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考点巩固卷 02 一元二次不等式及基本不等式（十大考点）考点01：一元二次不等式与二次函数
① 意味着y=ax2 +bx+c中y>0部分，
②ax2 +bx+c<0意味着y=ax2 +bx+c中y<0部分 ，
处理技巧：ax2 +bx+c=a(x−x )(x−x )，求出两个根 x ， x ；根据图像可知：开口向上时，大于取
1 2 1 2
两边，小于取中间，开口向下时，大于取中间，小于取两边.
注意：处理此题时，主要确定a的正负及快速画出图象
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求解对数不等式和一元二次不等式，求得集合 ,利用数轴求交集即得.
【详解】由 可得 ，则 ，即 ；
又由 可得 ，即 ，
故 .
故选：A.
2．已知 ， ，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断.
【详解】由 得 ，由 得 ，
则 是 的必要不充分条件.
故选：B.
3．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式，根据补集的定义即可求解。
【详解】集合 ，所以 ，
故选：B
4．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A，根据子集关系列式运算得解.
【详解】由 ，解得 ，所以集合 ，
又 ，所以 .
故选：C.
5．设集合 ，则（ ）
A．
B． 的元素个数为16
C．
D． 的子集个数为64
【答案】BCD
【分析】解二次不等式化简集合 ，进而求得集合 ，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合
子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.【详解】对于ABC，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 有 个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而 有 个元素，所以 的子集个数为 ，故D正确.
故选：BCD.
6．已知集合 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先求解不等式 得集合 ，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系
即可一一判断正误.
【详解】由 可得 或 ，即 或 .
对于A项， 或 ，故A项错误；
对于B项， 或 ,故B项正确；
对于C项，因 或 ，故 ，故C项正确；
对于D项， ，故D项正确.
故选：BCD.
7．已知集合 ，集合 且 ，若 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】解一元二次不等式可得 ，再对参数 进行分类讨论并利用对数函数单调性解对数
不等式，由交集结果求得 的取值范围.
【详解】由已知可得 ；①若 ，则 ，由 ；
②若 ，则 ，此时 ，不符合题意．
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：
8．已知集合 ， ，则 .
【答案】
【分析】求出集合 中元素范围，然后求交集即可.
【详解】 ，
，
则 .
故答案为：
考点02：一元二次不等式韦达定理
模型一：已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 +bx+a>0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 +b +c>0 的解集为( , )，即关于 的不等式
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x n m x
1 1
的解集为( , )．
cx2 +bx+a>0 n m
已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 +bx+a≤0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 +b +c≤0 的解集为(−∞, ]∪[ ,+∞)即关于 的不等
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x n m x
1 1
式 的解集为(−∞, ]∪[ ,+∞)．
cx2 +bx+a≤0 n m
模型二：已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 −bx+a>0．1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 −b +c>0 的解集为(− ,− )即关于 的不等式
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x m n x
1 1
的解集为(− ,− )．
cx2 −bx+a>0 m n
已知关于x的不等式ax2 +bx+c>0的解集为(m,n)，解关于x的不等式cx2 −bx+a≤0．
1 1 1 1
由 的解集为 ，得: a( ) 2 −b +c≤0 的解集为(−∞,− ]∪[− ,+∞)即关于 的不
ax2 +bx+c>0 (m,n) x x m n x
1 1
等式 的解集为(−∞,− ]∪[− ,+∞)，
cx2 −bx+a≤0 m n
9．若关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】对不等式因式分解，分 ， ， 三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数
得到不等式，求出答案.
【详解】 ，
当 时，不等式解集为 ，此时恰有3个整数解，
则3个整数解分别为 ，故 ，解得 ，
当 时，不等式解集为 ，此时恰有3个整数解，
则3个整数解分别为 ，故 ，解得 ，
当 时，不等式解集为 ，不合要求，
故实数 的取值集合为 或 .
故选：D
10．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，其中 ， ， 为常数，则不等式
的解集是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到 的关系，再根据一元二次不等式的解法，
即可求解.
