文档文本内容
1.4 基本不等式
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、基本不等式........................................................................................................................3
知识点二、利用基本不等式求最值....................................................................................................5
知识点三、常用二级结论....................................................................................................................5
03 真题回顾..........................................................................................................................................7
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................12
题型一：基本不等式核心性质与变形（基础考点）......................................................................12
题型二：比较大小（高频考点）......................................................................................................14
题型三：不等式的证明技巧（高频考点）......................................................................................16
题型四：基本不等式直接使用（基础考点）..................................................................................18
题型五："1" 的代换（必考考点）..................................................................................................19
题型六：换元与消元法（高频考点）..............................................................................................21
题型七：齐次化法（高频考点）......................................................................................................23
题型八：几何无字证明模型（基础拓展考点）..............................................................................25
题型九：常见函数模型应用（高频考点）......................................................................................28
题型十：整体代换与局部代换（高频考点）..................................................................................31
题型十一：三角函数法（中等考点）..............................................................................................32
题型十二：多次使用基本不等式法（高频易错考点）..................................................................34
题型十三：待定系数法（中等偏难考点）......................................................................................36
题型十四：判别式法（中等偏难考点）..........................................................................................39
题型十五：跨知识点整合问题（压轴小题考点）..........................................................................40
题型十六：恒 (能) 成立问题（必考综合考点）..........................................................................42
05 课后拓展精练................................................................................................................................45
知识点一、基本不等式
1、对公式
及
的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求
都是实数，而后者要求
都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当
时取等号”．
2、由公式
和
可以引申出常用的常用结论
①
（
同号）；
②
（
异号）；
③
或
知识点诠释：
可以变形为：
，
可以变形为：
．
3、基本不等式
的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形
中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为
．这样，4 个直角三角形的面积
的和是
，正方形
的面积为
．由于4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：
．当直角三角形变为等腰直角三角形，即
时，正方形
缩为一个点，这时有
．
得到结论：如果
，那么
（当且仅当
时取等号“=”）
特别的，如果
，
，我们用
、
分别代替、，可得：
如果
，
，则
，（当且仅当
时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果
，
，
，（当且仅当
时取等号“=”）
方法二：代数法
∵
，
当
时，
；
当
时，
．
所以
，（当且仅当
时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果
，
，我们用
、
分别代替、，可得：
如果
，
，则
，（当且仅当
时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果
，
，
，（当且仅当
时取等号“=”）．
4、基本不等式
的几何意义
如图，
是圆的直径，点
是
上的一点，
，
，过点
作
交圆于点
D，连接
、
．
易证
，那么
，即
．
这个圆的半径为
，它大于或等于
，即
，其中当且仅当点
与圆心重合，即
时，等号成立．
知识点诠释：
（1）在数学中，我们称
为
的算术平均数，称
为
的几何平均数．因此基本不等式可
叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）如果把
看作是正数
的等差中项，
看作是正数
的等比中项，那么基本不等式可
以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
知识点二、利用基本不等式求最值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：
与
成立的条件是不同的，前者要求a，b 都是实数，后者要
求a，b 都是正数．
2、两个不等式：
与
都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取
“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则
考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的
“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
知识点三、常用二级结论
模型一：
，当且仅当
时等号成立.
模型二：
，当且仅当
时等号成立．
模型三：
，当且仅当
时等号成立.
1．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A,当
时，
，故A 错误；
对于BD，取
，此时
，
，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得
，故C 正确.
故选：C.
2．（2024 年北京高考数学真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
3．（2017 年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）过点
且斜率小于0 的直线与
轴，
轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】设直线为
，代入
得
，
即
，
，
设直线与x 轴交点
，与y 轴交点
，
则所围成封闭图形面积为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以所围成封闭图形面积的最小值为4.
故选：C.
4．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合
题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取
等号，所以其最小值为
，C 符合题意；
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不
符合题意．
故选：C．
5．（2020 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得
，由此即可判断B 是否
正确；对选项C、D 通过举例即可判断是否正确.A.由基本不等式可知
，故A 不正确；
B.
，即
恒成立，故B 正确；
C.当
时，不等式不成立，故C 不正确；
D.当
时，不等式不成立，故D 不正确.
故选：B.
