文档文本内容
1.1 集合
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、 集合的含义与表示..........................................................................................................3
知识点二、集合间的基本关系............................................................................................................3
知识点三、集合的基本运算................................................................................................................3
知识点四、常用二级结论....................................................................................................................4
解析错误: 下标越界.............................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................7
题型一：集合的概念与表示方法........................................................................................................7
题型二：元素与集合的从属关系........................................................................................................7
题型三：集合中元素的三大性质（高频考点）................................................................................8
题型四：集合间的包含与相等关系....................................................................................................9
题型五：集合的交、并、补运算（基础核心）................................................................................9
题型六：集合与排列组合综合问题（创新题）..............................................................................10
题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算......................................................................................11
题型八：集合容斥原理应用问题......................................................................................................12
题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题）..............................................................................12
05 课后拓展精练................................................................................................................................14
知识点一、 集合的含义与表示
1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：
确定性，互异性，无序性．
2、元素
与集合
的关系：
，
；
3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）.
4、常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
知识点二、集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合
、
，如果集合
中任意一个元素都是集合
中的元素，我们就说
这两个集合有包含关系，称集合
为集合
的子集 ，记作
（或
），读作“
包含于
”
（或“
包含
”）.
（2）真子集：如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合B 的真子集，记作
（或
）.读作“
真包含于
”或“
真包含
”.
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集
合的真子集.
知识点三、集合的基本运算
1、①并集：
；
②交集：
；
③补集：
．
④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
2、运算律
① 交换律
，
；
② 结合律
，
；
③ 分配律
，
；
④ 德摩根律
，
.
知识点四、常用二级结论
（1）若集合
中有
个元素
，则集合
的所有子集个数为
，所有非空子集的个数是
，所有真子集的个数是
，所有非空真子集的个数是
．
（2）包含关系的各种等价表示：①
；②
；③
；④
；⑤
．
（3）容斥原理
．
（4）牢记两个注意点
①在应用条件
时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先
进行讨论.
②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
1．（2025 年高考北京卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知集合
，
，则
中元素个
数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
4．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 年高考天津卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 年北京高考数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024 年天津高考数学真题）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023 年北京高考数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
15．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型一：集合的概念与表示方法
【解题妙招】
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素
的互异性相矛盾.
例1．下列集合的表示法正确的是（ ）
A．自然数集可表示为
B．由、
、、、
构成的集合是
C．满足
的
构成的集合是
D．二次函数
上的所有点的坐标构成的集合是
例2．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
为了纪念数学家高斯，我们把函数
称为高斯函数，其中
表示不超过
的最大整数，如
，
，则点集P ={(x , y)|[x]
2+[ y]
2=1}所表示的平面区域的面积是（ ）
A．2
B．
C．4
D．6
例3．（2026·河北邯郸·三模）已知集合
，则集合
的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式1．（2026·广东广州·三模）已知集合
，则如图所示的阴影部分表
示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：元素与集合的从属关系
【解题妙招】
明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则
元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。
例4．（2026·安徽合肥·二模）已知集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，且
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：
，设集合
，
，
则集合
的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5
题型三：集合中元素的三大性质（高频考点）
【解题妙招】
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例7．（2026·江西九江·模拟预测）已知
为实数，集合
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
例8．（2026·湖北·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例9．（2026·江苏·一模）设集合
，
，若
含有4 个元素，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
变式3．（2026·高三·云南昆明·阶段检测）已知
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
变式4．（2026·陕西榆林·一模）已知集合
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
或3
B．0 或
C．3
D．
题型四：集合间的包含与相等关系
【解题妙招】
