文档文本内容
1.1 集合
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、 集合的含义与表示..........................................................................................................3
知识点二、集合间的基本关系............................................................................................................3
知识点三、集合的基本运算................................................................................................................3
知识点四、常用二级结论....................................................................................................................4
解析错误: 下标越界.............................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................9
题型一：集合的概念与表示方法........................................................................................................9
题型二：元素与集合的从属关系......................................................................................................10
题型三：集合中元素的三大性质（高频考点）..............................................................................11
题型四：集合间的包含与相等关系..................................................................................................13
题型五：集合的交、并、补运算（基础核心）..............................................................................14
题型六：集合与排列组合综合问题（创新题）..............................................................................16
题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算......................................................................................18
题型八：集合容斥原理应用问题......................................................................................................21
题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题）..............................................................................23
05 课后拓展精练................................................................................................................................26
知识点一、 集合的含义与表示
1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：
确定性，互异性，无序性．
2、元素与集合
的关系：，；
3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）.
4、常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
知识点二、集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合
、
，如果集合
中任意一个元素都是集合
中的元素，我们就说
这两个集合有包含关系，称集合
为集合
的子集 ，记作
（或
），读作“
包含于
”
（或“
包含
”）.
（2）真子集：如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合B 的真子集，记作
（或
）.读作“
真包含于
”或“
真包含
”.
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集
合的真子集.
知识点三、集合的基本运算
1、①并集：
；
②交集：
；
③补集：
．
④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
2、运算律
① 交换律
，
；
② 结合律
，
；
③ 分配律
，
；
④ 德摩根律
，
.
知识点四、常用二级结论
（1）若集合
中有个元素
，则集合
的所有子集个数为
，所有非空子集的个数是
，
所有真子集的个数是
，所有非空真子集的个数是
．
（2）包含关系的各种等价表示：①
；②
；③
；④
；⑤
．
（3）容斥原理
．
（4）牢记两个注意点
①在应用条件
时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先
进行讨论.
②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
1．（2025 年高考北京卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
故选：D.
2．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
故选：D.
3．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知集合
，
，则
中元素个
数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
4．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
5．（2025 年高考天津卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
，
集合
，
故
故选：D.
6．（2024 年北京高考数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
.
故选：C.
7．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合
中的元素，满足
，
则可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
8．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
则
，
故选：D
9．（2024 年天津高考数学真题）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合
，
，
所以
，
故选：B
10．（2023 年北京高考数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.
故选：A
11．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
.
故选：A.
12．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
13．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
14．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
15．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
题型一：集合的概念与表示方法
【解题妙招】
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素
的互异性相矛盾.
例1．下列集合的表示法正确的是（ ）
A．自然数集可表示为
B．由、、、、构成的集合是
C．满足
的构成的集合是
D．二次函数
上的所有点的坐标构成的集合是
【答案】A
【解析】对于A 选项，自然数集可表示为
，A 对；
对于B 选项，由、、、、构成的集合是
，B 错；
对于C 选项，满足
的构成的集合是
，C 错；
对于D 选项，二次函数
上的所有点的坐标构成的集合是
，D 错.
故选：A.
例2．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
为了纪念数学家高斯，我们把函数
称为高斯函数，其中
表示不超过的最大整数，如
，
，则点集P ={(x , y)|[x]
2+[ y]
2=1}所表示的平面区域的面积是（ ）
A．2
B．
C．4
D．6
【答案】C
【解析】由[ x ]
2+[ y ]
2=1可得
或
，
即
或
或
或
，
即
或
或¿或
，
上述不等式组表示的平面区域如图示：
由图可知平面区域由4 个边长为1 的正方形组成，
所以点集P ={( x , y)|[ x ]
2+[ y ]
2=1}所表示的平面区域的面积是.
例3．（2026·河北邯郸·三模）已知集合
，则集合
的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】集合
，共有4 个元素，故选B.
变式1．（2026·广东广州·三模）已知集合
，则如图所示的阴影部分表
示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，化简得
，
所以
或
，
所以
或
，
所以
或
，
阴影部分表示的集合为
，而
，
所以
.
