文档文本内容
1.3 等式性质与不等式性质
目录
01 课表要求...........................................................................................................................................3
02 落实主干知识...................................................................................................................................4
一、两个实数比较大小的方法............................................................................................................4
二、等式的性质....................................................................................................................................4
三、不等式的性质................................................................................................................................4
四、常用二级结论................................................................................................................................5
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：数(式)的大小比较.................................................................................................................6
题型二：利用不等式的性质解题........................................................................................................8
题型三：证明不等式............................................................................................................................9
题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限..........................................................................12
题型五：不等式的综合问题..............................................................................................................14
题型六：浓度不等式..........................................................................................................................16
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................19
05 数学思想方法.................................................................................................................................20
①数形结合..........................................................................................................................................20
②转化与化归......................................................................................................................................22
③分类讨论..........................................................................................................................................23
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................26
基础过关篇..........................................................................................................................................26
能力拓展篇..........................................................................................................................................31
1、掌握等式性质.
2、会比较两个数的大小.
3、理解不等式的性质，并能简单应用.
一、两个实数比较大小的方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
二、等式的性质
性质1 对称性：如果
，那么
；
性质2 传递性：如果
，
，那么
；
性质3 可加(减)性：如果
，那么
；
性质4 可乘性：如果
，那么
；
性质5 可除性：如果
，
，那么
.
三、不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a ；
性质2 传递性：a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c ；
性质3 可加性：a>b⇔a+c>b>c ；
性质4 可乘性：a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ；
性质5 同向可加性：a>c ，c>d⇒a+c>b+d ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd ；
性质7 同正可乘方性：
.
四、常用二级结论
1、浓度不等式
(1) 浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
通俗的理解：
克的不饱和糖水里含有
克糖，往糖水里面加入
克糖，则糖水更甜
(2) 浓度不等式的倒数形式：设
，
，则有
>
.
题型一：数(式)的大小比较
【例1】（2025·四川攀枝花·三模）已知
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】对于A：当
，
，满足
，但是
，故A 错误；
对于B：当
，
，满足
，但是
，故B 错误；
对于C：若
，
，满足
，但是
，故C 错误；
对于D：因为
与
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
若
，则
，所以
，故D 正确.
故选：D
【解题总结】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
【变式1-1】若
，
下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于AB，由题
，所以由
得
，
令
，因为
均为增函数，所以
为增函数，
所以
，即
，
，故A 错误，B 正确；
对于C，若
，此时
，且
，
而
，
所以
，则
，此时
，故C 错误，
对于D，若
，此时
，且
，
若
时，
，必有
，故D 错误；
故选：B
【变式1-2】（2025·北京海淀·二模）设
、
、
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 选项，不妨取
，
，
，则
，A 错；
对于B 选项，不妨设
，
，
，则
，B 错；
对于C 选项，因为
，由不等式的基本性质可得
，C 对；
对于D 选项，不妨设
，
，
，则
，D 错.
故选：C.
【变式1-3】（2025·上海金山·二模）已知
，则下列结论不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，
，A 正确；
对于B，取
，
，B 错误；
对于C，
，当且仅当
时取等号，C 正确；
对于D，
，D 正确.
故选：B
题型二：利用不等式的性质解题
【例2】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数
满足
，则下列不等关系一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，所以
，故A 对；
因为
，所以
，
由
，所以
，故B 对；
若
，满足
，显然
不成立，故C 错；
当
，则
，必有
，
当
，则
，故
，必有
，
故D 对.
故选：ABD
【解题总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
【变式2-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A 项，因为
是减函数，而
，所以
，故A 项正确；
对于B 项，因为
在
上单调递增，而
，所以
，故B 项正确；
对于C 项，
，因为
，
，
，所以
，即
，
故C 项错误；
对于D 项，
，因为
，
，
，所以
，
即
，故D 项正确.
故选：ABD.
【变式2-2】（多选题）设
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AD
【解析】对于A，由
，得
，A 正确；
对于B，由
，得
，则
，B 错误；
对于C，取
，满足
，而
，C 错误；
对于D，
，
，则
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：AD
【变式2-3】（多选题）已知
，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，由
，得
，则
，A 正确；
对于B，取
，满足
，而
，B 错误；
对于C，由
，得
，则
，因此
，C 正确；
对于D，取
，满足
，而
，D 错误．
故选：AC
题型三：证明不等式
【例3】证明下列不等式：
(1)已知
，
，
，求证：
；
(2)已知
，
，均为正实数，且
，求证：
.
