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1.4 基本不等式
1.基本不等式:❑√ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.
(3)其中a+b
2 叫做正数a,b 的算术平均数,❑√ab叫做正数a,b 的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号.
(2)ab≤(
a+b
2 )
2
(a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y 都是正数,如果积xy 等于定值P,那么当x=y 时,和x+y 有最小值2❑√P.
(2)已知x,y 都是正数,如果和x+y 等于定值S,那么当x=y 时,积xy 有最大值1
4S2.
(3).若a>0,b>0,则
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2 ≤❑√
a
2+b
2
2
.其中
2
1
a + 1
b
和❑√
a
2+b
2
2
分别叫做a,b 的调和平均数和平方
平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
考点一 直接利用基本不等式求最值
考点二 利用配凑法求最值
考点三 利用常数代换法求最值
考点四 利用消元法求最值
考点五 利用齐次化法求最值
考点六 利用对勾函数求最值
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
考点八 利用基本不等式解决实际问题
考点一 直接利用基本不等式求最值
1．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·月考）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【详解】
，因为
，故
，
则
，当且仅当
，也即
取得等号，
故
的最小值为
.
故选：D.
2．（2026·天津河西·一模）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】由基本不等式得到
，即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
的最大值为
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】
，
当且仅当
，即
、
时，等号成立，
即
的最小值为
.
4．（2026·浙江宁波·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】若
，则
，充分性成立；
若
，取
，满足条件，
则
，不满足
，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
5．（2026·上海崇明·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________．
【答案】
【详解】由基本不等式可得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
考点二 利用配凑法求最值
6．（2026·北京海淀·二模）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
【答案】C
【分析】由关系
，结合基本不等式求结论.
【详解】
，
，
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
因此函数最小值为.
7．（25-26 高三上·山东烟台·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：C.
8．（24-25 高一上·重庆·月考）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】将原式配凑为
，利用基本不等式求解即可.
【详解】
，
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以
的最小值为6.
故选：C.
9．（2026 高三上·山东枣庄·月考）已知
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】将原式变形为
，再使用基本不等式求解即可．
【详解】由
，得
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是3.
故选：C.
考点三 利用常数代换法求最值
10．（2026·天津南开·二模）已知
时，
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可知
，易知
，且
，
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
因此
的最小值为3.
11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意得
，再结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数x，y 满足
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
12．（2026·天津红桥·一模）已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，且
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
、
时等号成立．
所以
的最小值为
.
13．（2026·陕西商洛·二模）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】D
【详解】由
，
，
，得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故
的最小值为9.
14．（2026·山西临汾·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【详解】已知
，
，且
，
，
当且仅当
，结合
得
时等号成立，
的最小值为5．
15．（2026·广东清远·二模）已知实数
，且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解.
【详解】实数
，且
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
考点四 利用消元法求最值
16．（2026·广东江门·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】方法一：条件等式可化为
，再结合关系
利用基本不等式求结论；
方法二：由条件等式可得
，消元变形可得
，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】（方法一）由
，可得
，
因为
，
，所以
，
，
则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
的最小值为13．
（方法二）由
，可得
，因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为13．
17．（2026·福建南平·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________.
【答案】5
【分析】根据题意得
，对
整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由
得
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，当且仅当时
等号成立，
所以
的最小值为5.
18．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n 满足
，则
的最小值为________．
【答案】2
【详解】因
，则
，当且仅当
时取等号.
则
即
，解得
，（
舍去）
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为2.
19．（25-26 高三上·云南·月考）若非零实数a，b 满足
，则
的最小值为_____.
【答案】
【分析】变形给定等式可得
，令
并换元，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】依题意，
，
则
，即
，
令
，则
，
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．7
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【分析】根据题设条件求得
，代入所求式利用基本不等式即可求解.
【详解】由
可得
，显然
，则有
，
由
，可得
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时
的最小值为9.
故选：B.
考点五 利用齐次化法求最值
21．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】由条件可得
，可以得到
，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由条件可得
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
当且仅当
，且
，即
，
，
等号成立.
故选：B.
22．（25-26 高三上·上海·月考）若对
恒有
，则
的取值范围是_____
【答案】
【分析】问题化为
恒成立，讨论
的符号确定代数式的范围，即可得参数范围.
【详解】由
，
令
，则
，
当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，
若
时，
，则
，此时代数式的范围为
，
当
时，
，
当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，
若
时，
，则
，此时代数式的范围为
，
综上，
，
所以对
恒有
，只需
，即
.
故答案为：
23．（25-26 高三上·江西·月考）已知
，则
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．5
D．8
【答案】A
【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．
【详解】易知
．
因为
，所以
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
，则
的最大值是
．
故选：A
考点六 利用对勾函数求最值
24．（25-26 高三上·广东广州·月考）（多选）下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】A 选项通过二次函数求最值，BCD 通过基本不等式可求最值，注意验证成立要求.
【详解】A.
，二次函数，当
时，
取得最小值为
,A 选项不正确.