【详解】因为关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
所以 ，且 和 是一元二次方程 的两根，
所以 ，解得
所以不等式 可化为 ，即 ，
解得 ，则不等式 的解集是 ．
故选：A
11．关于 的不等式 的解集是 ，且 ，则实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出 ， ，再根据 ，即可求出．
【详解】关于 的不等式 的解集是 ，
∴ 是方程 的两个根，∴ 即 ，
∴ 或 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
解得 ，
综上所述 ，或 ，
故选：D.
12．不等式 的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．R
【答案】D
【分析】根据不等式特点对参数 进行分类讨论，当 时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；
当 时，不等式为一元二次不等式，需结合一元二次不等式对应的一元二次方程及二次函数即可求解.
【详解】根据题意，当 时，原不等式为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，
当 时，不等式对应的二次函数为 ，开口向上，对应方程 根为
和 ，
又因为当 时， ，所以不等式的解集为 ；当 时，不等式对应的二次函数为 ，开口向下，对应方程 根为
和 ，
当 ，即 ，不等式的解集为 ；
当 ，即 ，不等式的解集为 ；
当 ，即 ，不等式的解集为 .
综上所述，不等式 的解集不可能是 .
故选：D.
13．若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 且 ，将 化为 求解即可.
【详解】由于关于 的不等式 的解集是 ，
所以 则有 且 ，
所以 等价于 ，
解得 ，即不等式 的解集为 ．
故选：D.
14．已知不等式 的解集为 且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或C． D． 或
【答案】C
【分析】根据不等式解集的端点与对应方程的根的关系求出 之间的关系，进而化简不等式
，从而求出它的解集．
【详解】根据题意: ，方程 的两个根分别为 ，且 ，
则 ， ，
，可得: .
即不等式 的解集为 .
故选：C.
15．若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式解集的端点值，即为对应方程的根，从而得到系数之间的关系，从而求解.
【详解】试题分析：由 的解集为 ，可得： ，
为： ， 解得为： .
故选：D16．已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式 的解集是 ，可求出 的值，从而求解不等式 的
解集.
【详解】因为不等式 的解集是 ，
所以 的两根为 ，
则 ，
解得 ，
带入不等式 得 ，
即 ，
解得： .
故选：A
17．不等式 的解集为 ，则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为 或【答案】D
【分析】赋值法可解AB，消去参数可解CD.
【详解】记 ，因为
所以 ，故A错误；
因为
所以 ，故B错误；
由题知 和2是方程 的两个实根，
所以 ， 且
解得
故 或 ，C错误；
或 ，D正确；
故选：D.
18．已知关于x的不等式 的解集为 ，求关于x的不等式 的解集
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据不等式 的解集得出 与 的关系以及 ，代入不等式 中化简
求解即可．
【详解】因为不等式 的解集为 ，所以1和2是对应方程 的解，且 ，
由根与系数的关系知 ,解得 ;
所以不等式 化为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ．
故选：C
19．若关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．不等式 的解集是
B．
C．不等式 的解集为
D．设x的不等式 的解集为N，则
【答案】ABD
【分析】先利用题给条件求得 三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式
的解集，判断选项C；设 ， ，根据图象判断选项
D.
【详解】关于 的不等式 的解集为
则 ,且关于 的方程 的根为 ， ，
则 ，解之得 ，则不等式 为 ，所以解集为 ，
，所以A、B都正确；
不等式 可化为 ，即 ，
所以解集为 ，或 ，故C错误；
设 ， ，
则函数 的图象向上平移一个单位得 的图象，如图，
所以不等式 的解集为N，则 ，D正确.
故选：ABD
20．已知关于x的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．关于x的不等式 的解集是
C． D．关于x的不等式 的解集为 或
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定 ，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用 表示
， ，代入不等式，从而判断BCD.
【详解】由关于x的不等式 的解集为 或 ，知 和3是方程 的两个实根，且 ，故A正确；
根据根与系数的关系知： ，
所以 ，
选项B：不等式 化简为 ，解得： ，
即不等式 的解集是 ，故B正确；
选项C：由于 ，故 ，故C不正确；
选项D：不等式 化简为： ，
解得： 或 ，故D正确；
故选：ABD.
21．已知关于 的一元二次不等式 的解集为{ 或 }，则（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
【答案】AC
【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可.
