文档文本内容
1.3 等式性质与不等式性质
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、两个实数比较大小的方法................................................................................................3
知识点二、等式的性质........................................................................................................................3
知识点三、不等式的性质....................................................................................................................3
知识点四、常用二级结论....................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................8
题型一：数与代数式大小比较（必考基础）....................................................................................8
题型二：不等式性质的应用（必考基础）......................................................................................10
题型三：不等式证明..........................................................................................................................12
题型四：由不等式条件求范围（高频考点）..................................................................................15
题型五：不等式综合应用（压轴小题）..........................................................................................17
题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型）..........................................................................19
05 课后拓展精练................................................................................................................................23
知识点一、两个实数比较大小的方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b =1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
知识点二、等式的性质
性质1 对称性：如果
，那么
；
性质2 传递性：如果
，
，那么
；
性质3 可加(减)性：如果
，那么
；
性质4 可乘性：如果
，那么
；
性质5 可除性：如果
，
，那么
.
知识点三、不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a ；
性质2 传递性：a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c ；
性质3 可加性：a>b⇔a+c>b>c ；
性质4 可乘性：a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ；
性质5 同向可加性：a>c ，c>d⇒a+c>b+d ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd ；
性质7 同正可乘方性：
.
知识点四、常用二级结论
1、浓度不等式
(1) 浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
通俗的理解：
克的不饱和糖水里含有
克糖，往糖水里面加入
克糖，则糖水更甜
(2) 浓度不等式的倒数形式：设
，
，则有
>
.
1．（2024 年上海春季高考试题）
，
，
，
，下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，若
，则
，选项不成立，故A 错误；
对于B，由不等式的可加性可知，
，故B 正确；
对于C、D，若
，则选项不成立，故C、D 错误．
故选：B．
2．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取
，满足
，
，知A 错，排除A；因为
，知B 错，排除
B；取
，满足
，
，知D 错，排除D，因为幂函数
是增函数，
，所
以
，故选C．
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））若a>b>0，且ab=1，则下列不
等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
，所以
设
，则
，所以
单调递增，
所以
，所以选B.
5．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
（
R），由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，
B 正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所以
C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
6．（2022 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））
，
，则
的最小值是
___________.
【答案】
/
【解析】设
，则
，解得
，
所以，
，
因此，
的最小值是
.
故答案为：
.
7．（2010 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学）已知
且
，则
的取值范围是 _______ （答案用区间表示）
【答案】（3,8）
【解析】设
，
则
，解得
，即
，
又
且
，
且
，
.
故答案为：（3,8）
题型一：数与代数式大小比较（必考基础）
【解题妙招】
比较大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
例1．（2026·高三·北京·阶段检测）已知
且
，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A：
，A 正确；
对于B：取
，
，
，
，B 错误；
对于C：因为
，所以
，因为
，所以
，当
时，
，此时，
，选项C 正确；
当
时，
，根据均值不等式，
，因为
，故
，
选项C 正确；
对于D：因为
，所以
，因为
，所以
，
，选项D 正确.
例2．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】实数
满足
，
，y - z>0,(x - y)( y - z)>0，A 项错误；
，但是
正负不确定，B 项错误；
，但是
正负不确定，C 项错误；
x - z> y - z>0 ，所以
，D 项正确.
例3．（2026·高三·北京·阶段检测）已知
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，当
，
，
时，
，故A 错误；
对于B，当
，
，
时，
，故B 错误.
对于C，当
，
，
时，
，故C 错误；
对于D，因为
，
，所以
，故D 正确.
变式1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
，所以
，即
，故A 错误；
对于B，当
时，
，
，此时
，故B 错误；
对于C，
，
因为
，所以
，即
，又因为
，所以
，
因此
，即
，故C 正确；
对于D，余弦函数
在
上单调递减，所以
，
又因为函数为偶函数，所以
，故D 错误.
变式2．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品
提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案：
方案甲：第一次提价
，第二次提价
；方案乙：第一次提价
，第二次提价
；
方案丙：第一次和第二次均提价
；
方案丁：第一次提价
，第二次降价
；
其中
，则四个方案中提价最多的方案为（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【解析】设商品原价为
，
对于甲：最终价格为
；
对于乙：最终价格为
；
所以甲、乙方案结果相同，
对于丙：最终价格为
；
由均值不等式，
，所以方案丙的最终价格高于甲、乙，
对于丁：最终价格为：
，该式存在负项，所以明
显小于其他方案的结果，
综上，提价最多的是方案丙.
