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考点巩固卷 02 一元二次不等式及基本不等式（十大考点）考点01：一元二次不等式与二次函数
① 意味着y=ax2 +bx+c中y>0部分，
②ax2 +bx+c<0意味着y=ax2 +bx+c中y<0部分 ，
处理技巧：ax2 +bx+c=a(x−x )(x−x )，求出两个根 x ， x ；根据图像可知：开口向上时，大于取
1 2 1 2
两边，小于取中间，开口向下时，大于取中间，小于取两边.
注意：处理此题时，主要确定a的正负及快速画出图象
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， ，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．设集合 ，则（ ）
A．
B． 的元素个数为16
C．D． 的子集个数为64
6．已知集合 则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合 ，集合 且 ，若 ，则 的取值
范围是 .
8．已知集合 ， ，则 .
考点02：一元二次不等式韦达定理
模型一：已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 +bx+a>0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 +b +c>0 的解集为( , )，即关于 的不等式
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x n m x
1 1
的解集为( , )．
cx2 +bx+a>0 n m
已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 +bx+a≤0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 +b +c≤0 的解集为(−∞, ]∪[ ,+∞)即关于 的不等
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x n m x
1 1
式 的解集为(−∞, ]∪[ ,+∞)．
cx2 +bx+a≤0 n m
模型二：已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 −bx+a>0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 −b +c>0 的解集为(− ,− )即关于 的不等式
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x m n x
1 1
的解集为(− ,− )．
cx2 −bx+a>0 m n
已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 −bx+a≤0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 −b +c≤0 的解集为(−∞,− ]∪[− ,+∞)即关于 的不
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x m n x
1 1
等式 的解集为(−∞,− ]∪[− ,+∞)，
cx2 −bx+a≤0 m n
9．若关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，则实数 的取值集合是（ ）A． B．
C． 或 D． 或
10．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，其中 ， ， 为常数，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
11．关于 的不等式 的解集是 ，且 ，则实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
12．不等式 的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．R
13．若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．已知不等式 的解集为 且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或15．若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
17．不等式 的解集为 ，则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为 或
18．已知关于x的不等式 的解集为 ，求关于x的不等式 的解集
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
19．若关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．不等式 的解集是B．
C．不等式 的解集为
D．设x的不等式 的解集为N，则
20．已知关于x的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．关于x的不等式 的解集是
C． D．关于x的不等式 的解集为 或
21．已知关于 的一元二次不等式 的解集为{ 或 }，则（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
22．已知关于 的不等式 的解集为 ，或 ，则（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集是 ，或
23．不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（用集合表示） ．
24．若不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为
．
考点03：含参、乘除的等价穿根法f(x)
①若 <0，则 与 异号， ．
g(x) f (x) g(x) ∴f(x)g(x)<0
f(x)
②若 g(x) ≤0，则f (x) 与g(x) 异号， ∴f(x)g(x)≤0，且g(x)≠0．
f(x)
③若 >0，则 同号， ．
g(x) ∴f(x)g(x)>0
f(x)
④若 ≥0，则 同号， ，且 ．
g(x) ∴f(x)g(x)≥0 g(x)≠0
数轴穿根法
f(x)=(x−x )(x−x )...(x−x )>0
或
f(x)=(x−x )(x−x )...(x−x )<0
1 2 n 1 2 n
口诀：高系为正上穿下，右穿左，奇穿偶回上为正.
25．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
26．已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
28．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件29．已知 ，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
30．若关于 的不等式 的解集是 ，关于 的不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
31． ， ，则 .
32．不等式 的解集为 .
33．若关于 的不等式 的解集为 ，则 ．
34．已知全集 ，集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
35．已知全集 ，集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
36．已知集合 ，集合 ，
(1)求集合B（用区间表示）(2)若 ，求实数a的取值范围；
37．已知关于 的不等式 .
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求不等式的解集.
考点04：对勾函数解决最值问题
x
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f (x)=ax+
b
√b √b
当 同号时，顶点坐标为：( ,2√ab)和(− ,−2√ab)
a,b a a
注意：对勾函数解决中间项带参数问题.
38、若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
39、若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
40、已知函数 对任意 恒有 成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
考点05：定动区间定动轴
针对此类题目应遵循以下步骤
第一步：快速画出三个图象（谁定先画谁，然后左中右）
第二步：分别写出三个图象的约束条件从而求参数范围.
41．对任意 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
43．若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
44．当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
45．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
46．已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
47．命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
48．命题：“ 使得不等式 成立”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
49．若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
50．若关于 的不等式 在 上有实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
51．若关于x的不等式 在 上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
52．若关于 的不等式 在区间 内有解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
53．已知函数 在 上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ．
54．关于 的不等式 的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个 的取值范围
.
