文档内容
专题 07 函数的基本性质（八大题型+模拟精练）
目录：
01 函数的单调性
02 求函数的单调区间
03 利用函数单调性求最值
04 利用函数单调性求参数范围
05 函数的奇偶性
06 函数的奇偶性的应用
07 函数的对称性、周期性及其应用（含难点）
08 利用函数的基本性质比较大小
01 函数的单调性
1．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的定义域；
(2)用定义法证明：函数 在 上是减函数；
(3)求函数 在区间 上的最大值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)0.
【分析】（1）利用函数式有意义求出定义域即得.
（2）利用函数单调性定义推理即得.
（3）利用函数单调性求出最大值.
【解析】（1）函数 有意义， ，
所以函数 的定义域为 .
（2） ， ，因为 ，则 ，即 ， ，
所以函数 在 上是减函数.
（3）由（2）知，函数 在 上是减函数，
所以 .
2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数 ．
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明；
(2)求函数 在区间 上的值城．
【答案】(1)在区间 上单调递增，证明见解析
(2) ．
【分析】（1）利用定义法证明单调性即可；
（2）由函数的单调性求值域即可.
【解析】（1）易知 ，
设 ，且 ，
则 ，
又由 ，则 ， ， ，
所以 ，即 在区间 上单调递增；
（2）由上可知函数 在区间 上单调递增，则 ，
又 ，故 的值域为 .
3．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 过点 ．
(1)判断 在区间 上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值．
【答案】(1) 在区间 上单调递增，证明见解析
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数 在 上的最大值和最小值.
【解析】（1）单调递增，由题意证明如下，
由函数 过点 ，有 ，
解得 ，所以 的解析式为： ．
设 ，且 ，有
．
由 ，得 ．
则 ，即 ．
∴ 在区间 上单调递增．
（2）由 在 上是增函数，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ．02 求函数的单调区间
4．（21-22高三上·贵州贵阳·阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数 的定义域，再求出函数 在所求定义域上的单调区间并结合复合函数
单调性即可作答.
【解析】在函数 中，由 得 或 ，则 的定义域为
，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 在 上单调递增，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 .
故选：B
5．（2023·海南海口·二模）已知偶函数 在区间 上单调递减，则函数 的单调
增区间是 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.
【解析】因为偶函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递增，
又因为 ，则函数 的图象是由函数 的图象向右平移2个单位长度得到，
所以函数 的单调增区间是 ．故答案为： .
【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系．
03 利用函数单调性求最值
6．（2021·四川泸州·一模）函数 的最大值为 .
【答案】0
【解析】由二次函数、对数函数的单调性确定复合函数的单调性，进而求最值即可
【解析】由 ，且 ，
∴令 ， ，即 在 为单调递增， 为单调递减，而 为增函数，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减， ，
故答案为：0
7．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）已知函数 ， ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据函数的单调性求出 的最值，由 即可得结果.
【解析】由“对勾函数”的性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，
故选：A.
8．（2022·山东济南·一模）已知函数 ，对任意非零实数x，均满足.则 的值为 ；函数 的最小值为 .
【答案】 0
【分析】根据给定条件求出待定系数a，b，进而求出 的解析式，代值计算可得 ，变形函数式
并借助二次函数求解最值作答.
【解析】函数 ，因对任意非零实数x，均满足 ，
则 ，有 ，
即 ，由等式两边展开式最高次项系数得： ，即
，
当 时， ，解得 ，经检验得， ， ， 对任意非零实数x成立，
因此，
，
，当 即 时， ，
所以 的值为0，函数 的最小值为 .
故答案为：0；
【点睛】思路点睛：两边是一元高次多项式的等式恒成立问题，可以借助特殊项（如最高次项、常数项
等）及取特值求出待定系数，然后验证即可.
04 利用函数单调性求参数范围
9．（2023·天津河北·一模）设 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结
果.