【详解】由题意可知 ，所以 且 ， ，故A
正确，B错误；
不等式 ，故C正确；
不等式 ，即 ，所以 或 ，故D错误.
故选：AC
22．已知关于 的不等式 的解集为 ，或 ，则（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集是 ，或
【答案】AD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定 ，可判断A；结合根与系数关系可得 的关系式，由
此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案.
【详解】由关于 的不等式 解集为 或 ，
知-3和2是方程 的两个实根，且 ，故A正确；
根据根与系数的关系知： ，
，
选项B：不等式 化简为 ，解得： ，
即不等式 的解集是 ，故B不正确；
选项C：由于 ，故 ，故C不正确；
选项D：不等式 化简为： ，
解得： 或 ，故D正确；
故选：AD.23．不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（用集合表示） ．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求
不等式，求出解集即可．
【详解】不等式 的解集为 ，
∴ ，且1，2是方程 的两个实数根，
∴ ，解得 ， ，其中 ；
∴不等式 化为 ，
即 ，解得 ，
因此所求不等式的解集为 .
故答案为： ．
24．若不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为
．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为不等式 的解集为 ，所以 ，所以 ，
所以不等式 可整理为
，
即 ，
也即 ，解得 ，
故答案为: .
考点03：含参、乘除的等价穿根法
f(x)
①若 <0，则 与 异号， ．
g(x) f (x) g(x) ∴f(x)g(x)<0
f(x)
②若 g(x) ≤0，则f (x) 与g(x) 异号， ∴f(x)g(x)≤0，且g(x)≠0．
f(x)
③若 >0，则 同号， ．
g(x) ∴f(x)g(x)>0
f(x)
④若 ≥0，则 同号， ，且 ．
g(x) ∴f(x)g(x)≥0 g(x)≠0
数轴穿根法
f(x)=(x−x )(x−x )...(x−x )>0
或
f(x)=(x−x )(x−x )...(x−x )<0
1 2 n 1 2 n
口诀：高系为正上穿下，右穿左，奇穿偶回上为正.
25．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义即可得解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C.
26．已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据分式不等式解集合B，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】由 ，得 且 ，
解得 ，即 ，
所以 ，有2个元素.
故选：B
27．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式 化为： ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .故选：B
28．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方
法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，所以 ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
29．已知 ，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】将 代入 ，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【详解】因为 ，所以 ，等价于 ，
解得 .
故选：A30．若关于 的不等式 的解集是 ，关于 的不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意先计算出 、 ，再代入不等式中求解分式不等式即可得.
【详解】由题意可得 ，
即 、 ，则有 ，
即求 ，
解得 或 ，即解集为 .
故选：B.
31． ， ，则 .
【答案】
【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得 .
【详解】若 ，则 ，解得 ，
所以 ；
若 ，则 ，解得 ，
所以 ；所以 .
故答案为： .
32．不等式 的解集为 .
【答案】 或
【分析】首先将分式不等式等价转换为 ，且 ，利用数轴“穿针引线”法即可求解.
【详解】原不等式等价于 ，且
分别令各个因式为0，可得根依次为 ，2，
利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为 或 ．
故答案为： 或 .
33．若关于 的不等式 的解集为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据解集可求参数的关系及符号，从而可求比值.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 ，
故 且 的3个不同的根为 ，
故 ，故 ，其中此时原不等式为 即为 ，
即 ，其解为 ，故 符合，
故 ，
故答案为： .
34．已知全集 ，集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出 ，根据 对 是否为空集分情况讨论即可；
（2）求出 ，根据并集定义求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ， ，故 ，
因为 ，所以 ，
①当 时， ，解得 ；
②当 时，有 ，无解；
所以实数 的取值范围为 .
（2）由题意， ，
若 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 ；35．已知全集 ，集合 ， .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求出 ，根据 对 是否为空集分情况讨论即可；
（2）求出 ，利用补集思想求解即可.
【详解】（1）由 ，得 ， ，故 ，
因为 ，所以 ，
①当 时， ，解得 ；
②当 时，有 ，无解；
所以实数 的取值范围为 ；
（2）由题意， ， ，
若 ，则 ，
因为 ，所以实数 的取值范围为 .