6．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
（
R），由
可变形为，
，解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B 正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
7．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设
，则
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
故答案为：4
8．（2024 年上海春季高考练习数学试题）已知
，
的最小值为______．
【答案】12
【解析】
,
当且仅当
,即
或
时,等号成立,
故
的最小值为12.
故答案为：12.
9．（2023 年上海春季高考数学试题）已知正实数a、b 满足
，则
的最大值为_______________．
【答案】
【解析】
，
当且仅当“
”，即
时取等，
所以
的最大值为
.
故答案为：
10．（2021 年天津高考数学试题）若
，则
的最小值为____________．
【答案】
【解析】
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
11．（2021 年上海春季高考数学试题（网络收集版））已知函数
的最小值为，则
______.
【答案】
【解析】
，当且仅当
时等号满足，
故答案为：9
题型一：基本不等式核心性质与变形（基础考点）
【解题妙招】
基本不等式的常见变形
(1)
.
(2)
例1．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则由
知，
的最小值为
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】对于A，
，
，
当
，
时，
，当且仅当
时等号成立，
当
，
时，
，当且仅当
时等号成立，
当
，
异号时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，故A 错误；
对于B，当
，则由
，
当且仅当
，即
或
，不满足
的条件，故B 错误；
对于C，若
，则
，
当且仅当
，即
时等号成立，故C 错误；
对于D，若
，则
，
当且仅当
或
时等号成立，故D 正确．
例2．下列结论正确的是（ ）
A．当
且
时，
B．当
时，
C．当
，
的最小值为2
D．当
时，
的最小值为2
【答案】B
【解析】选项A，因为
，所以不满足“取等号时的条件”，故A 不正确；
选项B，由
，当且仅当
等号成立，故B 正确；
选项C，因为
，不满足“各项必须为正”，所以当
时，
的最小值不可能为2，故C 不正确；
选项D，当
时，
，所以
的最小值不可能为2，故D 不正确.
故选：B
例3．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】B
【解析】
成立时，可以有
，此时
不成立，不充分，
成立时，
，因此有
，
必定成立，因此是必要的，
所以是必要不充分条件，
故选：B．
变式1．下列说法中，正确的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
，则
的最小值为
C．对任意的实数
和
，总有
，当且仅当
时等号成立
D．对任意的实数
和
，总有
，当且仅当
时等号成立
【答案】D
【解析】对于A 选项，若
且
，不妨取
，
，
，
，则
，A 错；
对于B 选项，当
时，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故当
时，
的最大值为
，B 错；
对于C 选项，当
、
均为负数时，
，C 错；
对于D 选项，因为
，所以，
，
当且仅当
时等号成立，D 对.
故选：D.
题型二：比较大小（高频考点）
【解题妙招】
直接利用性质比较大小
例4．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算
术平均数大于等于它们的几何平均数，即当
均为正实数时，
，当且仅当
时等
号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【解析】因为
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故AC 选项错误；
因为
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故B 选项错误；
因为
，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故D 选项正确.
故选：D
例5．若
，则下列各结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
令
，解得
，
当
时，
，
为减函数，
，
,
.
例6．（2026·广东广州·二模）已知
，且
，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，得
，
对于A，
，A 正确；
对于B，取
，则
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，显然
，则
，D 正确.
变式2．（2026·高三·北京·开学考试）已知
，且
，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A,由于
，则
，故
，进而
，A 错误，
对于B,由于
，则
，故
，B 正确，
对于C, 由于
，则
，故
，C 错误，
对于D,
，由于
，则
，故
，故
，D 错误，
题型三：不等式的证明技巧（高频考点）
【解题妙招】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
例7．设
．求证：
，并确定等号成立的条件．
【解析】注意到
，等号成立时
．
于是
，
等号成立时
．
例8．对任意实数
，
.求证：
【解析】证明：因为
，
，
所以
，
，
令
，
，
则
当且仅当
，即
时等号成立；
所以
，当且仅当
时，等号成立.
例9．已知
，
，
(1)比较
与
大小；
(2)证明：
【解析】（1）
由
知
，因此
.
（2）证明：由题设
，及基本不等式
知，
.
同理，
，
，即
.
即：
.
变式3．已知实数
满足
，若
，求证：
.
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
又
，即
，当且仅当
时等号成立，
整理得
，所以
.
