1.4 基本不等式
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、基本不等式....................................................................................................................................3
二、利用基本不等式求最值................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................5
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：基本不等式核心性质与变形................................................................................................6
题型二：比较大小................................................................................................................................8
题型三：不等式的证明技巧..............................................................................................................10
题型四：直接使用基本不等式..........................................................................................................12
题型五：拆项或添项法......................................................................................................................14
题型六：消元化简求解......................................................................................................................15
题型七：整体代换与局部代换..........................................................................................................17
题型八：三角函数法..........................................................................................................................19
题型九：多次迭代法..........................................................................................................................21
题型十：参数构造法..........................................................................................................................23
题型十一：三元、四元元均值不等式..............................................................................................25
题型十二：判别式法..........................................................................................................................26
题型十三：双变量换元法..................................................................................................................27
题型十四：比值代换法......................................................................................................................29
题型十五：实际应用建模..................................................................................................................31
题型十六：跨知识点综合..................................................................................................................32
题型十七：特定形式的最值问题......................................................................................................35
题型十八：恒(能)成立问题...............................................................................................................38
题型十九：常见的几何无字证明模型..............................................................................................39
题型二十：构造不等式法求最值......................................................................................................42
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................45
05 数学思想方法.................................................................................................................................47
①数形结合..........................................................................................................................................47
②转化与化归......................................................................................................................................49
③分类讨论..........................................................................................................................................50
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................52
基础过关篇..........................................................................................................................................52
能力拓展篇..........................................................................................................................................57
1、了解基本不等式的推导过程.
2、会用基本不等式解决简单的最值问题.
3、会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
4、理解基本不等式在实际问题中的应用.
5、掌握基本不等式在其他知识中的应用.
一、基本不等式
1、对公式
及
的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求
都是实数，而后者要求
都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当
时取等号”．
2、由公式
和
可以引申出常用的常用结论
①
（
同号）；
②
（
异号）；
③
或
知识点诠释：
可以变形为：
，
可以变形为：
．
3、基本不等式
的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形
中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为
、
，那么正方形的边长为
．这样，4 个直角三角形的面积
的和是
，正方形
的面积为
．由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：
．当直角三角形变为等腰直角三角形，即
时，正方形
缩为一个点，这时有
．
得到结论：如果
，那么
（当且仅当
时取等号“=”）
特别的，如果
，
，我们用
、
分别代替
、
，可得：
如果
，
，则
，（当且仅当
时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果
，
，
，（当且仅当
时取等号“=”）
方法二：代数法
∵
，
当
时，
；
当
时，
．
所以
，（当且仅当
时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果
，
，我们用
、
分别代替
、
，可得：
如果
，
，则
，（当且仅当
时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果
，
，
，（当且仅当
时取等号“=”）．
4、基本不等式
的几何意义
如图，
是圆的直径，点
是
上的一点，
，
，过点
作
交圆于点D，
连接
、
．
易证
，那么
，即
．
这个圆的半径为
，它大于或等于
，即
，其中当且仅当点
与圆心重合，即
时，等号成立．
知识点诠释：
（1）在数学中，我们称
为
的算术平均数，称
为
的几何平均数．因此基本不等式可
叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）如果把
看作是正数
的等差中项，
看作是正数
的等比中项，那么基本不等式可
以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
二、利用基本不等式求最值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：
与
成立的条件是不同的，前者要求a，b 都是实数，后者要
求a，b 都是正数．
2、两个不等式：
与
都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”
号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则
考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的
“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
常用二级结论
常见求最值模型
模型一：ax + b
x ≥2❑√ab(a>0,b>0)，当且仅当x = ❑√
b
a
时等号成立.
模型二：x(n-mx)= mx(n-mx)
m
≤1
m ⋅（mx +n-mx
2
)
2= n
2
4 m (m>0,n>0,0< x< n
m )，当且仅当
x = n
2m时等号成立．
模型三：
x
a x
2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2❑√ac+b (a>0 , c>0)
，当且仅当x = ❑√
c
a时等号成立.
模型四：mx +
n
x -b =m( x -b)+
n
x -b +mb≥2❑√mn+mb(m>0,n>0)，当且仅当x -b= ❑√
n
m时等号
成立.
题型一：基本不等式核心性质与变形
【例1】（2025·河北·三模）已知x>0，那么以下关于式子x
2+ 1
x 的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x
2+ 1
x ≥2❑√x；
（2）上式当且仅当x
2= 1
x 即x =1时，等号成立；
（3）所以当x =1时，x
2+ 1
x 取得最小值2
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
【答案】D
【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确，
对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则，
求和的最小值，需要乘积为定值，而x
2· 1
x 不为定值，所以（3）错，
故选：D.
【解题总结】
基本不等式的常见变形
(1)ab≤(
a＋b
2 )
2
≤a
2＋b
2
2
.
(2)
2
1
a ＋1
b
≤❑√ab≤a＋b
2
≤
❑√
a
2＋b
2
2
(a>0,b>0)
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当x>0且x≠1时，ln x + 1
ln x ≥2
B．当x∈(0, π
2]时，sin x +
4
sin x 的最小值为4
C．当x>0时，x + 1
x ≥2
D．当ab≠0时，b
a + a
b ≥2
【答案】C
【解析】对A，当x = 1
e 时，ln x + 1
ln x =-2，故A 错误；
对B，当sin x>0时，sin x +
4
sin x ≥2❑√sin x×
4
sin x = 4，当且仅当sin x =
4
sin x ，即sin x =2时取等号，但
当x∈(0, π
2]时，0<sin x ≤1，故B 错误；
对C，当x>0时，x + 1
x ≥2❑√x× 1
x =2，当且仅当x = 1
x ，即x =1时取等号，故C 正确；
对D，当a=1,b=-1时b
a + a
b =-2，故D 错误.
故选：C
【变式1-2】下列命题中正确的是（ ）
A．当x>1时，x + 1
x 的最小值为2
B．当x<0时，x + 1
x ≤-2
C．当0< x<1时，
❑√x + 1
❑√x 的最小值为2 D．当x>1时，
❑√x + 1
❑√x ≥2❑√2
【答案】B
【解析】选项A，∵x>1，x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，等号成立的条件是x = 1
x ⇒x =1，等号取不到，所以
x + 1
x >2，故A 错误；
选项B，当x<0时，- x>0，x + 1
x =-[(- x)+ 1
- x ]≤-2❑√
(- x)⋅1
- x =-2，当且仅当x =-1时等号成立，
故B 正确；
选项C，0< x<1，❑√x + 1
❑√x ≥2❑√
❑√x⋅1
❑√x =2，等号成立的条件是x =1，等号取不到，即
❑√x + 1
❑√x >2，
故C 错误；
选项D.当x>1时，❑√x + 1
❑√x ≥2❑√
❑√x⋅1
❑√x =2，等号成立的条件是
❑√x = 1
❑√x ，即x =1时等号成立，故
❑√x + 2
❑√x >2，故D 错误.
故选：B
【变式1-3】下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．
❑√x + 1
❑√x ≥2(x>0)
B．|x|+ 2
|x|≥2❑√2(x≠0)
C．- 4
x - x
16 ≥1(x<0)
D．
❑√x
2+5+
1
❑√x
2+5
≥2(x∈R)
【答案】D
【解析】对A，当且仅当
❑√x = 1
❑√x 即x =1等号成立；
对B，当且仅当|x|= 2
|x|即x =± ❑√2等号成立；
对C，当且仅当- 4
x =- x
16即x =-8时等号成立；
对D，当且仅当
❑√x
2+5=
1
❑√x
2+5
得x
2=- 4时等号成立，无解，等号不成立．
故选：D．
题型二：比较大小
【例2】（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b 满足a>b，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A．a
3>b
3
B．a
b >1
C．a
2+b
2>2ab
D．2
a>2
b
【答案】B
【解析】A 选项，幂函数y = x
3在R上单调递增，
由于a>b，所以a
3>b
3，A 选项不等式恒成立.
B 选项，当a=-1,b=-2时，a>b，但a
b = 1
2 <1，B 选项不等式不恒成立.
C 选项，a>b，根据基本不等式可知a
2+b
2>2ab，B 选项不等式恒成立.
D 选项，指数函数y =2
x在上单调递增，
由于a>b，所以2
a>2
b，D 选项不等式恒成立.
故选：B
【解题总结】
直接利用性质比较大小
【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，且a+b=ab，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+b≤4
B．lo g2a+lo g2b>2
C．b ln a>1
D．❑√a+ ❑√b≥3
【答案】C
【解析】因为a+b=ab，所以1
a + 1
b =1，
对于A 项：a+b=(a+b)(
1
a + 1
b)=2+ b
a + a
b ≥2+2= 4，
当且仅当a=b=2时取得等号，从而在a=3，b= 3
2时a+b>4，故A 错误；
对于B 项：因为ab=a+b≥2❑√ab，所以ab≥4，
lo g2a+lo g2b=lo g2ab≥lo g24 =2，当a=b=2时取得等号，此时lo g2a+lo g2b=2，故B 错误；
对于C 项：因为ab=a+b，所以b=
a
a-1 >0，所以a>1，
于是b ln a>1等价于a
a-1 ln a>1，等价于ln a> a-1
a
，
构造函数f (x)= ln x + 1
x -1(x>1)，f ' (x)= 1
x - 1
x
2 = x -1
x
2 >0，
所以f (x)在(1,+∞)上单调递增；
所以f (x)>f (1)=0恒成立，所以不等式b ln a>1成立，故C 正确；
对于D 项：根据B 选项的分析，a+b=ab≥4，
则(❑√a+ ❑√b)
2=a+b+2❑√ab≥4 +2❑√4 =8，即❑√a+ ❑√b≥2❑√2，
当a=b=2时取得等号，此时❑√a+ ❑√b=2❑√2<3，故D 错误.
故选：C
【变式2-2】（2025·云南·一模）已知a=lo g32，b=lo g53，c =lo g85，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】A
【解析】因为lo g23>lo g2
❑√8= 3
2 ,lo g35<lo g3
❑√27= 3
2，所以lo g23>lo g35>0，
所以
1
lo g23 <
1
lo g35，即lo g32<lo g53，即a<b，
又因为lo g53⋅lo g58<(
lo g53+lo g58
2
)
2
= (lo g524)
2
4
<1，
所以lo g53<
1
lo g58 =lo g85，即b<c，
综上，a<b<c，
故选:A.
【变式2-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知定义在(0,+ ∞)上的函数f ( x)满足f ( x
y )= yf ( x)- xf ( y)，
且当x>1时，f ( x)>0，则（ ）
A．f ( x
2)≥2f ( x)
B．f ( x
3)f ( x)≥f
2( x
2)
C．f ( x
2)≤2f ( x)
D．f ( x
3)f ( x)≤f
2( x
2)
【答案】D
【解析】由题意，x>0, y >0，f ( x
y )= yf ( x)- xf ( y).
赋值x = y =1，得f (1)= f ( 1
1 )=1⋅f (1)-1⋅f (1)=0；
赋值x =1，得f(
1
y)= yf (1)-1⋅f ( y)=- f ( y)，即f(
1
x)=- f ( x)，
当x>1时，f ( x)>0，
当0< x<1时，则1
x >1，所以f(
1
x)=- f ( x)>0，即f ( x)<0；
赋值x = y
2，得f(
y
2
y )= f ( y)= yf ( y
2)- y
2f ( y)，解得f ( y
2)=( y + 1
y)f ( y)，
即f ( x
2)=(x + 1
x)f ( x)；
AC 项，由f ( x
2)=(x + 1
x)f ( x)，x>0，
得f (x
2)-2f ( x)=(x + 1
x -2)f ( x)，
其中由x>0，可知x + 1
x -2≥2❑√x⋅1
x -2=0，
当x>1时，f ( x)>0,(x + 1
x -2)f ( x)≥0，即f (x
2)≥2f ( x)；
当0< x<1时，f ( x)<0,(x + 1
x -2)f ( x)≤0，即f (x
2)≤2f ( x)；故AC 错误；
BD 项，x = x
2, y = 1
x ，得f(
x
2
1
x)
= f ( x
3)= 1
x f ( x
2)- x
2f(
1
x)= 1
x f ( x
2)+ x
2f ( x)；
又f ( x
2)=(x + 1
x)f ( x)，所以f ( x
3)= 1
x f ( x
2)+ x
2f ( x)=(1+ 1
x
2 + x
2)f ( x)，
则f (x
3)f (x)- f
2(x
2)=(1+ 1
x
2 + x
2)f
2(x
2)-(x
2+ 1
x
2 +2)f
2(x)=- f
2(x)≤0，
故f ( x
3)f ( x)≤f
2( x
2)，且f ( x)不恒为0，故B 错误，D 正确.
故选：D.
【变式2-4】（2025·河南开封·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，a≠b，则下列不等式成立的是（ ）
A．
❑√a+ ❑√b<❑√2< 1
2
a + 1
2
b
B．
❑√a+ ❑√b< 1
2
a + 1
2
b <❑√2
C．1
2
a + 1
2
b <❑√2<❑√a+ ❑√b
D．1
2
a + 1
2
b <❑√a+ ❑√b<❑√2
【答案】A
【解析】(❑√a+ ❑√b)
2=a+b+2❑√ab=1+2❑√ab≤1+a+b=2，
∵a≠b，∴等号不成立，故❑√a+ ❑√b<❑√2；
1
2
a + 1
2
b ≥2❑√
1
2
a ⋅1
2
b =2❑√
1
2
a+b =2❑√
1
2 = ❑√2，
∵a≠b，∴等号不成立，故1
2
a + 1
2
b >❑√2，
综上，
❑√a+ ❑√b<❑√2< 1
2
a + 1
2
b.
故选：A.
题型三：不等式的证明技巧
【例3】已知a、b、c、d为正实数．
(1)证明：a+b+c +d
4
≥
4√a⋅b⋅c⋅d；
(2)请利用（1）的结论，证明：a+b+c
3
≥
3√a⋅b⋅c.
【解析】（1）因为a、b、c、d为正实数，
所以a+b
2
≥❑√ab，c +d
2
≥❑√cd，当且仅当a=b，c =d时等号成立，
所以a+b+c +d
2
≥❑√ab+ ❑√cd当且仅当a=b，c =d时等号成立.
所以
❑√ab+ ❑√cd
2
≥❑√
❑√ab⋅❑√cd =
4√abcd，当且仅当❑√ab= ❑√cd时等号成立，
所以a+b+c +d
4
≥
❑√ab+ ❑√cd
2
≥
4√abcd，当且仅当a=b=c =d时等号成立；
（2）由于a+b+c +d
4
≥
❑√ab+ ❑√cd
2
≥
4√abcd，当且仅当a=b=c =d时等号成立，
令d =
3√abc， 得a+b+c +
3√abc
4
≥
4√abc⋅
3√abc =
4√(abc)
1+ 1
3 =(abc)
1
3 =
3√abc，
即a+b+c +
3√abc≥4
3√abc，故a+b+c≥3
3√abc，
所以a+b+c
3
≥
3√abc，当且仅当a=b=c =d时等号成立.