B.
,
当且仅当
即
时成立，B 选项正确.
C．
，当且仅当
即
，
不成立，C 选项不正确.
D.
,
当且仅当
，即
时成立，故D 选项正确.
故选：BD
25．（25-26 高三上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（ ）．
①
；
②函数
的最小值为4；
③若
，则
最大值为1；
④已知
时，
，当且仅当
，即
时，
取得最小值8．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于①只有当
时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确；
对于②,
，令
，
则
在
上单调递增，则最小值为
,
则②不正确；
对于③,
，则③正确；
对于④,当
时，
，当且仅当
时，即
，等号成立，则④不正确.
综上只有1 个正确，
故选：B.
26．（25-26 高三上·山东潍坊·月考）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的性质可得最小值.
【详解】由
，令
，则
.
，由对勾函数的性质可知，函数在
上单调递增，
所以
时，函数
.
故函数
的最小值为
.
故选：C.
27．（24-25 高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小值为
B．函数
的最小值为
C．函数
的最大值为
D．函数
的最小值为
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可判断.
【详解】当
时，函数
无最小值，故A 错误；
函数
，当且仅当
时取等号，明显不成立，故B 错误；
当
时，函数
，当且仅当
时取等号，故C 正确, D 错误.
故选：C.
28．（25-26 高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为12
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】已知条件可化为
，对A，令
，则
，结合其单调性可判
断；对B，由条件式消元得到二次函数，求其最值即可判断；对C，由条件式消元，利用基本不等式，可得判断；
对D，直接由基本不等式判断.
【详解】由
得
，
对于A，因为
，所以
，所以
，
令
，因为
所以
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
因为
，所以
，A 正确；
对于B，因为
，所以
，
当且仅当
时取等号，B 正确；
对于C，因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，C 错误；
对于D，
，
当且仅当
，即
时取等号，D 正确；
故选：ABD.
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
29．（25-26 高三上·广东·月考）已知
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用已知条件将等式变形为1 的表达式，再通过“1 的代换”将
展开，最后应
用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于
的不等式，从而确定
的取值范围.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
若不等式
恒成立，则
，
所以
，解得
.
故选：C
30．（25-26 高三上·山东日照·月考）若正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数m 的
取值范围是________．
【答案】
【分析】将问题转化为
，利用基本不等式求
的最小值，再解绝对值不等式即可求解.
【详解】因为不等式
恒成立，所以
，
因为正实数
满足
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，所以
.
所以
，即
，所以
，
解得
，则实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
31．（25-26 高三上·山东·期中）已知
，
为正实数，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意得
，则
，再根据恒成立问题转化为最值即可．
【详解】
即
，
（当且仅当
时取等号），
又不等式
恒成立，
所以
．
故选：C．
32．（25-26 高三上·天津南开·期中）已知
，
，若不等式
恒成立，则
的最大值为
（ ）.
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】
，
，
恒成立，
而
，
当且仅当
时，等号成立，则
，故
的最大值为.
故选：C.
33．（25-26 高三上·云南玉溪·期中）已知
，
，且
若关于
，
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件
，将其转化为关于
的函数，再通过均值不等式求
函数的最值来确定实数
的取值范围.
【详解】令
，则
代入
得
，
将
代入原不等式，得
，
两边同时除以
，得
，
把
代入，得
，
即
，
由均值不等式可得，
，当且仅当
，即
时等号成立，
，
恒成立，
故实数
的取值范围为
.
故选：
.
考点八 利用基本不等式解决实际问题
34．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形
ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在
四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
根据十字形地域的面积，得出
的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区
域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时
的长.
【详解】设
则
，所以
，
所以
，
因为
，即
且
，解得
，
所以
.
故
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为
元.
故选：B
35．（25-26 高三上·上海静安·月考）甲乙两地的高速公路全长166 千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶
到乙地，车速
（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分为
，固定部分为220 元．
(1)若每小时的运输成本不高于420 元，汽车的速度应该控制在什么范围？
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）
【答案】(1)
（千米/时）；
(2)当
时，最小运输成本为696 元．
【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可.
（2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可.
【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为
（元），
每小时的运输成本不高于420 元，所以
，解得
，
可得
，即
（千米/时），
所以，此时汽车的速度应该控制在
（千米/时）；
（2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速
（千米/时），
所以汽车的行驶时间为
（小时），
所以全程运输成本
，
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时，即
时取
等号，
即当速度为
（千米/时），最小运输成本为696 元．
36．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，且背
面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建
墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计9600 元.设
劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左面墙的长
度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
【答案】(1)10 米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的
左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数
，并根据基本不等式求得
的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为
元，
依题意，左、右两面墙的长度均为
（
）米，
则长方体前面新建墙体的长度为
米，
所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200 元.
（2）由题意可知，
，
即
对任意的
恒成立，
所以
，可得
，即
.
，
当且仅当
，即
时，
取最小值36.
所以
，即
的取值范围是
.
