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§1.3 等式性质与不等式性质
课标要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么________；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么__________________________；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么____________________________．
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b ____________；
性质2 传递性：a>b，b>c ____________；
⇔
性质3 可加性：a>b a＋c>b＋c；
⇒
性质4 可乘性：a>b，c>0 ______________________________；
⇔
a>b，c<0 ____________；
⇒
性质5 同向可加性：a>b，c>d __________________；
⇒
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ____________；
⇒
性质7 同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
⇒
常用结论
⇒
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a<b<0 >；⇒
③a>b>0⇒,0<c<d >；
④0<a<x<b或a<x<b<0 <<.
⇒
(2)有关分数的性质
⇒
若a>b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；②假分数的性质
>，<(b－m>0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( )
(2)若>1，则b>a.( )
(3)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(4)若>，则b<a.( )
2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(
)
A．ln a<ln b B.>
C．a2<b2 D．a3<b3
3．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设
全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为____________________．
4．(必修第一册 P42T5 改编)已知 2<a<3，－2<b<－1，则 a＋2b 的取值范围为
________________.
题型一 数(式)的大小比较
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是( )
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．若a>b>0，则a2－b2>－
(2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则( )
A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab
C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)若ln a>ln b，则( )
A.> B.<
C．πa－b<3a－b D．a－b>－
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
题型二 不等式的基本性质例2 (1)若实数a，b满足a<b<0，则( )
A．a＋b>0 B．a－b<0
C．|a|<|b| D.>
(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a＋c>b＋c
C．若a>b>c>0，则>
D．若a>b>c>0，则>
跟踪训练2 (1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是( )
A.<
B．－a2<－ab
C．ln|a－1|>ln|b－1|
D．2a－b>1
题型三 不等式性质的综合应用
例3 (1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是( )
A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3
C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7
延伸探究 若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围．
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(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中
男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数
的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为( )
A．20 B．22 C．26 D．28
跟踪训练3 (1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则( )
A．a＋b的取值范围为[4,7]B．b－a的取值范围为[2,3]
C．ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为
(2)已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
