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培优点 4 切(割)线放缩
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，
也可以用切线不等式进行放缩．导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我
们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起
到事半功倍的效果．
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问
题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的
放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取
等号．
题型一 单切线放缩
常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x＋1.当x>－1时，ln(x＋1)≤x.当x>0时，x>sin x；当
x<0时，x<sin x.
例1 (2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝sin x－aln(x＋1)．
(1)若a＝1，证明：当x∈[0,1]时，f(x)≥0；
(2)若a＝－1，证明：当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤2ex－2.
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思维升华 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函
数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，
然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．
跟踪训练1 (2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋－2x.
(1)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
(2)证明：ex＋>f(x)．
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题型二 双切线放缩例2 (2023·福州模拟)已知函数f(x)＝xln x－x.若f(x)＝b有两个实数根x ，x ，且x<x.求证：
1 2 1 2
be＋e<x－x<2b＋e＋.
2 1
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跟踪训练2 (2023·山东省实验中学模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)(ex－1)，若函数g(x)＝f(x)－
m(m>0)有两个零点x，x，且x<x，证明：x－x≤1＋2m＋.
1 2 1 2 2 1
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1．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明：ex－e2ln x＞0恒成立．
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2．(2024·遂宁模拟)已知函数f(x)＝a(x＋1)－，x∈R.
(1)若f(x)是减函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)有两个极值点x，x，其中x<x，求证：x－x>＋2.
1 2 1 2 2 1
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