【解析】（1）由
，得
，
因为
，所以
，
所以
，进而得到
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
，均为正实数，且
，
所以由基本不等式得，
，
当且仅当
时，等号成立.
【解题总结】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【变式3-1】对于正数
，
，，
，求证
(1)
(2)
【解析】（1）
，
当且仅当
时取等号，
（2）解法一：注意到因式分解
，
当且仅当
时取到，
所以
，
令
，则有
.
解法二：由第一问可知，
，
不等式两边同除
可得
，
两边同时取
次方即可得
，
令
，则有
.
方法3：不妨设
，取
，
①若
，则
（将其设为
），
因此有
，
②若
，不妨设
，则有
，
否则，因
中前两项之和小于或等于
，第三项等于
，其计算结果不
可能等于
，与
矛盾.
下面证明
，只需证
.
显然
.
不妨设
，则
，
，
由于
，所以
，即
.
因此有
，所以
.
而
，
所以由①可得
.证毕.
【变式3-2】已知
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【解析】（1）由
，则
，故
，
由
，则
，故
，
所以
，得证.
（2）由
，而
，
所以
，即
，得证.
【变式3-3】设
，
，
，证明：
．
【解析】由题意知
，
，
，
则有
，
，
，①
，
，
，
所以
．
又根据①的结论可知
，
，
，
所以
．
综上所述，
.
题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限
【例4】（多选题）（2025·高三·重庆·期中）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
无最小值，只有最大值为4
D．
的最小值为12
【答案】ACD
【解析】由
，则
，又
，即
，同理
，A 对；
由
，且
，显然
时
，B 错；
由上分析知：
且
，结合
的单调性知：
，C 对；
由
，当且仅当
时等号成立，D 对.
故选：ACD
【解题总结】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可
能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若
分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式
进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
【变式4-1】已知
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则有
，
即
，解得
，
所以由
，可得
,
两同向不等式相加得：
化简得
故选：C.
【变式4-2】（多选题）已知实数
满足
，
，则 （ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】不等式
，
，
对于A，
，即
，解得
，A 正确；
对于B，∵
，∴
，
，
又
，∴
，
即
，解得
，B 错误；
对于C，∵
，
，∴
，
即
，解得
，C 正确；
对于D，∵
，
，
又
，
∴
，所以
，D 正确.
故选：ACD.
【变式4-3】（2025·江苏南通·模拟预测）设
为实数，满足
，则
的最大值为
（ ）
A．27
B．24
C．12
D．32
【答案】A
【解析】由
，得
，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以
的最大值为27.
故选：A
题型五：不等式的综合问题
【例5】设
表示
与
的最大值，若
，
都是正数，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．3
C．8
D．9
【答案】B
【解析】由
，得
，
于是
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为3.
故选：B
【解题总结】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
【变式5-1】记
表示
这3 个数中最大的数．已知
，
，都是正实数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
，所以
，
所以
，即
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
故选：A
【变式5-2】（2025·江苏南通·模拟预测）设实数
，
，满足，
则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得：
，
当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：B
【变式5-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知圆O：
，点
和点
在圆
上，满足
，则
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，点
在圆
上，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
又因为
，
所以
，当且仅当
取等号.
故选：B.
题型六：浓度不等式
【例6】求证：
．
【解析】原不等式可转化为
，
由浓度不等式得
，
则得
，
于是
两边开平方，即得
．
下面证明浓度不等式，
，其中
，
证明：由
，
所以
.
【解题总结】
浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
【变式6-1】（多选题）生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖
且
，若再添加c 克糖
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：
趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等
式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
的大小关系随m 的变化而变化
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则一定有
【答案】BCD
【解析】对于A，
，
，
，
，故A 错误，
对于B，
，
，
，
，故B 正确，
对于C，
，
，
，
，
，
，故C 正确，
对于D，
，
，
，
，
，故D 正确，
故选：BCD
【变式6-2】求证：
．
【解析】由浓度不等式，可得
，
则有
，
于是，
，
因此
．
证明浓度不等式：
，其中
，
证明：
，
所以
.
