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专题 06 函数及其表示（九大题型+模拟精练）
目录：
01 区间的表示与运算
02 判断是否为同一函数
03 求函数的定义域（具体函数、抽象函数、复合函数）
04 求函数的值综合
05 求函数的值域
06 求函数的解析式综合
07 分段函数综合
01 区间的表示与运算
1．（2023·山东·模拟预测）不等式组 的解集用区间表示为： ．
【答案】
【分析】先解不等式组，再将结果用区间表示.
【解析】解：∵不等式组 ，
∴ ，∴不等式组的解集为 ．
故答案为： ．
2．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）设集合 ，若 则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据交运算即可求解.
【解析】由 所以 ，故 ，
故选：B
3．（23-24高三上·上海·期中）已知集合 ， ，则 ．【答案】
【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.
【解析】因为 ， ，所以 .
故答案为： .
02 判断是否为同一函数
4．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】D
【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案.
【解析】对于A选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足条件；
对于B选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，，故不满足条件；
对于C选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，故不满足条件；
对于D选项， 与 定义域相同，对应关系相同，故满足条件．
故选：D．
5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数 是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【解析】解：函数 ，定义域为 .
选项A中 ，定义域为 ，故A错误；
选项B中 ，定义域为 ，故B错误；
选项 中 ，定义域为 ，故 正确；
选项D中 ，定义域为 ，故D错误.
故选：C.
6．（22-23高三·全国·对口高考）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，由函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，两函数的定义域
不同，所以不是同一函数；
对于B，由函数 和函数 的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数 与 的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数 和 的定义域与对应法则都相同，所以
是同一函数.故选：D.
03 求函数的定义域（具体函数、抽象函数、复合函数）
7．（2024高三上·广东·学业考试）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解.
【解析】∵ 有意义，∴ ，即 ，
所以函数 的定义域是 ，
故选: A.
8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得到不等式组，解出即可.
【解析】由题得 ，解得 ，
故选：C.
9．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数 的定
义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【解析】由函数 的定义域为 ，即 ，得 ，因此由函数 有意义，得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D
10．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【解析】∵函数 的定义域为 ，即 ，可得 ，
∴函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，
故函数 的定义域为 .
故选：B.
11．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得函数 的定义域为 ，然后结合抽象函数定义域与 求解即可；【解析】由题意可知 ，所以 ，要使函数 有意义，则 解
得 .
故选：D
12．（22-23高三上·陕西商洛·阶段练习）已知函数 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得 的定义域，进而求得 的定义域.
【解析】由 ，解得 ，所以 的定义域为 .
令 ，则 ，所以 的定义域为 .
故选：D
13．（21-22高一上·全国·课后作业）已知 ，则 的定义域
为 （ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】利用分母不为0及复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域
【解析】因为 ，所以 ，又因为在 中， ，所以 ，所以 ，
所以 的定义域为 且 .
故选：C14．（20-21高一·全国·课后作业）若函数 的定义域为 ，则 的定义
域为 ．
【答案】
【分析】求出 的范围，然后由 都在此范围内得定义域．
【解析】∵ 的定义域为 ，
∴ ，∴ 解得
∴ ，故函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
04 求函数的值综合
15．（21-22高一下·贵州铜仁·期末）函数 满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【分析】根据题意令 ，即可得结果.
【解析】因为 ，令 ，可得 .
故选：D.
16．（22-23高二下·山东烟台·阶段练习）已知函数 ，且 ，则实数 的值等于
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；
【解析】令 ，解得 或 由此解得 ，
故选：D
17．（2024·江苏南通·二模）已知 对于任意 ，都有 ，且 ，则（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
【答案】D
【分析】由题意有 ，得 ，求值即可.
【解析】由 ，当 时，有 ，
由 ，则有 .
故选：D
18．（23-24高一上·北京·期中）已知函数 的图象如图所示，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据函数图象求得正确答案.
【解析】由图可知 ，
过点 的直线方程为 ，
则 ，解得 ，所以直线方程为 ，
令 ，得 ，
所以 .
故选：A19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由题意可得函数的周期为4，再利用周期可求得答案.
【解析】因为 ，所以4是函数 的一个周期，
所以 ，
故选：A．
20．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数 满足 ，则 （
）
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
【答案】C
【分析】赋值得到 ，利用累加法得到 ，令 得到
，赋值得到 ，从而求出答案.
【解析】 中，令 得，
，
故 ，
故 ，
其中 ，①
，②，③
……，
，
上面99个式子相加得，
，
令 得 ，
中，令 得 ，
故 .
故选：C
21．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解.
【解析】因为 ，
，
所以 ，所以 ，
故选:C．
22．（23-24高三上·江苏苏州·期中）满足 的实数对 ， 构成的点
共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.
【解析】由 ，又 ，
则 ，所以 在 单调递增，
故值域为 ，
即 是 的两根，解得 ，
当 时，点 为 ，
当 时，点 为 ，
当 时，点 为 .