题型四：基本不等式直接使用（基础考点）
【解题妙招】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
例10．（2026·天津河西·一模）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由基本不等式得到
，即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
的最大值为
例11．若正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为正数a，b 满足
，所以
，
即
，当且仅当
时取“＝”，所以
的最大值为
.
故选：
例12．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解析】
，
当且仅当
，即
、
时，等号成立，
即
的最小值为
.
变式4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．6
D．3
【答案】C
【解析】
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为
.
题型五："1" 的代换（必考考点）
【解题妙招】
凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意
等价变形．
例13．已知
为正数，
，则
的最小值为_________.
【答案】
【解析】由题设
，则
，
求
的最小值，即求
的最小值，其中
，
由
，
当且仅当
，即
时取等号，
综上，
的最小值为
.
例14．若
，
，且
，那么
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
则
当且仅当
时，上式取等号，
所以
的最小值是
.
故选：D
例15．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】
，
当且仅当
，即
时，取等号，
故选：B．
变式5．（2026·天津南开·二模）已知
时，
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可知
，易知
，且
，
所以
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
因此
的最小值为3.
变式6．（2026·江西萍乡·二模）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【解析】因
由题设及基本不等式，
,
当且仅当
，即
时取等号.
题型六：换元与消元法（高频考点）
【解题妙招】
消参法常用来处理二元乃至高次双变量不等式，以一个变量代换另一变量，减少变量数
量后借助基本不等式求值。面对双元分式题型还可使用双换元，把两个分母设为全新参数，
重构式子，依托新参数建立不等关系求解。
例16．已知
，且
，则
的最小值为___________．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
的最小值
.
故答案为：
.
例17．已知x，y 均为正实数，且满足
，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】由
，x，y 均为正实数，可得
，解得
，
因
，
则
，设
，则
，且
，
则
，
因
，当且仅当
时等号成立，
故
，即当
时，
的最小值为
.
故答案为：
.
例18．已知实数
满足
，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】由
，可得
，
令
，
，则
．
联立可得，
，
，
则
，
当且仅当
，即
，
或
，
时，即
，
或
，
时取等号．
故答案为：
．
变式7．已知
，则
的最大值为___________．
【答案】
/
【解析】令
，则
，且
，
，
由
得
，
所以
，
当且仅当
时取等号，结合
，解得
，
即
时取等号，
所以
，即
的最大值为
，
故答案为：
.
变式8．已知
，
均为正实数，且
，则
的最小值为___________．
【答案】
/0.25
【解析】因为
均为正实数，且
，
，设
，
则上式
，
当且仅当
时取“=”；
则
的最小值为
，
故答案为：
题型七：齐次化法（高频考点）
【解题妙招】
齐次化多用于多元代数式求最值，若式子各项次数统一，可给分式的分子分母同除某一
变量，把多个变量合并成变量比值这一单整体，简化原式结构，构造出适配基本不等式的形
式，借此完成最值计算。
例19．（2026·高三·云南·阶段检测）若非零实数a，b 满足
，则
的最小值为
_____.
【答案】
【解析】依题意，
，
则
，即
，
令
，则
，
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
例20．（2026·广东清远·二模）已知实数
，且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】实数
，且
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
例21．（2026·山西临汾·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【解析】已知
，
，且
，
，
当且仅当
，结合
得
时等号成立，
的最小值为5．
题型八：几何无字证明模型（基础拓展考点）
【解题妙招】
利用几何法转化
例22．《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要
依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示
图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，则该图形可以完成的无字证
明为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，点
在直径
上，不妨设点
在线段
上，如图所示，
则
，
当
与
不重合时，因为
，则
，
当
与
重合时，
，
，也满足
，
又易知
，所以
，
故选：D.
例23．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.
通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，
在
上取一点C，使得
，
，过点C 作
交以
为直径的半圆弧于D，连结
，
作
，垂足为E，由
可以直接证明的不等式是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
连接DB，因为AB 是圆O 的直径，所以
，所以在
中，中线
，
由射影定理可得
，所以
.
在
中，由射影定理可得
，即
，
由
得
，
故选：D
例24．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文
字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优
雅与有条理．如图，在等腰直角
中，
为斜边
的中点，
是斜边
上异于
、
的一个动点，
设
，
，则该图形可以完成的无字证明是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设
，且
，
其中
，或
，
且
，
由图知
，即
.