题型二：元素与集合的从属关系
【解题妙招】
明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则
元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。
例4．（2026·安徽合肥·二模）已知集合
，若
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若
，则
，解得
或
，
所以若
，则的取值范围为
.
例5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，且
，则实数的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，代入得
，解得
.
例6．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 选项，当
时，
，故A 错误；
对于B 选项，令
，解得
，故
，即B 错误；
对于C 选项，当
时，
，故C 正确；
对于D 选项，令
，解得
，故
，即D 错误；
变式2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：
，设集合
，
，
则集合
的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【解析】由题意得：
，所以
.
题型三：集合中元素的三大性质（高频考点）
【解题妙招】
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例7．（2026·江西九江·模拟预测）已知
为实数，集合
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以¿或¿，
解得
，或
，（¿不符合集合元素的互异性，舍去）
所以
.
例8．（2026·湖北·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由
可知{
a∈{2,3,4}
2a-2∈{2,3,4}
a≠2a-2
，解得
.
此时
，符合要求.
所以
.
例9．（2026·江苏·一模）设集合
，
，若
含有4 个元素，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】根据集合元素的互异性可知，
，
.
因为
含有4 个元素，所以
仅含有1 个元素，
若
，则
或
，所以
或
.
若
，则
.
结合集合元素的互异性可知
或
.
当
时，
，
，
，符合题意.
当
时，
，
，
，不符合题意.
综上，
.
变式3．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知
，则的值为（ ）
A．
或
B．或
C．
或
D．
【答案】B
【解析】因为
，则
或
或
，
解得
或
.
故选：B.
变式4．（2026·陕西榆林·一模）已知集合
，若
，则实数的值为（ ）
A．
或3
B．0 或
C．3
D．
【答案】C
【解析】因为集合
，
，
所以
，解得
.
故选：C
题型四：集合间的包含与相等关系
【解题妙招】
（1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法
要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。
第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直
观地判断两个集合之间的关系。
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为
参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
例10．（2026·湖南长沙·二模）已知集合
，B =¿，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解不等式
可得
或
，
解得
或
，即B ={x| x>5 或x<-7}，又已知
.
对选项A：
，故A 错误.
对选项B：
取
，但
，故
，故B 错误.
对选项C：
对任意
，都满足
，符合
中元素的取值要求，即
，故
，故C 正确.
对选项D：∵A ∪B ={x| x>5 或x<-7}，取
，
且
，故
，故D 错误.
例11．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，解得
或
，所以
.
因为
，所以
或
，解得
或
或
.
经检验：当
时，
与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数的取值集合为
.
例12．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合
，
，
，则a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，解得
，所以
.
由于
，
，
所以
，解得
，
所以的取值范围是
.
变式5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合
，
，若
，则由实数组
成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，方程
无解，即
，满足
；
当
时，由方程
，解得
，即
，
因为
，可得
或
，解得
或
，
所以由实数组成的集合为
.
题型五：集合的交、并、补运算（基础核心）
【解题妙招】
在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn
图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。
例13．（2026·天津河西·三模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由集合
，
，可得
，
又由集合
，所以∁U ( A ∩B)= {2,4,5}.
例14．（2026·天津·模拟预测）已知全集
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，
所以
，
.
例15．（2026·福建·三模）设全集
，A =¿，B =¿，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
解得
，或
，
则A ={x|x<-1或x>2}，
所以∁U A =¿，
又B =¿，
所以
．
变式6．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解得
或
，即
.
∴
.
又∵
，在集合
的元素中满足
的有
，
∴
.
变式7．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
或
，
所以
.
题型六：集合与排列组合综合问题（创新题）
【解题妙招】
在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转
化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。
例16．（2026·陕西渭南·二模）集合
，集合
，
，则满足
的集
合对
有（ ）个．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于
中的任意一个元素，要满足
，
分析在集合
中的归属情况：
且
；
且
；
且
这三种情况都能保证
，而只有
且
这一种情况不满足条件.
因此，每个元素有种有效的归属方式.
因为
中共有
个元素，且每个元素的选择相互独立，
所以满足条件的集合对
的个数为：
.
