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专题 04 一元二次不等式与其他不等式
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
【思维导图】
【考点总结】
一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集
解集 ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
合
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
合
二、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
三、一元二次不等式的恒成立问题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x) ；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x) .
max min
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0) 有两个不相等的实根 有两个相等的实数根
没有实数根
的根 x，x，且x＜x x，x
1 2 1 2 1 2ax2＋bx＋c＞0(a＞0)
{x|x＜x 或x＞x} R
1 2
的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)
{x|x＜x＜x} ∅ ∅
1 2
的解集
五、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
六、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【题型汇编】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：分式不等式的解法
【题型讲解】
题型一：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简 集合，再由交集的定义求解即可
【详解】
∵
∴ ，
故选：A.
2．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合A，根据交集运算求解.
【详解】
， ，
，
故选：B
3．（2022·海南海口·二模）已知x， 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】
因为 ，所以 ，则“ ”两边同除以 即可得到“ ”，反过来同乘以 即可，故“
”是“ ”的充要条件．
故选：C.
4．（2022·天津·耀华中学二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得集合 再求交集即可
【详解】
由题， ，故
故选：D
5．（2022·山东烟台·三模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】
解：由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ；
故选：B
6．（2022·广东广州·三模）已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先由 和 解出 的范围，再由充分必要的定义判断即可.
【详解】
由 解得 ，由 解得 或 ，显然 ，故 是 的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2022·天津·二模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式 ，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
解：由 ，得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2022·广西·南宁三中二模（文））设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】
【分析】
解出一元二次不等式，根据交集的运算法则求解即可.
【详解】
由题，解 ，可得 ，则可得 ，
故选：B
9．（2022·天津南开·一模）设 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，解得 或 ，利用充分、必要条件的定义即可判断出．
【详解】
由 ，解得 或 ，
由“ ”可推出“ ”，而由“ ”推不出“ ”，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
10．（2022·江西南昌·二模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集，易错点在于集合A元素是自然数，集合B的元素是实数．
【详解】
∵ ， ，∴ ．
故选： ．11．（2022·湖北十堰·三模）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的补集运算求解.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：C
12．（2022·山西临汾·三模（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性，结合解一元二次不等式的方法、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
故选：D
13．（2022·天津·一模）已知集合 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
先化简集合 ，再求
【详解】
，所以
所以
故选：B
14．（2022·四川遂宁·三模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
解： ,
,
故选：C.
15．（2022·安徽·合肥市第七中学二模（理））集合 ，集合 ，则
（ ）
A．（-2，2） B．（-1，2） C．（-2，3） D．（-1，3）
【答案】B
【解析】
【分析】
先求集合 ，进一步求出答案.
【详解】集合 ， ，
∴ .
故选：B.
二、多选题
1．（2022·山东济南·一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年
卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 中， ， ，动
点P满足 ，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为 ， B．曲线C关于x轴对称
C． 面积的最大值为2 D． 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出曲线C的方程，由 判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断C；求出
的范围计算判断D作答.
【详解】
设点 ，依题意， ，整理得： ，
对于A，当 时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为 ， ，A正确；
对于B，因 ，由 换 方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；
对于C，当 时， ，即点 在曲线C上， ，C不正确；
对于D，由 得： ，解得 ，于是得 ，解得 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】
结论点睛：曲线C的方程为 ，(1)如果 ，则曲线C关于y轴对称；
(2)如果 ，则曲线C关于x轴对称；(3)如果 ，则曲线C关于原点对称.
2．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求出 的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】
的解为 ，
对于A，因为 为 的真子集，故A不符合；
对于B，因为 等价于 ，其范围也是 ，故B符合；
对于C， 即为 ，其解为 ，故C符合；
对于D， 即 ，其解为 ，
为 的真子集，故D不符合，
故选：BC.
