1.1 集合
4 大考点汇总
考点01 集合的含义与表示
考点02 集合间的基本关系
考点03 集合的基本运算
考点04 集合的新定义
题型专练
考点01 集合的含义与表示
1．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）
A．与给定A，B 等距离的点
B．比较小的数
C．
的近似值
D．3 班的高个子同学
【答案】A
【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B 等距离的点”确定，是线段
的垂直平分线，故A 中的对象能
构成集合；
对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B 中的
对象不能构成集合；
对于C，描述的对象“
的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C 中的对象
不能构成集合；
对于D，描述的对象“3 班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故
D 中的对象不能构成集合.
2．已知集合
，
，若
，则实数
__________．
【答案】
【详解】因为
，所以
.
得
，解得，
.
当
时，
，满足
；
当
时，
，满足
；
综上所述，
.
3．已知元素
，且
，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从
的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定
的值
【详解】由
，可知a 的可能取值为0,1,2,3；
再由
，可排除取值0、1、3；
因此
的取值只能为2.
4．设集合
，
，若
，则
的值为________．
【答案】
【分析】首先由集合元素的特征得
，再由集合相等分
和
两种情况解得.
【详解】由集合
，
，得
，
又因为
，则
或
，
当
时，
，
，
，
于是
，得
，因此
；
当
时，集合
，
，有
，则
，解得
与
矛盾，舍去.
因此
．
5．设
，
，其中
，若
，则
________．
【答案】1
【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解.
【详解】
，由元素互异性得：
，且
．
，由元素互异性得：
．
若集合
中
，则
，此时
，
，
由
得
，所以
，此时
，
符合要求；
若集合
中
，则
，此时
，
，这与
矛盾，故这种情况不成立，
综上可知
，
，故y
2024−x
2023=1．
6．已知集合
，则集合
的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】集合
，共有4 个元素，故选B.
考点02 集合间的基本关系
7．设集合
，则
的子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】
，
，所以
，所以
的子集的个数为4.
8．已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值集合；
(3)若
中有3 个整数，求实数
的取值集合；
(4)若
，求实数
的取值集合；
(5)若
，求实数
的取值取值集合；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）略
（2）略
（3）根据区间长度得
，解得
，接下来再分
，
，
和
，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解；
（4）根据集合的包含关系确定参数范围；
（5）根据集合的包含关系确定参数范围.
【详解】（1）因为
，
，所以
.
（2）因为
，
若
，则
，解得
，
所以实数
的取值集合为
.
（3）因为
，
中有3 个整数，
所以
，解得
，
当
时，
，符合题意，
当
时，
，
若
中有3 个整数，则
，即
，
此时集合
中的整数为
，符合题意；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，
若
中有3 个整数，则
，即
，
此时集合
中的整数为
，符合题意；
综上所述，实数
的取值集合为
.
（4）当
时，如图，此时
．
则
，即
，因此
的取值集合为
．
（5）当
时，如图，
此时
，解得
，此时无解；
当
时，由
，解得
．
综上可得：
的取值集合为
．
9．已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，解得
或
，所以
.
因为
，所以
或
，解得
或
或
.
经检验：当
时，
与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数
的取值集合为
.
10．已知集合
，
且
，则实数a 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可.
【详解】解：由
，则
集合中的所有元素必须属于
集合，
所以
，即a 的取值范围为
.
11．已知集合
，集合
．
（1）当
时，求
________；
（2）当
时，则实数m 的值为________．
【答案】
2
【分析】（1）根据交集的定义求解即可；
（2）由
，可得
，再根据集合的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得
，当
时，N ={x| x
2−3 x +2=0)= {1,2)，则
．
（2）因为
，所以
，因为
，所以
，
所以2 是关于x 的方程
的解，即
，解得
．
故答案为：
；
.
12．已知集合
，
，其中
．
(1)求集合
中的所有整数；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)集合
中的所有整数为
(2)
【分析】（1）先根据题意化简集合
，进而写出集合
中的所有整数即可；
（2）先根据题意化简集合
，再根据集合之间的关系得到
，进而分类讨论即可求出
的取值范围．
【详解】（1）由
，解得
，则
，
所以集合
中的所有整数为
．
（2）
，
当
时，
，此时
，满足题意；
当
时，
，所以
，即
，
又
，则
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
．
考点03 集合的基本运算
13．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，则
，解得
，
，
．
14．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，
，得
，
而
，则
.
15．已知全集为
，集合
或
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于
或
，
，
所以
，
所以
.
16．已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解.
【详解】由题意，得
，所以
.
17．已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出集合
，再根据集合并集求解即可.
（2）根据
得到
，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得2 x−1
x−2 <1⇔2 x−1
x−2 −1= x +1
x−2 <0⇔−1< x<2，
所以
，
当
时，
，
，
（2）
，
，
①若
，则
，解得
；
②若
，要使
，则
应满足．
，即
，解得
，
综上所述，所求实数a 的取值范围是
．
18．设全集为
，已知集合
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）将
代入，化简集合
，再由集合运算求出即可；（2）
等价于
，分
与
两类讨论求解即可；
【详解】（1）因为
， 即
，
所以
，即
，
所以
.
当
时，
，
所以
或
.
（2）因为
，所以
.
当
时，满足
，所以
，即
，
当
时，
，又因为
，
所以需满足
，
可解得
.
综上所述，所以
的取值范围为
.
考点04 集合的新定义
19．定义集合
且
，已知集合
，
，若
，则下列一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，集合
，集合
，
，
所以
，
，
，
选项A：因为
，所以
或者
（且满足集合元素的互异性）；
选项B：因为
，所以
一定成立；
选项C：当
时，集合
，集合
，
，C 错误；
选项D：当
，
时，集合
，集合
，
，D 错误.
