文档文本内容
1.2 常用逻辑用语
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、充分条件与必要条件........................................................................................................3
知识点二、全称量词和存在量词........................................................................................................3
知识点三、常用二级结论....................................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................5
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................10
题型一：充分条件、必要条件的辨析与判定..................................................................................10
题型二：依托充分、必要条件求参数取值......................................................................................11
题型三：含有全称量词与存在量词命题的否定..............................................................................14
题型四：含有量词命题的真假判定..................................................................................................15
题型五：由命题真假情况求解参数..................................................................................................16
题型六：综合应用..............................................................................................................................18
05 课后拓展精练................................................................................................................................21
知识点一、充分条件与必要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作
），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
p 是q 的充分条件
p⇒q
p 是q 的必要条件
q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的必要不充分条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的既不充分也不必
要条件
p⇒q 且q⇒p
3、大小关系（设
包含的对象分别组成集合
）
①若
，则
是的充分条件
②若
，则
是的必要条件
③若
，则
是的充分不必要条件
④若
，则
是的必要不充分条件
⑤若
，则
是的充要条件
知识点二、全称量词和存在量词
1、全称量词与存在量词的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“
∃
”表示.
量词名称
常见量词
表示符
号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些
等
2、全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x ，有p(x)
成立
存在M 中一个
，有
成立
简记
，
，
否定
，
，
知识点三、常用二级结论
1、从集合与集合之间的关系上看
设
．
（1）若
，则是的充分条件（
），是的必要条件；若
，则是的充分不必要
条件，是的必要不充分条件，即
且
；
简记：“小
大”．
（2）若
，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若
，则与互为充要条件．
1．（2025 年高考北京卷数学真题）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；
取
，
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025 年高考天津卷数学真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
，则“
”是“
”的充分条件；
又当
时，
，可知
，
故“
”不是“
”的必要条件，
综上可知，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024 年北京高考数学真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的
（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
5．（2024 年天津高考数学真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
6．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
7．（2023 年北京高考数学真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
8．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
9．（2023 年天津高考数学真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
10．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
题型一：充分条件、必要条件的辨析与判定
【解题妙招】
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据
，
是否成立进行判断.
(2)集合法：根据
，成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否
成立为止.
例1．（2026·天津北辰·二模）已知m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，若
，
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由
，
，若
，则
与
可能平行也可能相交；
由
，
，若
，则
与
可能平行、可能异面也可能相交；
故“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
例2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】C
【解析】对于选项A：当
，
时，
，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当
，
时，平面
，
可以平行，所以本选项不符合题意；
对于选项C：当
，
时，由面面垂直的判定定理可得
，所以本选项符合题意；
对于选项D：当
，
，
时，根据线面垂直的判定定理，由
不一定能推出
，
所以本选项不符合题意.
例3．（2026·山东东营·二模）“
，使得
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，
，满足
；
当
时，因为
，使得
，所以
共线，即
；
综上，由
，使得
，可得
，即充分性满足；
当
时，若
，则不存在
，使得
，故必要性不满足；
所以“
，使得
”是“
”的充分不必要条件.
变式1．（2026·高三·广东揭阳·阶段检测）设
为实数，甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】充分性：若甲（
）成立，乙（
）不一定成立.
如
，
，此时
，但
，所以甲不是乙的充分条件.
必要性：若乙（
）成立，甲（
）不一定成立.
如
，
，此时
，但
，所以甲不是乙的必要条件.
综上，甲是乙的既不充分也不必要条件.
变式2．（2026·天津南开·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由
，
因
当且仅当
，即
时取等，
显然
不能全都为0，故
，则由
可得
；
反之，当
时，必有
成立.
故得“
”是“
”的充要条件.
题型二：依托充分、必要条件求参数取值
【解题妙招】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之
间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
例4．（2026·北京昌平·二模）设
，函数
有最大值的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时：
，当
时，
单调递减，
；当
时，
，无最大值.
当
时：
时，
单调递增，当
时，
，无最大值.
当
时：
时，
单调递减，故
；
时，
，开口向下，对称轴为
.
若
时，即
时，
在
上的最大值为
，
则
，解得
；
若
时，即
时，
在
上单调递增，最大值为
，
则
即
，因为
，
，不等式无解，函数此时无最大值；
综上
有最大值的充要条件为
.