题型二：不等式性质的应用（必考基础）
【解题妙招】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、构造函数，利用函数的单调性．
3、利用特殊值法排除错误选项.
例4．（2026·浙江·一模）对实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对实数
，当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
则“
”是“
”的充要条件.
故选：C.
例5．（2026·高三·江苏常州·期末）已知实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若
，不妨取
,
,此时
,所以
不能推出
，
若
等价于
,因为
，所以
,
即
能推出
,
综上，“
”是“
”的必要且不充分条件，
故选：B
例6．已知
，且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且
，
所以
，
，故CD 错误；
因为
，
，所以
即
恒成立，故A 正确；
取
，
，则
，但此时
，故B 未必成立.
故选：A
变式3．（2026·高三·山西大同·阶段检测）在
四个数中（ ）
A．任意三个数不能同时等于0
B．任意两个数之和不等于另两个数之和
C．至少有一个数不大于3
D．至少有一个数不小于1
【答案】D
【解析】当
时，
，A 错误；
令
，则
，
，
若
，即
，则四个数相等，B 错误；
不妨取
，
则
，C 错误；
记
为四个数中最大的数，
当
时，
故
，
当
时，
，（
时的条件不唯一）；
当
时，
不妨设
，则只需考虑
且
的情况，
此时
，故
，故当
时，
，
综上所述，
，D 正确；
故选：D.
变式4．已知a，b，c 满足
且
，则下列选项中不一定能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，不等式
两边同除以正数
，不等号方向不变，因此
一定成立，A 正确；
由
得
，又
，负数除以负数结果为正，因此
一定成立，B 正确；
取
，满足条件，但此时
，C 错误；
由
得
，且
，正数除以负数结果为负，因此
一定成立，D 正确.
题型三：不等式证明
【解题妙招】
证明大小的常用方法
(1)作差法
(2)作商法
例7．已知
，
(1)求
的取值范围；
(2)比较两个代数式的大小：
与
．
【解析】（1）
，
，
，
；
（2）
，
．
例8．已知
，
，
，判断M，N 的关系?
【解析】由
.
①当
时，
，即
；
②当
时，
，即
；
③当
，
中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，
，即
.
综上所述，当
或
时，
；
当
，
中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，
.
例9．（1）比较大小：
与
；
（2）设
，比较
与
的大小.
【解析】（1）
，
因为
，所以
，
即
.
（2）由
，得
，
，
，
因此
，
所以
.
变式5．加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，
每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式
更经济，请回答以下问题：
(1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？
A．多次加油的钱数总和；
B．多次加油的油量总量；
C．多次加油的平均单价.
(2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为
元/升和
元/升，如果两次加油都
采用第一种策略，设每次加油
升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油
元，请用上面你选择
的标准比较哪种策略更经济；
(3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济；
(4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明）
【解析】（1）对于A，多次加油的钱数总和：总花费受总油量影响，策略不同导致总油量不同，无法直接
比较经济性；
对于B，多次加油的油量总量：总油量受油价变化影响，但未考虑总花费，无法反映成本效率；
对于C，多次加油的平均单价：定义为总花费除以总油量，即单位油量的平均成本，能直接衡量经济性
（平均单价越低越经济），
所以合适的是C.
（2）第一种策略，两次加油的平均单价为
；
第二种策略，两次加油的平均单价为
，
而
，当且仅当
时取等号，因此当
时，
，
所以第二种策略更经济.
（3）设三次加油的单价分别为
元/升、
元/升和
元/升，
，
第一种策略，每次加油
升，三次加油的平均单价为
；
第二种策略，每次加油
元，三次加油的平均单价为
，
则
，即
，
当且仅当
时取等号，当
不全相等时，
，
所以第二种策略更经济.
（4）由(2)(3)可以归纳出更一般结论：在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一
定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济.
变式6．已知
，
，对任意的实数
，求证：
(1)
；
(2)
．
【解析】（1）证明：因为
，
，
都是正数且
，
，可得
，
所以
，
也是正数．
又因为
，
即得
．
（2）证明：由于对正数
和
，可得
，
故
，则
，
从而
，
两端
次方得
．
题型四：由不等式条件求范围（高频考点）
【解题妙招】
在利用不等式的性质求代数式的取值范围时，需注意以下关键要点：
首先，必须严格遵循不等式的性质。不等式的性质是求解取值范围的基础，任何违反性质的操作都可
能导致结果错误。其次，需警惕多次运用不等式性质时可能导致的变量取值范围扩大。在复杂问题中，若
分步处理不等式，每一步的运算都可能引入额外误差，最终导致所求范围超出实际解集。例如，对不等式
进行多次平方或开方操作时，可能引入非原解集的解。
例10．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可知
，
由
可得
，又
，
所以
，即
的取值范围是
.