36．已知集合 ，集合 ，
(1)求集合B（用区间表示）
(2)若 ，求实数a的取值范围；
【答案】(1)答案见解析
(2)【分析】（1）对于集合B，需对 分 与 讨论；
（2）可求得集合 ，利用 ，通过解不等式即可求得a的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，
当 时， .
（2）因为 ，
当 时， ，满足 ；
当 时， ，由 ，得 ，故 ，
综上，得实数a的取值范围为 .
37．已知关于 的不等式 .
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求不等式的解集.
【答案】(1) 或
(2)答案见解析
【分析】（1）当 时，原不等式等价于 ，利用高次不等式的解法解原不等式，
可得出原不等式的解集；
（2）原不等式可变形为 ，对实数 的取值进行分类讨论，结合高次不等式的解法
可得出原不等式的解集.
【详解】（1）解：当 时，原不等式即为 ，即 ，
等价于 ，如下图所示：由图可知，当 时，原不等式的解集为 或 .
（2）解：当 时，原不等式即为 ，即 ，解得 ；
当 时，原不等式等价于 ，
当 时，即当 时，解原不等式可得 或 ；
当 时，即当 时，原不等式即为 ，解得 且 ；
当 时，即当 时，解原不等式可得 或 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 .
考点04：对勾函数解决最值问题x
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f (x)=ax+
b
√b √b
当 同号时，顶点坐标为：( ,2√ab)和(− ,−2√ab)
a,b a a
注意：对勾函数解决中间项带参数问题.
38、若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
解：因为不等式 对于一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
所以 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，故选：C.39、若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A．0 B．2 C． D．3
解：因为不等式 对一切 恒成立，
所以对一切 ， ，即 恒成立．
令 ．易知 在 内为增函数．
所以当 时， ，所以 的最大值是 ．故选C．
40、已知函数 对任意 恒有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：由 结合 可得： ，
令 ．易知 在 内为减函数．
[1,2] g(x) =1
内为增函数.∴ min ，则实数 的取值范围是：
考点05：定动区间定动轴
针对此类题目应遵循以下步骤
第一步：快速画出三个图象（谁定先画谁，然后左中右）
第二步：分别写出三个图象的约束条件从而求参数范围.
41．对任意 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】参变分离，转化为求 的最小值问题，变形为 ，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得 ，
要使对任意 ，不等式 恒成立，只需 .
又因为 ，令 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：D
42．对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】参变分离可得 对任意的 恒成立，利用基本不等式求出 的最小值，即可
求出参数的取值范围.
【详解】因为对任意的 ， 恒成立，
所以对任意的 ， 恒成立，又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，解得 ，即 的取值范围为 .
故选：D
43．若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数 在 上的最大值即得.
【详解】令函数 ，显然 在 上单调递减， ，
因为任意 ，不等式 恒成立，于是 ，
所以 .
故选：A
44．当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当 时，不等式 恒成立，
当 时，满足不等式恒成立；
当 时，令 ，则 在 上恒成立，
函数 的图像抛物线对称轴为 ，时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则有 ，解得 ；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则有 ，解得 .
综上可知， 的取值范围是 .
故选：D.
45．若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】不等式 对任意 恒成立，则 ， 成立，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
46．已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得 ，对 恒成立，构造函数，结合函数的单调
性求得其最小值，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 ，对 都有 成立，
即 对 恒成立，
即 ，对 恒成立，
设 ，由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即实数 的取值范围为 ，
故选：A
47．命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据命题“ ”为真命题求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义
即可得解.
【详解】 ，只要 即可，
，
所以 ，解得 ，
所以命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是D选项.
故选：D.48．命题：“ 使得不等式 成立”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为不等式 在 有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，
即可求解.
【详解】由 使得不等式 成立是真命题，
即不等式 在 有解，
因为 ，当 时， ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C.
49．若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式 在R上有解，结合 计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式 在R上有解，
∴ ，解得 ，
∴实数m的取值范围是 .
故选：A.
50．若关于 的不等式 在 上有实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由题意可知不等式 在 上有实数解，再利用对勾函数的性质求出函数 在
上的最大值即可.