【解题总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
【变式3-1】已知a，b，c 都是非负实数，求证:❑√a
2+b
2+❑√b
2+c
2+❑√c
2+a
2≥❑√2(a+b+c).
【解析】因为a
2+b
2
2
-(
a+b
2 )
2
= a
2+b
2-2ab
4
= (a-b)
2
4
≥0,
所以a
2+b
2
2
≥(
a+b
2 )
2
,即❑√
a
2+b
2
2
≥a+b
2
,当且仅当a=b时取得等号,
则有
❑√a
2+b
2≥
❑√2
2 (a+b)，
同理得❑√b
2+c
2≥
❑√2
2 (b+c)，❑√c
2+a
2≥
❑√2
2 (c +a)，
相加可得❑√a
2+b
2+❑√b
2+c
2+❑√c
2+a
2≥
❑√2
2 (a+b)+
❑√2
2 (b+c)+
❑√2
2 (c +a)= ❑√2(a+b+c)，当且仅当
a=b=c时等号成立.
【变式3-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）（1）求函数f (x)=e
x的图像在点(0,f (0))处的切线方程；
（2）证明：2e
x>(e+1)x +1；
（3）已知a，b，c 均为正数，且a+b+c =1，请证明：e
a
a + e
b
b + e
c
c >12．
【解析】（1）函数f (x)=e
x，有f (0)=1，即切点坐标为(0,1)，
由f ' (x)=e
x，则切点处切线斜率k = f ' (0)=1，
所以函数f (x)=e
x的图像在点(0,f (0))处的切线方程为y -1= x -0，即y = x +1.
（2）设h(x)=2e
x -(e+1)x -1，则h' (x)=2e
x -(e+1)，
当x<ln e+1
2
时，h' (x)<0；当x>ln e+1
2
时，h' (x)>0，
有h(x)在(-∞,ln e+1
2 )上单调递减，在(ln e+1
2
,+∞)上单调递增，
h(x)min=h(ln e+1
2 )=2e
ln e+1
2 -(e+1)ln e+1
2
-1=e+1-(e+1)ln e+1
2
-1，
令φ(x)=2 x -2 x ln x -1，φ' (x)=-2ln x，当x>1时，φ' (x)<0，
φ(x)在(1,+∞)上单调递减，有φ(
e+1
2 )>φ(2)=3- 4 ln2= ln e
3
2
4 >0，
即h(x)min=e+1-(e+1)ln e+1
2
-1>0，
所以2e
x -(e+1)x -1>0，有2e
x>(e+1)x +1；
（3）已知a，b，c 均为正数，且a+b+c =1，
e
a
a + e
b
b + e
c
c +12(a+b+c)= e
a
a +12a+ e
b
b +12b+ e
c
c +12c≥2
❑√12e
a+2
❑√12e
b+2
❑√12e
c = 4
❑√3e
a+ 4
❑√3e
b+ 4
❑√3e
c
，
又3
3e>64，则12❑√3
6√e>12×
6√64 =24，
所以e
a
a + e
b
b + e
c
c +12(a+b+c)= e
a
a + e
b
b + e
c
c +12>24，所以e
a
a + e
b
b + e
c
c >12．
【变式3-3】（2025·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c 均为正实数，且a+3b+ 4 c =12．
(1)求abc 的最大值；
(2)求证：a+6
a
+ b+2
b
+ c +6
c
≥11．
【解析】（1）abc = 1
12 a⋅3b⋅4 c≤1
12 ×(
a+3b+ 4 c
3
)
3
= 1
12 ×64 = 16
3 ，
当且仅当a=3b= 4 c，即a= 4 ,b= 4
3 ,c =1时等号成立．
（2）证明：a+6
a
+ b+2
b
+ c +6
c
=1+ 6
a +1+ 2
b +1+ 6
c =3+ 6
a + 2
b + 6
c
=3+ 1
12 (a+3b+ 4 c)×(
6
a + 2
b + 6
c)
=3+ 1
12(36+ 18b
a + 24 c
a + 2a
b + 8c
b + 6a
c + 18b
c )
≥3+ 1
12(36+2❑√
18b
a ⋅2a
b +2❑√
24 c
a ⋅6a
c +2❑√
8c
b ⋅18b
c )=11，
当且仅当18b
a = 2a
b , 24 c
a = 6a
c , 8c
b = 18b
c
同时成立，
即a=3,b=1,c = 3
2时等号成立．
题型四：直接使用基本不等式
【例4】（2025·贵州黔东南·一模）若x
4+9 y
4=10，则x
2 y
2的最大值为 ，此时x
2= ．
【答案】 5
3/1 2
3 ❑√5
【解析】由10= x
4+9 y
4≥2 x
2⋅3 y
2，则x
2 y
2≤5
3，
当且仅当x
2=3 y
2= ❑√5时等号成立，
即x
2 y
2的最大值为5
3，此时x
2= ❑√5.
故答案为：5
3；❑√5.
【解题总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
【变式4-1】已知a>0，b>0，且2a+b=1，则ab的最大值为 ．
【答案】1
8
【解析】因为a>0，b>0，且2a+b=1，
所以2a+b=1≥2❑√2ab，所以ab≤1
8，当且仅当2a=b= 1
2时，等号成立，
即ab的最大值为1
8.
故答案为：1
8
【变式4-2】设x，y >0，若4 x + 1
y =1，则x
y 的最大值为 .
【答案】1
16
【解析】因为x , y >0，4 x + 1
y =1，
所以根据基本不等式得1= 4 x + 1
y ≥2❑√4 x⋅1
y = 4 ❑√
x
y ，
当且仅当4 x = 1
y = 1
2，即y =2, x = 1
8时等号成立，
所以❑√
x
y ≤1
4 ，即x
y ≤1
16 ，当且仅当4 x = 1
y = 1
2，即y =2, x = 1
8时等号成立，
所以x
y 的最大值为1
16
故答案为：1
16
【变式4-3】若x>0，y >0，且2 x
2+ y
2
3 =8，求x
❑√6+2 y
2的最大值为 ．
【答案】9 ❑√3
2
【解析】因为(x
❑√6+2 y
2)
2= x
2(6+2 y
2)=3⋅2 x
2(1+ y
2
3 )
≤3⋅(
2 x
2+1+ y
2
3
2
)
2
=3×(
9
2)
2
= 243
4
，
当且仅当2 x
2+1+ y
2
3 ，即x = 3
2，y =
❑√42
2
时，等号成立.
所以x
❑√6+2 y
2≤❑√
243
4 = 9 ❑√3
2
，故x
❑√6+2 y
2的最大值为9 ❑√3
2
.
故答案为：9 ❑√3
2
．
【变式4-4】（2025·河北保定·二模）已知x，y 是非零实数，则y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．2
D．4
【答案】A
【解析】y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 ≥2❑√
y
2
x
2 × 9 x
2
y
2 =6，
当且仅当y
2
x
2 = 9 x
2
y
2 ，
即|y|= ❑√3|x|>0，等号成立，
所以y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为6，
故选：A
题型五：拆项或添项法
【例5】若x>3，则2- x -
1
x -3的最大值为 .
【答案】-3
【解析】因为2- x -
1
x -3 =-(x -3)-
1
x -3 -1=-[(x -3)+
1
x -3]-1，x>3，
由基本不等式得(x -3)+
1
x -3 ≥2❑√
(x -3)⋅
1
x -3 =2，当且仅当x -3=
1
x -3，即x = 4时，等号成立.
故2- x -
1
x -3 =-[(x -3)+
1
x -3]-1≤-2-1=-3.
故答案为：-3
【解题总结】
通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
【变式5-1】已知x∈(0,+∞)，则y =2 x +
4
2 x +1的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．3 ❑√2
D．6
【答案】A
【解析】由x∈(0,+∞)，得2 x +1>1，
y =2 x +
4
2 x +1 =2 x +1+
4
2 x +1 -1≥2❑√(2 x +1)⋅
4
2 x +1 -1=3，
当且仅当2 x +1=
4
2 x +1，即x = 1
2时取等号，
所以y =2 x +
4
2 x +1的最小值为3.
故选：A
【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y = x + 1
2 +
1
2 x +1的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．❑√3
【答案】A
【解析】由x∈(0,+ ∞)，得2 x +1>1，
又y = x + 1
2 +
1
2 x +1 = 2 x +1
2
+
1
2 x +1 ≥2❑√
2 x +1
2
×
1
2 x +1 = ❑√2，
当且仅当2 x +1
2
=
1
2 x +1，即x =
❑√2-1
2
时等号成立.
故选：A.
【变式5-3】已知5 x
2 y
2+ y
4=1（x , y ∈R），则x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．3 ❑√2
5
B．4
5
C．3
5
D．1
2
【答案】B
【解析】∵x , y ∈R，∴4 y
2≥0,5 x
2+ y
2≥0，
∴1=5 x
2 y
2+ y
4= y
2(5 x
2+ y
2)= 1
4 (4 y
2)(5 x
2+ y
2)
≤1
4[
4 y
2+(5 x
2+ y
2)
2
]
2
= 1
4(
5 x
2+5 y
2
2
)
2
= 25
16 (x
2+ y
2)
2，
当且仅当{
4 y
2=5 x
2+ y
2
5 x
2 y
2+ y
4=1
即{
x
2= 3
10
y
2= 1
2
时，等号成立，
此时x
2+ y
2取到最小值4
5 ．
故选：B．
【变式5-4】若x> y , xy =1则x
2+ y
2
x - y 的最小值为（ ）
A． 2❑√2
B．4 ❑√2
C．17
6
D．5 ❑√2
2
【答案】A
【解析】x
2+ y
2
x - y = ( x - y)
2+2 xy
x - y
= ( x - y)
2+2
x - y
= x - y +
2
x - y
，
因为x> y，所以x - y >0，设x - y =t >0，
则x - y +
2
x - y =t + 2
t ≥2❑√2，当且仅当t = ❑√2时等号成立，
此时{
x - y = ❑√2
xy =1
，解得x =
❑√2+ ❑√6
2
, y =- ❑√2+ ❑√6
2
，
故选：A．
题型六：消元化简求解
【例6】已知x>-1, y >-1, xy + x + y +1=1，则x + y的最小值是（ ）
A．0
B．-1
C．- 1
2
D．1
【答案】A
【解析】由题设( x +1)( y +1)=1且x>-1, y >-1，则y +1=
1
x +1，
所以x + y = x +1+
1
x +1 -2≥2❑√( x +1)⋅
1
x +1 -2=0，
当且仅当x = y =0时取等号，
所以x + y的最小值是0.
故选：A
【解题总结】
对应不等式中的双元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．
【变式6-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数m，n满足mn=2，则1
m + 2
n +
9
2m+n的最小值为
（ ）
A．2❑√2
B．3
C．3 ❑√2
D．4
【答案】C
【解析】根据题意，mn=2，可得n= 2
m，
则
1
m + 2
n +
9
2m+n = 1
m +m+
9
2m+ 2
m
，
设1
m +m=t，则t ≥2，原式为t + 9
2t ≥2❑√t × 9
2t =3 ❑√2，
当且仅当t = 3 ❑√2
2
时等号成立，
故选：C.
【变式6-2】已知角α , β ∈(0, π
2)，且sin β =2cos(α + β)sin α，当tan β取得最大值时，角α =（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【答案】D
【解析】已知sin β =2cos(α + β)sin α，可得：sin β =2(cosα cos β -sin α sin β)sin α，
sin β =2cosα cos β sin α -2sin
2α sin β，
可得：sin β +2sin
2α sin β =2cosα cos β sin α，得：sin β(1+2sin
2α )=2cosα cos β sin α，
因为α , β ∈(0, π
2)，所以cos β ≠0，sin β ≠0，等式两边同时除以cos β和1+2sin
2α可得：
tan β = 2cosα sin α
1+2sin
2α ，上式可化为：tan β =
sin 2α
1+2sin
2α ，
又因为sin
2α = 1-cos2α
2
，代入上式可得：tan β =
sin2α
1+2× 1-cos2α
2
=
sin2α
2-cos2α ，
令t = tan α，则sin2α = 2t
1+t
2，cos2α = 1-t
2
1+t
2，代入tan β =
sin 2α
2-cos2α 可得：
tan β =
2t
1+t
2
2- 1-t
2
1+t
2
=
2t
2(1+t
2)-(1-t
2)
=
2t
1+3t
2，
因为α ∈(0, π
2)，所以t >0，则tan β =
2t
1+3t
2 =
2
3t + 1
t
.
根据均值不等式对于有：3t + 1
t ≥2❑√3t × 1
t =2❑√3，
当且仅当3t = 1
t ，即t
2= 1
3，t =
❑√3
3 时等号成立.
所以tan β =
2
3t + 1
t
≤
2
2❑√3 =
❑√3
3 ，即当t =
❑√3
3 时，tan β取得最大值
❑√3
3
.
因为t = tan α =
❑√3
3 ，且α ∈(0, π
2)，所以α = π
6 .
当tan β取得最大值时，角α = π
6 .
故选：D.
【变式6-3】已知α , β为锐角，且cos(α + β)sin β =sin α，则tan α的最大值为（ ）
A．❑√2
B．1
C．
❑√2
2
D．
❑√2
4
【答案】D
【解析】因为α , β为锐角，所以sin α >0,cosα >0,tan α >0，
由cos(α + β)sin β =sin α，
则(cosα cos β -sin α sin β)sin β =sin α，
则cosα cos β sin β -sin α sin
2 β =sin α，
则cos β sin β - tan α sin
2 β = tan α，
整理得tan α = sin β cos β
sin
2 β +1
=
sin β cos β
2sin
2 β +co s
2 β
=
1
2tan β +
1
tan β
≤
1
2❑√2tan β ⋅
1
tan β
=
❑√2
4 ，
当且仅当2tan β =
1
tan β ，即tan β =
❑√2
2 时等号成立，则tan α的最大值为
❑√2
4
.
故选：D.
题型七：整体代换与局部代换
【例7】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知x>0，y >0，x + y =1，则1
x + 2
y 的最小值为 ．
【答案】3+2❑√2/2❑√2+3
【解析】由题意得1
x + 2
y =(
1
x + 2
y)(x + y)=1+2+ y
x + 2 x
y ≥3+2❑√2，
当且仅当y
x = 2 x
y 时，即x = ❑√2-1, y =2- ❑√2时取等号.
故答案为：3+2❑√2.
【解题总结】
1 的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过
程中要特别注意等价变形．
【变式7-1】已知x>0, y >0, x + y =1，则1
x + x
y 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．1
D．3
【答案】D
【解析】因为x>0, y >0, x + y =1，
所以1
x + x
y = x + y
x
+ x
y =1+ y
x + x
y ≥1+2❑√
y
x ⋅x
y =3，
当且仅当y
x = x
y ，即x = y = 1
2时取等号.