例17．（2026·广东·模拟预测）已知
是
的某种排列，集合
，
，且
，则这样的有序数对
的个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
的总对数为
，
时，
，
，除
均满足，共
对；
时，
，
，则
时：
若
，可取
共3 种；
若
，可取
共计2 种；若
，则可取共计1 种；
不满足的情况为
种，
共
种情况；
时，
，
，则
：
若
，可取1 种；若
，可取2 种；若
，可取3 种；
若
，可取4 种；若
，可取5 种；
不满足的情况为
种，
共
种情况；
时，
，
，
若
，可取4 种；若
，可取3 种；若
，可取2 种；若
，可取1 种；
共
种情况；
时，
，
：
若
，可取2 种；若
，可取1 种；
共
种情况；
时，
，
，不存在；
总情况数为
种．
故选：C．
例18．设集合
，那么集合
中满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．15
B．35
C．40
D．45
【答案】D
【解析】设
中，有个，
个
，则有
个，
则需
，解得
，
则当
时，
，
共有
种情况；
则当
时，
，
共有
种情况；
则当
时，
，
共有
种情况；
故共有
种情况，
即集合
中满足条件“
”的元素个数为
.
故选：D.
变式8．（2026·高三·上海·期中）已知集合
，
，若
，则满足条件的集合
个数为（ ）
A．408
B．409
C．410
D．411
【答案】C
【解析】
，
且
能被3 整除， ∴
除以3 的余数相同，
集合
的元素中，
能被3 整除的整数有
，
被3 除余1 的整数有
，
被3 除余2 的整数有
，
当
都被3 整除时，则
从被3 整除的5 个数中选取3 个，
或
可从被3 整除的5 个数中选取2 个，
从其余11 个数中选择，
∴
的个数为
，
当
被3 除余1 时，则
从被3 除余1 的6 个数中选取3 个，
或
可从被3 除余1 的6 个数中选取2 个，
从其余10 个数中选择，
∴
的个数为
，
当
被3 除余2 时，则
从被3 除余2 的5 个数中选取3 个，或
可从被3 除余2 的5 个数中选
取2 个，
从其余11 个数中选择，
∴
的个数为
，
∴满足条件的集合
共有
个．
故选：C.
题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算
【解题妙招】
Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区
域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，
可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。
例19．（多选题）（2026·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则
或
，所以阴影部分所表示的集合
为
，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为
，
所以选项AD 正确，选项BC 不正确.
故选：AD.
例20．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
如图，
A 选项：
①+②，则
②，故A 正确；
B 选项：
①+④，则
④， 故B 错误；
C 选项：
③，
①+
+
②④，则
②，故C 正确；
D 选项：
①，故D 错误.
故选：AC.
例21．（多选题）已知全集
，
，
，
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的不同真子集个数为8
【答案】BC
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
又
，说明
，
综上，画出维恩图如下：
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
的不同真子集个数为7，故D 错误，
故选：BC.
变式9．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合
均为
的子集，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为集合
均为
的子集，且
，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由
，所以A 正确；由
，所以B 错误；
由
，所以C 错误；由
，所以D 正确.
故选：AD.
变式10．（多选题）非空集合
，
，
均为
的真子集，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】A 选项，因为
，所以
，A 正确；
B 选项，因为
，所以
，
而
，故B 错误；
C 选项，因为
，所以
，C 正确；
D 选项，
，如图所示，
所以
表示的集合为①，不是空集，D 错误.
故选：AC
题型八：集合容斥原理应用问题
【解题妙招】
容斥原理
．
例22．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、
研学参观、
技术培训类拓展课程．高三某班学生共有
人报名参加拓展课程，其中有
人报名参加劳
动实践，有
人报名参加研学参观，有
人报名参加
技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有
人，同时报名参加研学参观和
技术培训的有5 人，只参加
技术培训的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和
技术培训的有
人，
列出韦恩图，则
，
可得
，则只参加
技术培训的人数为
人．
例23．（2026·高三·浙江·开学考试）某班共有45 位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18 位
同学参加数学竞赛，有15 位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15 位同学，则同时参加数学和物
理竞赛的同学有（ ）
A．2 位
B．3 位
C．4 位
D．5 位
【答案】B
【解析】参加竞赛的总人数：45−15=30（位），
根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）.
