【答案】
【解析】不等式
的解集为
，则
，所以
，
当
时，不等式的解为
，所以
，解得
， 不符合条件，舍去；
当
时，不等式的解为
，所以
，解得
， 符合题意，
当
时，显然不符合题意.
所以实数a 的取值集合为
.
故答案为：
不等式
题型九：根据
组的整数解个数或范围
【例9】已知关于
的不等式组
仅有一个整数解，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由
可得
，解得
或
，
由
可得
（*）.
① 若
，即
时，由（*）可得
，显然解集为
，不合题意；
② 若
，即
时，由（*）可得
，
因原不等式组仅有一个整数解，故
，解得
；
若
③
， 即
时，由（*）可得
，
因原不等式组仅有一个整数解，则
，解得
.
综上可得，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【解题总结】
在处理不等式组整数解以确定参数取值范围的问题时，分类讨论与数形结合是两种关键策略。通过分
类讨论不同情况，并借助数轴等工具直观展示不等式关系，我们能更准确地找出符合条件的整数解，进而
确定参数的合适值。
【变式9-1】已知不等式组
只有一个整数解
，则实数k 的取值范围
【答案】
【解析】不等式
解得
，
不等式
，即
，
当
时，不等式无解，不合题意；
当
时，解得
，则原不等式组无解，不合题意；
当
时，解得
，
不等式组
只有一个整数解
，则有
，解得
，
所以实数k 的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式9-2】已知关于x 的不等式组
仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，即
，解得
或
，
由
，即
，
当
时，不等式
为
，无解；
当
时，不等式
解集为
，
结合题意，此时原不等式组的解集为
，且仅有一个整数解，
所以
，即
，
当
时，不等式
解集为
，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则
，即
，
综上所述，k 的取值范围为
，
故选：D
【变式9-3】已知关于
的不等式组
恰有两个整数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，解得
或
，
由
，解得
或
，
当
时，
的解为
，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以
，解得
，
当
时，
的解为
，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
故选：C
不等式
题型十：通过解
组确定参数的取值范围
【例10】已知不等式组
的解集是关于
的不等式
解集的一个子集，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】由
即
,解得,
.
不等式
相应的函数图象开口向上,
令
,
故欲使不等式组
的解集是关于
的不等式
解集的一个子集,
只需
,即有
即
,
解得,
.
故答案为：
.
【解题总结】
在求解含不等式（组）参数的问题时，关键在于巧妙运用不等式的相关性质，结合已知不等式（组）
的解集信息，通过分析、推理，在参数与解集之间构建起明确的对应关系，进而求解出参数的值或取值范
围。
【变式10-1】若不等式组
的解集为空集，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由
，得
，
因为不等式组
的解集为空集，
所以
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
【变式10-2】（2025·高三·河南周口·期末）若关于
的不等式组
恰有50 个不
等的实数解，则
的取值范围为 .（结果用区间表示）
【答案】
【解析】由
，解得
或
，
当
，即
时，
，
此时原不等式组不可能有
个不等的实数解，
当
，即
时，
，
此时原不等式组无解，
当
，即
时，
原不等式组的解集为
，
因为原不等式组恰有50 个不等的实数解，且区间
内有
个整数，
所以在区间
内有
个整数，
则区间
的长度
应满足
，解得
，
所以
，
则在区间
内只有
两个整数，
所以区间
内有
个整数，
所以
，解得
，
综上，
.
故答案为：
.
【变式10-3】若不等式组
的解集是
，则a 的取值范围是
【答案】
【解析】因为不等式组
的解集是
，
所以，不等式
和
对任意实数x 恒成立。
由不等式
对任意实数x 恒成立可得
，即
，解得
；
由不等式
对任意实数x 恒成立，即不等式
对任意实数x 恒成立 ，所以
或
，解得
或
，所以
故答案为：
.