因为
，
所以
有最大值的一个充分不必要条件是
.
例5．已知条件
：
，条件
：
，若
是
的充分不必要条件，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，根据指数函数单调性可得
，即
.
方程
的两根为
和
.
不等式
的解集为：
当
时，解集为
；
当
时，解集为空集；
当
时，解集为
.
因为
是
的充分不必要条件，所以
是
解集的真子集，仅当
解集为
时满足条件.
因此满足
且
，解得
，即
的取值范围为
.
例6．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】非空集合
，
是
的充分不必要条件，则有集合
是集合
的真子集，所以
，
即实数
的取值范围为
.
变式3． “
，
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若
，
恒成立，则
，故
，
解得
．
要求充分不必要条件，即求
的真子集，
观察选项可知，C 选项满足题意．
故选：C．
变式4．（2026·重庆·模拟预测）已知
：
，
：
，若
是
的既不充分又不必要条件，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解
，得
，
因为
是
的既不充分又不必要条件，所以
和
互不包含，
所以
，所以
的取值范围是
.
题型三：含有全称量词与存在量词命题的否定
【解题妙招】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
例7．（2026·江苏·模拟预测）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】命题“
，
”的否定为“
，
”.
例8．（2026·重庆江北·模拟预测）已知命题
，则命题p 的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】由全称命题的否定知，命题p 的否定为：
，
.
例9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“
，
”的否定为
，
.
变式5．（2026·天津和平·二模）命题“
，
，使得
”的否定是（ ）
A．
，
，使得
B．
，
，使得
C．
，
，使得
D．
，
，使得
【答案】C
【解析】命题“
，
，使得
”的否定是“
，
，使得
”.
变式6．（2026·陕西咸阳·三模）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，
故“
”的否定为：
.
题型四：含有量词命题的真假判定
【解题妙招】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
例10．（2026·湖北黄冈·二模）已知命题
：
，有
，命题
：
，使得
，则
（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题
，取
，得
，所以命题
不正确，所以
是真命题；
对于命题
，取
，得
，所以命题
正确.
综上所述，
和
都是真命题.
例11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【解析】令
，则
显然成立，
是真命题，
是假命题，
当
时，
，故命题
是假命题，
是真命题．
例12．（2026·广西崇左·二模）已知命题
：
，
，命题
：
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】由
，得
，即
，解得
.
方法二：由
，得
或
.
解得
.
所以
是假命题，
是真命题.
当
时，
显然成立，所以
是真命题，
是假命题.
变式7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题
，
；命题
，
.则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】因为当
时，
，所以命题
为假命题，所以
是真命题，
因为当
时，
，所以q 是真命题，所以
是假命题.
变式8．（2026·高三·河南周口·期末）设命题
：
，
，命题
：
，
，则
（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题
，
，
，则
为真命题，
为假命题；
对于命题
，由于
，
则方程无实数解，则
为假命题，
为真命题.
故选：B
题型五：由命题真假情况求解参数
【解题妙招】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
例13．命题p：
，
为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若命题p：
，
为真命题，则
，解得
，
所以当命题p：
，
为假命题时，
．
故选：B．
例14．若命题“
，
”为假命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为命题“
，
”为假命题，
所以命题“
，
”为真命题，
则
，解得
，
即
的取值范围是
．
例15．已知命题
，
，命题
，
.若
，
都是真命题，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【解析】对于命题
，
的否定为
，
，
因为命题
为真命题，则
，
恒成立，故只需
，
因为
在
单调递减，故
在
的最小值为，所以
；
因为命题
是真命题，则
，即
，解得
或
，
综上，
，
都是真命题，实数
的取值范围是
或
.
故选：A
变式9．若命题“存在
，使
”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题“存在
，使
”是假命题，则
，
恒成立，
因此
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：D
变式10．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“
”为假命题，则实数
x 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】命题“
”为假命题，其否定为真命题，
即“
”为真命题．
令
，
则
，即
，
解得
，所以实数x 的取值范围为
.