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
一、单选题1．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数 ，若 ，
恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于
，即 恒成立，再分 和 两种情况讨论，当 时 ，
即可求出参数 的取值范围；
【详解】
解：因为 ，所以函数图象如下所示：由函数图象可知函数为定义域 上单调递减的奇函数，当 时 ，则
，当 时 ，则 ，所以
，因为 ， 恒成立，即 ，
恒成立，所以 恒成立，即 恒成
{ m>0
立，当 ，显然不成立，当 时，则 ，解得 ，即 ；
Δ=81−48m≤0
故选：C
2．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数 ，若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为 在
上恒成立．
【详解】
当 时，由 恒成立，二次函数的对称轴为 ，
（1）当 时， 在 上单调递减，则 恒成立，
（2）当 时， ，所以综上可知，当 时， 在 上恒成立；
当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，函数单增，又 ，所以 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故选：D
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））若“ ，使得 ”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，“ ，使得 ”是真命题，进而根据二次不等式恒成立求解即可.
【详解】
解：因为“ ，使得 ”是假命题，
所以“ ，使得 ”是真命题，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
4．（2022·天津河东·一模）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R
上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
【详解】
不等式 为 (*)，
当 时，(*)式即为 ， ，
又 （ 时取等号），
（ 时取等号），
所以 ，
当 时，(*)式为 ， ，
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），
所以 ，
综上 ．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足 转化为 去解决，由于涉及分段函数问题要遵循
分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 的范围，利用极端原理，求出对
应的 的范围.
5．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在
C上存在点P，使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
设出 ，利用 得到 在区间 上有解，结合端点值的符号得到
，求出 的最小值.
【详解】
易知 ，设 ，则 ，
所以 ，
即 ，
即方程 在区间 上有解，
令 ，
因为 ， ，
所以只需 ，
即
解得： .
故选：C.
6．（2022·河北·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
，列出不等式，求出 ，从而判断出答案.
【详解】
，则要满足 ，解得： ，
因为 ，但
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
7．（2022·天津·耀华中学模拟预测）对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分 与 两种情况进行讨论，求解出答案.
【详解】
当 时，不等式为 恒成立，故满足要求；
当 时，要满足：
，解得： ，
综上：实数 的取值范围是 .
故选：D
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“ ”为假命题，则实
数x的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
等价于“ ”为真命题．令 ，解不等式
即得解.
【详解】
解：命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 ，
解得 ，所以实数x的取值范围为 .
故选：C
9．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“ ”是“ 使 成立”为假命题的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
“ 使 成立” 为假命题，则“ 使 成立”为真命题，对a分情况讨论，求得 ，结合充分、必要条件判定方法，即可得解.
【详解】
解：“ 使 成立”为假命题，则“ 使 成立”为真命题，当 时
成立，当 ，则 ， ，∴ ，综合得 ，则“ ”是 的充
分不必要条件.
故选：B.
10．（2022·北京石景山·一模）“ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断
【详解】
在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
故
“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
二、多选题
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】先求命题“ ”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】
因为 为真命题，
所以 或 ，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，A对，
所以 是命题“ ”为真命题充要条件，B错，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，C对，
所以 是命题“ ”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
2．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数 ，若对任意 ，则
（ ）
A．当 时， 恒成立
B．当 时， 恒成立
C． 使得 成立
D．对任意 ， ，均有 恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】
二次函数开口向下，对称轴为 ，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
依题意，二次函数 的对称轴为 .因为 ，所以其函数图象为开口向下的抛物线，
对于A选项，当 时， ， 关于直线 对称，
所以 恒成立，所以A选项正确；
对于B选项，当 ，若 ，则不等式可化为 ，
所以 ；
若 ，则不等式可化为 ，所以 ，所以B选项错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以二次函数 的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在
使得 成立，所以C选项错误；
对于D选项， ，
所以对任意 ， ，均有 恒成立，所以D选项正确，
故选：AD.
三、填空题
1．（2022·山东聊城·三模）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为
______.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知命题“ ， ”为真命题，分 、 两种情况讨论，
结合已知条件可得出关于 的不等式（组），综合可求得实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“ ， ”为真命题.
①当 时，可得 .