【解析】函数 的对称轴为 ，
由函数 在 上单调递增可得 ，即 ，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
10．（2023·陕西商洛·一模）已知函数 是定义在 上的增函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在 时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解
不等式组可求得结果.
【解析】因为 是定义在 上的增函数，
所以 ，解得 .
故选：B
11．（2024·全国·模拟预测）若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先分析 的单调性，再列不等式即可求解.
【解析】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
又函数 在区间 上不单调，所以 ，
故选：B．
12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 ， ，使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题的关键是将已知转化为 在 的最小值不小于 在 的最小值，然后解不
等式即可.
【解析】由 得， ，当 时， ，
∴ 在 单调递减，∴ 是函数 的最小值，
当 时， 为增函数，∴ 是函数 的最小值，
又∵ ，都 ，使得 ，
可得 在 的最小值不小于 在 的最小值，
即 ，解得 ，
故选：A．
05 函数的奇偶性
13．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 区间上的函数 为奇函数．
(1)求函数 的解析式；(2)判断并证明函数 在区间 上的单调性.
【答案】(1)
(2)函数 在区间 上为增函数,证明见解析.
【分析】（1）依题意函数图象必过原点，由此求出 值即得解析式；
（2）运用定义法的步骤证明函数单调性即可.
【解析】（1）由题意知： ，即得： ，故函数 的解析式为： .
（2）函数 在区间 上为增函数.理由如下：
任取 且 ，由 ，
因 ，故 ， ， ，即 ，
则 在区间 上为增函数.
14．（2022高三·全国·专题练习）设 （ ），其中常数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式 在区间 上有解，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据定义可判断 的奇偶性；
（2）参变分离后可得 ，结合双勾函数的单调性可求参数的取值范围.【解析】（1）当 时， ，则 ，
∴ ，即 为奇函数；
当 时， ， ，
∵ ，∴ 既不是奇函数也不是偶函数.
（2）原问题可化为 在区间 有解，则 ，
设 ，任意 ，
则 ，
因为 ，故 故 ，
，
故函数 在区间 上单调递减，∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 .
15．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函数 是定义在 上的函数， 恒
成立，且 .
(1)确定函数 的解析式，并用定义研究 在 上的单调性；
(2)解不等式 .
【答案】(1) ，函数 在 上是增函数(2)
【分析】（1）根据 ，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解
析式即可判断和证明；
（2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.
【解析】（1）根据题意， 是 上的奇函数，故 ，
又 ，故 ，则 ，
时， ，所以 为奇函数，
故 .
在 上是增函数，理由如下，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，且 ，则 ，
则 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数；
（2） 等价于 ，
又 在 是单调增函数，故可得 ，
解得 ，即不等式 的解集为 .16．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知奇函数
(1)求 的值；
(2)若函数 在区间 上单调递增，试确定a的取值范围.
【答案】(1)0；
(2) .
【分析】（1）先根据函数的奇偶性确定 的值，再求函数值即可；
（2）先画出函数的图像，结合图像找到函数的单调递增区间，依题意得到 的范围，解不等式即得.
【解析】（1）当 时， ，因为 是奇函数，
所以 ，
所以 .故 .
（2）
依题意作出函数 的图像如图，
因函数 在区间 上单调递增，故 ，
则有 ，解得 或 .
即实数a的取值范围为 .06 函数的奇偶性的应用
17．（2024·河北保定·二模）若函数 是定义在R上的奇函数，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质可得 ，进而可得 ， ，即可求解.
【解析】设 ，则 ，即 ，
即 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
故选：A
18．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数 ， 满足 ，且
，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原
函数的对称关系.
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 关于直线 对称，
因为 ，所以 关于 对称，即 为偶函数.
故选：D
19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义可得 ，计算可求 的值.
【解析】 ，
得 ，所以 .
故选：B.
20．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知 是定义在R上的奇函数， ，且 在
上单调递减，在 上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，先讨论当 的情况，结合条件求得不等式，再由其单调性，即可求得 时的解
集，从而得到结果.