故选：D
【变式7-2】已知正数m,n满足2m+n=6，则
1
2m+1 +
1
n+1的最小值为 ．
【答案】1
2/0.5
【解析】由2m+n=6得(2m+1)+(n+1)=8，
所以
1
2m+1 +
1
n+1 = 1
8 [(2m+1)+(n+1)](
1
2m+1 +
1
n+1)
= 1
8(2+ n+1
2m+1 + 2m+1
n+1 )≥1
4 + 1
4
❑√
n+1
2m+1 ⋅2m+1
n+1 = 1
2
当且仅当2m+1
n+1 = n+1
2m+1，即m= 3
2 ,n=3时等号成立．
所以
1
2m+1 +
1
n+1的最小值为1
2．
故答案为：1
2
【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若a>b>1，且a+3b=5，则1
a-b +
4
b-1的最小值为 ．
【答案】25
【解析】由a>b>1，可知a-b>0，b-1>0，
所以(a-b)+ 4(b-1)=a+3b- 4 =5- 4 =1，
所以(
1
a-b +
4
b-1)[(a-b)+ 4(b-1)]
= (a-b)+ 4(b-1)
a-b
+ 4[(a-b)+ 4(b-1)]
b-1
=17+ 4(b-1)
a-b
+ 4(a-b)
b-1
≥17+2❑√
4(b-1)
a-b
× 4(a-b)
b-1
=25，
当且仅当a-b=b-1= 1
5 ⇒b= 6
5 ,a= 7
5时，等号成立，
所以1
a-b +
4
b-1的最小值为25．
故答案为：25
【变式7-4】（2025·河南·三模）函数f (x)=lo ga(x -1)+1过定点A，若
A ∈{(x , y)|mx +ny =1 ,m>0,n>0}，则1
m + 2
n的最小值为（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】当x -1=1，即x =2时，恒有y =1，即y =lo ga(x -1)+1过定点A (2,1)，
因为A ∈{(x , y)|mx +ny =1 ,m>0,n>0}，所以点A在mx +ny =1上，
则2m+n=1，且m>0，n>0，
于是得1
m + 2
n =(
1
m + 2
n)(2m+n)= 4+ n
m + 4 m
n ≥4+2❑√
n
m ⋅4 m
n =8，
当且仅当n
m = 4 m
n ，即n=2m时取＂=＂，由2m+n=1且n=2m得：m= 1
4 ,n= 1
2，
所以当m= 1
4 ,n= 1
2时，1
m + 2
n取得最小值8．
故选：C
【变式7-5】已知正数m,n满足1
m + 3
n =2，则m+3n的最小值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】A
【解析】因为1
m + 3
n =2，所以m+3n= 1
2
(m+3n)(
1
m + 3
n)= 1
2(10+ 3n
m + 3m
n )≥5+ ❑√
3n
m × 3m
n =8，当
且仅当m=n=2时，取得等号.
故选：A.
题型八：三角函数法
【例8】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若x , y ∈R满足x
2+ 4 y
2-2 xy =1，则（ ）
A．x
2+ 4 y
2≤2
B．- 2❑√3
3
≤x ≤2❑√3
3
C．x +2 y ≤1
D．x +2 y ≥-2
【答案】ABD
【解析】对于A，由(x -2 y)
2≥0可得x
2+ 4 y
2≥4 xy，
因此x
2+ 4 y
2=2 xy +1≤x
2+ 4 y
2
2
+1，可得x
2+ 4 y
2≤2，
当且仅当x =2 y时，等号成立，即A 正确；
对于B，将表达式x
2+ 4 y
2-2 xy =1化简可得(x - y)
2+3 y
2=1，
将方程参数化可知x =cosθ+
❑√3
3 sinθ , y =
❑√3
3 sinθ，θ∈[0,2π ]；
所以x =cosθ+
❑√3
3 sinθ = ❑√1+ 1
3 sin (θ+φ)= 2❑√3
3
sin (θ+φ)，其中tan φ = ❑√3；
又-1≤sin (θ+φ)≤1，所以- 2❑√3
3
≤x = 2❑√3
3
sin (θ+φ)≤2❑√3
3
，可得B 正确；
对于C，由x
2+ 4 y
2-2 xy =1可得x
2+ 4 y
2+ 4 xy =6 xy +1，
即(x +2 y)
2=6 xy +1≤3×(
x +2 y
2 )
2
+1，
因此(x +2 y)
2≤4，解得-2≤x +2 y ≤2，
当且仅当x =2 y时，等号成立，即C 错误，D 正确.
故选：ABD
【解题总结】
出现平方和结构（ma
2+nb
2）形式，引入三角函数表示a和b.
【变式8-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数x , y满足❑√9 x
2-1+
❑√9 y
2-1=9 xy，则4 x
2+ y
2的最小
值为 ．
【答案】1
【解析】由❑√9 x
2-1+
❑√9 y
2-1=9 xy，得1
3 y
❑√
1-(
1
3 x)
2
+ 1
3 x
❑√
1-(
1
3 y)
2
=1，
记1
3 x =sin α , 1
3 y =sin β，其中α , β ∈(0, π
2)，
原不等式化为sin α cos β +sin β cosα =sin (α + β)=1，所以α + β = π
2 ，
所以sin
2α + sin
2 β = 1
9 x
2 + 1
9 y
2 =1，即1
x
2 + 1
y
2 =9．
所以4 x
2+ y
2= 1
9 (4 x
2+ y
2)(
1
x
2 + 1
y
2)= 1
9(5+ y
2
x
2 + 4 x
2
y
2 )≥1
9 (5+2❑√4)=1，
当且仅当y
2
x
2 = 4 x
2
y
2 ，即y = ❑√2 x =
❑√3
3 时取“=”，所以4 x
2+ y
2的最小值为1．
故答案为：1．
【变式8-2】已知非负实数x，y满足2 x
2+ 4 xy +2 y
2+ x
2 y
2=9，则2❑√2( x + y)+ xy的最大值为 .
【答案】4 ❑√2+1
【解析】由2 x
2+ 4 xy +2 y
2+ x
2 y
2=9，得2( x + y)
2+( xy )
2=9，用换元法，令x + y = 3
❑√2 sinθ，
xy =3cosθ，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.由题意得：2( x + y)
2+( xy )
2=9，令
x + y = 3
❑√2 sinθ，xy =3cosθ，
又x，y为非负实数，∴sinθ≥0, cosθ≥0
∵( x + y)
2= x
2+ y
2+2 xy ≥4 xy，
∴(
3
❑√2 sinθ)
2
≥12cosθ，∴sin
2θ≥8
3 cosθ，即1-co s
2θ≥8
3 cosθ，
解得0≤cosθ≤1
3，∴2❑√2
3
≤sinθ≤1.
故2❑√2( x + y)+ xy =2❑√2m+n=6sinθ+3cosθ =3 ❑√5sin(θ+φ)（其中sin φ =
❑√5
5 ），
∵cosθ = 1
3，即sin( π
2 -θ)= 1
3 >
❑√5
5 ，
∴π
2 -θ>φ，即θ+φ< π
2
又y =sin x在(0, π
2 )上单调递增，∴当cosθ = 1
3时，θ+φ取得最大值，
故当sinθ = 2❑√2
3
，cosθ = 1
3时，2❑√2( x + y)+ xy取得最大值，最大值为4 ❑√2+1.
故答案为：4 ❑√2+1
【变式8-3】已知x , y ∈R
+，满足2 x + y =1，则x +
❑√x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．4
5
B．2
5
C．1
D．1+ ❑√2
3
【答案】A
【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的
条件.令x =r cosθ，y =r sinθ，r >0，θ∈(0, π
2]，
因为2 x + y =1，所以2r cosθ+r sinθ =1，可得r =
1
2cosθ+sinθ ，
所以x +
❑√x
2+ y
2=r cosθ+r =
cosθ
2cosθ+sinθ +
1
2cosθ+sinθ =
1+cosθ
2cosθ+sinθ
=
1-tan
2 θ
2
1+tan
2 θ
2
+1
2×
1-tan
2 θ
2
1+tan
2 θ
2
+
2tan θ
2
1+tan
2 θ
2
=
1
-tan
2 θ
2 + tan θ
2 +1
=
1
-(tan θ
2 - 1
2)
2
+ 5
4
(tan θ
2 ∈(0,1])
所以(x +
❑√x
2+ y
2)min=
1
-0
2+ 5
4
= 4
5 ，
当且仅当tan θ
2 = 1
2，cosθ =
1-tan
2 θ
2
1+tan
2 θ
2
= 3
5，sinθ =
2tan θ
2
1+tan
2 θ
2
= 4
5 ，
r =
1
2cosθ+sinθ = 1
2时取等号，
即当且仅当{
x = 3
10
y = 2
5
时，x +
❑√x
2+ y
2的最小值为4
5 ，
故选：A
题型九：多次迭代法
【例9】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1
a + a
4 b
2 +b的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．2❑√2
C．4
D．2
【答案】D
【解析】因为a>0,b>0，
所以1
a + a
4 b
2 +b≥2❑√
1
a ⋅a
4 b
2 +b=b+ 1
b ≥2❑√b⋅1
b =2，
当且仅当1
a = a
4 b
2，且b= 1
b，即a=2,b=1时，取等号，
所以1
a + a
4 b
2 +b的最小值为2.
故选：D.
【解题总结】
在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的
等号成立条件是否相互契合、保持一致。
【变式9-1】（2025·江苏盐城·三模）已知a∈R ,b∈R
+，则e
2a+[b- ln (a+b)]
2的最小值为 ．
【答案】2
【解析】令f (x)=e
x - x -1，则f ' (x)=e
x -1，
则f ' (x)>0得x>0；f ' (x)<0得x<0，
则f (x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+ ∞)上单调递增，
则f (x)≥f (0)=0，即e
x≥x +1，等号成立时x =0，
则e
ln x≥ln x +1，等号成立时ln x =0，即ln x ≤x -1，等号成立时x =1；
则e
a≥a+1，等号成立时a=0，ln (a+b)≤a+b-1，等号成立时a+b=1，
则e
a+b- ln (a+b)≥a+1+b- ln (a+b)≥a+1+b-(a+b-1)=2，
等号成立时a=0,b=1，
所以e
2a+[b- ln (a+b)]
2≥[e
a+b- ln (a+b)]
2
2
≥2
2
2 =2，
等号成立时e
a=b- ln (a+b)，显然a=0,b=1时e
a=b- ln (a+b)成立，
综上，当a=0,b=1时，e
2a+[b- ln (a+b)]
2取最小值2.
故答案为：2
【变式9-2】已知x , y ∈(0,+∞)，则( x - y)
2+2 y +1- x + 4
x 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因为( x - y)
2+2 y +1- x + 4
x =( x - y)
2-2( x - y)+1+ x + 4
x
=( x - y -1)
2+ x + 4
x
≥x + 4
x ，
当且仅当x - y -1=0，即y = x -1时，等号成立，
又因为x + 4
x ≥2❑√x⋅4
x = 4，当且仅当x = 4
x ，即x =2时，等号成立，
综上，( x - y)
2+2 y +1- x + 4
x 的最小值为4，
此时x =2, y =1.
故选：D.
【变式9-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知x>-1，y >0，z>0，2 x +3 y + z =2，则1
x +1 + 1
y + 3
z 的最
小值为（ ）
A．7
2 + ❑√6
B．7+ ❑√6
2
C．5+ ❑√6
2
D．5
2 + ❑√6
【答案】A
【解析】因为2 x +3 y + z =2，所以2(x +1)+3 y + z = 4，
所以4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=[2(x +1)+3 y + z](
1
x +1 + 1
y + 3
z)
所以4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=2+ 2(x +1)
y
+ 6(x +1)
z
+ 3 y
x +1 +3+ 9 y
z +
z
x +1 + z
y +3，
又2(x +1)
y
+ 3 y
x +1 ≥2❑√6，当且仅当x +1=
❑√6
2 y时等号成立，
6(x +1)
z
+
z
x +1 ≥2❑√6，当且仅当x +1=
❑√6
6 z时等号成立，
9 y
z + z
y ≥2❑√9=6，当且仅当z =3 y时等号成立，
所以4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=14+ 4 ❑√6，当且仅当x = 2❑√6-7
5
，y = 12-2❑√6
15
，z = 12-2❑√6
5
时等号成立，
所以1
x +1 + 1
y + 3
z 的最小值为7
2 + ❑√6，
故选：A.
题型十：参数构造法
【例10】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知m>0,n>0，且m+n=1，则
3
3m+2n + 2+3n
1+3n的最小值是
.
【答案】13
5
【解析】设m+n+ k = λ(3m+2n)+ μ(1+3n)，由对应系数相等得{
1=3 λ
1=2 λ+3 μ
k = μ
，
解得{
λ = 1
3
k = μ= 1
9
所以m+n+ 1
9 = 1
3
(3m+2n)+ 1
9
(1+3n)，整理得1= 3
10
(3m+2n)+ 1
10
(1+3n)，
即1= 1
10 [(9m+6n)+(1+3n)]，
所以
3
3m+2n + 2+3n
1+3n =
3
3m+2n +
1
1+3n +1
= 1
10 [(9m+6n)+(1+3n)](
3
3m+2n +
1
1+3n)+1
=2+ 1
10[
3(1+3n)
3m+2n + 9m+6n
1+3n ]≥2+ 1
10 ⋅2
❑√
3(1+3n)
3m+2n ⋅9m+6n
1+3n = 13
5 ，
当且仅当3(1+3n)
3m+2n = 9m+6n
1+3n ，即m=n= 1
2时等号成立，
所以
3
3m+2n + 2+3n
1+3n 的最小值是13
5 .
故答案为：13
5 .
【解题总结】
出现a x
2+b y
2+c z
2
mxz +nxy +tyz 结构形式，通常用待定系数法.
【变式10-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c 均为正实数，则
ab+bc
a
2+2b
2+c
2的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
❑√2
2
D．
❑√3
2
【答案】A
【解析】因为a，b 均为正实数，
则
ab+bc
a
2+2b
2+c
2 =
a+c
a
2+c
2
b
+2b
≤
a+c
2
❑√
a
2+c
2
b
×2b
=
a+c
2
❑√2(a
2+c
2)
= 1
2
❑√
a
2+2ac +c
2
2(a
2+c
2)
= 1
2
❑√
1
2 +
ac
a
2+c
2 ≤1
2
❑√
1
2 +
ac
2
❑√a
2×c
2 = 1
2，
当且仅当a
2+c
2
b
=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，
则
ab+bc
a
2+2b
2+c
2的最大值为1
2．
故选：A．
【变式10-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若a>0，b>0，3a+5b=1，则
11a+13b
2a
2+6ab+ 4 b
2的最小值
为（ ）
A．16
B．18
C．20
D．22
【答案】A
【解析】a>0，b>0，3a+5b=1，则(a+b)+(2a+ 4 b)=1，
11a+13b
2a
2+6ab+ 4 b
2 = 9(a+b)+(2a+ 4 b)
(a+b)(2a+ 4 b)
=[(a+b)+(2a+ 4 b)](
9
2a+ 4 b +
1
a+b)
=10+ 9(a+b)
2a+ 4 b + 2a+ 4 b
a+b
≥10+2❑√9=16，
当且仅当9(a+b)
2a+ 4 b = 2a+ 4 b
a+b
，即a=b= 1
8时取等号，
所以所求最小值为16.