若 ，则有 ，合乎题意；
若 ，则有 ，解得 ，不合乎题意；
②若 ，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
2．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数 的定义域为R，则 的最大值是
___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得到 ， 恒成立，进而得到 ，即 ，再代入
，令 ，利用基本不等式求解.
【详解】
解：因为函数 的定义域为R，
所以 ， 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值是 ，
故答案为：
3．（2022·江苏江苏·二模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，若 对一切 恒成立，则实数 的最大值为___________.
【答案】 ## 0.25
【解析】
【分析】
根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数 的最大值.
【详解】
因为 ，故 的图象关于 中心对称
当 时， ，
故 的图象如图所示：结合图象可得：只需当 时， 即可，
即 ，故 ，
故答案为： .
四、解答题
1．（2022·上海奉贤·二模）对于函数 ，如果对于定义域 中任意给定的实数 ，存在非负实数 ，
使得 恒成立，称函数 具有性质 ．
(1)判别函数 ， 和 ， 是否具有性质 ，请说明理由；
(2)函数 ， ，若函数 具有性质 ，求 满足的条件；
(3)若函数 的定义域为一切实数， 的值域为 ，存在常数 且 具有性质 ，判别
是否具有性质 ，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2) ；
(3) 具有性质 ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由性质 的定义，结合作差法判断函数是否具有性质 即可；
（2）根据已知条件有 对任意 恒成立，讨论 、 判断不
等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）由 的性质可得 ，再根据对数函数的单调性及性质定义判断 是否具有性质 .
(1)
， ，
所以 ，则 ，故 ， 不具有性质 ；
，
恒成立，故 , 具有性质 .
(2)
由 ，则 ，
对任意 恒成立，
显然 时，上式不等式成立；
时 ，则 ，对任意 不恒成立，舍去；
综上， .
(3)
因为 具有性质 ，所以 ，
因为函数的值域为 ，所以 ，
则 ， ，
，
，
，所以 ，即 具有性质 .
【点睛】
关键点点睛：第三问，注意应用性质 、不等式性质得到 、
、 ，进而有 ，
结合对数函数的单调性判断结论.
2．（2022·江西上饶·二模（理））已知 ．
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若对任意实数x，及任意正实数a，b，且 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对绝对值进行分类讨论，即可求解
（2）根据基本不等式，可得 ，进而问题转化为
，进而求出所求的 范围
(1)
可得，
当 时，不等式 等价于 ，解得 ， ，
当 时，不等式 等价于 ，此时不等式恒成立， ，
当 时，不等式 等价于 ，解得 ， ，综上所述，不等式 的解集是
(2)
， ，
，当且仅当 时成立，
所以，对任意实数x，及任意正实数a，b，且 ，都有 恒成立，
等价于 ，设 ，由（1）得， ，明显可
见， ， ，所以， ，当 时， 有最小值，
，
所以，此时实数 的取值范围为 ，综上所述，实数 的取值范围
题型三：分式不等式的解法
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模（理））设集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合交补集定义运算即可．
【详解】由 ， 或
所以 或
故选：C
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校二模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
， ，因此， .
故选：D.
3．（2022·山西·太原五中二模（文））下列命题中正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．已知 与 为非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的充要条件
C．“ ”是“不等式 成立”的必要不充分条件
D．已知 ， ，则M是N的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定是全称命题判断A选项；利用平面向量的数量积和充分必要条件的定义判断B选项；
解不等式 ，再利用充分必要条件的定义判断C选项；利用充分必要条件的定义直接判断D选项.【详解】
对于A，命题“ ， ”为特称命题，又特称命题的否定是全称命题，可知其否定为：“
， ”，故A错误；
对于B，由向量数量积定义可知，若 ，则 与 的夹角为锐角或零角；若 与 的夹角为锐角，则
一定有 ，故“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，不等式 ，解不等式得： 或 ，故“ ”是
“不等式 成立”的充分不必要条件，故C错误；
对于D， ， 不能推出 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故D正确.
故选：D
【点睛】
易错点睛：本题考查含一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，两个向量数量积的定义，解不等式，
在判断B选项时，要注意当两个向量的数量积大于0时，这两个向量也可以同向共线，此时两个向量的夹
角为零角，考查学生的逻辑推理能力与转化能力，综合性强，属于一般题.
