文档文本内容
1.4 一元二次不等式的解法
8 大考点汇总
考点01 解不含参数的一元二次不等式
考点02 三个二次的关系求参
考点03 利用一元二次不等式的解确定参数
考点04 解含有参数的一元二次不等式
考点05 根的分布问题
考点06 在实数集上恒成立问题
考点07 在某区间上的恒成立问题
考点08 在某区间上有解问题
考点09 一元二次不等式的实际应用
题型专练
考点01 解不含参数的一元二次不等式
1．使得式子
有意义的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即
，然后求解这个不等式即可
得到
的取值范围.
【详解】
，即
，解得
.
2．已知集合
，
，则
中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先解集合
中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出
，进而即可得到
中元素
的个数．
【详解】由
，解得
，即
，
所以
，所以
中元素的个数是．
3．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，解得
，
，
集合
；
，则
，解得
，
集合
；
．
4．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解得
或
，即
.
∴
.
又∵
，在集合
的元素中满足
的有
，
∴
.
考点02 三个二次的关系求参
5．已知关于x 的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为a(3 x
2+ 4 x +1)<0，结合
进而
，求解即可.
【详解】由不等式
的解集为
可知
，
且−b
a =−4+1=−3，
，所以
，
所以不等式
可化为a(3 x
2+ 4 x +1)<0，
又
，则
，解得
或
．
6．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
. 则（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集是
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可.
【详解】由题意知，
（A 错误），且
，
是方程
的两根，
所以
，
，即
，
.
B：
可化为
，因为
，
，
所以不等式
的解集是
，B 正确.
C：因为
，所以
，C 正确，
D：
可化为
，
因为
，所以
，解得
或
，故D 错误.
7．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集是
D．不等式
的解集为
【答案】ACD
【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得
，
，再结合一元一次不等式和一元二次不等式
的解法，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】∵关于
的不等式
的解集为
，
∴
，
和3 是关于
的方程
的两根，A 选项正确；
由根与系数的关系得
，则
，
∴
，B 选项错误；
∴不等式
可化为
，即
，解得
，C 选项正确；
不等式
可化为
，即
，解得
或
，
D 选项正确．
8．（多选）已知不等式
的解集为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可．
【详解】由不等式
的解集为
，
所以，
，故A 错误；
方程
的两个根为
，
，则
，故B 正确，C 错误；
，故D 正确．
考点03 利用一元二次不等式的解确定参数
9．（多选）已知
，若关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的最小值为4
C．关于
的不等式
的解集为
D．
是关于
的不等式
的一个解
【答案】ACD
【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以
，解得
，
因为
，所以
，即取
，A 正确；
选项B，由韦达定理
，则
，由A 选项可知
，且
，所以
，
，当
时，
单调递增，因此
，则
，无法取到最小值
4，B 错误；
C 选项，令
，代入原方程得
，即若
为原方程
两根，则
为
的两根，又因为
，
所以
，已知
，所以不等式解集为
，C 正确；
D 选项，将
代入得
，因为
，因此
，
即
是不等式的一个解，D 正确.
10．若不等式组
的解集中所含整数解只有
，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】解
，得解集为
；分类讨论
与
的大小关系，解不等式
，再根据不等式组
的解集中所含整数解只有
，列式可求出结果．
【详解】由
，得
，得
或
，
所以
的解集为
，
由
，得
，
当
，即
时，得
，
所以
的解集为
，此解集中不含
，不符合题意；
当
，即
时，
化为
，
所以
的解集为空集，不符合题意；
当
，即
时，得
，
所以
的解集为
，
因为不等式组
的解集中所含整数解只有
，
结合数轴分析可知
，得
．
11．不等式
的解集为
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】关于x 的不等式
的解集为
，
当
时，即a＝2 时，不等式即
，显然不成立，满足条件；
当
时，应满足
且
，解得
．
综上知，实数a 的取值范围是
．
12．已知
的解集为
，则
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【详解】由
的解集为
，
得
和是方程
的两个实数根，
所以
，
所以
等价于
，即
，
其充要条件为
或
.
所以
和
均是
的既不充分也不必要条件；
或
是
的必要不充分条件；
或
是
的一个充分不必要条件.
考点04 解含有参数的一元二次不等式
13．已知关于
的不等式
．
(1)若不等式的解集为
，求a，b 的值；
(2)若
，求已知关于
的不等式的解集．
【答案】(1)
，
(2)当
时解集为
；当
时解集为
；当
时解集为
；当
时解集为
；当
时解集为
【分析】(1)等价转化为
和
是方程
的两个实根，从而求解a，b 的值；
(2)对a 作分类讨论，分
，
；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线
的开口方向；再继续对二次方程的2 个根作比较大小讨论.