故选：A．
【变式10-3】已知实数a，b，c满足a
2+b
2+c
2=1，则ab+bc +2ca的最大值为 .
【答案】
❑√3+1
2
【解析】设0<m<1，因为a
2+b
2+c
2=1，
所以1=a
2+b
2+c
2=(ma
2+ 1
2 b
2)+(
1
2 b
2+mc
2)+(1-m)(a
2+c
2)
≥2❑√
m
2 ab+2❑√
m
2 bc +2(1-m)ac，
令2❑√
m
2 =1-m，解得m=2- ❑√3或m=2+ ❑√3（舍去），
因此(❑√3-1)(ab+bc +2ca)≤1，即ab+bc +2ca≤
❑√3+1
2
，当b=(❑√3-1)a且c =a时取等号，
故ab+bc+2ca的最大值为
❑√3+1
2
.
故答案为：
❑√3+1
2
题型十一：三元、四元元均值不等式
【例11】已知a>0,b>0，则1
a +ab
2+ 2
b的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】方法一：a>0,b>0，
故1
a +ab
2+ 2
b = 1
a +ab
2+ 1
b + 1
b ≥4
4√
1
a ⋅ab
2⋅1
b ⋅1
b = 4，
当且仅当1
a =ab
2= 1
b，即a=b=1时，等号成立，
方法二：1
a +ab
2≥2❑√
1
a ⋅ab
2=2b，
故1
a +ab
2+ 2
b ≥2b+ 2
b ≥2❑√2b⋅2
b = 4，
当且仅当1
a =ab
2，且2b= 2
b时，即a=b=1时，等号成立．
故1
a +ab
2+ 2
b的最小值为4；
故选：D
【解题总结】
a1+a2+a3+......+an≥n
n√a1a2a3......an，a1,a2,a3,......,an为正数.
【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若a>0，b>0，求b
a
2 + 1
b +a 的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4
【答案】C
【解析】∵a>0，b>0，
∴b
a
2 + 1
b +a= b
a
2 + 1
b + a
2 + a
2
≥4 4√
b
a
2 ⋅1
b ⋅a
2 ⋅a
2 = 4
4√
1
4 = 4 ❑√
1
2 =2❑√2,
当且仅当b
a
2 = 1
b = a
2即a=b= ❑√2时等号成立，
∴b
a
2 + 1
b +a 的最小值为2❑√2．
故选：C．
【变式11-2】函数y = 3
16 x
2+ 3
x ( x>0)的最小值是（ ）．
A．3
3√3
2
B．9
4
C．1
D．不存在
【答案】B
【解析】x>0，y = 3
16 x
2+ 3
2 x + 3
2 x ≥3
3√
3 x
2
16 ⋅3
2 x ⋅3
2 x = 9
4
，
当3
16 x
2= 3
2 x ，x =2时等号成立.
故选：B
【变式11-3】已知a>0,b>0，则4+b(a
2+25b)
ab
的最小值为 ．
【答案】4 ❑√5
【解析】因为a>0,b>0，
所以4+b(a
2+25b)
ab
= 4
ab + 25b
a +a= 4
ab + 25b
a + 1
2 a+ 1
2 a≥4
4√
4
ab ⋅25b
a ⋅1
2 a⋅1
2 a= 4 ❑√5，
当且仅当4
ab = 25b
a
= 1
2 a，即a=2❑√5,b= 2
5时，等号成立，
故4+b(a
2+25b)
ab
的最小值为4 ❑√5.
故答案为：4 ❑√5
题型十二：判别式法
【例12】（2025·浙江·二模）设a,b∈R，λ>0，若a
2+ λb
2= 4，且a+b的最大值是❑√5，则λ = .
【答案】4
【解析】令a+b=d，由{ a+b=d
a
2+ λb
2= 4 消去a 得：(d -b)
2+ λb
2= 4，即(λ+1)b
2-2db+d
2- 4 =0，
而b∈R，λ>0，则Δ=(2d)
2- 4 (λ+1)(d
2- 4)≥0，d
2≤4 (λ+1)
λ
，-2❑√
λ+1
λ
≤d ≤2❑√
λ+1
λ
，
依题意2❑√
λ+1
λ
= ❑√5，解得λ = 4.
故答案为：4
【解题总结】
利用一元二次方程有实数根时Δ≥0.
【变式12-1】若x , y ∈R，4 x
2+ y
2+ xy =1，则当x = 时，x + y取得最大值，该最大值为 .
【答案】
❑√15
30
/ 1
30
❑√15 4 ❑√15
15
/ 4
15
❑√15
【解析】令x + y =t，则y =t - x，
则4 x
2+ y
2+ xy = 4 x
2+(t - x)
2+ x (t - x)= 4 x
2-tx +t
2=1，
即4 x
2-tx +t
2-1=0，
由Δ=t
2-16(t
2-1)≥0，解得：- 4 ❑√15
15
≤t ≤4 ❑√15
15
，
故x + y ≤4 ❑√15
15
，
故{ x + y = 4 ❑√15
15
4 x
2+ y
2+ xy =1
，解得：x =
❑√15
30 ，y = 7 ❑√15
30
，
所以当且仅当x =
❑√15
30 ，y = 7 ❑√15
30
时，等号成立，
故答案为：
❑√15
30 ，4 ❑√15
15
【变式12-2】设x、y 为实数，若4 x
2+ y
2+ xy =1，则2 x + y的最大值是 ．
【答案】2❑√10
5
/2
5
❑√10
【解析】方法一：令2 x + y =t，则y =t -2 x，代入4 x
2+ y
2+ xy =1，整理得6 x
2-3tx +t
2-1=0，其
Δ=9t
2-24(t
2-1)=-15t
2+24≥0，
解得- 2❑√10
5
≤t ≤2❑√10
5
，当t = 2❑√10
5
时，{
x =
❑√10
10
y =
❑√10
5
.
故2 x + y的最大值是2❑√10
5
．
方法二：由1= 4 x
2+ y
2+ xy =(2 x + y)
2-3 xy =(2 x + y)
2- 3
2
(2 x)⋅y
≥(2 x + y)
2- 3
2(
2 x + y
2 )
2
，即(2 x + y)
2≤8
5，
当{
x =
❑√10
10
y =
❑√10
5
时，2 x + y = 2❑√10
5
.
故2 x + y的最大值是2❑√10
5
．
故答案为：2❑√10
5
【变式12-3】若实数x，y 满足x
2+ y
2+ xy =1，则x 的最大值是 .
【答案】2❑√3
3
/2
3
❑√3
【解析】将条件变形为y
2+ xy + x
2-1=0，Δ= x
2- 4(x
2-1)≥0，解得- 2❑√3
3
≤x ≤2❑√3
3
，
故xmax = 2❑√3
3
.
故答案为：2❑√3
3
题型十三：双变量换元法
【例13】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数a，b满足a+b=1，则a
2
a+1 + b
2
b+2的最小值是 ．
【答案】1
4 /0.25
【解析】方法一
设a+1= s，b+2=t，则s+t =a+b+3= 4，
∵
a
2
a+1 + b
2
b+2 = (s-1)
2
s
+ (t -2)
2
t
= s-2+ 1
s +t - 4+ 4
t = s+t + 1
s + 4
t -6= 1
s + 4
t -2，
∴1
s + 4
t = 1
4(
1
s + 4
t )(s+t )= 1
4(
t
s + 4 s
t +5)≥9
4 ，
当且仅当s= 4
3 ，t = 8
3，即a= 1
3，b= 2
3时取等号，
∴a
2
a+1 + b
2
b+2 ≥9
4 -2= 1
4 ．
方法二∵a+b=1，∴a+1+b+2= 4，
∴a
2
a+1 + b
2
b+2 = 1
4(
a
2
a+1 + b
2
b+2)(a+1+b+2)= 1
4[a
2+ a
2(b+2)
a+1
+ b
2(a+1)
b+2
+b
2]
≥1
4 (a
2+2ab+b
2)= 1
4
(a+b)
2= 1
4 ，
当且仅当a= 1
3，b= 2
3时取等号，∴a
2
a+1 + b
2
b+2 ≥1
4 ．
故答案为：1
4
【解题总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式
的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
【变式13-1】设a,b为正实数，且a+b=3，则a
2
a+2 + b
2
b+1的最小值为 .
【答案】3
2
【解析】∵ a+b=3,令a+2=m，b+1=n，
∴m+n=a+b+3=6，
∴a=m-2，b=n-1，
∴a
2
a+2 + b
2
b+1 = (m-2)
2
m
+ (n-1)
2
n
=m+ 4
m +n+ 1
n -6
又∵m+n=a+b+3=6
∴a
2
a+2 + b
2
b+1 = 4
m + 1
n = 1
6
(m+n)(
4
m + 1
n)= 1
6(
4 n
m + m
n +5)≥1
6
(4+5)= 3
2；
当且仅当4 n
m = m
n 时，即m=2n时a
2
a+2 + b
2
b+1取得最小值，
∴a
2
a+2 + b
2
b+1的最小值为3
2.
故答案为：3
2
【变式13-2】已知a>0,b>0,a+b=2，则P = 3a
2+b
1+b + 3b
2+a
1+a 的最小值为 .
【答案】4
【解析】令a=1+t ,b=1-t ,-1<t <1，
则P= 3a
2+b
1+b + 3b
2+a
1+a = 3(1+t )
2+1-t
2-t
+ 3(1-t )
2+1+t
2+t
= 3t
2+5t + 4
2-t
+ 3t
2-5t + 4
2+t
= 3(2-t )
2-17(2-t )+26
2-t
+ 3(2+t )
2-17(2+t )+26
2+t
=3(2-t )-17+ 26
2-t +3(2+t )-17+ 26
2+t
=-22+ 26
2+t + 26
2-t ，
所以P≥-22+2❑√
26
2+t ⋅26
2-t =-22+
52
❑√4 -t
2 ≥-22+ 52
❑√4 = 4，
因此当且仅当t =0，即a=b=1时，P = 3a
2+b
1+b + 3b
2+a
1+a 取得最小值为4.
故答案为：4.
【变式13-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数a，b，c满足2a+b+3c =8，则a+b+2c
b+c
+
1
a+c 的最
小值为（ ）
A．2❑√2
B．3+2❑√2
4
C．3 ❑√2-1
D．5+2❑√2
4
【答案】D
【解析】正数a，b，c满足2a+b+3c =8，故2(a+c)+(b+c)=8，
令a+c =m,b+c =n，故2m+n=8，m>0,n>0，
a+b+2c
b+c
+
1
a+c = a+c +b+c
b+c
+
1
a+c = a+c
b+c +
1
a+c +1= m
n + 1
m +1
= 8-n
2n + 1
m +1= 4
n + 1
m + 1
2，
4
n + 1
m = 1
8(
4
n + 1
m)(2m+n)= 1
8(
8m
n + 4 +2+ n
m)≥1
8(6+2❑√
8m
n ⋅n
m)= 3+2❑√2
4
，
当且仅当8m
n = n
m，即m= 4 ❑√2- 4，n=16-8 ❑√2时，等号成立，
故a+b+2c
b+c
+
1
a+c = 4
n + 1
m + 1
2 ≥3+2❑√2
4
+ 1
2 = 5+2❑√2
4
.
故选：D
题型十四：比值代换法
【例14】已知a>b>0，则a
2+b
2
ab-b
2的最小值为 .
【答案】2❑√2+2
【解析】a
2+b
2
ab-b
2 =
a
2
b
2 +1
a
b -1
，令a
b =t (t >1)，所以t -1>0，
则a
2+b
2
ab-b
2 = t
2+1
t -1 = (t -1)
2+2t
t -1
= (t -1)
2+2(t -1)+2
t -1
=(t -1)+ 2
t -1 +2≥2❑√
(t -1)⋅2
t -1 +2=2❑√2+2，
当且仅当t -1= 2
t -1，即t = ❑√2+1，a
b = ❑√2+1时取等号.
所以a
2+b
2
ab-b
2的最小值为2❑√2+2.
故答案为：2❑√2+2.
【解题总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式
进行求解．
【变式14-1】设正实数x，y，z满足x
2-3 xy + 4 y
2- z =0，则当xy
z 取得最大值时，2
x + 1
y - 2
z 的最大值为
（ ）
A．0
B．3
C．9
4
D．1
【答案】D
【解析】由正实数x，y，z满足x
2-3 xy + 4 y
2- z =0，
∴z = x
2-3 xy + 4 y
2．
∴xy
z =
xy
x
2-3 xy + 4 y
2 =
1
x
y + 4 y
x -3
⩽
1
2❑√
x
y · 4 y
x -3
=1
，
当且仅当x =2 y >0时取等号，此时z =2 y
2．
∴2
x + 1
y - 2
z = 2
2 y + 1
y - 2
2 y
2 =-( 1
y -1)
2+1⩽1，当且仅当y =1时取等号，
即2
x + 1
y - 2
z 的最大值是1．
故选：D
【变式14-2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知a>0，b>0，a+b=1，则b+1
a
+ a+1
b
的最小值为 .
【答案】6
【解析】由a+b=1，得b+a+b
a
+ a+a+b
b
=2+2(
b
a + a
b)≥2+2×2=6，
当且仅当a=b= 1
2时等号成立，故b+1
a
+ a+1
b
的最小值为6.
故答案为：6
【变式14-3】已知正数x , y满足
8
3 x
2+2 xy
+
3
xy +2 y
2 =1，则xy的最小值是 ．
【答案】5
2
【解析】根据题意，由
8
3 x
2+2 xy
+
3
xy +2 y
2 =1可得8( xy +2 y
2)+3(3 x
2+2 xy)
(3 x
2+2 xy)( xy +2 y
2)
=1，
即16 y
2+9 x
2+14 xy =3 x
3 y +8 x
2 y
2+ 4 x y
3= xy(4 y
2+3 x
2+8 xy )
所以16 y
2+9 x
2+14 xy
4 y
2+3 x
2+8 xy
= xy =
16 y
2
x
2 +9+14 y
x
4 y
2
x
2 +3+8 y
x
；
又因为x , y均是正数，令y
x =t ∈(0,+∞)，则xy = f (t )= 16t
2+14t +9
4t
2+8t +3
所以， f (t )= 16t
2+14t +9
4t
2+8t +3
= 4 -
18t +3
4t
2+8t +3
= 4 -
1
4t
2+8t +3
18t +3
令g(t )= 4t
2+8t +3
18t +3
，
则g(t )= 2
9 t + 11
27 +
16
9
18t +3 = 2
9(t + 1
6)+
16
9
18t +3 + 10
27 ≥2
❑
√
2
9(t + 1
6)×
16
9
18t +3 + 10
27 = 18
27
当且仅当2
9(t + 1
6)=
16
9
18t +3
，即t = 1
2时，等号成立；
所以f (t )= 4 -
1
4 t
2+8t +3
18t +3
≥4 - 1
18
27
= 45
18 = 5
2
所以f (t )的最小值为f (t )min= 5
2;
即当t = y
x = 1
2 , x =2 y = ❑√5时，即x = ❑√5, y =
❑√5
2 时，等号成立.