【变式6-3】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知
糖水中含有
糖(
)，若再添加
糖完
全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知
，正确；
对于B，因为
，所以
，正确；
对于C，
即
，错误；
对于D，
，正确.故选：ABD
1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
①数形结合
1．已知
均为正实数，以下不等式恒成立的有 ①
；②
；③
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①
【答案】B
【解析】①，当
，
时，
，
，此时
，此时①不成立；
②，
，当且仅当
且
时等号成立，
而
，
，
故
在a，b 均为正实数时恒成立，②恒成立；
③，令
，则
可以看成当
时，
函数
的函数值恒大于或等于1，
由函数图象可知③恒成立．
故选
2．设
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项，若
，满足
，但
，所以A 选项错误．
B 选项，若
，满足
，但
，所以B 选项错误．
C 选项，若
，满足
，但
，所以C 选项错误．
D 选项，对于函数
，图象如下图所示，
由图可知函数在R 上单调递增，所以D 选项正确．
故选：
3．如图所示，4 个长为a，宽为b 的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形
，
则以下说法中错误的是
A．
B．当
时，
，
，
，
四点重合
C．
D．
【答案】C
【解析】由题知：正方形ABCD 的面积为
，正方形
的面积为
，长方形面积为
对于A：由图可知：正方形ABCD 的面积不小于4 个长方形的面积之和，即有
，故A 正确；
对于B：正方形
的面积为
，当
时，正方形
的面积为0，故B 正确；
对于C：结合图象正方形
的面积与4 个长方形的面积之和的大小关系不定，故C 错误；
对于D：结合图象正方形ABCD 的面积大于正方形
的面积，即
，故D 正确．
故选
②转化与化归
4．已知实数x，y 满足
，则
和y 的最大值分别为
A．2，
B．2，1
C．4，
D．4，
【答案】D
【解析】因为
，
因为
，所以
，解得
又因为
，所以
，
所以
，
即
，即
，解得
，
所以
，所以
，
故
的最大值为4，y 的最大值为
故选：
5．若
，
，则以下结论正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【解析】
，
，则
，
，故①正确；
，
，
，
，故③正确；
，故②正确；
，
，
，
，
，故④正确；
故选：
6．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的
点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多
B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少
D．第二象限点比第四象限点少
【答案】D
【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有
个，
第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有
个，
第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有
个，
第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有
个，
又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，
所以
①，且
②，
由不等式性质可知，①+②可得
，即第二象限点比第四象限点少.
故选：D.
③分类讨论
7．某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，
其数量分别为 x，y，
单位：本
现了解到：①
②
，则这些数学专著至少有
A．9 本
B．10 本
C．11 本
D．12 本
【答案】A
【解析】由已知，①
，②
，并且
，
可得：
，所以
当
时，
，不合条件；
当
时，
，所以
，这时
，
其中若
，则
，满足条件，这时
，
若
，则
，不合条件；
当
时，一定有
综上所述，这些数学专著至少有
本
故选：
8 ．以
表示数集M 中最大的数．设
，已知
或
，则
的最小值为
．
【答案】
【解析】令
，
，
，m，n，
，
则
，
①若
，
令
，
；
②若
，即
，
令
，
，
，
综上可知，
的最小值为
故答案为
9．设x，y 是正实数，记S 为x，
，
中的最小值，则S 的最大值为
．
【答案】
【解析】设
，当
时，
不妨设
，
①当
时，
②当
时，
，
若
，则
；
若
，则
；
③当
时，
，
，
；
④当
时，
，
，
同理，当
时，可以证明
综上所述：S 的最大值为
故答案为
基础过关篇
1．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
2．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不
等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
，所以
设
，则
，所以
单调递增，
所以
，所以选B.
3．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
（
R），由
可变形为，
，解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B 正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为
，若圆
柱和圆台的高和体积都相等，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知
，即
；
.
圆台中
，故
，即
，
，选项A 错误，选项B 正确.
由基本不等式，结合
，得
，平方后得到
，选项CD 错误.
故选：B
5．（2025·河北石家庄·一模）如果
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若
，
，则
，
则
，即
，充分性成立；
若
，
，则
，
所以
，必要性成立，
所以如果
，那么“
”是“
”的充要条件.