例24．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025 年我国暑期档票房前三名.高一（1）
班共有28 名同学，有15 人观看了《南京照相馆》，有8 人观看了《浪浪山小妖怪》，有14 人观看了《长
安的荔枝》，有3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3 人同时观看了《南京照相馆》
和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．6 人
B．7 人
C．8 人
D．9 人
【答案】C
【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合
表
示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，
在相应的位置填上数字，则
，解得
，
因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为
人.
故选：C
题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题）
【解题妙招】
数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型
备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，
全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。
例25．（2026·福建漳州·三模）已知
是集合
的非空子集，若
，则称
是集合
的
“互斥子集组”，并规定
与
为不同的“互斥子集组”．集合
的不同“互斥子集组”
的个数是___________．（用数字作答）
【答案】50
【解析】解法一：若
中各含1 个元素时，“互斥子集组”有
个，
若
中一个含1 个，一个含2 个元素时，“互斥子集组”有
个，
若
中一个含1 个，一个含3 个元素时，“互斥子集组”有
个，
若
中各含2 个元素时，“互斥子集组”有
个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50 个．
解法二：当集合
中有1 个元素时，有
，共4 种情况，
集合
是由集合
中去除这个元素后，剩下的3 个元素组成的非空子集，
可得这样的“互斥子集组”有
个，
当集合
中有2 个元素时，有
，
共6 种情况，而集合
是由集合
中去2 个元素后，
剩下的2 个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有
个，
当集合
中有3 个元素时，有
，共4 种情况，
而集合
是由集合
中去除3 个元素后，剩下的1 个元素组成的非空子集，
则此时“互斥子集组”有
个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50 个．
例26．（2026·山东烟台·二模）设点集
，若
中的点
满足
，则称
与
互为邻点. 点集
中与点
互为邻点
的点的个数为__________. 在
中定义邻点列S: A1, A2,⋯, An，其中
与
互为邻点，
且xi yi+1≤yi xi+1，若
，则的最大值为__________.
【答案】 6 8
【解析】（1）设与
互为邻点的点为
，则
且
，
若
，则
，解得
，
（舍去）或
，点为
；
若
，则
，解得
或，
或，点为
；
若
，则
，解得
（舍去）或
，
，点为
，
综上，满足条件的点共有
个；
（2）根据xi yi+1≤yi xi+1，以及点集坐标范围可得
，记
，
则该邻点列各点的
依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件，
因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以
和
一样也是偶数，即
为偶数，所以
和
的奇偶性相同，
即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知
，其横纵坐标之和为奇数，
点集
中满足
为奇数的点共有个，依次为
，
对应的值依次为
（依次递减），满足要求的邻点列
只能从这个点中选择
且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列
，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为.
例27．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）设集合
，若对于满足
的任意k 个
元素的集合
，都存在
，
使得
，则k 的最小值是______．
【答案】
【解析】根据题意，
，
设集合
，对于任意
，
，
，
现计算此时的最大值，
要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小，
所以
，则
应该是满足
的最小整数，故
，
，
则数列
是首项为
，公比为的等比数列，
所以
，
，即
，
又
且
，
的最大值为，例如
，
则k 的最小值是．
变式11．（2026·高三·全国·一轮复习）已知集合
，
，集合
中所有元素的乘积称为集
合
的“累积值”，且规定：当集合
只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为
0．设集合
的累积值为．
（1）若
，则这样的集合
共有________个；
（2）若为偶数，则这样的集合
共有________个．
【答案】 2 13
【解析】（1）若
，据“累积值”的定义得
或
，这样的集合
共有2 个；
（2）集合
的子集共有
个，
其中“累积值”为奇数的子集为
、
、
，共3 个，所以“累积值”为偶数的集合共有13 个．
1．（2026·北京顺义·三模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为M ={x|2 x -1>3}={x|x>2}，
，则
.