1．若
时，
恒成立，则a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解法1：
时，
恒成立，
即
恒成立，即
恒成立，
令
，
则
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，
即a 的取值范围为
解法2：令
，
则由题意知，当
时，
恒成立，即
时，
，
①当
，即
时，
在
单调递增，
此时
成立，
所以
恒成立；
②当
，即
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以
，
此时只需
即可，即
，
解得
，
，
综上所述，a 的取值范围为
故答案为：
2 ．设函数
，若对于
，
恒成立，则m 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】方法一：要使
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
，
当
时，
在
上是增函数，
所以
，
所以
，
则
；
当
时，
在
上是减函数，
所以
，
解得
，
所以
，
综上所述，m 的取值范围是
或
方法二：因为
，
又不等式恒成立可化为：
在
恒成立，
所以
，
因为函数
在
上的最小值为
，
所以只需
即可，
因为
，
所以m 的取值范围是
或
故答案为：
或
①数形结合
1．关于x 的方程
有实数根
，且
，则下列结论错误的是
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】B
【解析】对于A，当
时，方程
的二实根为
，故A 正确；
对于B，方程
，
即
，
，解得
，
当
时，
，故B 错误；
对于C，令
，
依题意，
是函数
的图象与直线
交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，如图，
观察图象知，
当
时，
，故C 正确；
对于D，当
时，
，故D 正确．
故选：
2．关于x 的一元二次不等式
的解集中有且仅有3 个整数，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的图象如图所示，
函数的对称轴为
，
若关于x 的一元二次不等式
的解集中有且仅有3 个整数，
则
，即
，
解得
故选：
3．若至少存在一个
，使得关于x 的不等式
成立，则实数m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不等式
可化为：
；
作函数
与
的图象如下，
当
与
相切时，
，
，
由
得
，
当
过点
时，
，
结合图象可知，当
或
时，恰好存在一个
，满足题意．
于是根据图像平移可以得到当
时，满足题意．
故实数m 的取值范围为
；
故选：
②转化与化归
4．已知a，
且a，
，若
在
上恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，
时，不等式
恒成立，即
，
，
可得
，则
至少有一个是小于0 的，
若
，
，
则
，
，
，
在
时恒成立，符合题意；
若
，
，
若
在
上恒成立，则大于0 的两根必须重合，
则
，得
，矛盾，不符合题意．
若
，
，
若
在
时恒成立，则大于0 的两根必须重合，
则
，则
，符合题意．
综合，
成立．
故选：
5．不等式
的解集为
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
关于x 的不等式
的解集为
，
不等式
恒成立，
①当
，即
时，不等式化为
，解得
，不是对任意
R 恒成立；
②当
时，即
时，
对
，要使
恒成立，
则
，且
，
化简得：
，
解得
或
，
又
，
，
综上，实数m 的取值范围是
故选
6．已知命题P：
若命题P 是假命题，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于命题P 是假命题，则
是真命题，
即
，
是真命题，
，
解得
，
故选：
③分类讨论
7．已知关于x 的不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于函数
，
令
，解得
，满足
恒成立，
因此，只需
，即
，所以
令
，即
或
设方程
的两根分别为
，
，
则
，
当
时，方程
有两个正根，存在
，使得
，不
符合题意，舍去；
当
时，方程
有两个负根，
因此，只需
，即
，所以
综上所述，a 的取值范围为
8．已知使不等式
成立的任意一个x，都满足不等式
，则实数a 的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式
，得
，解集为
由不等式
，得
，
因为使不等式
成立的任意一个x，都满足不等式
，
若
，则不等式
的解集为
，满足
符合题意．
若
，则不等式
的解集为
，
则
所以
，解得
若
，则不等式
的解集为
，
则
所以
综上知，实数a 的取值范围是
故选：
9．关于x 的不等式
的解集中，恰有3 个整数，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
关于x 的不等式
，
不等式可化为
，
当
时，得
，此时解集中的整数为2，3，4，
则
，
当
时，得
，此时解集中的整数为
，
，0，
则
，
当
时，不等式的解集为
，不符合题意．
故a 的取值范围是
故选：
基础过关篇
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，所以
，所以
.
故选：C.
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为关于
的不等式
的解集是
，
所以
且
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故选：
.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合
，
，
则
.
故选：B.
4．（2025·江西九江·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
，则
.
故选：B
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数
，且不等式
的解集为
，
，则
的极大值为（ ）．
A．0
B．36
C．72
D．108
【答案】D
【解析】因为不等式
的解集为
，
则
，
故
，
又
，故
，
，
故
，则
，
令
，解得
或
，
由
可得
或
，由
可得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
故
是函数
的极大值点，
的极大值为
．
故选D．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，
，若
，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
所以
，或
，解得
，或
.
故选：D.
7．已知函数
正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】C
【解析】当
时，
恒成立，当
时，
恒成立，则
在
上单调递增，在
上单调递增．
又因为
，当
时，
，对
时，
0 也成立，所以
在
上单调递增．
已知正数
满足
，则
，解得
或
（负值舍去），所以
，
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为8．
故选：C.