4．（2022·河南河南·一模（理））若 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a
的取值范围.
【详解】
由 ，可得： ；由 ，则 ，可得 ；
∵ 成立的一个充分不必要条件是 ，
∴ ，可得 .
故选：D.
5．（2022·辽宁·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
排除法可得.
【详解】
取 ，易知 ，所以 ，故排除ABD.
故选：C
6．（2022·河南·三模（理））若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合A，B，根据集合的交集和补集运算得出答案.
【详解】由 ，则 解得： .
， ，
= 或 ， .
故选：A.
7．（2022·新疆喀什·一模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解分式不等式，求得集合A，再根据集合的交集运算，求得答案。
【详解】
解不等式 ，则 或 ，
故 或 ，
故 ，
故选：A
8．（2022·天津·一模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】
解不等式，根据充分必要性分别判断.
【详解】
解不等式可得 ， ，
又 ，反之不成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
9．（2022·江西南昌·三模（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式，求出集合A和B，进而求出交集.
【详解】
，解得： ，所以 ， ，解得： 或 ，故 ，
故
故选：C
10．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数型函数定义域解法求出集合M，根据分式不等式解法求出集合N，再根据集合交集概念即可求得
结果.
【详解】
由题意知 ， ，
所以 ．
故选：C．
二、多选题
1．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求出 的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】
的解为 ，
对于A，因为 为 的真子集，故A不符合；
对于B，因为 等价于 ，其范围也是 ，故B符合；
对于C， 即为 ，其解为 ，故C符合；
对于D， 即 ，其解为 ，
为 的真子集，故D不符合，
故选：BC.
2．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）A． B．集合 的真子集个数是4
C．不等式 的解集是 D． 的解集是 或
【答案】AC
【解析】
【分析】
A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不
等式的解法判断.
【详解】
A. ，故正确；
B.集合 的真子集个数是3，故错误；
C.不等式 的解集是 ，故正确；
D. 的解集是 或 ，
故选：AC
3．（2021·重庆·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则关于 的表达方式正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】由题意得， ，
所以 ，
故AB正确，CD错误，
故选：AB.
三、填空题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）当 时， 成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 可得 或 ，当 时， 成立，即可求出a的取值范围.
【详解】
或 ，则当 时， 成立，所以 .
故答案为： .
2．（2022·天津·一模）已知实数 ， ，且满足 ，则 的最小值为
___________.
【答案】25
【解析】
【分析】
由题干条件得到 且 ，对 变形得到 ，利用基本
不等式求解最小值.
【详解】
由 得： ，因为 ， ，所以 ，
其中，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最小值
为25.
故答案为：25
3．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于 的不等式 的解集为 ,解关于
的不等式 ”,给出如下一种解法:
解析:由 的解集 ,得
的解集为 ,即
关于 的不等式 的解集为 .
参考上述解法,若关于 的不等式 的解集为
关于 的不等式 的解集为____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
关于 的不等式 可看成前者不等式中的 用 代入可得不等式 的解集.
【详解】
若关于 的不等式 的解集为
则关于 的不等式 可看成前者不等式中的 用 代入可得，
则 ，则 .
故解集为： .【点睛】
本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．
4．（2022·上海杨浦·二模）已知 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出 与 中不等式的解集分别确定出 与 ，找出两集合的交集即可．
【详解】
集合 中不等式，当 时，解得： ，此时 ，
当 时，解得： ，无解，
，
集合 中不等式变形得： ，即 ，
解得： ，即 ，
则 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2022·上海徐汇·二模）不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】
【详解】
因为 ，∴ ，∴ ，∴解集为 .
故答案为： ．
四、解答题
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知 .(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，且 ，求证： .
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先换元后再解不等式
（2）由条件得到 关系，再通过基本不等式证明
(1)
令 ， ，易知 ，可解得
解集为
(2)
，则 ， ，又
故 ，由基本不等式得： ，即证