【详解】（1）因为不等式
的解集为
，所以
，
且
和
是方程
的两个实根，
可得
，
，
解得
，
；
（2）当
，不等式为
，即
① 当
时，不等式化为
，解得
，解集为
；
② 当
时，若
，则
，不等式解集为
；
若
，则
，不等式为
，解集为
；
若
，则
，不等式解集为
；
③ 当
时，不等式化为
解得
或
，解集为
.
综上， 当
时，解集为
； 当
时，解集为
；
当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
14．解关于
的不等式
．
【答案】当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为全体实数，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
【分析】根据实数
的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】由已知，得
，
：
当
时，不等式化为
，解得
；
当
时，不等式等价于
，
若
，解得
，或
；
若
，解得
，
若
，解得
，或
；
当
时，不等式等价于
，解得
.
综上所述，当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为全体实数，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
15．解答下列各题.
(1)若
，求
的最小值；
(2)若正数
满足
，求
的最小值；
(3)解关于
的不等式:
．
【答案】(1)
(2)
(3)当
时，解集为
；当
时，无解；当
时，解集为
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
（2）由
结合基本不等式即可求解；
（3）分情况讨论
的取值即可.
【详解】（1）因为
，由题
.
当且仅当
，即
时取等号；
所以
的最小值为7.
（2）由
结合基本不等式可得：
，
又
为正数，则
，当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
（3）由
，可得
，令
，解得
或
，
当
时，有
，
的解集为两根之间，即
；
当
时，原不等式变为
，无解；
当
时，有
，
的解集为两根之间：
.
综上：当
时，解集为
；当
时，无解；当
时，解集为
16．已知二次函数
.
(1)若
，且
都有
，求
的最小值；
(2)解关于
的不等式：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题得到
，所以
，再利用基本不等式求解即可.
（2）不等式
等价于
，对
分
三种情况讨论即可
【详解】（1）由题，对称轴为
，所以
，变形得
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为
.
（2）不等式
即求解
①当
时，
，解集为
②当
时，抛物线开口向上，
若
，即
时，
恒成立，解集为
若
，即
时，则
，解集为
若
，即
时，不等式解集为
③当
时，抛物线开口向下，此时
恒成立，
不等式解集为
17．解下列关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究
时不等式的解集．
【详解】对于一元二次方程
，
当
时，
，
的解集为
，
当
时，
的解集为
，
当
或
时，
，方程
的两根分别为
，且
，
所以不等式
的解集为
，
综上，当
时，不等式的解集为
，
当
或
时，不等式的解集为
．
18．已知
，求关于x 的不等式
的解集．
【答案】答案见解析
【分析】按照
，
和
分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可.
【详解】因为
，即
，
当
时，令
，解得
，
若
时，
，不等式
解集为
；
若
时，
，不等式
解集为
；
若
时，
，不等式
解集为
；
综上所述： 当
时，不等式解集为
；
当
时，不等式解集为
；
当
时， 不等式解集为
.
考点05 根的分布问题
19．设集合
，则“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若
，则二次方程
无解，即
，解得
，
所以“
”的一个必要不充分条件是
.
20．“
”是“关于x 的方程
的两根都大于1 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】判别式
：
，解得
或
，
对称轴在
右侧： 对称轴
，解得
，
再由
：
恒成立，
所以两根都大于1 的充要条件是
，
，推不出
，因此充分性不成立，
，可推出
，因此必要性成立，
因此"
"是"方程
的两根都大于1"的必要不充分条件.
21．已知关于x 的不等式
恰有一个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数
，分析得到不符合题意；再讨论二次
项系数
得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得
的取值范围.
【详解】∵
当
，即
，不等式解集为
或
，
存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；
当
，即
，不等式解集为
，
存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；
当
，即
，
当
时，
，
不等式解集为
，
∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去；
当
时，
，即
，
不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去；
当
时，
，
不等式解集为
，
∴原不等式的个整数解为：
，
∴
，则
；
综上所述：
.
22．已知函数
在区间
内有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】函数在区间
上有两个零点，即函数在
上与x 轴有两个交点，则需要满足
，
根据二次函数图像列出不等式即可求解.
【详解】由函数
在区间
内有两个零点，得到函数在
上与x 轴有两个交点，
所以
，即{
(a−1)
2−4>0
0<1−a<4
1>0
4+2(a−1)+1>0)
，
整理得{
a
2−2a−3>0
−3<a<1
2a+3>0 )
，解得
所以则
的取值范围为
.
故选：A.
23．已知方程
有一正根一负根，则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【分析】令
，根据条件得
，即可求解.
【详解】令
，其图象开口向上，
又方程
有一正根一负根，则
，
解得
，
故答案为：
.