故选：A
变式9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同
一平面内有形状、大小相同的图1 和图2，其中四边形
为矩形，
为等腰直角三角形，设
，
，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
为等腰直角三角形,且
，
，
，
,
四边形
的面积
.
观察图形，显然图1 的阴影部分面积不小于图2 的阴影面积，
，当且仅当
，原式取“
”.
故选：A.
题型九：常见函数模型应用（高频考点）
【解题妙招】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标
函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
例25．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同
的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图
中四个三角形）上铺草坪，造价为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
则
，所以
，
所以
，
因为
，即
且
，解得
，
所以
.
故
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为
元.
故选：B
例26．设计用
的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设长方体车厢（无盖）的长为
，高为
，
，
则由题得
，即
，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立，
由
，解
，得
，即
，
因为车厢的容积为
且
，仅当
时等号成立，所以车厢的最大容积是
.
故选：D.
例27．（2026·湖南·模拟预测）1471 年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，
一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面
，悬杆视为直线l 上两点A，B 间的连线，则上述问
题可以转化为以下的数学问题：如图1 所示，直线l 垂直于平面
，直线l 上有两点A，B 位于平面
的同
侧，求平面上一点C，使得
最大．建立如图2 所示的平面直角坐标系．若A，B 两点的坐标分别为
，
，点C 的坐标为
，则当
最大时，c 的值为（ ）
A．64
B．32
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得知
是锐角，且
，而
，
，
所以
，
而
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时，
，此时
最大，
故选：D
变式10．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理
利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为
180 元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为
，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高
应为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为
，长为5m，高为
，宽
，
，
则总造价
，
当且仅当
，即
时取等号，且
，
所以当垃圾池的高为
时，垃圾池总造价最低.
故选：C.
题型十：整体代换与局部代换（高频考点）
【解题妙招】
整体代换将条件整体视作常数替换式子，快速构造定值结构；局部代换针对复杂局部代
数式换元，简化繁杂分式、根式。两种代换均能简化多元式子，匹配基本不等式一正二定三
相等要求，是处理复杂最值题的常用手段。
例28．（2026·天津红桥·一模）已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，且
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
、
时等号成立．
所以
的最小值为
.
例29．已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
整理得
，即
，
而
，故可得
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为2.
故选：A
例30．（2026·河南开封·模拟预测）若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【解析】由题意得：
，
，
当
，即
时，等号成立.
变式11．（2026·浙江宁波·三模）已知实数
满足
，且
，则
的最小值为_____．
【答案】7
【解析】由
，则
，
即
，又
，则
，
解得
，当且仅当
取等，
则
的最小值为7.
题型十一：三角函数法（中等考点）
【解题妙招】
出现平方和结构（
）形式，引入三角函数表示
和
.
例31．已知
，
，则
的最小值为____.
【答案】
【解析】因为
，
令
，
，解得
，
，
所以
，
，
因为
，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
例32．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数
满足
，则
的最大值为
__________.
【答案】
【解析】由
，可得
，
设点
，则点
在以点
为圆心，2 为半径的圆上，
所以
，
根据几何意义设
，则
. ，
过点
作圆
的切线，与圆
交
，
此时
，
故
，
所以
，
因为
，所以
，即
所以
，所以
，
故最大值为
.
例33．（2026·高三·全国·一轮复习）若a，b，
，且
，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
则
，
由辅助角可得
，
故答案为：
．
题型十二：多次使用基本不等式法（高频易错考点）
【解题妙招】
在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的
等号成立条件是否相互契合、保持一致。
例34．已知
，则
的最小值为__________．
【答案】4
【解析】因为
，所以
，
即
，当且仅当
时等号成立，
则
，
当且仅当
等号成立，
综上可得：
的最小值为4.
故答案为：4
例35．已知
，且
，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】令
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
．
令
，
注意到
单调递增，
故
．
当且仅当
时等号成立．
故答案为：
例36．已知正数
满足
，
，则
的最小值为_______.
【答案】
【解析】由
，则
，当且仅当
，即
时，等号成立；
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上可得
的最小值为
.
故答案为：
.
变式12．已知正实数
、
、满足
，则
的最小值为______，
的最小值为
______.
【答案】
；
/
【解析】因为
，
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取得最小值；
易知
，
当且仅当
第一个不等号可取等号，
当且仅当
第二个不等号可取等号.
故答案为：
；
.