故选：C
6．（2025·上海宝山·二模）“
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于选项A，由
，得到
，即
，所以
可得
，故选项A
错误，
对于选项B，由
，得到
，所以
可得
，故选项B 错误，
对于选项C，由
，得到
，即
，所以
推不出
，
但
可以得出
，故选项C 正确，
对于选项D，由
，得到
，
又
，当且仅当
时取等号，显然
不满足题意，
则
，即
，
又当
，有
，所以
是
的充要条件，故选项D 错误，
故选：C.
7．（2025·四川成都·三模）已知实数
，
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】两边取对得
，则
且
，即
同号或
，
所以，当
时，
不成立，A 错；
由
，B 对；
由
，若
时，
，C 错；
由
，且
，
当
时，
，此时
，D 错.
故选：B
8．已知
克糖水中含有
克糖（
），再添加
克糖（
，假设全部溶解），糖水变甜了，将
这一事实表示为一个不等式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】这一事实表示为一个不等式为
．
证明：
，
又
，
，
，
即
，
即
.
故选：
9．（2025·浙江杭州·二模）已知
，
为任意正数，若
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为对任意的正数
，
恒成立，
所以
，又
，所以
，所以
.
故选：A
10．（多选题）（2025·河南·三模）已知
，c 为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由题意可得
，
A 项:由
单调递增，知
，故选项A 正确；
B 项:
时选项B 不正确；
C 项:由
，则
，当且仅当
时等号成立，∵
，∴等号不成立，故选项
C 正确；
D 项:构造函数
，
，∴
单调递增，又
，得
，
故选项D 不正确．
故选:AC．
11．（多选题）（2025·四川攀枝花·一模）已知实数
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A.由条件可知，
，则
，故A 正确；
B.
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C.
，当
时等号成立，故C 错误；
D.因为
，
，故D 正确.
故选：ABD
12．（2025·高三·云南怒江·期末）已知正数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系为
.
【答案】
【解析】由
，得
，则
，得
，
所以
，所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
所以
，
所以
，综上
，
故答案为：
.
13．（2025·广东中山·一模）已知
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】将不等式可化为
，
由不等式
可得
，即
，求解得：
或
；
由不等式
可得
，即
，求解得：
或
；
综上：
.
故答案为：
.
能力拓展篇
14．（2025·河北保定·模拟预测）记
表示数集
中最大的数，设
为正数，
，
，则
的最小值为 .
【答案】4
【解析】由题意，
，
则
，
当且仅当
时，全部取得等号，所以
，故
的最小值为4.
故答案为：4.
15．已知
，
，则
，
的大小关系为 ．
【答案】
【解析】法一：
，
，
，
．
法二：令
，
显然
是
上的减函数，
，即
．
故答案为：
16．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐
标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（ ）
A．第一象限的点比第二象限的点多
B．第二象限的点比第三象限的点多
C．第三象限的点比第一象限的点多
D．第四象限的点比第二象限的点多
【答案】D
【解析】设分别从第一、二、三、四象限中取
个点，则
，
两式相加得
，所以
，所以选项D 正确，
取
时，满足
，但
，所以A 和B 错误，
取
时，满足
，但
，所以C 错误，
故选：D.
17．（2025·云南玉溪·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，
因为
，所以
，
当
时，
，此时，
，
这与
矛盾，所以
，
由
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号，
由A 选项知，当
时，不符题意，
所以
，
由
，可得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
由
，得
，
则
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
综上所述，
.
故选：A.
18．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成
立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意可得
，对于函数
，
则
在R 上单调递增，结合
，可得
.
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
不能判断
与1 的大小，故B 错误；
对于C，取
，此时C 不成立，故C 错误；
对于D，因为
，由指数函数的单调性易得
，故D 正确.
故选：AD.
19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知实数
,
满足
,
,
，则下列正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对不等式进行变形化简得：
，
设
.
求导得：
.
所以函数在
上单调递增.
由
，且函数单调递增，可得
，即
.
对于选项A：
因为
，所以平方可得即
.A 正确.
对于选项B：
取反例，当
时，
，满足题意.
而
，所以B 错误.
对于选项C：
取反例，当
时，
计算选项C 的左边为
，右边
，
此时
，C 错误.
对于选项D：
令
，求导得
，可以看出该导数在
上小于0.
所以
在
上单调递减，所以
.
因为
，所以
，所以
.
由前面可知
，所以
，所以选项D 正确.
故选：AD.