37．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图
为一个串联电路图，电源电压为
，定值电阻
的阻值为
，滑动变阻器
的阻值范围是
到
，已知纯电
阻电路下图的一个功率公式为
，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则
的功率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果.
【详解】由题知，总电阻
，
电路电流
，
所以滑动变阻器功率为
，
因为
，当且仅当
即
时，等号成立，
此时
满足
到
的范围，
所以此时
最大，且为
.
1．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）设
且
，
且
，若
，则
的最小值是
（ ）
A．3
B．
C．9
D．18
【答案】B
【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到
与
的关系式，再用基本不等式求最小值.
【详解】由换底公式可得
，
原式化为
，所以
，
因为
，由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，取等号成立.
所以
的最小值是
.
2．（2026·河南开封·模拟预测）若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【分析】先代数变形得
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得：
，
，
当
，即
时，等号成立.
3．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用指数的运算得到
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为
，所以
，又
是正数，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
4．（25-26 高三下·山东·月考）若直线
过点
，则
的最小值为（）
A．7
B．
C．6
D．
【答案】C
【详解】直线
过点
，代入得
，即
，且
，
由此解得
（
），代入目标函数并化简得：
，
，
因为
，所以
，
所以由基本不等式，
得：
，
当且仅当
即
时取等，
故
的最小值为
.
5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
，
，利用基本不等式推得
，再由
恒成立得
，
求解即得.
【详解】因为
，
且满足
，
，
即
，则
，即
，当且仅当
时，等号成立，
又因为
恒成立，所以
，即
，
即
，解得
.
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数
，
满足
.若不等式
恒成立，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由基本不等式乘“ ”法，求得
的最小值，进而可求解.
【详解】由题意可知，不等式
恒成立，
即
，
，即
，
，
，
，
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
当
时，
取得最小值为8，
，即
，解得
.
7．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，
即可判断；对于B，利用
即可判断；对于C，对式子
两边
同时平方可得
，根据
的范围即可判断；对于D，由
可得
，根据二
次函数的性质即可判断.
【详解】选项A，由
，可得
，即
，故A 正确；
选项B，利用基本不等式可知
，整理可得
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故B 错误；
选项C，整理式子
，可得
，
两边同时平方得
，即
，
因为
，所以
，当且仅当
，
时，等号成立，故C 正确；
选项D，由
，可得
，得
，
则
，
函数
是开口向上的二次函数，对称轴为
，
所以
，故D 正确.
8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若
，则
的值可能是（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】CD
【详解】因为
，所以
，
，
，
当
时
，
，
当
时
，
，
结合选项，
的值可能为
或
．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知
，
，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．ab 的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为4
【答案】AC
【分析】选项A，由
，
，
，直接利用基本不等式求出
的范围，从而得到
的最大值；选项
B，将所求
的
的分子转化为
，利用基本不等式求解即可；选项C，设
，则
，由
得到
从而得到的范围，即可得到
的最大值；选项
D，将所求
的
转化为
，利用基本不等式求解即可.
【详解】选项A，
，
，
，
，
，当且仅当
，即
时，等号成立；
故ab 的最大值为
，故选项A 正确；
选项B，
，
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
故
的最小值为
，故选项B 错误；
选项C，设
，则
，
，
，
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最大值为
，故选项C 正确；
选项D，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
，故选项D 错误.
故选：AC.
10．（25-26 高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
的最小值为1
B．
的最小值为2
C．
的最小值为4
D．
的最小值为4
【答案】ABC
【分析】根据对勾函数的性质及基本不等式可得.
【详解】对于A：由
，当且仅当
时等号成立，所以A 正确；
对于B：
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
对于C：
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以C 正确；
对于D：令
，则
，由对勾函数的性质可知，函数在
上单调递减，
所以
，所以D 错误.
故选：ABC.
11．（2026·北京昌平·一模）当
时，函数
的最小值为_____．
【答案】
【分析】由基本不等式进行求解．
【详解】因为
，所以
，等号成立时，
，
故函数
的最小值为
．
12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，且
在
上恒成立，则实数
的
最小值为___________．
【答案】
【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值
【详解】
当
时，
，当且仅当
时等号成立
．又
，即
实数
的最小值为-3．
13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为_____.
【答案】3
【分析】设
，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得.
【详解】设
，因
，则
，
且
，
因
，当且仅当
时取等，
即
时，也即
时，
取得最小值4，此时
的最小值为3.
14．（2026·陕西咸阳·三模）已知
，且
，则
的最小值为______．
【答案】0
【详解】已知
，则
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为0．
15．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
且
，若对任意的
，不等式
恒成立，
则
的最小值为_______.
【答案】4
【分析】由题设可得
，随后讨论
的取值可得
，
，最后由基本不等式可得答案.
【详解】由
得
，
故当
时，
，
当
时，
，故
，
故当
时，
，
即
，故
，
当且仅当
，即
时取等号，故
的最小值为4.