8．已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得
，
为函数
的两个零点．
因为
，
，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即
，所以
．
所以
，解得：
．
故选：C．
9．（多选题）已知
，满足
，且
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
B．
C．
的最大值为2
D．
的最小值为
【答案】ACD
【解析】
，
所以
，
解得
，故A 正确；
所以
，即
，故B 错误；
由
得，
，
，
构造以
为两根的一元二次方程
，
则
，故CD 正确；
故选：ACD．
10．（多选题）（2025·辽宁·三模）若关于
的不等式在
上恒成立，则该不等式称为单位区间不等
式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
的解集为
，A 错误；
当
时，
（当且仅当
时，等号成立），因为
，
所以
在
上恒成立，B 正确；
的解集为
，在
上恒成立，C 正确；
当
时，
（当且仅当
时，等号成立），因为
，
所以
在
上恒成立，D 正确.
故选：BCD.
11．（多选题）在
上定义运算：
，若不等式
对任意实数
恒成立，则
实数
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】不等式
对任意实数
恒成立，
所以
，即
在R 上恒成立，
，
解得
，所以ACD 选项符合，B 选项不符合，
故选：ACD.
12．（多选题）已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的取值可以是
（ ）
A．2
B．
C．3
D．4
【答案】CD
【解析】∵
的解集为
，
∴
，且方程
的两根为
，
，
∴
，
，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，即
，当且仅当
时取“=”，
故
，而
，对勾函数
在
上单调递增，
∴
，∴
的取值范围为
.
故选：CD.
13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
是偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】当
时，
，
则不等式
可化为
或
，
解之得
或
，即
，
又函数
是偶函数，则当
时，
由不等式
可得，
.
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
14．已知二次不等式
的解集为
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为二次不等式
的解集为
，
则
的两根为
，则
，
所以
，整理得
，等价于
，
解得
或
，
故答案为：
或
.
15．已知不等式
对满足
的一切实数m 恒成立，则x 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设
，
则不等式
对满足
的一切实数m 恒成立
对
恒成立．
当
时，
即
解得
故x 的取值范围是
．
故答案为：
16．若不等式
对任意
恒成立，则实数m 的值为
【答案】
/
【解析】若
，则当
趋于
时，
趋于
，不满足题意；
当
时，
是方程
的一个根，
不等式
对任意
恒成立，
且方程
的两根不相等，
所以
是方程
的根，
，
，得
，
此时原不等式等价于
，显然
时恒成立，
实数m 的值为
，
故答案为：
．
能力拓展篇
17．（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，若当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】令
，则
为单调函数或常数函数，
若当
时，不等式
恒成立，
则
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
18．设函数
，若对于给定的负数a 有一个最大的正数
，使得在整个区间
上，不等式
恒成立，则当
时，
最大，
的最大值为 ．
【答案】
【解析】方法一：
配方可得
．
（
）当
ⅰ
，即
时，如下图：
由图可得
为方程
的较小根，
由
得
．
（
）当
ⅱ
，即
时，如下图：
由图可知
为方程
的较大根，
由
得
，
当
时等号成立．
又
，因此
时，
最大，最大值为
．
方法二：
由
得
，即
，即
，
先解不等式
，可得
．
再解不等式
．令
，
此方程对应的判别式
．
（
）当
ⅰ
，即
时，
，
当
时，等号成立．
（
）当
ⅱ
，即
时，
或
，
与
取交集可得
或
，
结合题意知
．
因此当
时，
最大，最大值为
．
故答案为：
；
.
19．设奇函数
在
上是单调函数，且
．若函数
对所有的
都
成立，则当
时，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
为奇函数，
，
，
又
在
上是单调函数，
，
当
时，
恒成立，即
恒成立．
令
，其中
，
所以，
，解得
或
或
．
因此，实数的取值范围是
.
故答案为：
.
20．（2025·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式
的解集恰有50 个整数元素，则a 的取值范
围是 ，这50 个整数元素之和为 ．
【答案】
或1625
【解析】不等式
等价于不等式
．
当
时，
的解集为
，不合题意；
当
时，
的解集为
，
则50 个整数解为
，
，
，
…
5，6，
所以
，这50 个整数元素之和为
；
当
时，
的解集为
，
则50 个整数解为8，9，
，
…
56，57，所以
，
这50 个整数元素之和为
．
综上，a 的取值范围是
，这50 个整数元素之和为
或1625．
故答案为：
；
或1625
21．（2025·贵州黔东南·模拟预测）若存在实数
（
），使得关于x 的不等式
对
恒成立，则b 的最大值是 .
【答案】
【解析】当
，且
时，由
，得
.
设
，则
.
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减.
所以
，得
，
等价于
，而
，
当且仅当
时等号成立.
所以
，则
，
所以
，
解得
，所以b 的最大值是
.
故答案为：
