文档文本内容
1.1 集合
目录
01 题型归纳..........................................................................................................................................2
题型一：集合的含义与表示................................................................................................................2
题型二：元素与集合的基本关系........................................................................................................2
题型三：集合元素的特征....................................................................................................................3
题型四：集合间的基本关系................................................................................................................4
题型五：集合的基本运算....................................................................................................................5
题型六：集合与排列组合的综合应用................................................................................................6
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算............................................................................................7
题型八：容斥问题................................................................................................................................9
题型九：集合中的创新问题..............................................................................................................10
02 真题、模拟题................................................................................................................................12
题型一：集合的含义与表示
1．已知
，且
，则
（ ）
A．0
B．
C．0 或3
D．
或3
【答案】D
【解析】由题意知n 为方程
的根，当
时，
；
当
时，一元二次方程有两个相同的根，则
，解得
，
此时
，即
．
综上所述：
或
．
故选：D．
2．（2025·西藏拉萨·一模）集合
中的元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，该集合中的元素有个，
故选：B.
3．（2025·辽宁·三模）已知集合
，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意可得
，所以
.
故选：A.
题型二：元素与集合的基本关系
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知
，
故A 正确，BC 错误，
集合
不是集合
的子集，故D 错误.
故选：A.
5．（2025·河南·一模）已知集合
，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可知
且
解得
.
故选：C.
6．已知集合
，若集合中至少有2 个元素，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
中至少有2 个元素，
所以
，解得
，
故选：D．
题型三：集合元素的特征
7．已知集合
，则集合
中的元素的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
所以
，共有个元素．
故选：C.
8．若
，则
的可能取值有（ ）
A．0
B．0，1
C．0，3
D．0，1，3
【答案】C
【解析】
时，可得
，符合题意；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意；
时，可得
，符合题意.
或
均可以．
故选：C.
9．（2025·高三·四川成都·期中）已知集合
，若对
都有
，则
为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．1 或2
【答案】C
【解析】由题意得
，
当
时，解得
或
，
当
时，
满足要求，
当
时，
，
，
，
中元素均与互异性矛盾，舍去，
当
时，
，此时
，
中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，
.
故选：C
题型四：集合间的基本关系
10．（2025·四川·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
.
故选：B.
11．集合
，则
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【解析】因为
，
故子集个数为
，
故选：C.
12．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
，所以
，
故选：B
13．已知集合
，
，若
，
，则集合
的个数为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．8
【答案】B
【解析】由题意知
，则集合
为
，
，
，
共4 个.
故选：B．
题型五：集合的基本运算
14．已知全集
，集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为全集
，集合
，则
，
且集合
，所以
.
故选：D.
15．已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可得
或
，则
或
．
故选：A.
16．若全集
，集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A：若
，则
，所以
，
与
矛盾，故A 错误；
B：若
，则
，所以
，
与
矛盾，故B 错误；
C：若
，则
，
由
，得
，所以
，
与
矛盾，故C 错误；
D：若
，则
，
由
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：D
题型六：集合与排列组合的综合应用
17．若
，则符合条件的有序集合对
的个数为（ ）
A．81
B．90
C．108
D．114
【答案】A
【解析】当
时，满足条件的有序集合对有1 个；
当
为单元集合时，例如
，
则满足条件的集合
可看成由
的子集与集合
的并集，共有
个，
所以
为单元集合时，满足条件的有序集合对有
个；
当
为二元集合时，满足满足条件的有序集合对有
个；
当
为三元集合时，满足满足条件的有序集合对有
个；
当
为四元集合时，满足满足条件的有序集合对有
个.
综上，符合条件的有序集合对
的个数为
.
故选：A
18．满足
的集合
、
共有 组．
【答案】9
【解析】当
时，
，
当
时，
或
，
当
时，
或
，
当当
时，
或
或
或
，
故共有9 组，
故答案为：9
19．（2025·高三·河北·开学考试）已知
是三个集合，且满足
，则满足
条件的有序集合对
的总数是 .（用数字作答）
【答案】1024
【解析】集合
的子集共有
个，
因为
，
所以集合
有32 种情况，集合
有32 种情况，
所以满足条件的有序集合对
的总数是
.
故答案为：1024.
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
20．若集合
、
、
满足：
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由韦恩图可知，
，
，
，
，
故选：C.
21．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
如图，
A 选项：
①+②，则
②，故A 正确；
B 选项：
①+④，则
④， 故B 错误；
C 选项：
③，
①+②+④，则
②，故C 正确；
D 选项：
①，故D 错误.
