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§1.3 等式性质与不等式性质
课标要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)．
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a ；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 ＝ .
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b b < a ；
性质2 传递性：a>b，b>c a > c ；
⇔
性质3 可加性：a>b a＋c>b＋c；
⇒
性质4 可乘性：a>b，c>0 ac > bc ；a>b，c<0 ac < bc ；
⇔
性质5 同向可加性：a>b，c>d a ＋ c > b ＋ d ；
⇒ ⇒
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac > bd ；
⇒
性质7 同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
⇒
常用结论
⇒
不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；
②a；⇒
③a>b>0⇒,0；
④0b>0，m>0，则
①真分数的性质
<，>(b－m>0)；
②假分数的性质>，<(b－m>0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则b>a.( × )
(3)同向不等式具有可加性和可乘性．( × )
(4)若>，则b
C．a2b2，故C错误；对于D，当aa>0)，再添加m克糖(m>0)(假设
全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________．
答案 <
解析 <.
证明：－＝＝，
∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，
∴<0，∴<.
4．(必修第一册P42T5改编)已知2－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．若a>b>0，则a2－b2>－
答案 AD
解析 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－
＝(a－b)>0，故选项D正确．
(2)若正实数a，b，c满足c1，
∴ab0，
∴a<1，即aaln b，则( )
A.>
B.<
C．πa－b<3a－b
D．a－b>－
答案 D
解析 因为ln a>ln b，所以a>b>0，
－＝＝<0，
所以<，故A错误；
－＝ ＝，无法确定符号，故B错误；
因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，所以πa－b>3a－b，故C错误；
a－b－＝a－b－＝a－b＋
＝(a－b)＝，
其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，
所以a－b－>0，a－b>－，故D正确．
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案 M>N
解析 方法一 ∵M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N.
题型二 不等式的基本性质
例2 (1)若实数a，b满足a0 B．a－b<0
C．|a|<|b| D.>
答案 B
解析 由a－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；
由a|b|>0，
所以<，故D错误．
(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a＋c>b＋c
C．若a>b>c>0，则>
D．若a>b>c>0，则>
答案 BCD
解析 当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；
由不等式的可加性可知，B正确；若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，
∴－＝＝>0，
∴>，故C正确；
若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，
∴>>0，
又b>c>0，
由可乘性知，>，故D正确．
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2 (1)设a，b，c，d为实数，且cb>0，则下列不等式中正确的是( )
A.<
B．－a2<－ab
C．ln|a－1|>ln|b－1|
D．2a－b>1
答案 ABD
解析 因为a>b>0，>0，所以>，
即<，故A正确；
因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确；
若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln，故C不正确；
因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确．
题型三 不等式性质的综合应用例3 (1)已知0x＋3，解得x>3，
当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22.
思维升华 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质．
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的
整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
跟踪训练3 (1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则( )
A．a＋b的取值范围为[4,7]
B．b－a的取值范围为[2,3]
C．ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为
答案 AC解析 因为1≤a≤2,3≤b≤5，
所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，
所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，
故A正确，B错误；
因为1≤a≤2,3≤b≤5，
所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤，
所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误．
(2)已知2”是“ln a>ln b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若“>”，取a＝1，b＝0，但是ln b无意义，
所以由“>”推不出“ln a>ln b”，
若“ln a>ln b”，则a>b>0，
所以>，
所以由“ln a>ln b”可推出“> ”，
所以“>”是“ln a>ln b”的必要不充分条件．2．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则( )
A．m≥n B．m>n
C．m≤n D．mb，则下列不等式一定成立的是( )
A.< B．2a>2b
C．a2>b2 D．|a|>|b|
答案 B
解析 取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2b，则必有2a>2b，B正确．
4．已知abc
C.< D.<1
答案 C
解析 因为a0，所以ac－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D项错误．
5．若c>b>a>0，则( )
A．abbc>acbb B．2ln bb－ D．log c>log c
a b
答案 A
解析 由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确；
2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误；
由于a－－＝(a－b)<0，故C错误；
令c＝1，则log c＝log c＝0，故D错误．
a b
6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为( )
A．p>m>n B．m>n>p
C．m>p>n D．p>n>m
答案 A解析 由m5＝4，得m＝ <，
由n8＝9，得n＝ ，
因此，＝ >1，
即>m>n，
由0.9p＝0.8，得p＝log 0.8>log 0.81＝2，
0.9 0.9
于是得p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
二、多项选择题
7．下列结论中不正确的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若<，则a>b
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若2a－b>1，则abc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确；
取a＝－1，b＝1，满足<，
又ab，c>d，又ac＝bd，故C错误；
取a＝2，b＝1，满足2a－b>1，
又a>b，故D错误．
8．已知实数x，y满足－30，－10，－1ab；②>.
请写出一组a，b的值________．
答案 a＝－1，b＝2(答案不唯一)
解析 容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，
即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．
11．若－1b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________．
答案 (－3，－1)
解析 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，
所以<0,1>>，2＋＋＝0，
所以＝－－2，
所以有1>－2－>，
解不等式得－3<<－1，
故的取值范围是(－3，－1)．
四、解答题
13．(1)设a>b>0，比较与的大小；
(2)已知a>b>0，c.
(1)解 ∵a>b>0，∴>0，>0，∴＝＝1＋>1，
∴>.
(2)证明 ∵c－d>0，
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，
∴－＝＝＝>0，
∴>.
14．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求3a－2b的取值范围．
解 (1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[－2,3]．
(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范围为[－4,11]．
15．(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是( )
A．(a＋c)2>
B.<
C．a2>b2
D．(a2b－1)(ab2－1)>0
答案 ABD
解析 对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac
＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<
成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成
立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确．
16．(2023·湖北黄石二中模拟)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种
物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济．
答案 乙
解析 设第一次和第二次购物时价格分别为p 元/千克，p 元/千克，
1 2
按甲策略，每次购n千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝＝(元/千克)，
按乙策略，第一次花m元钱，能购买千克物品，第二次仍花m元钱，能购买千克物品，
两次购物的平均价格y＝＝(元/千克)，
比较两次购物的平均价格
x－y＝－＝－＝＝≥0，
则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济．