故答案为：5
2
题型十五：实际应用建模
【例15】（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫
会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分
米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v
2=
4 H
1- H v
2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为
（ ）
A．0.2米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7米
【答案】B
【解析】由v
2=
4 H
1- H v
2可知v
2- H v
4= 4 H，故H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，
当且仅当v
2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：B.
【解题总结】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标
函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
【变式15-1】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已
知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v
2=
4 H
1- H v
2，则该
类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
【答案】A
【解析】由v
2=
4 H
1- H v
2可知v
2- H v
4= 4 H，且v >0，
故H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，
当且仅当v
2=2即v = ❑√2时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：A.
【变式15-2】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码
放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取
出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【答案】B
【解析】设天平左臂长为m，右臂长为n，m,n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2克，
则{
100m=n x2
m x1=100n，解得x1= 100n
m
, x2= 100m
n
，
x = x1+ x2= 100n
m
+ 100m
n
≥2❑√
100n
m
⋅100m
n
=200，
当且仅当m=n时，取到等号，而m≠n，所以x>200.
故选：B
【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）高相同的圆柱与圆台的体积分别为V 1，V 2，且圆柱的底面积是圆台
上、下底面积的等差中项，则V 1与V 2的关系为（ ）
A．V 1>V 2
B．V 1<V 2
C．V 1=V 2
D．不确定
【答案】A
【解析】设圆台的上、下底面积分别为S1，S2，圆柱的底面积为S，高为h，
根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，
∴S = 1
2 (S1+ S2)，V 1= Sh= 1
2 (S1+ S2)h，
∴V 2= 1
3 (S1+ S2+ ❑√S1S2)h< 1
3[S1+ S2+ 1
2 (S1+ S2)]h=V 1，
故选：A.
题型十六：跨知识点综合
【例16】（2025·北京朝阳·二模）在△ABC中，a+c =2❑√5，且tan B =2，则sin B = ；△ABC面积
的最大值为 ．
【答案】 2❑√5
5
❑√5
【解析】在△ABC中，由tan B =2，得sin B =2cos B>0，而sin
2B+co s
2B =1，所以sin B = 2❑√5
5
；
△ABC的面积S△ABC = 1
2 ac sin B =
❑√5
5 ac≤
❑√5
5 (
a+c
2 )
2
= ❑√5，当且仅当a=c = ❑√5时取等号，
所以△ABC面积的最大值为❑√5.
故答案为：2❑√5
5
；❑√5
【解题总结】
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析
几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
【变式16-1】（2025·天津河西·二模）在平行四边形ABCD中，cos∠BAD =- 4
5 ，⃗DC = 4⃗EC，⃗
BC =⃗CF，四边形ABCD的面积为6，则⃗EA ⋅⃗FA的最小值为 ；当⃗AB在⃗AD上的投影向量为-⃗AD时，⃗
EA ⋅⃗FA = .
【答案】 10 ❑√6-20 43
8
【解析】由条件可知，sin ∠BAD = ❑√1-(- 4
5)
2
= 3
5
,S ABCD=|AB||AD|sin ∠BAD =|AB||AD|× 3
5 =6，
所以|AB||AD|=10，所以⃗AB⋅⃗AD =10×(- 4
5)=-8，⃗
EA =⃗DA -⃗DE =-⃗AD - 3
4⃗AB，⃗FA =⃗FB+⃗BA =-2⃗AD -⃗AB，
⃗
EA ⋅⃗FA =(-⃗AD - 3
4⃗AB)⋅(-2⃗AD -⃗AB)=2⃗AD
2+ 3
4⃗AB
2+ 5
2⃗AB⋅⃗AD，
=2|⃗AD|
2+ 3
4|⃗AB|
2-20≥2❑√2× 3
4 ×|⃗AD|
2×|⃗AB|
2-20=10 ❑√6-20，
当2|⃗AD|
2= 3
4|⃗AB|时等号成立，
所以⃗EA ⋅⃗FA的最小值为10 ❑√6-20；⃗
AB在⃗AD上的投影向量为-⃗AD，则|⃗AB|cos∠BAD =-|⃗AD|，即- 4
5|⃗AB|=-|⃗AD|,
因为|AB||AD|=10，所以4
5|⃗AB|
2=10，得|⃗AB|= 5 ❑√2
2
，|⃗AD|=2❑√2，
则⃗EA ⋅⃗FA =2⃗AD
2+ 3
4⃗AB
2-20= 43
8 .
故答案为：10 ❑√6-20；43
8 .
【变式16-2】（2025·北京朝阳·二模）设a>0，过原点O的直线（不与x轴重合）与圆A : x
2+( y -a)
2=a
2
交于点P 与直线y =2a交于点Q．过点P作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，这两条直线交于点
M (x , y)，称y为x的箕舌线函数，记作y = f (x)，给出下列四个结论：
①函数y = f (x)的图象关于y 轴对称；
②若x1< x2，则f (x1)>f (x2)；
③设函数h(x)= xf (x)，则h(x)的最大值为2a
2；
④设函数g(x)= f (x)+ x
2，则g(x)的最小值为2a．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【解析】圆x
2+( y -a)
2=a
2的圆心(0,a)在y轴上，设圆A与y的另一个交点为B，
设Q(x0,2a)，当点Q不与点B重合时，直线OQ的方程为y = 2a
x0
x，
联立{
y = 2a
x0
x
x
2+ y
2-2ay =0
y ≠0
，解得y =
8a
3
x0
2+ 4 a
2，所以P点纵坐标为y P=
8a
3
x0
2+ 4 a
2，此时点M(x0,
8a
3
x0
2+ 4 a
2)，
当点Q与点B重合时，点M的纵坐标也满足y =
8a
3
x
2+ 4 a
2，所以f (x)=
8a
3
x
2+ 4 a
2，
对任意的x∈R，x
2+ 4 a
2>0，所以f (x)=
8a
3
x
2+ 4 a
2的定义域为R，
对于命题①，因为f (- x)=
8a
3
(- x)
2+ 4 a
2 =
8a
3
x
2+ 4 a
2 = f (x)，所以f (x)是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为f ' (x)=-16a
3 x
(x
2+ 4 a
2)
2，当x<0时，f ' (x)>0，即f (x)在区间(-∞,0)上单调递增，
所以当x1, x2∈(-∞,0)时，若x1< x2，则f (x1)<f (x2)，所以②错误，
对于命题③，h(x)= xf (x)= 8a
3 x
x
2+ 4 a
2，因为a>0，当x ≤0时，h(x)≤0，
当x>0时，h(x)=
8a
3
x + 4 a
2
x
，又x + 4 a
2
x ≥2
❑√4 a
2= 4 a，当且仅当x = 4 a
2
x ，即x =2a时取等号，
所以h(x)=
8a
3
x + 4 a
2
x
≤8a
3
4 a =2a
2
，故③正确，
对于命题④，g(x)= f (x)+ x
2=
8a
3
x
2+ 4 a
2 + x
2+ 4 a
2- 4 a
2，令t = x
2+ 4 a
2≥4 a
2，
则y =t + 8a
3
t
- 4 a
2，易知y =t + 8a
3
t
- 4 a
2在区间(0,
❑√8a
3)上单调递减，在区间(❑√8a
3,+∞)上单调递增，
若❑√8a
3≥4 a
2，即a∈(0, 1
2]时，ymin=
❑√8a
3+ 8a
3
❑√8a
3 - 4 a
2= 4 ❑√2a
3
2 - 4 a
2，
即当a∈(0, 1
2]时，g(x)的最小值为4 ❑√2a
3
2 - 4 a
2，所以④错误，
故答案为：①③.
【变式16-3】《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵ABC - A1B1C1中，
A1B =3 ❑√2，AB = AC，则堑堵ABC - A1B1C1体积的最大值为 .
【答案】6 ❑√6
【解析】
由题意AB = AC，则AB⊥AC，令AB = x，
由A1B =3 ❑√2，得A A1=
❑√18- x
2，
堑堵ABC - A1B1C1体积V = 1
2 x
2❑√18- x
2= ❑√
1
2 x
2⋅1
2 x
2⋅(18- x
2)≤
❑
√[
1
2 x
2+ 1
2 x
2+(18- x
2)
3
]
3
=6 ❑√6
，
当且仅当1
2 x
2=18- x
2，即x =2❑√3时取等号，
故答案为：6 ❑√6
题型十七：特定形式的最值问题
【例17】（多选题）（2025·河南·三模）已知正数x，y 满足2 x + y =1，则（ ）
A．xy ≤1
16
B．1
x + 2
y ≥8
C．❑√2 x + ❑√y ≤❑√2
D．x
2+ y
2≥1
5
【答案】BCD
【解析】对于A，由基本不等式2 x + y ≥2❑√2 xy，已知2 x + y =1，则1≥2❑√2 xy，
可得xy ≤1
8，当且仅当2 x = y = 1
2时取等号，A 错误．
对于B，1
x + 2
y =(
1
x + 2
y)(2 x + y)= 4+ y
x + 4 x
y ≥4+2❑√
y
x × 4 x
y =8，
当且仅当y
x = 4 x
y 时取等号，B 正确．
对于C，(❑√2 x + ❑√y)
2=2 x + y +2❑√2 xy =1+2❑√2 xy，由A 知xy ≤1
8，
所以(❑√2 x + ❑√y)
2≤1+2❑√2× 1
8 =2，则❑√2 x + ❑√y ≤❑√2，当目仅当2 x = y = 1
2时取等号，C 正确．
对于D，x
2+ y
2=(x + y)
2-2 xy =(
1- y
2 )
2
+ y
2= 5
4 y
2- 1
2 y + 1
4 ，
根据二次函数性质，其对称轴为y = 1
5，当y = 1
5时，x
2+ y
2取得最小值为1
5，D 正确，
故选：BCD．
【解题总结】
利用基本不等式变形求解
【变式17-1】（多选题）（2025·河北·二模）已知x>0，y >0，x +2 y =2，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1
2
B．4
x + x
y 的最小值为4
C．x
2+ 4 y
2的最大值为2
D．x
2+ y
2的最小值为4
5
【答案】AD
【解析】因为2= x +2 y ≥2❑√2 xy，所以xy ≤1
2，当且仅当x =2 y，即x =1，y = 1
2时等号成立，所以xy的
最大值为1
2，故A 正确；
因为4
x + x
y = 2(x +2 y)
x
+ x
y = 4 y
x + x
y +2≥2❑√
4 y
x ⋅x
y +2=6，当且仅当4 y
x = x
y ，即x =1，y = 1
2时等号
成立，
所以4
x + x
y 的最小值为6，故B 错误；
因为x
2+ 4 y
2=(x +2 y)
2- 4 xy = 4 - 4 xy ≥4 - 4× 1
2 =2，当且仅当x =1，y = 1
2时等号成立，
所以x
2+ 4 y
2的最小值为2，故C 错误；
x
2+ y
2可以看作直线x +2 y -2=0落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为
d =|0+0-2|
❑√1
2+2
2 = 2❑√5
5
，
所以x
2+ y
2的最小值为d
2= 4
5 ，故D 正确.
故选：AD.
【变式17-2】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数x , y满足8(x + y)= x
3 y + x y
3，则（ ）
A．x + y ≥4
B．x
2 y
2≥16
C．x
3
2 + y
3
2 ≥4 ❑√2
D．xy (x + y)≤16
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为正实数x , y满足8(x + y)= x
3 y + x y
3，
设x + y =t >0, xy =k >0，则x
2+ y
2=( x + y )
2-2 xy =t
2-2k，
因为8(x + y)= x
3 y + x y
3= xy (x
2+ y
2)，
即8t =k (t
2-2k)，整理可得得2k
2-t
2k +8t =0，
将其看为关于k的一元二次方程，则Δ=(-t
2)
2-64 t ≥0，解得t ≥4，
即x + y ≥4，故A 正确；
对于选项D：因为8(x + y)= xy (x
2+ y
2)，且x
2+ y
2≥( x + y)
2
2
，xy >0，
则8(x + y)= xy (x
2+ y
2)≥xy ⋅( x + y)
2
2
，当且仅当x = y =2时，等号成立，
所以16≥xy (x + y)，故D 正确；
对于选项B：因为x + y ≥2❑√xy，则16≥xy (x + y)≥2 xy ❑√xy，
当且仅当x = y =2时，等号成立，
则❑√xy ≤2，得x
2 y
2≤16，当且仅当x = y =2时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为(
a
3+b
3
2 )
2
-(
a
2+b
2
2 )
3
= a
6+b
6+2a
3b
3
4
- a
6+b
6+3a
4b
2+3a
2b
4
8
= a
6+b
6+ 4 a
3b
3-3a
4b
2-3a
2b
4
8
= (a-b)
2(a
4+2a
3b+2ab
3+b
4)
8
，
因为a>0,b>0，则a
4+2a
3b+2ab
3+b
4>0，(a-b)
2≥0，
可得(
a
3+b
3
2 )
2
-(
a
2+b
2
2 )
3
≥0，当且仅当a=b时，等号成立，
即(
a
3+b
3
2 )
2
≥(
a
2+b
2
2 )
3
，可得a
3+b
3
2
≥(
a
2+b
2
2 )
3
2，
即x
3
2 + y
3
2
2
≥(
x + y
2 )
3
2 ≥2
3
2 =2❑√2，当且仅当x = y =2时，等号成立
所以x
3
2 + y
3
2 ≥4 ❑√2，故C 正确；
故选：ACD.
