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§1.4 均值不等式
课标要求 1.了解均值不等式的推导过程.2.会用均值不等式解决简单的最值问题．
知识梳理
1．均值不等式：≥
(1)均值不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
(3)其中称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值．
2．利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用均值不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．( × )
(2)y＝x＋的最小值是2.( × )
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( √ )
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( × )
2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
答案 C
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，
取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.
3．已知00，
所以x(1－x)≤2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，
故x(1－x)的最大值为.
4．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4.
题型一 均值不等式的理解及常见变形
例1 (1)若0>a>
B．b>>>a
C．b>>>a
D．b>a>>
答案 C
解析 ∵0a＋b，
∴b>>.
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.
故b>>>a.
(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要
依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．
现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直
径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，
垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≤(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a>0，b>0)答案 C
解析 根据图形，利用射影定理得
CD2＝DE·OD，
又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，
所以DE＝＝，
由于OD≥CD，
所以≥(a>0，b>0)．
由于CD≥DE，
所以≥＝(a>0，b>0)．
思维升华 均值不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟踪训练1 (1)已知p：a>b>0，q：>2，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>2，
∴由p可推出q；
当a<0，b<0时，q也成立，
如a＝－1，b＝－3时，＝5>2＝4，
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件．
(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A.≥ B.≤
C.≤ D．ab≤
答案 BD
解析 A选项，由选项可知a与b同号，当a>0且b>0时，由均值不等式可知≥恒成立，当
a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项，当a＋b>0时，>0，则2－2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b>0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－＝≤0，即
2ab≤，≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确．
题型二 利用均值不等式求最值
命题点1 直接法
例2 (1)(多选)下列代数式中最小值为2的是( )
A．x－ B．2x＋2－x
C．x2＋ D.＋
答案 BC
解析 选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意；
选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意；
选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意；
选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．
(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 由已知，得12＝4x＋3y≥2，
即12≥2，
解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)．
命题点2 配凑法
例3 (1)(2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为( )
A. B.
C．2 D．2
答案 D
解析 因为4a2＋b2＝7，则a＝×2a×＝≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等
号成立．
(2)已知x>1，则 的最小值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 A
解析 因为x>1，所以x－1>0，
＝＝x－1＋2＋≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．
与均值不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，对于函数f(x)＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)．(1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x) ＝f()＝＋＝2；
min
(2)当＜a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x) ＝f(a)＝a＋；
min
(3)当＞b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x) ＝f(b)＝b＋.
min
因此，只有当∈[a，b]时，才能使用均值不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数
的单调性求最值．
典例 函数f(x)＝x2＋的最小值是______．
答案
解析 由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t) ＝，
min
即当x＝0时，f(x) ＝.
min
命题点3 代换法
例4 (1)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为( )
A．54 B．56 C．72 D．81
答案 C
解析 8a＋b＝(8a＋b)
＝＋＋40≥2＋40＝72，
当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．
延伸探究 已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．
答案 72
解析 ∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1，
∴8a＋b＝(8a＋b)
＝＋＋40≥2＋40＝72，
当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号．
(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则＋的最小值为( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
于是＋＝·
＝≥＝，
当且仅当＝，且a>0，b>0，即a＝，b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为.
命题点4 消元法
例5 已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．2
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，则b＝＋，∴b－＝＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝
2时，等号成立，此时b＝.
命题点5 构造不等式法
例6 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为( )
A．9 B．6 C．3 D．12
答案 A
解析 因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．
又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0，
解得≥3或≤－1(舍去)．
所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；三是消元法．
跟踪训练2 (1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是( )
A．y＝sin x＋
B．y＝2－x－(x＜0)
C．y＝
D．y＝4x＋4－x
答案 AD
解析 对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即
sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－
x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为
6，不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合
题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值
为2，符合题意．(2)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是( )
A．ab的最大值为2
B．a＋b的最小值为4
C．a＋2b的最小值为6－3
D.＋的最小值为
答案 BCD
解析 对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2，
即()2＋2－8≤0，解得－4≤≤2，
又因为a>0，b>0，所以0<≤2，
则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；
对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)，
即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故B正确；
对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，
所以b＝>0，解得00，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是( )
A．9 B．18 C．9 D．27
答案 B
解析 因为m>0，n>0，
由均值不等式m＋n≥2得，
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，
所以m＋n的最小值是18.
2．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是( )
A．23 B．26 C．22 D．25
答案 D
解析 由题意得a>0，b>0，＋＝1，
故4a＋9b＝(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
故4a＋9b的最小值是25.
3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 对原条件式转化得＋＝5，
则3x＋4y＝(3x＋4y)
＝
≥＝5，
当且仅当＝且x＋3y＝5xy，
即x＝1，y＝时取等号．
故3x＋4y的最小值为5.
4．“∀x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是( )
A．m>4 B．m< C．m<4 D．m<2
答案 D
解析 已知∀x∈(1,4]，由不等式x2－mx＋m>0恒成立，得>m恒成立，
因为＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号，
所以m<4，
所以m<2是m<4的充分不必要条件．
5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为x>0，y>0，x＋3y＝1，
则＝＋
＝(x＋3y)
＝＋＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当＝，
即x＝y＝时，等号成立，
所以0<≤，
即的最大值为.
6．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 B
解析 由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0，
令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y，
由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，
故＋＝(a＋2b)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，且a＋2b＝1，
即a＝b＝时取等号，
也即2x－y＝，x＋2y＝，
即x＝，y＝时，等号成立，
故＋的最小值为9.
二、多项选择题
7．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则( )
A．x(x＋2y)的最大值为4
B．log x＋log y的最大值为0
2 2
C．2x＋2y的最小值为4
D.＋的最小值为＋答案 BCD
解析 由x，y是正数，且x＋y＝2，可得00，
故2－x＋≥2＝6，
当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立，
所以x－2＋＝－≤－6，
故x＋＝x－2＋＋2≤－4，
所以x＋的最大值为－4.
10．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________．
答案
解析 因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)，
令x－1＝t，则t>0，
则f(t)＝＝＝≤＝，
当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立．
故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为.
11．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________．
答案
解析 因为a>1，b>2，
所以a－1>0，b－2>0，
又a＋b＝5，
所以(a－1)＋(b－2)＝2，即[(a－1)＋(b－2)]＝1，
所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]· ＝ ≥ ＝×(5＋4)＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________．
答案 4
解析 因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤2＝(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，当且仅当即
a＝，b＝时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4.
四、解答题
13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求：
(1)xy的最大值；
(2)2x＋y的最小值．
解 (1)因为x>0，y>0，
根据均值不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)，
令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0，解得－5≤t≤3，又t>0，
所以00,05)，若无论左右两
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围．
解 (1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)，
则屋子前面新建墙体长为 米，
则y＝3＋7 200
＝900＋7 200
≥900×2＋7 200＝14 400，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元．
(2)由题意可知，900＋7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立，
即>，所以>a，
即a< ，
min
＝x＋1＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
则的最小值为12，即05，所以a的取值范围是(5,12)．
15．已知x，y为正实数，则＋的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
答案 C
解析 由题得＋＝＋，设＝t(t>0)，
则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2
≥2－2＝8－2＝6，
当且仅当t＋2＝，即t＝2，即y＝2x时取等号．
所以＋的最小值为6.
16．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________．
答案 4
解析 ∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0，
a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋
≥2＋2＝4，
当且仅当即a＝，b＝时，等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