【详解】关于 的不等式 在 上有实数解，即不等式 在 上有实数解
由对勾函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
又 ，得 ，即a的取值范围是为 .
故选：A．
51．若关于x的不等式 在 上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】先通过分离参数得到 ，然后利用基本不等式求解出 的最小值，则 的最小值可
求.
【详解】因为 在 上有解，所以 在 上有解，
所以 ，
又因为 ，当且仅当 即 时取等号，
所以 ，所以 ，即 的最小值为 ，
故选：B.
52．若关于 的不等式 在区间 内有解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】不等式 在区间 内有解，转化为 ，求出 的最
大值可得答案.
【详解】因为 ，所以由不等式 得 ，
不等式 在区间 内有解，
只需 ，
因为 在 上单调递增，
所以 的最大值为 ，可得 ，
解得 .
故选：D.
53．已知函数 在 上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求导得 ，由题意可得 在区间 上能成立，根据二次函数的单
调性即可求解.
【详解】由题意得 的定义域为 ，
所以 ，
因为函数 在区间 上存在递减区间，
即 在区间 上能成立.设 ， ，开口向上，对称轴为 ，
所以当 时， 单调递增，所以 ，
所以 ，则 ，即实数a的取值范围为 .
故答案为: .
54．关于 的不等式 的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个 的取值范围
.
【答案】
【分析】把不等式化为 , 讨论 和 时, 求出不等式的解集, 即可得出满足
题意 的取值范围.
【详解】关于 的不等式 可化为 ,
当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,
因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,
所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；
所以 的取值范围是 .
故答案为: .
考点06：利用不等式性质比较大小
思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序
如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序
③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序
④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性
思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐55．若 ，则使“ ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性结合充分条件的定义即可得解.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，选项A正确；
对于B， 满足 ，选项错B错误；
对于C， ，当 时， ，选项错C错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，选项D正确.
故选：AD.
56．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最小值为2
C． D． 的最小值为2
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
【详解】对于A，若 ，则 ，A正确;
对于B， 或 ，因为 不知道和 的大小关系，B错误；
对于C，若 ，则 ，而
，但是 与 的大小不能确定，故C错误；对于D， ，当且仅当 ，即 取等号，D正确.
故选：AD
57．设a，b，c，d为实数，且 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由 和不等式性质可得 ，故A正确；
对于B，因 ，若取 ， ， ， ，
则 ， ，所以 ，故B错误；
对于C，因 ，若取 ， ， ， ，
则 ， ，所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，则 ，又因 则 ，
由不等式的同向皆正可乘性得， ，故 ，故D正确．
故选：AD．
58．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则 的最小值为4
D．若 ， ， ，则 的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，举反例即可判断B选项，根据基本不等式即可判断CD选项.
【详解】对于A， ， ，
所以 ，故A正确；
对于B，当 ， 时， ，故B错误；
对于C，若 ， ， ，则 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为4，故C正确；
对于D，因为 ， ， ，
则 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时取得等号，
故 的最小值为4，故D正确．
故选：ACD.
59．已知 且 ， ．则下列关系一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质即可判断A选项，利用特殊值法可排除BC，利用作差比较法可判断D选项.
【详解】由题意可知， ，
对于A，由 ， ，
根据同向可加性得 ，故A正确；
对于B，取 ，验证B错误；
对于C，若 ，等式不成立，故C错误；
对于D，两式做差得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：AD.
60．已知 ，下列选项中是“ ”的充分条件的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A符合题意；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故B符合题意；
对于C，因为 ，所以 ，即 ，故C符合题意；
对于D，取 ，但有 ，故D不符合题意.
故选：ABC.