例11．（2026·高三·全国·二轮复习）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原式的分子和分母同时除以
，得
，
由条件得
，
，所以
，即
，
所以
，
所以
，则则
的取值范围是
.
故选：D.
例12．已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
所以
，解得
，
即
，
，
则
，
因此
.
故选：D.
变式7．（2026·高三·广东汕头·期末）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，则
.
故选：C
变式8．已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
则
，解得
，所以
；
又
，
，
所以
，
所以
.
故选：B.
题型五：不等式综合应用（压轴小题）
【解题妙招】
综合利用等式与不等式的性质进行求解.
例13．（2026·高三·陕西西安·自主招生）设实数
，
，，
，满足
，且任意两数之
和共10 个数中最小的三个数是
，最大的两个数是
.则
________.
【答案】
/
/
【解析】因为
，且任意两数之和共10 个数中最小的三个数是
，所以
，
所以
.
因为最大的两个数是
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
所以
.
故答案为：
.
例14．已知
表示
中的最大者，若
，
，则
的最小值为_____.
【答案】3
【解析】设
，
则
，
因为
，
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，解得
，
所以m 的最小值为3，即
的最小值为3．
故答案为：3．
例15．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z 满足
或
，记
（M 为x，y，z 中最大者），则M 的最小值为______．
【答案】
【解析】若
，由
，可得
，
所以
，即
，
若
，则有
，所以
，即
，
故
的最小值为
．
故答案为：
变式9．设
表示
，
，中最大的数，设
，且
，则
的最小值为__________．
【答案】
/0.2
【解析】令
其中
，
所以
，
因为
，则
，即
，
，
则
,故
,则
，
当且仅当
且
时等号成立，
如取
时可满足等号成立，
所以
的最小值为
，
故答案为：
变式10．（2026·高三·海南海口·阶段检测）已知
，且
，则
的最
小值是_________.
【答案】
【解析】令
其中
，
所以
，
若
，则
，故
，
令
，
因此
,故
,则
，
当且仅当
等号成立，取
时可满足等号成立，
可知
的最小值为
，
故答案为：
.
题型六：浓度相关不等式问题（基础应用题型）
【解题妙招】
浓度不等式定理：若
，
，则一定有
>
例16．（1）已知
糖水中含有
糖（
），若再添加
糖完全溶解在其中，则糖水变得
更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则
__________
.（填“>，<，=，≥，≤”之
一）.
（2）
，
，则M________N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
【答案】
【解析】（1）∵
，
又∵
，
，
∴
，即
；
（2）因为
，
，
故
.
故答案为：
；
.
例17．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量
分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等
式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
___________
(用“
”或“
”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【答案】
【解析】空1：因为
，所以可得：
；
空2：由空1 可得：
，即
.
故答案为：
；
例18．
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再
添加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，
，A 错误；
对于B，
，
，则
，B 错误.
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，
，D 错误；
故选：C
变式11．（多选题）生活经验告诉我们：
克糖水中有
克糖（
，
，且
），若再添加
克
糖（
）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：
.根据“糖水不等式”等知识判断，下
列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
且
，则
C．若
，
，为
三条边长，则
D．若
，
，为
三条边长，则
【答案】ACD
【解析】对于A，
，
，即
，故A 正确；
对于B，当
，
时，
，
，故B 错误；
对于C，由题，
，则
，
，
又
，所以
，故C 正确；
对于D，
，
，
，
，故D 正确.
故选：ACD.
变式12．（多选题）生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖
且
，若再添加c 克糖
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：
趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的
性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
的大小关系随m 的变化而变化
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则一定有
【答案】BCD
【解析】对于A，
，
，
，
，故A 错误，
对于B，
，
，
，
，故B 正确，
对于C，
，
，
，
，
，
，故C 正确，
对于D，
，
，
，
，
，故D 正确，
故选：BCD
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
，且
，
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
，
可得
，
即
，
将
代入，可得
.