24．若
在
上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解．
【详解】方程
在
上有两个不相等的实数根，
，解得
．
考点06 在实数集上恒成立问题
25．已知命题“
，
”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】当
时，不等式化为
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
对任意
恒成立，需满足：
，解得
，
综上可得
．
26．若命题“
，使得
”是假命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题化为
，都有
为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.
【详解】由
，使得
为假命题，
则
，都有
为真命题，
当
，则
，满足，
当
，则
，满足，
综上，
.
27．已知命题
，
，命题
，
．
(1)若命题
和命题
都是假命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
和命题
至少有一个为真命题，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出命题
，命题
为假命题时
的取值范围，进而得到结果即可；
（2）求（1）中的补集即可．
【详解】（1）若命题
，
为真命题，则
，即
.
所以若
为假命题，则
.
若命题
，
为真命题，
则
，即
.
若
为假命题，则
，
综上，命题
和命题
都是假命题，a 的取值范围为
；
（2）由（1）可知命题
和命题
都是假命题，a 的取值范围为
，
故命题
和命题
至少有一个为真命题，a 的取值范围为
．
28．若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由命题“
”为真命题，利用判别式，即可确定实数
的取值范围．
【详解】由命题“
”为真命题，
，
解得：
，
考点07 在某区间上的恒成立问题
29．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】转化问题为
对任意
恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解.
【详解】根据题意可得
对任意
恒成立，
而
，当且仅当
时等号成立，
则
，所以
，则
的最小值为
．
30．若二次函数
，满足对称轴为
，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若在区间
上，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为
的最
小值.
【详解】（1）二次函数
，
，
则
，
对称轴为
，
，则
，
所以
.
（2）不等式
恒成立，
即
恒成立，
即
，
令g( x)= x
2−3 x +1, x ∈[−1,1)，
对称轴为
，所以
在
上单调递减，
，
所以
，
实数
的取值范围为
.
31．若
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为
，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，
进而求解
的范围.
【详解】由已知得
，所以问题转化为
恒成立，
设
，则
，代入上式，所以问题转化为
时
恒成立，则只需
即
可，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
，所以
，解得
.
32．使命题
“
”为假命题的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若命题
“
”为假命题，
则命题
“
”为真命题.
由
，得
，所以
.
所以
.
33．已知不等式
的解集是
，若对于任意
，不等式
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
和是关于
的方程
的两个实数根，
所以
，解得
，
所以
，
由
得
，
当
时，
，
所以
，则的取值范围是
，故A 正确.
34．已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，则实数
的取值范围是
________．
【答案】
【分析】根据
的范围分类讨论，结合对于任意
，都有
成立，解不等式即可求解．
【详解】因为
是一个区间，所以
，
二次函数
的对称轴为直线
，
①当
时，即
，函数
在
上单调递增，
所以
，
要使对于任意
，都有
成立，则
，
所以
，解得
；
②当
时，即
时，
函数
在
处取得最小值，
，
则
，不等式无解；
③当
时，即
，函数
在
上单调递减，
所以
，
则
，不等式无解；
综上所述，
的取值范围是
．
考点08 在某区间上有解问题
35．若关于
的不等式
有解，则实数
的最大值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【详解】由关于
的不等式
有解，
得
，解得
，
所以实数
的最大值为2．
36．若存在
，使得不等式
成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得存在
，使得
成立，令
，
利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在
，不等式
成立，
则
，
能成立，
即对于
，
成立，
令
，
，
则
需要大于函数
在
的最小值，
则
，令
，
所以当
，
，
单调递增，
当
，
，
单调递减，
又
，
，
，
，
，
，
所以
，所以
.
故选：C.
37．已知命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是_____．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
又命题“
，
”为假命题，
即
，即
．
38．若关于
的不等式
的解集为空集，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据实数
的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可.
【详解】当
时，
，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意；
当
时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件：
，
综上所述：实数
的取值范围是
.
故选：B
39．设
，若关于
的不等式
在
上有解，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用分离常数法结合函数的单调性求
，结合
，计算即可．
【详解】
关于
的不等式
在
上有解，
，
，
，
令
，
，
且
，有：
，
，
，
，
，在
单调递增，
当
时，
，
，即
小于等于
．
故选：C
40．已知函数
．
(1)当
时，解关于
的不等式
；
(2)若存在
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先把二次不等式化为
，再分类讨论解不等式即可；
（2）参变分离，把能成立问题转化为
的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可．
【详解】（1）
，
化简得
，即
，
若
，即
，上式可化为：
，即
，解得
；
若
，即
，上式可化为：
，解得
；
若
，即
，上式可化为：
，
，
，
，
或
，
综上，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
．
（2）
不等式
，即
，
，
恒成立，
，
问题转化为：存在
，使得
成立，
，
设
，令
，则
，
（当且仅当
，即
时取等号），
，当且仅当
时取等号，
综上，
的取值范围为
．
考点09 一元二次不等式的实际应用
41．某工厂生产一种产品，其成本函数为
（元），其中
为产品数量（单位：件）.若每件
产品的售价为
元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于
元，那么至少需要生产多少件产品？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知平均成本y
x =2 x + 50
x +10；
要使平均成本不超过售价50 元则有2 x + 50
x +10≤50；
∵
，所以两边同乘以
得2 x
2−40 x +50≤0；
化简得x
2−20 x +25≤0，解得
；
∵
，
∴至少生产2 件产品.