故选：C
题型六：综合应用
【解题妙招】
解题常用等价转化、举反例、数形结合法，遇到参数问题，常结合恒成立、存在性问题求解，同时注
意命题否定与否命题的区别，规避概念混淆类易错点。
例16．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“
”是假命题，则
的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】由于“
”是假命题，则有
对任意
恒成立，
由于
时，
，因此
，
又因为当
时，
，且
在
内可无限趋近
，为满足
恒成立，
故
的取值范围是
.
例17．关于曲线
，给出下列四个结论：
①曲线
既关于原点对称，又关于直线
对称；
②曲线
是封闭图形，且该封闭图形的面积大于
；
③曲线
不是封闭图形，且它与圆
有公共点；
④曲线
与曲线
恰有四个公共点，且这四点恰为某正方形的四个顶点.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③
【解析】若点
在曲线
上，则满足
，将点
代入得
，故
曲线
关于原点对称；
点
关于直线
的对称点是
，代入得
，故曲线
关于直线
对称；①正确；
因为
，所以
，所以
，故曲线
是无界的，不是封闭图形，②错
误；
联立曲线
与圆的方程可得
，化简得
，解得
，对应的
，
所以曲线
与圆有公共点，③正确；
联立曲线
与曲线
的方程得
，化简得
，解得
，
所以
，对应的
，所以曲线
与曲线
恰有四个公共点，坐标为
.
由于
，所以
，
所以这四个公共点不是正方形的四个顶点，④错误；
故答案为：①③.
例18．（2026·高三·全国·一轮复习）设
，命题
的充要条件是
_________________．
【答案】
【解析】由
，得
，
两边同乘2，得
，
拆分并组合得
，
即
.
因实数的平方非负，故
，
，
，
解得
.
故答案为：
.
变式11．已知使关于
的不等式
成立的一个充分不必要条件是
，则实数
的取值
范围是_____．
【答案】
【解析】由题意，
是不等式
成立的一个充分不必要条件，
所以
为不等式
解集的真子集，
当
时，不等式
解集为
，
因为
是
的真子集，所以满足题意；
当
时，不等式
解集为
，
因为
是
的真子集，所以满足题意；
当
时，不等式
解集为
，
要使
是
的真子集，只需
，
综上，实数
的取值范围是
.
故答案为：
变式12．（2026·高三·重庆渝北·阶段检测）已知
，且“对任意的
，以1，2，
为边长的
三条线段不能构成三角形”是假命题，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，“存在
，使得以1，2，
为边长的三条线段能构成三角形”是真命题，
则
，即
，则
，
而
，所以
，
则
的取值范围是
.
故答案为：
.
1．（2026·北京顺义·三模）已知函数
的定义域为
，则“函数
为奇函数”是“存在
，使
得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数
为奇函数，则
，都有
，故充分性成立；
若
，f (x)=¿，则有f (1)=1=- f (- 1)，
但
不为奇函数，故必要性不成立，
故“函数
为奇函数”是“存在
，使得
”的充分不必要条件.
2．（2026·甘肃金昌·模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，又
，得
，
则
，
所以“
”是“
”的充分条件；
若
，且
，则
，所以
，
若
，则
，可得
，
若
，则
，可得
.
故“
”不是“
”的必要条件．
故“
”是“
”的充分不必要条件．
3．（2026·江西南昌·模拟预测）已知
，若
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，因为
，则
，解得
，
所以可以由
推出
，但
不能推出
，故
是
的充分不必要条件.
4．（2026·福建福州·三模）记
为等比数列
的前
项和，设甲：
为等差数列，乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】设等比数列
的公比为
，首项为
.
甲：
，
，
.
因为
为等差数列，所以
，即
，
整理得
，即
，所以
.
乙：
，
，
.
因为
为等差数列，所以
，即
，
整理得
，即
，解得
或
.
所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件；
综上，甲是乙的充分不必要条件.
5．（2026·重庆·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，所以
，解得
，
由
，
因为
是
的真子集，
所以
是
成立的充分不必要条件.
6．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】命题“
，
”的否定是：“
，
”
7．（2026·甘肃白银·三模）“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数
，函数
的单调递增区间是
，
由函数
在
上单调递增，得
，则
，因此
，
所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分不必要条件.