【变式17-3】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知a>0,b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．若a+b=1，则a
2+ 4 b
2≥5
4
B．若a+b=1，则❑√a+ ❑√b的最大值为❑√2
C．若a+b=2，则a
2
a+1 + b
2
b+1的最小值为1
D．若a+b=2，则
1
a
2+1
+
1
b
2+1的最大值为1+ ❑√2
2
【答案】BCD
【解析】由题意得a
2+ 4 b
2=(1-b)
2+ 4 b
2=5(b- 1
5)
2
+ 4
5 ≥4
5 ，A 项错误；
(❑√a+ ❑√b)
2=a+b+2❑√ab=1+2❑√ab≤1+a+b=2，所以❑√a+ ❑√b≤❑√2（当且仅当a=b= 1
2时取等号），
B 项正确；
a
2
a+1 + b
2
b+1 = (a+1)
2-2(a+1)+1
a+1
+ (b+1)
2-2(b+1)+1
b+1
=
1
a+1 +
1
b+1 = 1
4 [(a+1)+(b+1)](
1
a+1 +
1
b+1)≥1
，
当且仅当a=b=1时取等号，C 项正确；
1
a
2+1
+
1
b
2+1
=
a
2+b
2+2
(ab)
2+a
2+b
2+1
=
4 -2ab+2
(ab)
2+ 4 -2ab+1，
又因为a+b=2≥2❑√ab⇒0<ab≤1，
所以
1
a
2+1
+
1
b
2+1
= 4 +2(1-ab)
(ab-1)
2+ 4 ，
设t =1-ab,t ∈[0,1)，
则
1
a
2+1
+
1
b
2+1
= 2t + 4
t
2+ 4
=
2(t +2)
(t +2)
2- 4(t +2)+8
=
2
t +2+ 8
t +2 - 4
≤
2
4 ❑√2- 4 =
❑√2+1
2
，当且仅当
t +2= 8
t +2 ⇒t =2❑√2-2，即ab=3-2❑√2时取等号，
所以
1
a
2+1
+
1
b
2+1的最大值为
❑√2+1
2
，D 项正确．
故选:BCD．
题型十八：恒(能)成立问题
【例18】当x>1时，不等式x +
1
x -1 ≥a恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(-∞,2]
B．[2,+ ∞)
C．[3,+∞)
D．(-∞,3]
【答案】D
【解析】当x>1时，x -1>0，故x +
1
x -1 =(x -1)+
1
x -1 +1≥2❑√
(x -1)(
1
x -1)+1=3，当且仅当
x -1=
1
x -1，即x =2时等号成立，
所以不等式x +
1
x -1 ≥a恒成立，故a≤(x +
1
x -1)min
，故a≤3，
故选：D
【解题总结】
∃x∈M，使得f ( x)⩾a ，等价于f ( x)max⩾a ，∃x∈M，使得f ( x)⩽a ，等价于
f ( x)min⩽a
【变式18-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）设实数x，y 满足x> 3
2，y >3，不等式
k (2 x -3)( y -3)≤8 x
3+ y
3-12 x
2-3 y
2恒成立，则实数k 的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．2❑√3
D．4 ❑√3
【答案】B
【解析】x> 3
2，y >3，变形为2 x -3>0，y -3>0，
令a=2 x -3>0，b= y -3>0，
则k (2 x -3)( y -3)≤8 x
3+ y
3-12 x
2-3 y
2转化为
k ≤8 x
3+ y
3-12 x
2-3 y
2
(2 x -3)( y -3)
，即4 x
2
y -3 +
y
2
2 x -3 ≥k，
其中4 x
2
y -3 +
y
2
2 x -3 = (a+3)
2
b
+ (b+3)
2
a
≥(2❑√3a)
2
b
+ (2❑√3b)
2
a
=12(
a
b + b
a)≥24 ❑√
a
b ⋅b
a =24
当且仅当{
a=3,
b=3
b
a = a
b
，即x =3, y =6时取等号，可知k ≤24.
故选：B
【变式18-2】（2025·广东湛江·二模）当x，y ∈(0,+∞)时，4 x
4+17 x
2 y + 4 y
2
x
4+2 x
2 y + y
2
< m
4 恒成立，则m 的取
值范围是（ ）
A．(25,+ ∞)
B．(26,+∞)
C．(
99
4 ,+∞)
D．(27,+∞)
【答案】A
【解析】当x，y ∈(0,+ ∞)时，4 x
4+17 x
2 y + 4 y
2
x
4+2 x
2 y + y
2
= (4 x
2+ y)(x
2+ 4 y)
(x
2+ y)
2
≤(
4 x
2+ y + x
2+ 4 y
2
)
2
(x
2+ y)
2
= 25
4
，
当且仅当4 x
2+ y = x
2+ 4 y，即y = x
2时，等号成立，
所以4 x
4+17 x
2 y + 4 y
2
x
4+2 x
2 y + y
2
的最大值为25
4 ．
所以m
4 > 25
4 ，即m>25．
故选：A.
【变式18-3】已知实数 x、y满足x + y - xy =0， 且xy >0， 若不等式4 x +9 y -t ≥0恒成立， 则实数t
的最大值为 （ ）
A．9
B．12
C．16
D．25
【答案】D
【解析】因为x + y - xy =0，所以1
x + 1
y =1，
∴4 x +9 y =(4 x +9 y)(
1
x + 1
y)=13+ 9 y
x + 4 x
y ≥13+2❑√
9 y
x ⋅4 x
y =25，
当且仅当9 y
x = 4 x
y ， 即x = 5
2 ，y = 5
3时，等号成立．
因不等式4 x +9 y -t ≥0恒成立，只需(4 x +9 y)min≥t，
因此t ≤25，故实数t的最大值为25．
故选：D
题型十九：常见的几何无字证明模型
【例19】在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯
形ABCD中，AB//CD，且CD =a，AB =b，EF和GH为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，
GH过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）
A．a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B．
2
1
a + 1
b
≤a+b
2
(a>0,b>0)
C．a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D．a
2+b
2≥2❑√ab(a>0,b>0)
【答案】B
【解析】设AC交BD于O点，如图所示：
因为AB//GH //CD，所以OG
DC = AO
AC = BO
BD = OH
DC ，即OG=OH.
又因为OG
DC + OH
AB = OG
a + OH
b = AO
AC + OC
AC =1，
即
1
2 GH
a
+
1
2 GH
b
=1，解得GH = 2ab
a+b =
2
1
a + 1
b
.
又因为EF = a+b
2
，GH ≤EF，所以
2
1
a + 1
b
≤a+b
2
.
故选：B
【解题总结】
利用几何法转化
【变式19-1】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我
们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果a>b,b>c，那么a>c
B．如果a>b>0，那么a
2>b
2
C．如果a>b,c>0，那么ac>bc
D．对任意实数a 和b，有a
2+b
2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立
【答案】D
【解析】直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，则c
2=a
2+b
2，
在正方形的面积为c
2，四个直角三角形的面积和为2ab，因此有c
2≥2ab，即a
2+b
2≥2ab，当且仅当a=b
时，中间没有小正方形，等号成立．
故选：D．
【变式19-2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直
角三角形△ABC中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD =a，BD =b，
用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B．2ab
a+b ≤❑√ab(a>0,b>0)
C．a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D．a
2+b
2≥2❑√ab(a>0,b>0)
【答案】C
【解析】由图知：OC = 1
2 AB = a+b
2
,OD =|OB - BD|=|
a+b
2
-b|=|
a-b
2 |，
在Rt △OCD中，CD =
❑√OC
2+O D
2=
❑√
a
2+b
2
2
，
所以OC ≤OD，即a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)，
故选：C
【变式19-3】《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏
晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线
将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个
小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2 所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为
内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直
角三角形ABC 的内接正方形对角线AE，过点A 作AF ⊥BC于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由图1 和图2 面积相等得d = 2ab
a+b
B．由AE≥AF可得❑√
a
2+b
2
2
>❑√
a+b
2
C．由AD≥AE可得
❑√
a
2+b
2
2
≥
2
1
a + 1
b
D．由AD≥AF可得a
2+b
2>2ab
【答案】C
【解析】对于A，由图1 和图2 面积相等得ab=(a+b)×d，所以d = ab
a+b，故A 错误；
对于B，因为AF ⊥BC，所以1
2 ×a×b= 1
2
❑√a
2+b
2× AF，所以AF =
ab
❑√a
2+b
2，AE = ❑√2d =
❑√2ab
a+b ，因
为AE≥AF，所以
❑√2ab
a+b ≥
ab
❑√a
2+b
2，整理得❑√
a
2+b
2
2
≥a+b
2
，故B 错误；
对于C，因为D 为斜边BC 的中点，所以AD =
❑√a
2+b
2
2
，因为AD≥AE，所以
❑√a
2+b
2
2
≥
❑√2ab
a+b
，整理得
❑√
a
2+b
2
2
≥
2
1
a + 1
b
，故C 正确；
对于D，因为AD≥AF，所以
❑√a
2+b
2
2
≥
ab
❑√a
2+b
2，整理得a
2+b
2≥2ab，故D 错误．
故选：C．
题型二十：构造不等式法求最值
【例20】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数m,n满足2m
3+2n
3+6mn=27，则m+n的取值范围为 .
【答案】(
3
3√4
2
,3]
【解析】根据题意可得：2m
3+2n
3+6mn=27，即2(m+n)(m
2+n
2-mn)+6mn=27，
设m+n=t，
则：2t (t
2-3mn)+6mn=27，2t
3-6tmn+6mn=27，
∴2t
3-27
6t -6 =mn，
∵m,n>0,∴2t
3-27
6t -6 >0，∴(2t
3-27)(6t -6)>0，
解得0<t <1或t > 3
3√4
2
，
又∵2t
3-27
6t -6 =mn≤(
m+n
2 )
2
= t
2
4 ，
∴2t
3-27
6t -6 - t
2
4 ≤0，化简得(t -1)(t
3+3t
2-54)≤0，
①当0<t <1时，不等式不成立；
②当t > 3
3√4
2
时，t
3+3t
2-54≤0，即(t
3-27)+3(t
2-9)≤0，
(t -3)(t
2+6t +18)≤0，又t
2+6t +18>0恒成立，可得3
3√4
2
<t ≤3，
∴m+n的取值范围为(
3
3√4
2
,3].
故答案为：(
3
3√4
2
,3].
【解题总结】
利用
2
1
a ＋1
b
≤❑√ab≤a＋b
2
≤
❑√
a
2＋b
2
2
(a>0,b>0)求解.
【变式20-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z 满足x + y + z =0，且x> y > z，则
y
❑√x
2+ z
2的取值范围为
（ ）
A．(-
❑√5
5 ,
❑√5
5 ) B．(-
❑√2
2 ,
❑√2
2 )
C．(- 1
2 , 1
2)
D．(-1,1)
【答案】A
【解析】因为x> y > z,x + y + z =0
所以y =-( x + z)且x>-( x + z)> z,
故-2< z
x <- 1
2且x>0,
所以- 5
2 < z
x + x
z ≤-2,
故- 1
2 ≤
1
z
x + x
z
<- 2
5,
-1≤
2
z
x + x
z
<- 4
5 ,
所以(
y
❑√x
2+ z
2 )
2=
y
2
x
2+ z
2 = ( x + z)
2
x
2+ z
2 =1+ 2 xz
x
2+ z
2 =1+
2
z
x + x
z
∈[0, 1
5 ),
所以
y
❑√x
2+ z
2 ∈(-
❑√5
5 ,
❑√5
5 ),
故选：A．
【变式20-2】（2025·山东·模拟预测）已知3
x⋅9
y =3
xy>1，则x +2 y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．4
C．4 ❑√2
D．8
【答案】D
【解析】由3
x⋅9
y =3
xy>1可得3
x +2 y =3
xy>1，即x +2 y = xy >0，故x>0, y >0，
由2( x +2 y)= x⋅2 y ≤( x +2 y
2
)
2，可得( x +2 y)( x +2 y -8)≥0，
当且仅当x =2 y时取等号，即当x = 4 , y =2时，x +2 y 取得最小值为8.
故选：D.
【变式20-3】已知三次函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a<b)在R上单调递增，则a+b+c
b-a
最小值为（ ）
A．2❑√6+5
2
B．
❑√6+5
3
C．7+ ❑√5
2
D．2❑√7+5
3
【答案】D
【解析】∵f (x)在R上单调递增，∴f ' (x)=3a x
2+2bx +c≥0恒成立，
∴{
3a>0
Δ= 4 b
2-12ac≤0，∴b>a>0，b
2≤3ac，∴c≥b
2
3a >0，
∴a+b+c
b-a
≥
a+b+ b
2
3a
b-a
=
1+ b
a + 1
3 ⋅(
b
a)
2
b
a -1
，
令t = b
a >1，设g(t )=
1
3 t
2+t +1
t -1
(t >1)，
则g(t )=
1
3 t
2+t +1
t -1
= 1
3 ⋅t
2+3t +3
t -1
= 1
3 ⋅(t -1)
2+5(t -1)+7
t -1
= 1
3 ⋅(t -1+ 7
t -1 +5)
，
∵t >1，∴t -1>0，∴t -1+ 7
t -1 ≥2❑√7（当且仅当t -1= 7
t -1，即t =1+ ❑√7时取等号），
∴g(t )≥2❑√7+5
3
，即a+b+c
b-a
的最小值为2❑√7+5
3
.
故选：D.