2．（2026·北京海淀·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】首先求解集合
中的不等式
：
由分式分母不为0，得
；
故1- x
x
≤0，等价于x(1- x)≤0且
，即x( x -1)≥0且
；
x( x -1)≥0得
或
，结合
的限制，可得A ={x| x<0或
,
根据补集的定义，∁R A是实数集中不属于
的所有元素构成的集合，因此∁R A ={x|0≤x<1}.
3．（2026·福建福州·模拟预测）已知全集
，集合A =¿，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由A =¿可知，集合
为函数y =lg(1- x)的值域，所以
，
而B =¿，所以集合
函数
的定义域，所以
，即B =(0,+ ∞)，
因此
，B =(0,+ ∞)，则
，
故C 选项正确.
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）设集合
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，故A 错误；
因
，故B 错误；
又
，故C 正确；
因
，故D 错误．
5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
时，2
0+0=1≤6，
时，2
1+1=3≤6，
时，2
2+2=6≤6，
时，2
3+3=11>6，
当
，
时，2
x+ x>6，因此
，
，则
，解得
，所以B ={x∈R|-3≤x ≤1}，
因此
，故选择C 选项.
6．（2026·甘肃张掖·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题，N = {-2,2}，则M ∪N = {x|-3< x ≤2}
7．（2026·广东广州·三模）已知集合
，
，B =¿，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】图中阴影部分由属于集合
，但不属于集合
的元素构成的集合，
所以所求集合为{-2,-1,0,1,3}∩¿．
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合
，若
，则的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】B
【解析】依题意，
，
由于
，
所以
，解得
，
所以的最大值为.
9．（多选题）（2026·山西临汾·二模）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】易知
，即
.
，即
.
A.
，成立.
B.因为
，所以
，不成立.
C.
或
，
，成立.
D.
或
，
或
，成立.
10．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
中元素个数为
D．
【答案】BD
【解析】在集合
中，因为
，所以方程
有两个相异实根，
设为
、
，由韦达定理可得
，所以
、
异号，且
，
因为全集的元素中两元素之积为
的只有两组
、和
、，
所以
或
.
当
时，
，则
，
所以
，
，
；
当
时，
，则
，
所以
，
，
.
综上，则
或
，
，
中元素个数为，
，
故A 错误，B 正确，C 错误，D 正确.
11．（多选题）（2026·河南南阳·模拟预测）已知
为全集，集合M，N，P 均为非空集合，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】全集为
，集合M，N，P 均为非空集合，由
作出如图所示的韦恩图：
由
，得
，而
，
结合韦恩图，得
不是
的子集，
，
，
不是
的子集，
因此选项AD 错误，选项BC 正确.
故选：BC
12．（2026·上海·模拟预测）已知集合
，
，则集合
_________．
【答案】
【解析】已知集合
，
，
．
13．已知集合
，若
，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由
可得
，
又
，
，
当
时，
，由
可得
或
，所以
；
当
时，
，满足
；
当
时，
，由
可得
或
，所以
；
综上，实数的取值范围是
．
14．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合
，
定义集合
，则
中元素的个数为__________.
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共
个元素.
15．（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，
且满足条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
【答案】
或
【解析】由题意
的子集恰有2 个，所以
是一元集，
若
，则
，而
，
满足题意，
若
，则
，
，此时
，不合题意；
若
，则
，
，
只含一个元素，则
，
综上，的取值范围是
或
．
16．（2026·山东德州·一模）设集合
，若
，则
__________.
【答案】
【解析】
，
，
且
且
且
，
或
，
当
时，
且
，
，
.
当
时，解得
，
且
，
不成立.
综上可得，
.
故答案为：
.
17．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025 年我国暑期档票房前三名．某社区调
查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63 人，观看了《浪浪山小
妖怪》的有89 人，观看了《长安的荔枝》的有47 人，三部电影都观看了的有24 人，观看了其中两部电影
的有46 人，这三部电影都未观看的有15 人．则接受调查的市民共有______人．
【答案】120
【解析】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合
表
示，
则
．
不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为，
观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为
，
观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为，
如图所示，用Venn 图表示题设中的集合关系，
则
．
由三个集合的容斥关系公式得
，
解得
，故接受调查的市民共有120 人．
故答案为:120.
