文档文本内容
1.3 等式性质与不等式性质
目录
01 课表要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、两个实数比较大小的方法............................................................................................................3
二、等式的性质....................................................................................................................................3
三、不等式的性质................................................................................................................................3
四、常用二级结论................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................5
题型一：数(式)的大小比较.................................................................................................................5
题型二：利用不等式的性质解题........................................................................................................5
题型三：证明不等式............................................................................................................................6
题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限............................................................................7
题型五：不等式的综合问题................................................................................................................8
题型六：浓度不等式............................................................................................................................9
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................10
05 数学思想方法................................................................................................................................. 11
①数形结合.......................................................................................................................................... 11
②转化与化归...................................................................................................................................... 11
③分类讨论..........................................................................................................................................12
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................13
基础过关篇..........................................................................................................................................13
能力拓展篇..........................................................................................................................................14
1、掌握等式性质.
2、会比较两个数的大小.
3、理解不等式的性质，并能简单应用.
一、两个实数比较大小的方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
二、等式的性质
性质1 对称性：如果
，那么
；
性质2 传递性：如果
，
，那么
；
性质3 可加(减)性：如果
，那么
；
性质4 可乘性：如果
，那么
；
性质5 可除性：如果
，
，那么
.
三、不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a ；
性质2 传递性：a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c ；
性质3 可加性：a>b⇔a+c>b>c ；
性质4 可乘性：a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ；
性质5 同向可加性：a>c ，c>d⇒a+c>b+d ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd ；
性质7 同正可乘方性：
.
四、常用二级结论
1、浓度不等式
(1) 浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
通俗的理解：
克的不饱和糖水里含有
克糖，往糖水里面加入
克糖，则糖水更甜
(2) 浓度不等式的倒数形式：设
，
，则有
>
.
题型一：数(式)的大小比较
【例1】（2025·四川攀枝花·三模）已知
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【解题总结】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
【变式1-1】若
，
下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·北京海淀·二模）设
、
、
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2025·上海金山·二模）已知
，则下列结论不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：利用不等式的性质解题
【例2】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数
满足
，则下列不等关系一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
【变式2-1】（多选题）（2025·河南·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（多选题）设
，则下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式2-3】（多选题）已知
，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：证明不等式
【例3】证明下列不等式：
(1)已知
，
，
，求证：
；
(2)已知
，
，均为正实数，且
，求证：
.
【解题总结】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
【变式3-1】对于正数
，
，，
，求证
(1)
(2)
【变式3-2】已知
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
【变式3-3】设
，
，
，证明：
．
题型四：已知不等式条件，确定目标式取值界限
【例4】（多选题）（2025·高三·重庆·期中）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
无最小值，只有最大值为4
D．
的最小值为12
【解题总结】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可
能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若
分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式
进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
【变式4-1】已知
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（多选题）已知实数
满足
，
，则 （ ）
A．
的取值范围是
B．
的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
【变式4-3】（2025·江苏南通·模拟预测）设
为实数，满足
，则
的最大值为
（ ）
A．27
B．24
C．12
D．32
题型五：不等式的综合问题
【例5】设
表示
与
的最大值，若
，
都是正数，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．3
C．8
D．9
【解题总结】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
【变式5-1】记
表示
这3 个数中最大的数．已知
，
，都是正实数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·江苏南通·模拟预测）设实数
，
，满足，
则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知圆O：
，点
和点
在圆
上，满足
，则
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：浓度不等式
【例6】求证：
．
【解题总结】
浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
【变式6-1】（多选题）生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖
且
，若再添加c 克糖
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：
趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等
式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
的大小关系随m 的变化而变化
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则一定有
【变式6-2】求证：
．
【变式6-3】（多选题）（2025·江苏·模拟预测）已知
糖水中含有
糖(
)，若再添加
糖完
全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．已知
均为正实数，以下不等式恒成立的有 ①
；②
；③
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①
2．设
，且
，则
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，4 个长为a，宽为b 的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形
，
则以下说法中错误的是
A．
B．当
时，
，
，
，
四点重合
C．
D．
②转化与化归
4．已知实数x，y 满足
，则
和y 的最大值分别为
A．2，
B．2，1
C．4，
D．4，
5．若
，
，则以下结论正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的
点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多
B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少
D．第二象限点比第四象限点少
③分类讨论
7．某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，
其数量分别为 x，y，
单位：本
现了解到：①
②
，则这些数学专著至少有
A．9 本
B．10 本
C．11 本
D．12 本
8 ．以
表示数集M 中最大的数．设
，已知
或
，则
的最小值为
．
9．设x，y 是正实数，记S 为x，
，
中的最小值，则S 的最大值为
．
基础过关篇
1．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不
等式成立的是
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为
，若圆
柱和圆台的高和体积都相等，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北石家庄·一模）如果
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025·上海宝山·二模）“
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川成都·三模）已知实数
，
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
克糖水中含有
克糖（
），再添加
克糖（
，假设全部溶解），糖水变甜了，将
这一事实表示为一个不等式（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·浙江杭州·二模）已知
，
为任意正数，若
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2025·河南·三模）已知
，c 为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（多选题）（2025·四川攀枝花·一模）已知实数
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·高三·云南怒江·期末）已知正数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系为
.
13．（2025·广东中山·一模）已知
，则实数
的取值范围是 .
能力拓展篇
14．（2025·河北保定·模拟预测）记
表示数集
中最大的数，设
为正数，
，
，则
的最小值为 .
15．已知
，
，则
，
的大小关系为 ．
16．从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐
标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是（ ）
A．第一象限的点比第二象限的点多
B．第二象限的点比第三象限的点多
C．第三象限的点比第一象限的点多
D．第四象限的点比第二象限的点多
17．（2025·云南玉溪·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成
立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知实数
,
满足
,
,
，则下列正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