1．已知x , y为正数，求
x
2 x + y +
y
x +2 y 的最大值（ ）
A．2
3
B．1
C．3
4
D．5
8
【答案】A
【解析】法一：令y
x =t，则
x
2 x + y +
y
x +2 y =
1
2+ y
x
+
y
x
1+2 y
x
= 1
2+t +
t
1+2t (t >0)
1
2+t +
t
1+2t = t
2+ 4t +1
2t
2+5t +2
= 1
2 +
3
2 t
2t
2+5t +2
= 1
2 +
3
2
2(t + 1
t)+5
≤1
2 +
3
2
4 ❑√1+5 = 2
3
当且仅当t =1，即x = y时取等号．
法二：令{
2 x + y =m
x +2 y =n ，则{
x = 2m-n
3
y = 2n-m
3
，
∴原式= 2m-n
3m
+ 2n-m
3n
= 4
3 - 1
3(
n
m + m
n)≤4
3 - 1
3 ×2❑√1= 2
3，当且仅当m=n时，即x = y时取等号．
法三：
x
2 x + y +
y
x +2 y = x( x +2 y)+ y(2 x + y)
(2 x + y)( x +2 y)
=
x
2+ y
2+ 4 xy
2 x
2+2 y
2+5 xy
= 1
2 + 3
2 ⋅
xy
2 x
2+2 y
2+5 xy
= 1
2 + 3
2 ⋅
1
2(
x
y + y
x)+5
≤1
2 + 3
2 ×
1
4 ❑√1+5 = 2
3，当且仅当x = y时取等号．
法四：
x
2 x + y +
y
x +2 y =
x
2 x + y -1+
y
x +2 y -1+2
=- x - y
2 x + y +- x - y
x +2 y +2=-( x + y)(
1
2 x + y +
1
x +2 y)+2
=- (2 x + y)+( x +2 y)
3
⋅(
1
2 x + y +
1
x +2 y)+2
=- 1
3(2+ x +2 y
2 x + y + 2 x + y
x +2 y)+2≤- 1
3 (2+2)+2= 2
3
当且仅当2 x + y = x +2 y时，即x = y时取等号．
故选：A．
2．已知实数a，b，c 满足a+b+c =1．
(1)若2a
2+b
2+c
2= 1
2，求证：0≤a≤2
5；
(2)若a，b，c∈(0,+∞)，求证：a
2
1-a + b
2
1-b + c
2
1-c ≥1
2．
【解析】（1）因为a+b+c =1，所以b+c =1-a．
因为2a
2+b
2+c
2= 1
2，
所以1
2 -2a
2=b
2+c
2≥(b+c)
2
2
= (1-a)
2
2
，当且仅当b=c时等号成立，
整理得5a
2-2a≤0，所以0≤a≤2
5．
（2）解法一： 因为a+b+c =1，且a，b，c∈(0,+∞)，
所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a
2
1-a + 1-a
4
≥2
❑√
a
2
1-a ⋅1-a
4
=a，
同理可得b
2
1-b + 1-b
4
≥b，c
2
1-c + 1-c
4
≥c，
以上三式相加得a
2
1-a + b
2
1-b + c
2
1-c ≥5
4
(a+b+c)- 3
4 = 1
2，当且仅当a=b=c = 1
3时等号成立．
解法二：因为a+b+c =1，且a，b，c∈(0,+∞)，
所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且1
2 [(1-a)+(1-b)+(1-c)]=1，
所以a
2
1-a + b
2
1-b + c
2
1-c = 1
2 [(1-a)+(1-b)+(1-c)](
a
2
1-a + b
2
1-b + c
2
1-c)
≥1
2(
❑√1-a⋅
a
❑√1-a + ❑√1-b⋅
b
❑√1-b + ❑√1-c⋅
c
❑√1-c)
2
= 1
2
(a+b+c)
2= 1
2，
当且仅当a=b=c = 1
3时等号成立．
①数形结合
1．如图，在一个圆心为O，半径为R 的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，
则这个矩形的面积最大时，∠AOD的大小是( )
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5 π
12
【答案】B
【解析】
设|OD|= x(0< x< R)，
则| AD|=
❑√|OA|
2-|OD|
2=
❑√R
2- x
2，
|CD|=2|OD|=2 x，
所以矩形ABCD 的面积为
S =| AD|⋅|CD|=2 x
❑√R
2- x
2⩽x
2+( R
2- x
2)= R
2，
当且仅当x =
❑√2
2 R时等号成立，
此时cos∠ AOD = OD
OA =
❑√2
2 ，
又∠ AOD∈(0, π
2 )，
所以∠ AOD = π
4 .
故选：B.
2．在△ABC中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点M，N，若⃗
AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，m>0，n>0，则1
m + 9
n的最小值为( )
A．3
B．8
C．9
2
D．9
【答案】B
【解析】如图，
因为点O 是BC 的中点，所以⃗AO = 1
2 (⃗AB+⃗AC )= m
2⃗AM + n
2⃗AN，
因为M ,O , N三点共线，所以m
2 + n
2 =1，
所以1
m + 9
n =( 1
m + 9
n )( m
2 + n
2 )=5+ n
2m + 9m
2n ，
因为m>0，n>0，所以n
2m + 9m
2n ⩾2❑√
n
2m ⋅9m
2n =3，
当且仅当n
2m = 9m
2n ，即m= 1
2 ,n= 3
2时取等号，此时1
m + 9
n取得最小值8.
故选：B.
3．如图，在△ABC中，⃗BD = 2
3⃗BC，E 为线段AD 上的动点，且⃗CE = x⃗CA + y⃗CB，则2
x + 6
y 的最小值为(
)
A．8
B．12
C．32
D．16
【答案】C
【解析】
因为⃗BD = 2
3⃗BC，
所以⃗CD = 1
3⃗CB，
因为⃗CE = x⃗CA + y⃗CB，
所以⃗CE = x⃗CA +3 y⃗CD，
因为A , D , E三点共线，
所以x +3 y =1，x>0, y >0，
所以2
x + 6
y =( 2
x + 6
y )⋅( x +3 y)=20+ 6 y
x + 6 x
y
⩾20+2❑√
6 y
x × 6 x
y =20+12=32，
当且仅当6 y
x = 6 x
y ，即x = y = 1
4 时取等号，
所以2
x + 6
y 的最小值是32.
故选：C .
②转化与化归
4．若正数x，y 满足x
2- xy +2=0，则x + y的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．2❑√3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】
由x
2- xy +2=0可得y = x + 2
x ，∴x + y = x + x + 2
x =2( x + 1
x )⩾4 ❑√x⋅1
x = 4，
当且仅当x =1时，等号成立，此时y =3>0符合题意．
所以x + y的最小值为4.
故选C .
5．非零实数a，b，c 满足bc
a ，ac
b ，ab
c 成等差数列，则a
2+2c
2
b
2
的最小值为( )
A．2❑√2
B．3
2 + ❑√2
C．3
D．3+2❑√2
【答案】B
【解析】bc
a ，ac
b ，ab
c 成等差数列，则有2ac
b = bc
a + ab
c ，则有b
2= 2ac
c
a + a
c
= 2a
2c
2
c
2+a
2，则
a
2+2c
2
b
2
= (a
2+2c
2)(a
2+c
2)
2a
2c
2
= a
2
2c
2 + c
2
a
2 + 3
2
⩾2❑√
a
2
2c
2 ⋅c
2
a
2 + 3
2 = 3
2 + ❑√2，当且仅当a
2= ❑√2c
2时取等号．
故选B.
6．已知正实数a，b，满足(a-1)
3+(b-1)
3⩾2-a-b，则a
2+b
2的最小值为( )
A．2
B．1
C．1
2
D．4
【答案】A
【解析】
(a-1)
3+(b-1)
3⩾2-a-b
⇔(a-1)
3+(b-1)
3⩾(1-a)+(1-b)
⇔(a-1)
3+(a-1)⩾(1-b)
3+(1-b)
设f ( x)= x
3+ x，
则f ( x)为奇函数，在R 上单调递增，
所以f (a-1)⩾f (1-b)，
故a-1⩾1-b，即a+b⩾2，
已知a、b 为正实数，
由基本不等式可得a
2+b
2⩾(a+b)
2
2
⩾2
2
2 =2.
当且仅当a=b=1时等号成立．
所以a
2+b
2的最小值为2.
故选; A
③分类讨论
7．已知数列{an}的前n 项和Sn=n
2+n，当
Sn+9
an
取最小值时，n= ．
【答案】3
【解析】
因为数列{an}的前n 项和Sn=n
2+n，
当n=1时，a1= S1=2，
当n⩾2时，an= Sn- Sn-1=2n，
(n=1时也成立)，
∴an=2n，
∴Sn+9
2n = n
2+n+9
2n
= 1
2 (n+ 9
n )+ 1
2 ⩾7
2，
当且仅当n= 9
n，即n=3时取等号，
故当
Sn+9
an
取最小值时，n=3.
故答案为：3.
8．以max A表示数集A 中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M =max{
1
c + b
a , 1
ac +b, a
b +c}的最
小值为 ．
【答案】2
【解析】
由题意知M ⩾1
c + b
a >0，M ⩾1
ac +b>0，M ⩾a
b +c>0，
M
2⩾( 1
c + b
a )( a
b +c)=2+ bc
a + a
bc ⩾2+2❑√
bc
a ⋅a
bc = 4，当且仅当a
2=bc时等号成立，
所以M ⩾2；
M
2⩾( 1
ac +b)( a
b +c)=a+ 1
a + 1
bc +bc⩾2❑√a⋅1
a +2❑√
1
bc ⋅bc = 4，当且仅当a=1，bc =1时等号成立，
所以M ⩾2.
综上，M 的最小值为2.
故答案为2.
9．设m>1，n>3，且3m+n=mn-24，则lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)的最大值为 ．
【答案】9
4
【解析】因为m>1，n>3，3m+n=mn-24，
所以(m-1)(n-3)=27，
所以lo g3(m-1)+lo g3(n-3)=lo g3[(m-1)(n-3)]=lo g327 =3.
当m-1>1，n-3>1时，lo g3(m-1)>0，lo g3(n-3)>0，
所以lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)⩽[ lo g3(m-1)+lo g3(n-3)
2
]
2= 9
4 ，①
当且仅当lo g3(m-1)=lo g3(n-3)，即m=3 ❑√3+1，n=3 ❑√3+3时等号成立；
当m-1>1，0<n-3<1时，lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)<0 ， ①成立；
当0<m-1<1时，n-3>1，lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)<0 ， ①成立；
当0<m-1<1，0<n-3<1时，lo g3(m-1)<0，lo g3(n-3)<0，
lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)⩽[ lo g3(m-1)+lo g3(n-3)
2
]
2= 9
4
，
当且仅当lo g3(m-1)=lo g3(n-3)，即m=1-3 ❑√3,n=3-3 ❑√3时等号成立
当m-1=1，n-3=1时，lo g3(m-1)=0，lo g3(n-3)=0， ①成立；
综上lo g3(m-1)⋅lo g3(n-3)的最大值为9
4 ，
故答案为：9
4 .
基础过关篇
1．（2024 年北京高考数学真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则
（ ）
A．lo g2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．lo g2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．lo g2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．lo g2
y1+ y2
2
> x1+ x2
【答案】B
【解析】由题意不妨设x1< x2，因为函数y =2
x是增函数，所以0<2
x1<2
x2，即0< y1< y2，
对于选项AB：可得2
x1+2
x2
2
>
❑√2
x1·2
x2=2
x1+ x2
2 ，即y1+ y2
2
>2
x1+ x2
2 >0，
根据函数y =lo g2 x是增函数，所以lo g2
y1+ y2
2
>lo g22
x1+ x2
2 = x1+ x2
2
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如x1=0, x2=1，则y1=1, y2=2，
可得lo g2
y1+ y2
2
=lo g2
3
2 ∈(0,1)，即lo g2
y1+ y2
2
<1= x1+ x2，故D 错误；
对于选项C：例如x1=-1, x2=-2，则y1= 1
2 , y2= 1
4 ，
可得lo g2
y1+ y2
2
=lo g2
3
8 =lo g23-3∈(-2,-1)，即lo g2
y1+ y2
2
>-3= x1+ x2，故C 错误，
故选：B.
2．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足x
2+ y
2- xy =1，则（ ）
A．x + y ≤1
B．x + y ≥-2
C．x
2+ y
2≤2
D．x
2+ y
2≥1
【答案】BC
【解析】因为ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
（a,b∈R），由x
2+ y
2- xy =1可变形为，
(x + y)
2-1=3 xy ≤3(
x + y
2 )
2
，解得-2≤x + y ≤2，当且仅当x = y =-1时，x + y =-2，当且仅当x = y =1
时，x + y =2，所以A 错误，B 正确；
由x
2+ y
2- xy =1可变形为(x
2+ y
2)-1= xy ≤x
2+ y
2
2
，解得x
2+ y
2≤2，当且仅当x = y =±1时取等号，所以
C 正确；
因为x
2+ y
2- xy =1变形可得(x - y
2)
2
+ 3
4 y
2=1，设x - y
2 =cosθ ,
❑√3
2 y =sinθ，所以
x =cosθ+ 1
❑√3 sinθ , y = 2
❑√3 sinθ，因此
x
2+ y
2=co s
2θ+ 5
3 sin
2θ+ 2
❑√3 sinθcosθ =1+ 1
❑√3 sin 2θ - 1
3 cos2θ+ 1
3
= 4
3 + 2
3 sin(2θ - π
6)∈[
2
3 ,2]，所以当x =
❑√3
3 , y =-
❑√3
3 时满足等式，但是x
2+ y
2≥1不成立，所以D 错
误．
故选：BC．
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知a , b∈R，且a-3b+6=0，
则2
a+ 1
8
b的最小值为 .
【答案】1
4
【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，
且：2
a+ 1
8
b =2
a+2
-3b，因为对于任意x，2
x>0恒成立，
结合均值不等式的结论可得：2
a+2
-3b≥2×
❑√2
a×2
-3b=2×
❑√2
-6= 1
4 .
当且仅当{
2
a=2
-3b
a-3b=-6，即{
a=-3
b=1 时等号成立.
综上可得2
a+ 1
8
b的最小值为1
4 .
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若a,b∈R，ab>0，则
a
4+ 4 b
4+1
ab
的最小值为 .
【答案】4
【解析】a
4+ 4 b
4+1
ab
≥4 a
2b
2+1
ab
= 4 ab+ 1
ab ≥2❑√4 ab⋅1
ab = 4 ，（前一个等号成立条件是a
2=2b
2，后
一个等号成立的条件是ab= 1
2，两个等号可以同时取得，则当且仅当a
2=
❑√2
2 ,b
2=
❑√2
4 时取等号）.
5．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知x>0, y >0，则“lo g2 x +lo g2 y ≥0”是“lo g2(x + y)≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】由x>0, y >0，则lo g2 x +lo g2 y ≥0⇒xy ≥1，
由lo g2(x + y)≥1⇒x + y ≥2.
当xy ≥1时，∵x + y ≥2❑√xy ≥2．故lo g2(x + y)≥1成立；反之不成立，
例如取x =2, y = 1
8，则x + y >2，但xy = 1
4 <1．
故“lo g2 x +lo g2 y ≥0”是“lo g2(x + y)≥1”的充分不必要条件．
故选：A.
6．（2025·湖北·模拟预测）已知实数a，b满足(
1
a -2)(
1
b -3)=6，则ab的最大值为（ ）
A．1
25
B．1
24
C．1
12
D．1
4
【答案】B
【解析】因为(
1
a -2)(
1
b -3)=6，所以2a+3b=1，
因为ab= 1
6 ×2a×3b≤1
6(
2a+3b
2 )
2
= 1
24 ，
当且仅当2a=3b= 1
2，即a= 1
4 ,b= 1
6时等号成立，故ab的最大值为1
24 .
故选：B
7．（2025·山东济宁·二模）若圆x
2+ y
2-2ax -2 y -1=0关于直线x +by -2=0对称，其中a>0，b>0，
则1
a + 4 a+1
b
的最小值为（ ）
A．2
B．5
2
C．4
D．2+2❑√5
【答案】C
【解析】由x
2+ y
2-2ax -2 y -1=0得(x -a)
2+( y -1)
2=a
2+2，
所以圆心为(a,1)，又圆关于直线x +by -2=0对称，
则直线x +by -2=0过圆心，即a+b=2，
所以1
a + 4 a+1
b
= 1
a + 4 (2-b)+1
b
= 1
a + 9
b - 4，
又1
a + 9
b =(
1
a + 9
b)
(a+b)
2
= 1
2(10+ b
a + 9a
b )≥1
2(10+2❑√
b
a × 9a
b )=8，
当且仅当{
b
a = 9a
b
a+b=2
⇒{
a= 1
2
b= 3
2
时，等号成立，
所以1
a + 4 a+1
b
= 1
a + 9
b - 4≥8- 4 = 4，
故选：C.