2．（2026·云南昆明·模拟预测）设
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，若取
，但
，不满足
，故A 错误；
对于B，若取
，
，则
，不满足
，故B 错误；
对于C，因
，当且仅当
时取等，
即当
时，
取得最小值
，而
,故C 错误；
对于D，令
，则t a
2-a+t b
2-b+2t =0可看作关于
的一元二次方程有正数解，
所以
，整理得4t
2b
2- 4tb+8t
2-1≤0，此时可看作关于
的一元二次不等式有正
数解，
则
，可得
，因
，则得
，当
时取等，故D 正确.
3．设
，下列不等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，
，即
；
，得
，即
，故A 正确；
对于B，
，由均值不等式得
，即
，∴ab<(
a+b
2 )
2
，故B 正确；
对于C、D ，
，由均值不等式得
，∴
1
a+b <
1
2❑√ab ；
，即
，故C 错误，D 正确.
4．（2026·浙江·二模）已知
且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，
由
，所以
，故
，充分性成立，
由
，得
或
，必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
5．（2026·河北雄安·三模）若实数
，
满足
，对于以下各式：①
；②
；
③
；④
，其中不可能成立的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
，
若
，由
在
上单调递减，
则0.3
x+0.7
x<1，故
，即
，
又
，
故
，故①可能成立，②不可能成立；
若
，则0.3
x+0.7
x>1，故
，即
，
又
，
故
，故③可能成立，④不可能成立；
故其中不可能成立的个数是
.
6．（2026·江苏南通·三模）已知三个不相同的正整数的平均数是11，且最大数与最小数的差为6，则中间
的数为（ ）
A．9
B．11
C．13
D．15
【答案】B
【解析】三个不相同的正整数分别为
，
，
则
，
，
故
，则
，故
，解得
，
又
，即
，解得
，
故
，又
为正整数，故
，故
，中间值为11.
7．（2026·北京昌平·二模）设
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A：
，取特殊值
，
，则
，
，原
不等式不成立，故A 错误.
选项B：指数函数
在
上单调递减，由
，得
，即
，故B 错误.
选项C：
.取特殊值
，
，则
，
，
，不等
式不成立，故C 错误.
选项D：正弦函数
在
上单调递增，由
，得
，即
，不等式恒成立，
故D 正确.
8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为
，
，
由于
，则
，
即
，故A 错误；
对于B，由
，则
，而
，则
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，由
，
，
则
，故D 正确.
9．（多选题）（2026·湖北黄冈·三模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为
，
，
，所以
，
当且仅当
时取等号，即
，所以
，所以A 不正确；
对于B，因为
，
当且仅当
时取等号，所以B 正确；
对于C，因为
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以C 正确；
对于D，因为
，
，且
，所以
，
又因为
，可得
，所以D 不正确.
10．（多选题）（2026·青海西宁·模拟预测）下列不等式中成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【解析】对于A：当
时，
，故A 错误；
对于B：因为
，则
，故得
，故B 正确；
对于 C：若取
，
，满足
，
因
，
，
，显然不满足
，故 C 错误；
对于D：由
，得
且
，
因
，可得
，故D 正确.
11．（多选题）（2026·河南·三模）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】BD
【解析】选项A，已知
，因为
，当
时，
，不满足
，所以
，
则
．
不等式
两边同时除以
，不等号方向不变，可得
．
当
时，满足
，但此时
，所以选项A 错误．
选项B，已知
，因为
和
都有意义，所以
．
不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得
，即
。
因为函数
在
上单调递增，所以由
可得
，选项B 正确。
选项C，
，
因为
，所以
，
，则
，
所以
，即
，选项C 错误．
选项D，已知
，不等式两边同时乘以
，不等号方向改变，可得
，
又因为
，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变，
可得
，即
，选项D 正确．
12．已知函数
，若正实数
满足
，则
的取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为
单调递增，函数
的图象如下图所示：
由
可知
，又因为
，所以
；
则
，
又因为函数
在
上单调递增，所以
；
所以
的取值范围是
.
故答案为：
13．（2026·高三·全国·一轮复习）（1）已知
，
，则
的取值范围是________．
（2）已知
，
，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】（1）因为
，所以
，因为
，
所以
，所以
的取值范围是
.
（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，即
，解得
.
将
代入
中得
，即
，
得
，所以
，所以
的取值范围是
.
故答案为：（1）
；（2）
.
14．（2026·高三·浙江杭州·期中）已知实数a，b 满足
，则
的取值范围为
________．
【答案】
【解析】设
，
联立
，解得：
，
，
所以
，解得
，
又
，解得
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