8．（2026·高三·上海·阶段检测）如果函数
的定义域为R，且满足对任意的
，
均有
，则称这样的函数
具有“性质P”.有如下两个命题：
命题α：若函数
具有“性质P”，且
，则
；
命题β：“函数
对任意的
，
，均有
”是“
具有性质P”的
充要条件．
关于两个命题的真假判断正确的是（ ）
A．
真
真
B．
真
假
C．
假
真
D．
假
假
【答案】D
【解析】所以对任意实数
和整数
，
，
因为
，则：
，
所以
，因此命题
为假，
若
具有性质
，令
，则
，
又因为
，所以
，
因此：
，
两边取绝对值得
，必要性成立，
满足对任意
，
，则
，
无法保证符号始终为正，也就无法推出可加性
，
构造符号函数
，使得对任意
，
始终满足
，同时存在
使得：
，
即
满足
对任意
a,b 成立，但不满足性质
，
因此，由
无法推出
具有性质
，
充分性不成立，命题
为假命题.
9．（多选题）（多选）已知函数
，则
的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】
即为
，故
或
.
设
，则充分不必要条件对应的集合应为
的真子集，
4 个选项中只有BD 对应的集合为
的真子集.
10．（多选题）（2026·江西九江·模拟预测）已知函数f (x)=A sin (ωx +φ)( A >0, ω>0)，则下列条件中
是“
为奇函数”的充要条件的有（ ）
A．φ =k π (k ∈Z)
B．
的图象关于原点对称
C．
，使得
D．
【答案】ABD
【解析】
为奇函数，则
，都有
，所以C 错误；
即A sin(- ωx +φ)=- A sin(ωx +φ)，化简得2sin φcosωx =0对
恒成立，
所以
，即φ =k π ,k ∈Z，
反之，当φ =k π ,k ∈Z时，f ( x)=A sin(ωx +k π ),k ∈Z，
当
是偶数时，f ( x)=A sin ωx为奇函数，
当
是奇数时，f ( x)=- A sin ωx为奇函数，
所以φ =k π ,k ∈Z ⇒f ( x)为奇函数，A 正确；
奇函数的图像关于原点对称，B 正确；
因为f (0)=A sin φ =A sin k π =0，所以
为奇函数⇒f (0)=0，
若
，则A sin φ =0⇒sin φ =0⇒φ =k π ,k ∈Z，由A 选项可知，则φ =k π ,k ∈Z ⇒f ( x)为奇函
数，D 正确.
11．（多选题）（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ABC
【解析】A:
，则
，设
，对勾函数
在
递减，最小值为
，不
是
，A 错误.
B:
时，
，
，应为
，不是
，B 错误.
C:
时，
可能为负，不满足基本不等式“正”条件，不能用
，C 错误.
D: 因为
，
，不等式两边均为正数，对两边同时平方，只需证明
.
整理得
，交叉相乘得
.
由基本不等式可知
，
.
则
.
计算右侧得
，即
成立.
所以原不等式成立，当且仅当
时取等号.
12．（2026·高三·全国·一轮复习）若集合
，
，其中
为实数．
（1）若
是
的充要条件，则
________；
（2）若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是：________.
【答案】
/
【解析】（1）由已知可得
，
当
时，
，与
矛盾，
当
，
，与
矛盾，
当
时，
，
结合
可得
，解得
；
（2）因为
是
的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
所以
，
，得
，
故
的取值范围是
.
13．（2026·高三·全国·一轮复习）已知命题
，若
为真命题，则实数
的取值范围
是________．
【答案】
【解析】若
为真命题，等价于
，
，当且仅当
时，等号成立，
，即
，
可得
，故实数
的取值范围是
．
14．已知
：
，
：
，若
是
成立的充分不必要条件，则实数
的取值范
围是_____
【答案】
【解析】由
，得
或
.
由题意得
．
所以
，或
，即
或
．
15．已知p：
，q：(x - a)(x - a- 1)>0，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围
是______．
【答案】(- ∞,- 3)∪(10,+∞)
【解析】由(x - a)(x - a- 1)>0，得
或
，
因为
是
成立的充分不必要条件，
所以¿是
或
的真子集，
所以
或
，即
或
，
则实数a 的取值范围是(- ∞,- 3)∪(10,+∞).
16．已知集合
，
．若“
”是“
”的充分条件，
则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数
，
因为
，可得
，所以
，
由不等式
，可得
，所以集合
．
又因为“
”是“
”的充分条件，可得
，
则满足
，即
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
．