8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量⃗a=(x ,1),⃗b=(3,- y),⃗c =(1,1)，若⃗a,⃗b在⃗c上的投影向量相等，
则x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．-1
【答案】A
【解析】由题意⃗a⋅⃗c
|⃗c| ⋅⃗c
|⃗c|=⃗b⋅⃗c
|⃗c| ⋅⃗c
|⃗c|，可得⃗a⋅⃗c =⃗b⋅⃗c，故x +1=3- y，即x + y =2，
所以x
2+ y
2≥(x + y)
2
2
=2，当且仅当x = y =1时取等号，
所以x
2+ y
2的最小值为2.
故选：A
9．（2025·山东临沂·二模）已知{an}为正项等差数列，若4 a3-a7=8，则a1a3的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】4 a3-a7= 4(a1+2d)-(a1+6d)=3a1+2d =8，解得a1= 8-2d
3
，
由于{an}为正项等差数列，则{a1= 8-2d
3
>0
d >0
，解得0<d <4，
a1a3= 8-2d
3
⋅(
8-2d
3
+2d)= (8-2d)(8+ 4 d)
9
= 2
9
(8-2d)(4+2d)≤2
9 ⋅(
8-2d + 4 +2d
2
)
2
=8，等号成立当且仅当d =1,a1=2，
所以a1a3的最大值为8.
故选：C.
10．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线y =ax +b(a>0，b>0)过函数f (x)= x +
1
x -1图象的对称中心，
则4 a+b
ab
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】函数f (x)= x +
1
x -1 = x -1+
1
x -1 +1，x≠1，其图象的对称中心为点(1,1)，
代入直线方程得a+b=1．
则4 a+b
ab
= 1
a + 4
b =(
1
a + 4
b)(a+b)=1+ 4+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a ⋅4 a
b =5+ 4 =9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，即a= 1
3，b= 2
3时，等号成立，所以4 a+b
ab
的最小值为9．
故选：D
11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知x>0，y >0，且x + y - xy +8=0，则xy的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【解析】由题意可知xy = x + y +8≥2❑√xy +8，当x = y = 4时等号成立，
即xy -2❑√xy -8≥0，
令❑√xy =t(t >0)，则t
2-2t -8≥0.
解得t ≥4或t ≤-2(舍).
即❑√xy ≥4，xy ≥16.
当且仅当x = y = 4时，等号成立．
故选：C.
12．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）若0<a<b<1，则（ ）
A．a
b > a-1
b-1
B．a+ ln b>b+ ln a
C．2
a+2
b>2
a+b
D．a⋅sin b>b⋅sin a
【答案】BC
【解析】对A：因为0<a<b<1，则b-a>0,b>0,b-1<0，
所以a
b - a-1
b-1 = a(b-1)-b(a-1)
b(b-1)
=
b-a
b(b-1) <0，所以a
b < a-1
b-1，A 错误；
对B：记f (x)= x - ln x ,0< x<1，则f ' (x)=1- 1
x = x -1
x
<0，
所以f (x)在(0,1)上单调递减，
又0<a<b<1，所以f (a)>f (b)，即a- ln a>b- ln b，即a+ ln b>b+ ln a，B 正确；
对C：因为0<a<b<1，所以1<2
a<2
b<2，1<2
a+b<4，
2
a+2
b
2
a+b = 1
2
b + 1
2
a ≥2❑√
1
2
a+b，因a≠b，故等号不成立，
则2
a+2
b
2
a+b = 1
2
b + 1
2
a >2❑√
1
2
a+b >2❑√
1
4 =1，所以2
a+2
b>2
a+b，C 正确；
对D：记g(x)= sin x
x
,0< x<1，则g' (x)= x cos x -sin x
x
2
，
记h(x)= x cos x -sin x ,0< x<1，则sin x>0，故h' (x)=- x sin x<0，
所以h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)<h(0)=0，
则g' (x)<0，所以g(x)在(0,1)单调递减，
又0<a<b<1，所以g(a)>g(b)，即sin a
a
> sin b
b
，即a⋅sin b<b⋅sin a，D 错误.
故选：BC.
13．（多选题）（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（ ）
A．若a
2+b
2=1，则a+b的最大值为❑√2
B．若(a+1)(b+1)= 4，则a+b≥2
C．若a>0，b>0，则a
2+b
2+ 1
ab的最小值为2❑√2
D．若θ∈(0,π )，则
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ+1
≥2
【答案】ACD
【解析】对于A，(a+b)
2=a
2+b
2+2ab=1+2ab≤1+(a
2+b
2)=2，
当且仅当a=b=
❑√2
2 时等号成立，所以- ❑√2≤a+b≤❑√2，故A 正确；
对于B，(a+1)(b+1)=ab+a+b+1= 4，所以ab=3-(a+b)≤(a+b)
2
4
，
即(a+b)
2+ 4 (a+b)-12≥0，解得a+b≥2（当且仅当a=b=1时等号成立）或a+b≤-6（当且仅当
a=b=-3时等号成立），故B 错误；
对于C，因为a>0，b>0，所以a
2+b
2+ 1
ab ≥2ab+ 1
ab ≥2❑√2，
当且仅当{
a=b
2ab= 1
ab
，即a
2=b
2=
❑√2
2 时等号成立，故C 正确；
对于D，
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ+1
= 1
2(
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ+1)(sin
2θ+co s
2θ+1)
= 1
2(1+ co s
2θ+1
sin
2θ
+
sin
2θ
co s
2θ+1
+1)≥1
2
(2+2)=2，
当且仅当co s
2θ+1
sin
2θ
=
sin
2θ
co s
2θ+1
，即cosθ =0，sinθ =1，即θ = π
2 时等号成立，故D 正确.
故选：ACD
14．（多选题）（2025·河北张家口·三模）已知a，b∈R，且ab=3，若a∈(0,6]，则（ ）
A．b∈(0, 1
2]
B．a+b的最小值为2❑√3
C．2
a + 1
4 b 的最小值为
❑√6
3
D．a-2b的取值范围为(-∞,5]
【答案】BCD
【解析】A.由条件可知，b= 3
a，a∈(0,6]，则b∈[
1
2 ,+∞)，故A 错误；
B.由题意可知，a>0,b>0，则a+b≥2❑√ab=2❑√3，当a=b= ❑√3时等号成立，
则a+b的最小值为2❑√3，故B 正确；
C. 2
a + 1
4 b ≥2❑√
2
a ⋅1
4 b =
❑√6
3 ，当2
a = 1
4 b ，即a=8b=2❑√6时等号成立，
则2
a + 1
4 b 的最小值为
❑√6
3 ，故C 正确；
D.a-2b=a- 6
a，
当a∈(0,6]，y =a, y =- 6
a均单调递增，且a→0时，y =- 6
a →-∞，
则y =a- 6
a在区间(0,6]上单调递增，
∴当a=6时取得最大值5，且a→0时，y =a- 6
a →-∞，
所以a-2b的取值范围为(-∞,5]，故D 正确.
故选：BCD.
15．已知a，b 为正数，且满足a
3+b
3=2，则1
a + 1
b 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】由基本不等式可得a
3+1+1≥3
3√a
3⋅1⋅1=3a，b
3+1+1≥3
3√b
3⋅1⋅1=3b，
所以a
3+b
3+ 4≥3(a+b)，又因为a
3+b
3=2，
所以有2+ 4≥3(a+b)，解得a+b≤2，当a=b=1时取等号，
又
❑√ab≤a+b
2
，则
1
a + 1
b = a+b
ab ≥2❑√ab
ab
=
2
❑√ab ≥
2
a+b
2
=
4
a+b ≥2，
当且仅当a=b=1时等号成立，故1
a + 1
b的最小值为2.
故答案为：2.
16．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知F1, F2是椭圆C : x
2
9 + y
2
4 =1的两个焦点，点M在C上，则
1
|M F1|
+
1
|M F2|的最小值为 .
【答案】2
3
【解析】所以
1
|M F1|
+
1
|M F2|
= 1
6 ×(
1
|M F1|
+
1
|M F2|)(|M F1|+|M F2|)= 1
6(2+|M F2|
|M F1|
+|M F1|
|M F2|)≥2
3，
当且仅当|M F1|=|M F2|=3时，取等号，
所以
1
|M F1|
+
1
|M F2|的最小值为2
3.
故答案为：2
3.
能力拓展篇
17．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角α，β满足α + β = π
4 ，则
1
sin α cos β +
1
cosα sin β 的最小值为
（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4 ❑√2
D．2❑√3
【答案】C
【解析】由α + β = π
4 ，可得sin (α + β)=sin π
4 ，即sin α cos β +cosα sin β =
❑√2
2 ，
所以❑√2(sin α cos β +cosα sin β)=1，
则
1
sin α cos β +
1
cosα sin β
=(
1
sin α cos β +
1
cosα sin β)×❑√2(sin α cos β +cosα sin β)
= ❑√2(1+ cosα sin β
sin α cos β + sin α cos β
cosα sin β +1)
≥❑√2(2+2❑√
cosα sin β
sin α cos β ⋅sin α cos β
cosα sin β)= 4 ❑√2，
当且仅当cosα sin β
sin α cos β = sin α cos β
cosα sin β 时，即tan α
tan β = tan β
tan α ，即tan α = tan β时，
也就是α = β = π
8 时，等号成立.
故选：C
18．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数f (x)为R上的单调递增函数，且当a>b>0时，
f (a-1)=- f (b-1)，则1
a +
1
b+1的最小值为 .
【答案】4
3
【解析】已知f (x)是奇函数，则f (- x)=- f (x).
因为f (a-1)=- f (b-1)，所以f (a-1)= f (1-b).
又因为f (x)在R上单调递增，所以a-1=1-b，即a+b=2.
由a+b=2可得a+(b+1)=3.
则1
a +
1
b+1 = 1
3 [a+(b+1)](
1
a +
1
b+1).
将1
3 [a+(b+1)](
1
a +
1
b+1)展开可得：
1
3(1+
a
b+1 + b+1
a
+1)= 1
3(2+
a
b+1 + b+1
a ).
因为a>b>0，所以a>0，b+1>0.
根据基本不等式，则a
b+1 + b+1
a
≥2❑√
a
b+1 × b+1
a
=2，当且仅当a
b+1 = b+1
a
时等号成立.
所以1
3(2+
a
b+1 + b+1
a )≥1
3
(2+2)= 4
3 .
故答案为： 4
3 .
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数a,b满足1
a + 1
b =m，若(a+ 1
b)(b+ 1
a)的最小值为4，则实数
m的取值范围是 ．
【答案】[2,+∞)
【解析】因为a,b为正实数，所以(a+ 1
b)(b+ 1
a)=ab+ 1
ab +2≥2❑√ab⋅1
ab +2= 4，
因此(a+ 1
b)(b+ 1
a)的最小值为4，故存在ab= 1
ab，即ab=1时使得等号成立，
此时b= 1
a，又因为1
a + 1
b =m，所以a+ 1
a =m在(0,+∞)上有解，
所以由基本不等式可知a+ 1
a ≥2,a=1时等号成立，
所以m≥2，故实数m的取值范围是[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞).
20．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y 满足1
x + 1
y =1，设z = 1
2 (x
2+ y
2)-20(ln x + ln y)﹐则z 的最小
值为 ．
【答案】15
2 -20ln5
【解析】因为x，y 为正实数，且1
x + 1
y =1，
所以x + y = xy，且x + y =(
1
x + 1
y)(x + y)=2+ y
x + x
y ≥2+2❑√
y
x ⋅x
y = 4（当且仅当x = y =2时取“=”）.
又因为z = 1
2 (x
2+ y
2)-20(ln x + ln y)= (x + y)
2
2
- xy -20ln (xy)= (x + y)
2
2
-(x + y)-20 ln (x + y).
设函数f (x)= 1
2 x
2- x -20ln x（x ≥4）.问题转化为求函数f (x)的最小值.
因为f ' (x)= x -1- 20
x = x
2- x -20
x
，
由f ' (x)>0⇒x
2- x -20>0⇒(x + 4)(x -5)>0，又x ≥4，所以x>5；
由f ' (x)<0⇒4≤x<5.
所以函数f (x)在[4,5)上单调递减，在(5,+ ∞)上单调递增.
所以f (x)的最小值为：f (5)= 25
2 -5-20 ln5= 15
2 -20ln5.
故答案为：15
2 -20ln5.
21．已知函数f (x)=2024
x-2024
- x，若a>0，b>0且f (a-1)+ f (b-1)= f (0)，则2
a+2 +
3
b+1的最小值
为 ．
【答案】2❑√6
5
+1
【解析】由f (x)=2024
x-2024
- x，定义域为R，f (0)=0，
则f (- x)=2024
- x -2024
x =- f (x)，
所以函数f (x)为奇函数，
因为函数y =2024
x, y =-2024
- x在R上单调递增，
所以函数f (x)在R上单调递增，
由f (a-1)+ f (b-1)= f (0)=0，则f (a-1)=- f (b-1)= f (1-b)，
所以a-1=1-b，即a+b=2，则(a+2)+(b+1)=5，
又a>0，b>0，则a+2>2，b+1>1，
所以2
a+2 +
3
b+1 = 1
5(
2
a+2 +
3
b+1)[(a+2)+(b+1)]= 1
5[
2(b+1)
a+2
+ 3(a+2)
b+1
+5]
≥1
5[2
❑√
2(b+1)
a+2 ⋅3(a+2)
b+1
+5]= 2❑√6
5
+1，
当且仅当2(b+1)
a+2
= 3(a+2)
b+1
，即a=5 ❑√6-12，b=14 -5 ❑√6时等号成立，
所以2
a+2 +
3
b+1的最小值为2❑√6
5
+1.
故答案为：2❑√6
5
+1.
22．已知a>0，b>0，且a+ ❑√b=c，若a+b+c
a+c
+
a
2
❑√b+2c
的最小值为3，则c = .
【答案】8
【解析】因为a+ ❑√b=c，则a+b+c
a+c
+
a
2
❑√b+2c = 1
4 c (a+ ❑√b+3c)(
b
a+c +
a
2
❑√b+2c)+1，
又因为(a+ ❑√b+3c)(
b
a+c +
a
2
❑√b+2c)=[(a+c)+(❑√b+2c)](
b
a+c +
a
2
❑√b+2c)
=a
2+b+ b(❑√b+2c)
a+c
+ a
2(a+c)
❑√b+2c ≥a
2+b+2
❑√a
2b=(a+ ❑√b)
2=c
2，
当且仅当b(❑√b+2c)
a+c
= a
2(a+c)
❑√b+2c
，即a= 3 ❑√b
2
时，等号成立.
即a+b+c
a+c
+
a
2
❑√b+2c ≥c
4 +1，由题意可知：c
4 +1=3，解得c =8.
故答案为：8.