（1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法
要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。
第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直
观地判断两个集合之间的关系。
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为
参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
例10．（2026·湖南长沙·二模）已知集合
，B =¿，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知集合
，
，
，则a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合
，
，若
，则由实数
组
成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：集合的交、并、补运算（基础核心）
【解题妙招】
在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn
图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。
例13．（2026·天津河西·三模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．（2026·天津·模拟预测）已知全集
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．（2026·福建·三模）设全集
，A =¿，B =¿，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：集合与排列组合综合问题（创新题）
【解题妙招】
在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转
化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。
例16．（2026·陕西渭南·二模）集合
，集合
，
，则满足
的集
合对
有（ ）个．
A．
B．
C．
D．
例17．（2026·广东·模拟预测）已知
是
的某种排列，集合
，
，且
，则这样的有序数对
的个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例18．设集合
，那么集合
中满足条件“
”的元素个数为（ ）
A．15
B．35
C．40
D．45
变式8．（2026·高三·上海·期中）已知集合
，
，若
，则满足条件的集合
个数为（ ）
A．408
B．409
C．410
D．411
题型七：利用韦恩图分析集合关系与运算
【解题妙招】
Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区
域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，
可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。
例19．（多选题）（2026·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
例20．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
例21．（多选题）已知全集
，
，
，
，
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的不同真子集个数为8
变式9．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合
均为
的子集，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10．（多选题）非空集合
，
，
均为
的真子集，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：集合容斥原理应用问题
【解题妙招】
容斥原理
．
例22．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、
研学参观、
技术培训类拓展课程．高三某班学生共有
人报名参加拓展课程，其中有
人报名参加劳
动实践，有
人报名参加研学参观，有
人报名参加
技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的
有
人，同时报名参加研学参观和
技术培训的有5 人，只参加
技术培训的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例23．（2026·高三·浙江·开学考试）某班共有45 位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18 位
同学参加数学竞赛，有15 位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15 位同学，则同时参加数学和物
理竞赛的同学有（ ）
A．2 位
B．3 位
C．4 位
D．5 位
例24．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025 年我国暑期档票房前三名.高一（1）
班共有28 名同学，有15 人观看了《南京照相馆》，有8 人观看了《浪浪山小妖怪》，有14 人观看了《长
安的荔枝》，有3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3 人同时观看了《南京照相馆》
和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．6 人
B．7 人
C．8 人
D．9 人
题型九：集合新定义与创新题型（压轴小题）
【解题妙招】
数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型
备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，
全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。
例25．（2026·福建漳州·三模）已知
是集合
的非空子集，若
，则称
是集合
的
“互斥子集组”，并规定
与
为不同的“互斥子集组”．集合
的不同“互斥子集组”
的个数是___________．（用数字作答）
例26．（2026·山东烟台·二模）设点集
，若
中的点
满足
，则称
与
互为邻点. 点集
中与点
互为邻点
的点的个数为__________. 在
中定义邻点列S: A1, A2,⋯, An，其中
与
互为邻点，
且xi yi+1≤yi xi+1，若
，则
的最大值为__________.
例27．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）设集合
，若对于满足
的任意k 个
元素的集合
，都存在
，
使得
，则k 的最小值是______．
变式11．（2026·高三·全国·一轮复习）已知集合
，
，集合
中所有元素的乘积称为集
合
的“累积值”，且规定：当集合
只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为
0．设集合
的累积值为
．
（1）若
，则这样的集合
共有________个；
（2）若
为偶数，则这样的集合
共有________个．
1．（2026·北京顺义·三模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京海淀·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
3．（2026·福建福州·模拟预测）已知全集
，集合A =¿，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）设集合
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·甘肃张掖·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·广东广州·三模）已知集合
，
，B =¿，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合
，若
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
9．（多选题）（2026·山西临汾·二模）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
中元素个数为
D．
11．（多选题）（2026·河南南阳·模拟预测）已知
为全集，集合M，N，P 均为非空集合，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·上海·模拟预测）已知集合
，
，则集合
_________．
13．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是_____．
14．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合
，
定义集合
，则
中元素的个数为__________.
15．（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，
且满足条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
16．（2026·山东德州·一模）设集合
，若
，则
__________.
17．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025 年我国暑期档票房前三名．某社区调
查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63 人，观看了《浪浪山小
妖怪》的有89 人，观看了《长安的荔枝》的有47 人，三部电影都观看了的有24 人，观看了其中两部电影
的有46 人，这三部电影都未观看的有15 人．则接受调查的市民共有______人．