故选：AC.
22．（多选题）（2025·高三·江苏南京·期中）若表示集合
和
关系的
图如图所示，则
可能
是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【答案】AD
【解析】由
可知
,
对于A,满足
,故A 正确，
对于B,
，此时
不满足
,故B 错误，
对于C,
，
当且仅当
取等号，故
，此时
,故C 错误，
对于D，
或
，故
,D 正确，
故选：AD
题型八：容斥问题
23．用
表示有限集合
中元素的个数，例如，
，则
.对于任意两个有限集合
，若
，则
（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
【答案】A
【解析】由已知作集合
的韦恩图，则
故选：A
24．今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100 分．考试成绩非常
优秀，每个同学都至少有一科成绩在90 分以上，其中语文90 分以上的有45 人，数学90 分以上的有48 人，
这两科均在90 分以上的有40 人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45
B．48
C．53
D．43
【答案】C
【解析】设集合
表示语文在90 分以上的学生，则集合中有45 个元素，
集合
表示数学在90 分以上的学生，则集合中有48 个元素，
表示两科均在90 分以上的学生，则集合
中有40 个元素，
表示至少有一科成绩在90 分以上的学生，由题意可知
中有个
元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90 分以上，所以高二（1）班共有53 人，
故选：C．
25．向50 名学生调查对
两事件的态度，有如下结果：赞成
的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；
赞成
的比赞成
的多3 人，其余的不赞成；另外，对
都不赞成的学生数比对
都赞成的学生数的
三分之一多1 人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成
的不赞成
的有9 人
B．赞成
的不赞成
的有11 人
C．对
都赞成的有21 人
D．对
都不赞成的有8 人
【答案】B
【解析】赞成A 的人数为
，赞成B 的人数为
.记50 名学生组成的集合为U，赞成事件
A 的学生全体为集合A，赞成事件B 的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B 都赞成的学生人数为x，
则对A，B 都不赞成的学生人数为
.赞成A 而不赞成B 的人数为
，
赞成B 而不赞成
的人数为
.依题意
，解得
.
所以赞成A 的不赞成B 的有9 人，赞成B 的不赞成A 的有12 人，对A，B 都赞成的有21 人，对A，B 都
不赞成的有8 人.
故选：B
题型九：集合中的创新问题
26．（2025·上海普陀·二模）设
为正整数，集合
，若集合
满足
，且对
中任意的两个元素
，皆有
成立，记满足条件的集合
的个数为
，则
.
【答案】19
【解析】当
时，
若
为二元集：如
，共有15
种，
若
为三元集：如
共有4 种，
所以总共有：
种；
故答案为：19.
27．（2025·山西临汾·三模）已知集合
，其中
，
，
．
表示
中所有不同值的个数．若集合
，则
；若集合
，
则
．
【答案】 5
【解析】由
，得
；
∵
最多有
个值，
∴
，
又集合
，任取
，
，
当
时，不妨设
，则
，
即
，
当
时，
，
∴当且仅当
时，
，
即所有
的值两两不同，
∴
．
故答案为：5；
28．设集合
的最大元素为
，最小元素为
，记
的特征值为
，若集合中只有一个元素，
规定其特征值为0．已知
是集合
的元素个数均不相同的非空真子集，且
，则
的最大值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】B
【解析】由题设
，
，
，…，
中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使
最大，则各集合中
（
）尽量小，
可知集合
，
，
，…，
的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
不妨设
，
可得
，
可得
，解得：
或
（舍去），
所以
的最大值为16.
故选：B.
1．（2024 年天津高考数学真题）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合
，
，
所以
，
故选：B
2．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
3．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1 B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
或
于是有
或
，
即有
，解得
；
或者
，解得
；
所以
，
或
.
故选：B
4．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
5．（2023 年天津高考数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，而
，
所以
.
故选：A
6．（2025·河北秦皇岛·三模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
而
，故
，
故
，
故选：D.
7．（2025·湖北黄冈·二模）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
表示直线
上所有点的集合，其元素是点，
集合
表示直线
上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以
.
故选：D.
8．（2025·山东济南·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意有
，
，
所以
，
故选：C.
9．（2025·江苏盐城·三模）设集合
，
，则
的元素个数为（ ）
A．
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
,有3 个元素.
故选：B.
10．（2025·四川自贡·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，
所以
.
故选：D.
11．（2025·湖南·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不等式
，解得
，
不等式
，解得
，
所以集合
，
，
，
故选：D.