（2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润
，
即
，
要使利润不低于100 元，则有
；
解得不等式的解集为
，
∴至少需要生产件产品.
42．某商品每件成本价为80 元，售价为100 元，每天售出100 件．若售价降低x 成（1 成
），售出商
品数量就增加
成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y 与x 之间的函数关系式
，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260 元，求x 的取值范围．
【答案】(1)
，定义域为
(2)
【分析】（1）求出售价降低
成后每件售价的价钱，销售量增加
成后售出商品的数量，列出
关于
的
函数，利用售价不能低于成本价得到
的不等式，从而得到函数的定义域.
（2）列出关于
的不等式，计算得解.
【详解】（1）售价降低
成后，每件售价为
元，
销售量增加
成后售出商品的数量为
件，
则
．
因为售价不能低于成本价，所以
．
所以
，定义域为
．
（2）由题意得
，化简得
，
解得
，所以
的取值范围是
．
43．（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量
件（
）与货价p 元/件之间的关系为
，
生产
件所需成本为
元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300 元?
（2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费
（单位：
万元）与仓库到车站的距离
（单位：km）成反比，每月库存货物费
（单位：万元）与
成正比；若在距
离车站10km 处建仓库，则
和
分别为2 万元和8 万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，
才能使两项费用之和最小?
【答案】（1）
且
；（2）5km
【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的
取值范围即可；
（2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值
即可.
【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本，
销售额为
，成本为
，
故利润函数为：
，
要求日获利不少于1300 元，即解不等式：
，
化简得：
，解得：
，
又因为
，故日产量为20 到45 之间的整数.
（2）设土地占地费
，库存货物费
，
由题意知，当
时，
，
，
得：
，所以
，即
；
，所以
，即
，
则两项费用之和为：
，
由均值不等式得：
，当且仅当
，即
时等号成立，
此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km 处.
44．某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润
（万元）与运营年
数
的关系为
(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过
万元？
(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？
【答案】(1)第年
(2)第年
【分析】（1）解不等式
，结合
，得出
的值，可得结论；
（2）利用基本不等式求出
的最大值，利用等号成立的条件可得出
的值，即可得出结论.
【详解】（1）令
，整理可得
，解得
，
因为
，故
，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过
万元.
（2）该新能源汽车的年平均利润为
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大.
45．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润
（单位：万元）
与年产量
（单位：台）的函数关系为
.假设生产的产品当年能全部
销售完，且每年最大产量为100 台．
(1)当年产量为20 台时，求公司所获年利润；
(2)当年产量不超过40 台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？
(3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？
【答案】(1)
万元；
(2)
台；
(3)
台.
【分析】（1）根据分段函数求值即可；
（2）解一元二次不等式
，即可得解；
（3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断.
【详解】（1）当年产量为20 台时，
（万元），
所以当年产量为20 台时，公司所获年利润为
万元；
（2）当年产量不超过40 台时，为实现年盈利，即
，
解得
，又因为
，所以
，
即为实现年盈利，该产品的年产量至少为
台；
（3）当
时，
，
此时当
时，在此区间内公司所获年利润最大值为
万元，
当
时，
，
当且仅当
时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为
万元，
综上可得：当该产品的年产量为
台时，公司所获年利润最大值为
万元.
46．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入
万元，则该材料的销售量可增加
吨，每吨的销售价格为
万元，另外生产
吨该材料还需要投入其他成本
万元.
(1)求出该公司本季度增加的利润
（单位:万元）与
之间的函数关系式.
(2)若要追加的总成本不超过3 万元，求
的取值范围.
(3)当
为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
【答案】(1)
；
(2)
的取值范围为
；
(3)当
为5 万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大
万元.
【分析】（1）由题意知，增加的利润
增加的产量售价
追加投入
投入的其他成本；（2）由题意知，
追加的总成本
追加投入
投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换
元法再结合基本不等式求解.
【详解】（1）由题知
，
又
，解得
，
所以
.
（2）由题知追加的总成本
，
整理得
，解得
，
又
，所以
的取值范围为
.
（3）由
知
，令
，则
，
代入函数解析式得
，
当且仅当
时，等号成立，
此时
，
.
故当
为5 万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大
万元.