题型十三：待定系数法（中等偏难考点）
【解题妙招】
出现
结构形式，通常用待定系数法.
例37．（2026·高三·浙江阶段检测）已知
为正实数，且
，则
的最大值是
___________.
【答案】
【解析】设
，使
再设
，使
又
由
得
，
，
此时
，即所要求的最大值是
.
故答案为：
.
例38．设
，
，
，
是不全为零的实数，且满足
.则
的最小值是
_________.
【答案】
【解析】引进参数
，由
，
，
三式相加得
.
令
.
由此解得
.
于是，
.
又当
，
时，上式的等号成立，所以，
的最小值为
.
例39．已知
，且
，则
的最小值为______.
【答案】
/
【解析】
，则有
，
，
可得
令
，解得
，所以
，即
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
变式13．
为正整数，求
的最小值为 _____.
【答案】4
【解析】由题意知，引入参数k
，使之满足
,
当且仅当
，且
，即
时，等号成立，
所以
，
故
的最小值为4.
故答案为：4.
变式14．若
，则
的最小值为______．
【答案】
/
【解析】由
，
当且仅当
时
取到最小值
.
变式15．（2026·高三·云南阶段检测）已知实数
，
，
不全为0，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意实数
，
，
不全为0，
，
当且仅当
时，等号成立.
故选：D.
题型十四：判别式法（中等偏难考点）
【解题妙招】
利用一元二次方程有实数根时
.
例40．已知正实数a，b 满足
，则
的最小值为__________.
【答案】
/
【解析】由题意可得正实数a、b 满足
，
则关于b 的一元二次方程
有
，
即
，
所以
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
例41．已知实数
，满足
，则
的最大值为_____.
【答案】
【解析】令
，则
，
方程
可化为
，
整理得
，则满足
，
解得
，所以
，即
，
所以
的最大值为
.
题型十五：跨知识点整合问题（压轴小题考点）
【解题妙招】
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析
几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
例42．三角形
中，角
对的边分别为
，
，若
，则
边上
的高为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得，
，代入
，
可得
，
化简得
，
两边同时除以
得，
，
一方面，
，
其中
，
，当
时等号成立；
另一方面，由均值不等式，有
，当且仅当
时等号成立，
依题可得：
，此时
且
，
，
，
，
，
，
，
由余弦定理，
，又
，
，
联立解得
，
，
设
边上的高为，则
，
故
，即
边上的高为
.
故选：B.
例43．（2026·重庆·一模）已知直线
与双曲线
的两条渐近线围成的三角形
面积为4，则双曲线的焦距的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】D
【解析】双曲线
的渐近线方程为
，由
，解得
，
因此直线
与双曲线
的两条渐近线的交点为
，
直线
与双曲线
的两条渐近线围成的三角形面积
，则
，
双曲线
的焦距
，当且仅当
时取等号，
所以双曲线
的焦距的最小值为
.
故选：D
例44．（2026·山东泰安·三模）已知在△ABC 中，
，M 为BE 与CD 的交
点，则向量
在
上的投影向量的模的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
,因为
，所以
为中点，
,
因为
三点共线，所以
，解得
；
.
,
向量
在
上的投影向量的模为
，即
，
，当且仅当
，即
时取到最小值.
变式16．（2026·甘肃·二模）函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．4
D．16
【答案】C
【解析】
，
又
在
单调递增，
，
，即
.
，当且仅当
时，等号成立.
题型十六：恒 (能) 成立问题（必考综合考点）
【解题妙招】
，使得
，等价于
，
，使得
，等价于
例45．正数
满足，
，若不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】正数
满足，
，
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，
不等式
对任意实数x 恒成立，
则对任意实数x 恒有
，
对任意实数x 恒成立，
对任意实数x 恒成立，
又
，
，即实数
的取值范围是
，
故选：A
例46．已知
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
若不等式
恒成立，则
，
所以
，解得
.
故选：C
例47．（2026·高三·河北衡水·期中）若不等式
对任意正数
恒成立，则实数
的最
大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【解析】由
可得
，
不等式
可化为
，所以
.
故选：A
变式17．已知
，
，若不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）.
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】
，
，
恒成立，
而
，
当且仅当
时，等号成立，则
，故
的最大值为.
故选：C.
1．（2026·高三·天津南开·阶段检测）已知幂函数
在区间
上单调递增，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
与
的大小关系
【答案】A
【解析】由题意可知
，解得
，则
，
，
因为
，
所以
，
所以
，即
.