故选：C
05 求函数的值域
23．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 的值域为 ，则函数 的值域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知求得 的范围，即可得到 的范围.
【解析】因为函数 的值域为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即函数 的值域为 .
故选：A
24．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数 的定义域是 ，值域为 ，则下列函数的值域
也为 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，由 可得， ，故A错误；
对于B， ， 的图象可看作由 的图象经过平移和横向伸缩变换
得到，故值域不变，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选：B.
25．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数 的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】令 （ ），通过 求出 的范围，则 配方后即可求得最
大值.
【解析】由解析式易知 的定义域为 ，
令 （ ），
所以 ，则 ，
由 ， 可知，
，所以 ，则 ，所以 （ ），
则 ，
所以 的最大值为 .
故选：C.
26．（23-24高三上·上海·期中）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】讨论去绝对值，得到分段函数，求出各段上的值域，求并集得解.
【解析】由 ，
当 时， 单调递增，所以 ，
故函数 的值域为 .
故答案为： .
27．（22-23高三上·福建厦门·阶段练习）若函数 的值域是 ，则此函数的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论解不等式即可.
【解析】由函数 的值域是 ，
所以当 时， ，当 时，
即 ，解得 ，
所以函数的定义域为： ，
故选：D
06 求函数的解析式综合
28．（22-23高一上·贵州黔东南·阶段练习）一次函数 满足： ，则 ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据 是一次函数可设 ，再根据 求出k、b即可求出f(x)
的解析式，代入x＝1即可求得答案．
【解析】设 ，
，
∴ ，解得 ，∴ ，∴ ．
故选：C．
29．（22-23高三·全国·对口高考）已知二次函数 满足 ，且 的最大值是
8，则此二次函数的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为 ，代入条件求解即可.【解析】根据题意，由 得: 图象的对称轴为直线 ，
设二次函数为 ，
因 的最大值是8，所以 ，当 时， ，
即二次函数 ，
由 得: ，解得： ，
则二次函数 ，
故选：A.
30．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】 /2.5
【分析】根据函数解析式，令 ，得 ，代入函数解析式计算即可求解.
【解析】由题意得， ，
令 ，由 ，得 ，
∴ ．
故答案为： .
31．（2024高三·全国·专题练习）已知f(x＋ )＝x2＋ ，则函数f(x)＝ ．【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】
配凑法. f(x＋ )＝x2＋ ＝(x2＋2＋ )－2＝(x＋ )2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
32．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)满足方程af(x)＋f( )＝ax，x∈R，且x≠0，a为常数，a≠±1，且
a≠0，则f(x)＝ ．
【答案】 (x≠0)
【解析】
因为af(x)＋f( )＝ax，所以af( )＋f(x)＝ ，由两方程联立解得f(x)＝ (x≠0).
07 分段函数综合
33．（2024·陕西·模拟预测）已知 ，若 ，则 ．
【答案】3或
【分析】分 和 分别代入函数，解出即可.
【解析】当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
故答案为：3或 .
34．（2022·全国·模拟预测）设函数 ，若 ，则 .
【答案】2
【分析】根据函数解析式，代入求值.
【解析】函数 ，有 ，
则 ，解得 .故答案为：2
35．（2024·北京东城·二模）设函数 ，则 ，不等式 的解集
是 .
【答案】 1
【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求 ；分 、 和 三种情况，结合
题中函数解析式分析求解.
【解析】由题意可知： ；
因为 ，
当 ，即 时，则 ，可得 ，不合题意；
当 ，即 时，可得 ，
解得 或 ，所以 ；
当 ，即 或 时，则 ，可得 ，符合题意；
综上所述：不等式 的解集是 .
故答案为：1； .
36．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）已知函数
①若 的最大值为 ，则a的一个取值为 ．②记函数 的最大值为 ，则 的值域为 ．
【答案】
【分析】根据解析式可画出函数 和 的函数图象， 图象以 为分界，
左取 图象，右取 图象，根据 值不同，可得不同 图象，以此判断出 的最大值变化与
不同取值之间的关系，即可得到答案.
【解析】由解析式可知 是定义域为R的奇函数，且当 时，
，当且仅当 时等号成立；
，两函数如下图所示：
由图可知，当 时， 的最大值为 ，
当 时， 的最大值为 在区间 的最大值，即为 ，
当 时， 的最大值为 ；
①若满足 ，当 时， ，不符题意；
当 时， ，解得 或 （舍去）当 时， ，不符题意；
②综上所述，根据函数图象可知函数 的最大值为 .
故答案为：① ；②
一、单选题
1．（2024·吉林长春·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【解析】由函数可得， .
故选：B.
2．（2024·北京西城·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用补集和交集运算求解即可.
【解析】因为集合 ，所以 或 ，
又集合 ，所以 或 .