考点06：利用不等式性质比较大小思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序
如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序
③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序
④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性
思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐
55．若 ，则使“ ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
56．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最小值为2
C． D． 的最小值为2
57．设a，b，c，d为实数，且 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
58．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则 的最小值为4
D．若 ， ， ，则 的最小值为4
59．已知 且 ， ．则下列关系一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
60．已知 ，下列选项中是“ ”的充分条件的是（ ）A． B．
C． D．
考点07：不等式二级结论1热点不等式
a2 b2 a2 b2 (a+b) 2
通过对柯西不等式变形可知( + )(x+y)≥(a+b) 2 在 时，就存在 + ≥ 当
x y a,b,x,y>0 x y x+y
a b a2 b2 c2 (a+b+c) 2 a b c
= 时，等号成立．同理 + + ≥ ,当 = = 时，等号成立．
x y x y z x+y+z x y z
1 1 4
61、求证： + ≥ ．
a−b b−c a−c
1 4 9
62、 ，求证： + + ≥36.
a+b+c=1 a b c
x2 y2
+
63、
x , y
为正实数，且x+y=1，则x+2 y+1的最小值是 .
x2 y2 z2
+ +
64、已正数 x,y,z 满足x+y+z=1,则y+2z z+2x x+2 y 的最小值为 .
考点08：不等式二级结论2权方和不等式
权方和不等式也称热点不等式的延伸
(a ) m+1 (a ) m+1 (a ) m+1 (a +a +⋯+a ) m+1
1 2 n 1 2 n
若 则 + +⋯+ ≥
a >0,b >0,m>0. (b ) m (b ) m (b ) m (b +b +⋯+b ) m
i i 1 2 n 1 2 n
a a a
1 2 n
当仅当 = =⋯= 时，等号成立. 为该不等式的和，它的特证是分子的幂比分母的幂多一次.
b b b
1 2 n m
3 1
关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为 次，分母为 次.
2 2
c a b 3
+ + ≥
65、若ΔABC三边对应分别为a , b , c.求证：a+b b+c c+a 2.
1 1 1
+ +
66、若abc=1 , a>0 , b>0 , c>0，求a3 (b+c) b3 (c+a) c3 (a+b)最小值.1 8
+
67、设x，y是正实数且满足x+y=1，求x2 y2 最小值.
( π) 27 64
68、若 x∈ 0 , ，求证： + ≥125 .
2 sinα cosα
考点09：判别式在不等式中的应用
x,y k x y
题目给定关于 的一个二次式，要求其他代数式的值，可以直接令目标为 ，反解，转化成关于 或
Δ≥0 k
的一元二次方程，利用 解出 的取值范围.
69、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A． B． C．5 D．6
70、设 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．25 C．11 D．
71、设 ， 均为正数，且 ，则 的最大值为（ ）
xy 1
=
72、若存在正实数y，使得y−x 5x+4 y ，则实数
x
的最大值为_______
a,b,c a+b+c=0 a2 +b2 +c2 =1 a
73、已知实数 满足 则 ，则 的最大值为___
考点10：不等式常考模型
a b
柯西不等式：设 a ， b ， c ， d∈R+ ，有 (a+b)(c+d)≥(√ac+√bd) 2 当且仅当 c = d 时等号成立．
形式一：一次与分式模型
m n 1 1 √ 1 √ 1
(a+b)( + )≥(√m+√n) 2其中 ，例如(a+b)( + )≥( a + b ) 2 =4；
a b a,b∈R+ a b a b
形式二：分式与分式模型（分母和为定值）a b a b
+ =[(x)+(1−x)]( + )≥(√a+√b) 2
x 1−x x 1−x
形式三：高低和积配凑模型
已知x2 +y2 的值，求x+y的取值范围，或者已知x+y的值，求2x2 +3 y2 的最值或者求 √x+√y的最
值
即(x2 +y2 )(m2 +n2 )≥(mx+ny) 2 ，其中m，n∈R+ 例：(a2 +b2 )(1+1)≥(a+b) 2
形式四：同次和积配凑模型
已知xy的值，求(x+m)(y+n)(m,n∈R )的最值，利用(x+m)(y+n)≥(√xy+√mn) 2 求最值．
+
1 16
74、 ，且 + =1 ，则 ．
x,y∈R+ x y (x+y) =
min
1 9
75、已知 ，则( + ） = ．
0−1,y>−1 (x+1)(y+1)=9 xy
77、已知 ，且 ，则 的最大值是 ．
2 1
+
78、已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=2,则x+3 y x−y 的最小值为 ．