故选：A
2．（2026·高三·山东·阶段检测）已知
，
是函数
图像上两个不同的点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
是函数
图象上两个不同的点，
所以
，
，故
，
因为
，由基本不等式可得
，
故
，故BCD 错误，A 正确.
故选：A.
3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b 满足
，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，于是
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立.
4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知
，
且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．9
【答案】D
【解析】
，
当且仅当
，即
，结合
解得当且仅当
，
时取等号，
因此
的最小值为9.
5．（2026·甘肃酒泉·二模）已知
，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，且
，
所以
，
当且仅当
且
时等号成立，由
得
（
舍去），
代入
，解得
，
所以当
时，
的最小值为
.
6．（2026·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）
成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并
称之为无字证明．现有如图所示的图形，点
在半圆
上，且
，点
在直径
上运动．作
交半圆
于点
．设
，
，则由
可以直接证明的不等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】连接
，由题知
，
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
所以由
可以证明
故选：D
7．（2026·高三·湖南·阶段检测）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证
明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字
证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形
中，点
为斜边
的中点，点
为斜边
上异于顶点的一个动点，设
，
，则该图形可以完成的无字证明为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，
，
，
而
，所以
，故选项B 正确.
故选：B
8．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量
（单位：百件）与销售价格
（单位：元/件）满足关
系式
，其中
.已知该商品的成本为
元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润
的最小值为（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】B
【解析】设该超市每月销售该商品所获得利润为
，
每件利润为
元，每月的销售量为
件，
，
令
，则
，
，当且仅当
，即
时取等号，
该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为
元．
故选：B．
9．已知
，
为正实数，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
即
，
（当且仅当
时取等号），
又不等式
恒成立，
所以
．
故选：C．
10．已知
满足
，当
取到最大值时，
的最小值为___________．
【答案】
【解析】
，
即
，
故
，当且仅当
时等号成立，
此时
，
当
，即
时，
取得最小值
．
11．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n 满足
，则
的最小值为________．
【答案】2
【解析】因
，则
，当且仅当
时取等号.
则
即
，解得
，（
舍去）
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为2.
12．已知
，且
，则
的最大值为__________.
【答案】
【解析】由题可得
，
所以
，
则
，当且仅当
，
即
时取等号，
所以
，
即
的最大值是
.
故答案为：
.
13．已知正实数
满足
，则
的最小值为___________．
【答案】
/
【解析】
，可得
，
则
.
又因为
，即
，
所以
，
故
，
即
（当且仅当
，即
时取等），
所以
，
故答案为：
.
14．已知正实数
满足
，则
的最小值为__________.
【答案】
/
【解析】由题意，
为正实数，且
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
的最小值为
.
故答案为：
.
15．若
，且
，则
的最小值为_____.
【答案】
【解析】由
得
，
令
，则
且
，
，
所以
，
当且仅当
，且
，即
，
时等号成立．
故答案为:
．
16．（2026·高三·天津·阶段检测）已知
，
，
，则
的最小值为
________.
【答案】
【解析】令
，则
，
则
可转化为
，求
最小值即求
的最小值.
，
当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
因此
的最小值为
.
故答案为：
.
17．已知
，若
，则
的最小值为___________．
【答案】3
【解析】∵已知
，
，
∴
，即
∴
，当且仅当
，
时等号成立，最
小值为3，
故答案为：3.
18．（2026·高三·天津南开期末）若
均为正实数，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
，
时取等号，
故
的最大值为
，
故答案为
19．已知
、
、不全为零．则
的最大值是______．
【答案】
【解析】设
，则
，
，
即
，①
．②
①
②得
．
令
．
解之，得
，
．
从而，
，
即
（当
时等号成立）．
20．已知a，b，
，
，则
的最小值为__________.
【答案】5
【解析】
①，
当且仅当
时取等号，
，
即
②，当且仅当
时，即
，
时取等号，
将②式代入①式得
，
当且仅当
，
，
时取等号.
故答案为：5.
21．若
，
，
，则
的最小值为________.
【答案】
【解析】因为
，
，
，
所以
.
当且仅当
且
即
且
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
22．已知
为正实数．证明：
．
【解析】先证明
，
原不等式
，
，
．
由柯西不等式得