故选：B
3．（2024·浙江台州·一模）函数 的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析
式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定的函数图象，由 推理排除CD；由①中函数当 时， 分析判断得解.
【解析】由图①知， ，且当 时， ，由②知，图象过点 ，且当 时， ，
对于C，当 时， ，C不可能；
对于D，当 时， ，D不可能；
对于A，当 时， ，而当 时， ，则 ，A可能；
对于B，当 时， ，而当 时， ，则 ，B不可能.
故选：A
4．（2023·山东·模拟预测）已知函数 的对应值图如表所示，则 等于（ ）
函数 的对应值表
0 1 2 3 4 5
3 6 5 4 2 7
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】查表可知，先得 ， 所以再查表可得 .【解析】由表可知 ， ，
所以
故选：D．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【分析】分 和 ，求解 ，即可得出答案.
【解析】当 时， ，则 ，解得： （舍去）；
当 时， ，则 ，解得： .
故选：B.
6．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 ，则方程 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分段函数，对 分类讨论即可.
【解析】当 时， ，解得 或 （舍去），当x<0时， ，解得
（舍去），故解集为 ．
故选：A．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的图象过点 与 ，则函数 在区间上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件列方程求 ，由此可得函数 的解析式，再由基本不等式求其最大值.
【解析】因为函数 的图象过点 与 ，
所以 ， ，则 ，
解得 ， ，
故函数 的解析式为： .
而 ，
当且仅当 时取等号，
函数 在区间 上的最大值为 .
故选：B.
8．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，则 的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】由赋值法先得 ，再由 与 关系列式求解．
【解析】 中令 ，则 ，
中令 ， ，则 ，又 中令 ，则 ，所以 ，
中，令 ，则 ，
再令 ， ，则 ．
故选：D
二、多选题
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数 与 表示同一函数
B．函数 与 是同一函数
C．函数 的图象与直线 的图象至多有一个交点
D．函数 ，则 0
【答案】BC
【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D.
【解析】对于A： ，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：函数 与 定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确；
对于C：根据函数的定义可知，函数 的图象与直线 的图象至多有一个交点，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，
则 ，故D错误.故选：BC
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 满足： ，则以
下不正确的有（ ）
A． B． 对称轴为 C． D．
【答案】BC
【分析】变形给定等式，求出函数 的解析式，再逐项分析判断作答.
【解析】因为
，
于是 ，
可得
两式联立解得 ， ，
因此 ， ， ，AD正确；
函数 图象的对称轴为 ， ，BC错误.
故选：BC
11．（2024·全国·一模）设a为常数， ，则（ ）．
A．
B． 成立
C．
D．满足条件的 不止一个
【答案】ABC
【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.
【解析】
对A：对原式令 ，则 ，即 ，故A正确；
对B： 对原式令 ，则 ，故 ，
对原式令 ，则 ，故 非负；
对原式令 ，则 ，解得 ，
又 非负，故可得 ，故B正确；
对C：由B分析可得： ，故C正确；
对D：由B分析可得：满足条件的 只有一个，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题.
三、填空题
12．（2023·北京延庆·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
由 ，可知 ，解不等式即可.
【解析】由 ，可知 ，
解得 ，
故答案为： .
13．（2023·四川泸州·一模）若函数 对一切实数 ， 都满足 且 ，则．
【答案】
【分析】直接利用赋值法即可求得结果.
【解析】由题知， ，
令 ， ，
则 ，
所以 .
故答案为：
14．（2022·湖北武汉·三模）函数 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函
数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公
共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当 时，函数 的“囧点”坐标为 ；此时函数
的所有“囧圆”中，面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】第一空：直接求出与y轴的交点即可求解；第二空：画出函数图象，考虑 轴及 轴右侧的图象，
轴下方的函数图象显然过点 时面积最小， 轴上方的图象，设出公共点，表示出半径的平方，借
助二次函数求出最小值，再比较得出半径最小值即可求解.
【解析】第一空：由题意知： ， ， ，故与y轴的交点为 ，则“囧点”
坐标为 ；
第二空：画出函数图象如图所示：设 ， ，圆心为 ，要使“囧圆”面积最小，只需要考虑 轴及 轴右侧的图象，
当圆 过点 时，其半径为2，是和 轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆 和 轴上方且 轴右侧的函数图象有公共点 时，设 ，则点 到圆心 的距离的平
方为 ，
令 ，则 ，
当 即 时， 最小为3， ，显然在所有“囧圆”中，该圆半径最小，故面积的最小
值为 .
故答案为： ； .
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的值域；(2)求不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解函数的值域；
（2）由（1）中的分类讨论结果代入（2）中不等式，依次解出取并集即可得解.
【解析】（1）当 时， ．
当 时， ．
当 时， ，
进一步当 时， ，当 时， ．
所以 的值域为 ．
（2）当 或 时， ，解得 ．
当 时， ，即 ，解得 ．
综上，不等式 的解集为 ．