20．当集合
是
的子集且
的元素个数有限，称
的所有元素之和为
的“厚度”.集合
的全部非空子集的厚度之和为（ ）
A．3200
B．1600
C．1550
D．800
【答案】B
【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可.
【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:
.
集合
的元素之和为
.
所以集合
的全部非空子集的厚度之和为:
.
21．已知集合
，
，集合
中所有元素的乘积称为集合
的“累积值”，且规定：当集
合
只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合
的累积值为
．
（1）若
，则这样的集合
共有________个；
（2）若
为偶数，则这样的集合
共有________个．
【答案】 2 13
【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可.
【详解】（1）若
，据“累积值”的定义得
或
，这样的集合
共有2 个；
（2）集合
的子集共有
个，
其中“累积值”为奇数的子集为
、
、
，共3 个，所以“累积值”为偶数的集合共有13 个．
22．对任意正整数
，记集合
均为非负整数，且
，集合
均为非负整数，且
．设
，
，若对任意
都有
，则称
．
(1)写出集合
和
；
(2)取
，
，写出两个
中的元素
、
，使得
；
(3)证明：对任意
，存在
，使得
．
【答案】(1)
，
(2)
，
（答案不唯一）
(3)证明见解析
【分析】（1）根据集合
与
的公式，写出集合和即可；
（2）设
，由题意可得
，由此可得出两个满足题设条件的元素
、
；
（3）任取
，设
，令
，只需证明
，即可证
明结论成立.
【详解】（1）由题意得
，
．
（2）设
，由
以及
可得
，
故满足题设条件的两个元素可以为
，
.
（3）对任意
，设
，
则
、
、
、
均为非负整数，且
．
令
，则
，
所以
，且
．
23．对任意正整数
，定义集合
.设
，
定义：
，
.
(1)
__________
（填“
”或“
”）；
__________
（填“
”或“
”）；
(2)设
，
，
，
，求
；
(3)证明：对任意
，存在
，满足：
，且
.
【答案】(1)
；
；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）
，故
，
是
的真子集，故
；
（2）
，
为偶数，
必为偶数，推出
，此时
，又
，同理可得
，
，求出答案；
（3）设
，
，由绝对值不等式得到
，
，同理可得
，
，而
中有
个元素，
，所以必存在
中的两个不同的元素
，令
，
满足要求.
【详解】（1）显然
，故
，
，
，
由于
是
的真子集，故
，
（2）设
，则
∴
必为偶数，因此
.
当
时，
，与
矛盾；
当
时，
，与
矛盾；
所以
.
又因为
，所以同理得
.
所以
.
（3）设
，
，
则
，
任取
，令
，
则
，
，
所以
，
同理
，
而
中有
个元素，
，
所以必存在
中的两个不同的元素
，使得
，
令
，则
，且
且
.
24．给定正整数n（
），记集合
或
且
.对于由
中的三个元素组成的子集
，若满足对于任意
，
均为偶数，则称该三元子集具有性质T.
(1)在
的子集中，写出一个具有性质T 的三元子集；（结论不要求证明）
(2)证明：在
的子集中，不可能选出10 个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集；
(3)在
的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集？说明理由.
【答案】(1)故答案不唯一，如
(2)证明见解析
(3)
，理由见解析
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解；
（2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可；
（3）分别分析
，
，
中满足条件的子集个数，类比得出结论即可.
【详解】（1）由题意，
或
且
，
即
，
则满足性质T 的三元子集不唯一，如
.
（2）由题意，
中共有
个元素，故最多能选出
个两两交集为空集的三元子集．
将
中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，
第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于
；
同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16.
假设能选出10 个符合题意的三元子集，由题意，这10 个三元子集覆盖了
中的30 个元素，
且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数．
故
中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为
．
这与
矛盾．
所以在
的子集中，不可能选出10 个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
（3）记
，其中
为偶数．不妨假设
时
有意义．
当
时，
的三元子集只有一个
，且具有性质
，
所以在
中最多能选出
个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
记
中具有性质
的三元子集为
．
当
时，
中有
个元素，故最多有
个两两交集为空集的三元子集．
因为
的子集{(0,1,a1,a2),(1,0,b1,b2),(1,1,c1,c2)), {(1,0,a1,a2),(1,1,b1,b2),(0,1,c1,c2))，
和
{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,0)}为两两交集为空集，且具有性质
的三元子集（共5 个），
所以在
的子集中，最多能选出t 4= 2
4−1
3
=5个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
设{(d1,d2,d3,d4),(e1,e2,e3,e4),(f 1,f 2,f 3,f 4))为
中上述具有性质
的三元子集中的任意一个，
同理，得
中有
个元素，即最多能有2
6−1
3
个两两交集为空集的三元子集，
且对于
，可以对应构造出4 个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集，
即{(0,1,d1,d2,d3,d4),(1,0,e1,e2,e3,e4),(1,1,f 1,f 2,f 3,f 4))，
{(1,0,d1,d2,d3,d4),(1,1,e1,e2,e3,e4),(0,1,f 1,f 2,f 3,f 4))，
{(1,1,d1,d2,d3,d4),(0,1,e1,e2,e3,e4),(1,0,f 1,f 2,f 3,f 4))，
{(0,0,d1,d2,d3,d4),(0,0,e1,e2,e3,e4),(0,0,f 1,f 2,f 3,f 4)).
又因为{(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(1,1,0,0,0,0)}为
中具有性质
的三元子集，且与上述集合的交集为
空集，
所以在
的子集中，最多能选出4t 4+1= 2
6−1
3
=t6个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
以此类推，得在
的子集中，最多能选出4t2024+1= 2
2026−1
3
=t2026个两两交集为空集，且具有性质
的
三元子集．