【解析】当 时， ，则 ，
且 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则可得 .因为 是定义在R上的奇函数，所以 的图象关于原点对称.
当 时， ，则 ，由已知可得 或 .
综上，不等式 的解集为 .
故选：D
21．（2024·陕西·一模）已知定义在 上的函数 ，满足 ，且
．若 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件可得 在 上单调递减，且 为奇函数，将 化为
，再利用函数的单调性可求得结果.
【解析】因为定义在 上的函数 ，满足 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ．
因为 在 上单调递减，
所以 ，得 ，
故选：A．
22．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数 在 上单调递减，且为奇函数.若 ，则
满足 的x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数是奇函数将不等式等价变形，再根据函数的单调性列出关于x的不等式即可求解.
【解析】由 为奇函数，得 ，
所以不等式 等价于 .
又因为 在 上单调递减，
所以 ，即 .
故选：A
07 函数的对称性、周期性及其应用（含难点）
23．（2024·山东济南·二模）已知函数 的定义域为R，若 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得.
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，函数 的定义域为R，
所以， 是定义域为R的奇函数，所以 ， ，
所以， ，故 ，
所以 是以4为周期的周期函数，
所以 .
故选：A24．（2024·四川南充·三模）已知函数 、 的定义域均为 ，函数 的图象关于点 对称，
函数 的图象关于y轴对称， ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得 ， ，再由已知条件可得
的周期，将所求转化为关于 的函数值后，利用周期及 即可求解.
【解析】由函数 的图象关于点 对称，
所以 ，令 ，可得 ，即 ，
由函数 的图象关于y轴对称，可知函数 为偶函数，
所以 ，
由 ，令 ，可得 ，
由 ，可得 ， ，
两式相加可得 ，即 ，
可得 ，由 可得 ，
即 ，故 ，所以 ，
即函数 的周期 ，
由 可知 ，
所以 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系 ， ，再
由 ，利用消元思想，转化为关于 的关系式是解题的第一关键，其次利用 的
关系式求出 的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解.25．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且满足 为偶函
数，当 时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出 ，进而利
用对称性和周期性求 即可.
【解析】因为 ①，
所以函数 的图象关于点 对称.
因为 为偶函数，所以 ②，
则函数 的图象关于直线 对称.
由①②得 ，则 ，
故 的周期为4，所以 .
由 ，令 ，得 ，即 ③，
已知 ，由函数 的图象关于直线 对称，
得 .
又函数 的图象关于点 对称，得所以 ，即 ，所以 ④，
联立③④解得 ， ，
故当 时， .
由 的图象关于点 对称，
可得 .
故选：A.
26．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ，
．若 的图象关于直线 对称， ，下列说法正确的是（ ）
A． B． 图像关于点 对称
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据对称性可判断A；由 ， ，可推出 ，
从而判断B；由已知条件得 ，利用赋值法可得到 ，从而判断C；从而得到
， ，然后根据条件得到 的值，再由题意得到
，进而可判断D.
【解析】对于A，因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得 ，
所以 图像关于点 对称，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
即 ，
因为 ，代入得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D，由B选项可知 ，
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的
对称性，得到求解所需变形即可.
27．（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当 时，，则函数 的零点有 个.
【答案】4
【分析】转化为函数 的图象与 的图象的交点个数即可求解.
【解析】函数 是偶函数，说明函数 的图象关于 轴对称， 说明 的周期是
2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与 的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即 有4个零点.
故答案为：4.
28．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的定义域是 ， ，
，当 时， ，则 ．
【答案】
【分析】根据已知关系式可推导求得 ，利用周期性和对称性可得 ，结合已
知函数解析式可求得结果.
【解析】由 得： ，
又 ， ，
， ，
.故答案为： .
29．（2023高三·全国·专题练习）设 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ，
，都有 ，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得 、 ，结合 即可求解；
（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得 ，即可得出结果；
（3）由（1）可得 ，结合 和周期为2，即可求
解.