考点07：不等式二级结论1热点不等式
a2 b2 a2 b2 (a+b) 2
通过对柯西不等式变形可知( + )(x+y)≥(a+b) 2 在 时，就存在 + ≥ 当
x y a,b,x,y>0 x y x+y
a b a2 b2 c2 (a+b+c) 2 a b c
= 时，等号成立．同理 + + ≥ ,当 = = 时，等号成立．
x y x y z x+y+z x y z
1 1 4
61、求证： + ≥ ．
a−b b−c a−c
2
1 1 (1+1) 4
+ ≥ =
证明：a−b b−c (a−b)+(b−c) a−c
1 4 9
62、 ，求证： + + ≥36.
a+b+c=1 a b c
1 4 9 12 22 32 (1+2+3) 2
+ + = + + ≥ =36
证明：a b c a b c a+b+c
x2 y2
+
63、
x , y
为正实数，且x+y=1，则x+2 y+1的最小值是 .
x2 y2 (x+y) 2 1
+ ≥ =
解：
x+2 y+1 x+2+y+1 4x2 y2 z2
+ +
64、已正数 x,y,z 满足x+y+z=1,则y+2z z+2x x+2 y 的最小值为 .
x2 y2 z2 (x+y+z) 2 1
+ + ≥ =
解：
y+2z z+2x x+2y y+2z+z+2x+x+2y 3
x y z
1
= = ⇒x=y=z=
当且仅当y+2z z+2x x+2 y 3时，等号成立
考点08：不等式二级结论2权方和不等式
权方和不等式也称热点不等式的延伸
(a ) m+1 (a ) m+1 (a ) m+1 (a +a +⋯+a ) m+1
1 2 n 1 2 n
若 则 + +⋯+ ≥
a >0,b >0,m>0. (b ) m (b ) m (b ) m (b +b +⋯+b ) m
i i 1 2 n 1 2 n
a a a
1 2 n
当仅当 = =⋯= 时，等号成立. 为该不等式的和，它的特证是分子的幂比分母的幂多一次.
b b b
1 2 n m
3 1
关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为 次，分母为 次.
2 2
c a b 3
+ + ≥
65、若ΔABC三边对应分别为a , b , c.求证：a+b b+c c+a 2.
证明：权方和不等式
c a b c2 a2 b2 (a+b+c) 2 a2 +b2 +c2 +2ab+2bc+2ca 3
+ + = + + ≥ = ¿
a+b b+c c+a ac+bc ab+ac bc+ab 2ab+2bc+2ca 2ab+2bc+2ca 2 当
a=b=c
等号成立
a2 +b2 +c2 ≥ab+ac+bc
注意： （同时乘2移项转化成完全平方式）
1 1 1
+ +
66、若abc=1 , a>0 , b>0 , c>0，求a3 (b+c) b3 (c+a) c3 (a+b)最小值.
解：权方和不等式
(abc) 2 (abc) 2 (abc) 2 (bc) 2 (ac) 2 (ab) 2 (bc+ac+ab) 2 bc+ac+ab 3
+ + = + + ≥ = ≥
a3 (b+c) b3 （c+a) c3 (a+b） a(b+c) b(c+a) c(a+b） 2ab+2ac+2bc 2 2当a=b=c=1
等号成立
1 8
+
67、设x，y是正实数且满足x+y=1，求x2 y2 最小值.
解：权方和不等式
1 8 13 23 (1+2) 3 1 2 1 2
x2
+
y2
=
x2
+
y2
≥
(x+y) 2
=27.
当 x
=
y ，即
x=
3
, y=
3 时等式成立.
( π) 27 64
68、若 x∈ 0 , ，求证： + ≥125 .
2 sinα cosα
解：权方和不等式
3 3 3
27 64 92 162 (9+16)2
+ = + ≥ =125， 当 9 16 时 ， 即
sinα cosα 1 1 1 =
(sin2α)2 (cos2α)2 (sin2α+cos2α)2 sin2α cos2α
3
{sinα=
5
时等号成立.
4
cosα=
5
考点09：判别式在不等式中的应用
x,y k x y
题目给定关于 的一个二次式，要求其他代数式的值，可以直接令目标为 ，反解，转化成关于 或
Δ≥0 k
的一元二次方程，利用 解出 的取值范围.