12．（2025·河北张家口·三模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
所以
，
故选：A
13．（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集
合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【解析】由题知：
，
，
，
，
，
，
，
则
故选：C
14．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若
，则
；②若
，则
.下列说法中正确的有（ ）.
A．
.
B．
.
C．若
，则
.
D．若
，则
.
【答案】BC
【解析】对于
，若
，令
，则
，令
，则
，令
，不存在
，即
，矛盾，所以
，故
错误，
对于
，由于集合
非空，取任意元素
，根据性质①，得
，再根据性质②，得
，进而
，故
正确，
对于
，因为
，所以
，因为
，所以
，故
正确，
对于
，若
，则
，故
错误，
故选：
.
15．（多选题）（2025·四川绵阳·三模）已知集合
，对于
中的任意两个元素
都有
，则集合
的元素个数可以为（ ）
A．4 个
B．7 个
C．9 个
D．10 个
【答案】AB
【解析】当
时，不满足集合元素的互异性，排除.
不妨设
（
效果一样），已知
，则
.
将其变形为
关于
的表达式：
，移项可得
，进一步得到
.
因为
且
，所以
，那么
.
由此可知
，所以集合
至多有
中的一个整数，若有两个，取较小者为
，会与不等式矛盾.
令
，对
求导，可得
，所以
在
上是递增函数.
假设存在
且
，令
，
，
由
的单调性可知
，这与
矛盾，
所以
中至多只有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多只有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多有
中的一个整数.
因为
，所以集合
至多有
中的一个整数.
又因为
，
，
，所以集合
中可以同时存在，
，.
综上，集合
至多有
个元素.
，
符合条件，说明集合
的元素个数可以是
个或
个.
故选：AB.
16．（多选题）（2025·河北·三模）已知集合
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】已知集合
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
对于A，由对集合
分析知
，故A 不正确，
对于C，由对集合
分析知
，故C 正确；
对于B，当
时，
，此时
，故B 正确；
对于D，当
时，
，故D 正确.
故选：BCD.
17．（多选题）（2025·河南开封·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
，
对A，若
，则
，则根据
有
，显然矛盾，故A 错误；
对B，假设
，则
，根据
有
，显然矛盾，则
，故B 正确；
对C，由A 知，
，则
，故C 正确；
对D，显然
，必有
，故D 错误；
故选：BC.
18．（2025·山西·二模）设集合
，
，在集合
的所有元
素中，绝对值最小的元素是 .
【答案】
【解析】
，
，
显然集合
的所有元素中，绝对值最小的元素是
.
故答案为：
.
19．（2025·四川凉山·三模）已知集合
，则满足
的有序集组
的个数为
．（用数字作答）
【答案】729
【解析】设集合B 的元素个数为
，则集合B 的个数有
个，
可知集合B 的子集有
个，即集合A 的个数有
个；
所以有序集组
的个数为
个.
故答案为：729.
20．（2025·河南·模拟预测）已知集合
，非空集合
，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得
，又因为
，
所以
，解得
．
故答案为：
.
21．（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
．
【答案】0
【解析】由
得，
，因为
或
，
所以
，所以
和2 是方程
的两根，
所以
，解得
，所以
．
故答案为：
.
22．（2025·吉林·模拟预测）已知集合
，
，将
中所有元
素按从小到大的顺序构成数列
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【解析】设
，
则
，
等式左侧为3 的倍数，
为3 的倍数，
所以
也为3 的倍数，
故
为大于1 的奇数，所以
.
故答案为：
.
23．（2025·上海崇明·二模）已知集合M 中的任一个元素都是整数，当存在整数
且
时，称M 为“间断整数集”．集合
的所有子集中，是“间断整数集”的个数为
．
【答案】968
【解析】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2 个元素，至多有9 个元素，
按子集中元素的个数分类，
①当元素个数为2 时，不满足定义的子集有：
，共9 个；
此时满足定义的子集有
个，
②当元素个数为3 时，不满足定义的子集有：
，共8 个；
此时满足定义的子集有
个，
③当元素个数为4 时，不满足定义的子集有：
，共7 个；
此时满足定义的子集有
个，
④当元素个数为5 时，不满足定义的子集有：
，共6 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑤当元素个数为6 时，不满足定义的子集有：
，共5 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑥当元素个数为7 时，不满足定义的子集有：
，共4 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑦当元素个数为8 时，不满足定义的子集有：
，共3 个；
此时满足定义的子集有
个，
⑧当元素个数为9 时，不满足定义的子集有：
，共2 个；
此时满足定义的子集有
个，
综上所述，满足题意的子集共有
个.
故答案为：968.