【解析】（1）因为对任意的 ，都有 ，
所以 ，
又 ，
， ，
∴ .
（2）设 关于直线 对称，故 ，即 ，又 是偶函数，
所以 ，
∴ ，将上式中 以 代换，
得 ，
则 是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知 ，
∵
，
又 ，∴ .
∵ 的一个周期是2，
∴ ，因此 ．
30．（2023·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的增函数 满足:对任意的 都有
且 ，函数 满足 ， . 当 时，
，若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次
为 ， ，…， ，若 ，则 的取值范围为
【答案】 .
【分析】由 的性质得 ， ，由 满足的条件得 ， ， 的图象关
于点 对称，关于直线 对称， 的一个周期是4，可得 的最值点与最值的结果，结合已
知分析求解.
【解析】定义在 上的增函数 ，对任意的 都有 且 ，则 ，得 ，
，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ， ，
函数 满足 ，则 的图象关于点 对称，
得 在 上单调递增，且 ， ，
，则 的图象关于直线 对称，
得 在 和 上单调递减，且 ，
由 和 ，得 ，
则有 ， ，
故 的一个周期是4，且在 时取最大值0，在 时取最小值-2，
若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次为 ， ，…， ，
有 或 ，
，
当 时，有 ，方程无正整数解；
当 时，有 ，解得 ；
则有 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：
本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调
性和最值.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数 ．
（1）若 ，则函数的周期为 ；
（2）若 ，则函数的周期为 ；
（3）若 ，则函数的周期为 ；
（4）若 ，则函数的周期为 ；
（5）若 ，则函数的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ．
08 利用函数的基本性质比较大小
31．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知奇函数 在R上是增函数，若 ，
， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用指数函数和对数函数单调性及中间值比较出 ，从而根据 的单调
性比较出大小关系.
【解析】 ， ， ，
，由于 在R上是增函数，故 ，
所以 .
故选：A
32．（23-24高一上·陕西西安·期中）定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
恒成立，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.
【解析】因为定义域为 的函数 满足 ，
所以函数 的图象关于 对称，所以 ，
又因为当 时， ，
所以函数 在 单调递增，则在 单调递减，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故选:C,
33．（23-24高三上·福建厦门·期中）已知定义在 上的函数 满足，① ，② 为
奇函数，③当 时， 恒成立.则 、 、 的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较 的大小.
【解析】由 可得 的周期为 ，
因为 为奇函数，则 ，
又因为 的周期为 ，所以 ，即 为奇函数，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 为奇函数，所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 的周期为 ， ， ，
，所以 ，
即 .
故选：A.
一、单选题
1．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 上单调递减的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【解析】对于A：函数 的定义域为R，
又 ，所以 是偶函数，故A错误；
对于B：由幂函数 的图象可知， 在 上单调递增，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，
又 ，所以 是奇函数，
又幂函数 都在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递减，故C正确；
对于D：因为对数函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故D错误.
故选：C.
2．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得 ，再由 ，进而求得 的取值范
围.【解析】由函数 的对称轴是 ，
因为函数在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
又因为 ，因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：A．
3．（2024·山东·二模）已知函数 是偶函数，且该函数的图像经过点 ，则下列等式恒成立的
是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数为偶函数，得到 .
【解析】因为函数 是偶函数，且该函数的图像经过点 ，
所以 ，D正确，其他选项不对.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
【解析】由题意得 ，即 ，得 ，且 ，
所以 的定义域为 ；
又 ，所以 为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又 ，所以排除D．
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，即可判断 为奇函数，又 ，可得 图象的对称中心为
，则 ，再判断 的单调性，不等式 ，即
，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【解析】设 ， ，则 ，所以 为奇函数．
又 ，
则 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的，
所以 图象的对称中心为 ，所以 ．
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故满足 的 的取值范围为 ．
故选：B
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且对任意的 ，都有
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对任意的 ，都有 ，得 在 上单调递减，由函数
是定义在 上的奇函数得 ， ， 在 上单调递减，画出 的简图，
即可求解．
【解析】对任意的 ，都有 ，
所以 在 上单调递减，因为函数 是定义在 上的奇函数， ， ，
所以 在 上单调递减，则可画出 的简图，如图所示，
所以 ，
则 或 或 ，
即 或 或 ，
解得 ，
故选：D．
7．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数 ， 不存在最小值，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别在 条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数 的取值规律，由条
件列不等式求 的范围，可得结论.