69、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A． B． C．5 D．6
3 k ( 3 k) ( 3 k)
3x+4 y=k⇒ y=− x+ ∴x+3 − x+ =5x⋅ − x+
解：第一步：令 4 4 4 4 4 4
15 x2 − (5 + 5 k ) x+ 3 k=0
整理得： 4 4 4 4∴ (5 + 5 k ) 2 −4× 15 × 3 k≥0⇒5k2 −26k+5≥0
第二步：根据 Δ≥0 4 4 4 4
1
(5k−1)(k−5)≥0⇒k≥5,k≤
解得 5 故答案为C
70、设 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．25 C．11 D．
x+y=k⇒ y=k−x∴x+4(k−x)+5=x⋅(k−x)
解：第一步：令
x2 −(3+k)x+4k+5=0
整理得：
Δ≥0∴(3+k) 2 −4×1×(4k+5)≥0⇒k2 −10k−11≥0
第二步：根据
(k−11)(k+1)≥0⇒k≥11,k≤−1
C
解得 故答案为
71、设 ， 均为正数，且 ，则 的最大值为（ ）
2x+y=k⇒ y=k−2x∴4x2 +(k−2x) 2 +x⋅(k−2x)=5
解：第一步：令
6x2 −3kx+k2 −5=0
整理得：
Δ≥0∴(3k) 2 −4×6×(k2 −5)≥0⇒9k2 −24k2 +120≥0
第二步：根据
k2 ≤8⇒−2√2≤k≤2√2 2√2
解得 故答案为
xy 1
=
72、若存在正实数y，使得y−x 5x+4 y ，则实数
x
的最大值为_______
x=k⇒xy(5x+4 y)=y−x∴ky⋅(5k+4 y)=y−k
解：第一步：令
4ky2 +(5k2 −1)⋅y+k=0
整理得：
第二步：根据Δ≥0∴(5k2 −1) 2 −4×4k×k≥0⇒25k4 −26k2 +1≥01 1 1
(25k2 −1)(k2 −1)≥0⇒− ≤k≤ ,k≥1,k≤−1
解得 5 5 故答案为5
a,b,c a+b+c=0 a2 +b2 +c2 =1 a
73、已知实数 满足 则 ，则 的最大值为___
a=k⇒k+b+c=0∴k2 +(−c−k) 2 +c2 =1
解：第一步：令
2c2 +2kc+2k2 −1=0
整理得：
Δ≥0∴(2k) 2 −4×2×(2k2 −1)≥0⇒−12k2 +8≥0
第二步：根据
√6 √6 √6
− ≤k≤ ,
解得 3 3 故答案为 3
考点10：不等式常考模型
a b
柯西不等式：设 a ， b ， c ， d∈R+ ，有 (a+b)(c+d)≥(√ac+√bd) 2 当且仅当 c = d 时等号成立．
形式一：一次与分式模型
m n 1 1 √ 1 √ 1
(a+b)( + )≥(√m+√n) 2其中 ，例如(a+b)( + )≥( a + b ) 2 =4；
a b a,b∈R+ a b a b
形式二：分式与分式模型（分母和为定值）
a b a b
+ =[(x)+(1−x)]( + )≥(√a+√b) 2
x 1−x x 1−x
形式三：高低和积配凑模型
已知x2 +y2 的值，求x+y的取值范围，或者已知x+y的值，求2x2 +3 y2 的最值或者求 √x+√y的最
值
即(x2 +y2 )(m2 +n2 )≥(mx+ny) 2 ，其中m，n∈R+ 例：(a2 +b2 )(1+1)≥(a+b) 2
形式四：同次和积配凑模型
已知xy的值，求(x+m)(y+n)(m,n∈R )的最值，利用(x+m)(y+n)≥(√xy+√mn) 2 求最值．
+
1 16
74、 ，且 + =1 ，则 ．
x,y∈R+ x y (x+y) =
min
解：一次与分式模型
1 16 1 16
(x+y)( + )≥(√1+√16) 2 =25 ,又∵ + =1 ， ．
x y x y ∴x+y≥251 9
75、已知 ，则( + ） = ．
0−1,y>−1 (x+1)(y+1)=9 xy
77、已知 ，且 ，则 的最大值是 ．
解：同次和积配凑模型
(x+1)(y+1)≥(√xy+1) 2 ⇒√xy≤2
xy
,故 的最大值是4．
2 1
+
78、已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=2,则x+3 y x−y 的最小值为 ．
解：一次与分式模型
2 1 2 1 3+2√2
∵[(x+3 y)+(x−y)]( + )≥(√2+1) 2 ∴ + ≥
x+3 y x−y x+3 y x−y 4