【解析】（1）当 时，若 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
若 ，则 ，当且仅当 时取等号，因为 不存在最小值，
所以 ，所以 ，
（2）当 时，若 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
若 ，则 ，当且仅当 时取等号，
因为 不存在最小值，
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C.
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知:对于任意的正数 ， ，若满足 ，则
恒成立，那么k的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件利用基本不等式和二次函数的性质，求出
的最小值即可.
【解析】正数 ，满足 ，则 ，
得 ，当且仅当 时等号成立，可得 ，，当且仅当 时等号成立，
，
又 ，即 ， 由二次函数的性质可知， 时， 有最大值3，
则当 ， 时， 最小值为 ，
由 恒成立，
所以k的最大值为 .
故选：A
二、多选题
9．（2021·江西·模拟预测）已知函数 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． 的值域为 B． 在区间 上单调递增
C． D．若 ，则 的最小值为-3
【答案】BCD
【分析】将函数转化为 ，再逐项判断.
【解析】函数 ，
A. 的值域为 ，故错误；
B. 在区间 上单调递增，故正确；
C. ，故正确；D. 因为 ，则 的最小值为 ，故正确；
故选：BCD
10．（2024·江苏南京·二模）已知函数 满足 ，则（ ）
A． B． C． 是偶函数 D． 是奇函数
【答案】AC
【分析】利用赋值法求得 ， ，可判断各选项的正误。
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
若 ，则 恒成立，不合题意，故 ，A选项正确；
，则 , ，B选项错误；
函数 ，定义域为R， ，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
11．（2023·河南·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在定义域上是增函数
B． 的值域为
C．
D．若 ， ， ，则
【答案】BD
【分析】确定函数定义域，结合导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合，判断B；结合函数解析式可得 ，即可判断C；将 化简变形得到 ，结合函数
单调性推出 ，即可判断D.
【解析】对于A，函数 的定义域为 ，
，则 在 上均单调递增，
由于函数图象在 处不连续，故不能说 在定义域上是增函数，A错误；
对于B，结合函数的单调性，作出函数 的大致图象，
结合图象可知 的值域为 ，B正确；
对于C，由于 ，故 ，
故 ，
故 ，C错误；
对于D，由题意知 ，
又 ，即
而 ， ，故 ，结合 在 上单调递增，可得 ，D正确，
故选：BD
三、填空题
12．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为
【答案】 /
【分析】令 ，化简 ，令 ，利用对勾函数的性质求解最值
即可.
【解析】令 ， ，∵ ，∴ ，
∴ ，
令 ，
由对勾函数的性质可知，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
∵ ，
∴
∴函数 在 上的最大值和最小值分别为 ，
∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 ．
故答案为： ．
13．（2024·湖北黄石·三模）设 ， ，若 ，则 的最小值为 ，此时 的值为
.【答案】 2
【分析】利用基本不等式求出 的取值范围，再变形所求式，借助单调求出最小值.
【解析】由 ， ， ，得 ，当且仅当 时取等号，
因此 ， ，
令 ，函数 在 上单调递减，当 时， ，
所以当 ，即 时， 取得最小值 .
故答案为： ；2
14．（2023·云南保山·二模）对于函数 ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称 为“倒戈函
数”，设函数 是定义在 上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据新定义得到存在 ，使 ，转化为 有解，建立
不等式求解即可.
【解析】因为函数 是定义在 上的“倒戈函数”，
所以存在 ，使 ，
即 ，
即 ，令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，当 或 时， ，所以 ，
所以 .
故答案为：
