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1.4 基本不等式
1.基本不等式:❑√ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b 时取等号.
(3)其中a+b
2 叫做正数a,b 的算术平均数,❑√ab叫做正数a,b 的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号.
(2)ab≤(
a+b
2 )
2(a,b∈R),当且仅当a=b 时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y 都是正数,如果积xy 等于定值P,那么当x=y 时,和x+y 有最小值2❑√P.
(2)已知x,y 都是正数,如果和x+y 等于定值S,那么当x=y 时,积xy 有最大值1
4S2.
(3).若a>0,b>0,则
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2 ≤❑√
a
2+b
2
2
.其中
2
1
a + 1
b
和❑√
a
2+b
2
2
分别叫做a,b 的调和平均数和平方
平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
考点一 直接利用基本不等式求最值
考点二 利用配凑法求最值
考点三 利用常数代换法求最值
考点四 利用消元法求最值
考点五 利用齐次化法求最值
考点六 利用对勾函数求最值
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
考点八 利用基本不等式解决实际问题
考点一 直接利用基本不等式求最值
1．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·月考）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·天津河西·一模）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
4．（2026·浙江宁波·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·上海崇明·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________．
考点二 利用配凑法求最值
6．（2026·北京海淀·二模）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
7．（25-26 高三上·山东烟台·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一上·重庆·月考）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．（2026 高三上·山东枣庄·月考）已知
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点三 利用常数代换法求最值
10．（2026·天津南开·二模）已知
时，
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______.
12．（2026·天津红桥·一模）已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
13．（2026·陕西商洛·二模）已知正数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
14．（2026·山西临汾·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．4
D．3
15．（2026·广东清远·二模）已知实数
，且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．
D．
考点四 利用消元法求最值
16．（2026·广东江门·二模）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
17．（2026·福建南平·二模）若
，
，且
，则
的最小值为________.
18．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n 满足
，则
的最小值为________．
19．（25-26 高三上·云南·月考）若非零实数a，b 满足
，则
的最小值为_____.
20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．7
B．9
C．10
D．12
考点五 利用齐次化法求最值
21．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
22．（25-26 高三上·上海·月考）若对
恒有
，则
的取值范围是_____
23．（25-26 高三上·江西·月考）已知
，则
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．5
D．8
考点六 利用对勾函数求最值
24．（25-26 高三上·广东广州·月考）（多选）下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（25-26 高三上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（ ）．
①
；
②函数
的最小值为4；
③若
，则
最大值为1；
④已知
时，
，当且仅当
，即
时，
取得最小值8．
A．0
B．1
C．2
D．3
26．（25-26 高三上·山东潍坊·月考）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
27．（24-25 高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小值为
B．函数
的最小值为
C．函数
的最大值为
D．函数
的最小值为
28．（25-26 高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为12
D．
的最小值为
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
29．（25-26 高三上·广东·月考）已知
，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（25-26 高三上·山东日照·月考）若正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数m 的
取值范围是________．
31．（25-26 高三上·山东·期中）已知
，
为正实数，且
，若不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（25-26 高三上·天津南开·期中）已知
，
，若不等式
恒成立，则
的最大值为
（ ）.
A．
B．
C．1
D．
33．（25-26 高三上·云南玉溪·期中）已知
，
，且
若关于
，
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 利用基本不等式解决实际问题
34．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形
ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在
四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（25-26 高三上·上海静安·月考）甲乙两地的高速公路全长166 千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶
到乙地，车速
（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：
可变部分为
，固定部分为220 元．
(1)若每小时的运输成本不高于420 元，汽车的速度应该控制在什么范围？
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）
36．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，且背
面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建
墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他报价共计9600 元.设
劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左面墙的长
度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
37．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图
为一个串联电路图，电源电压为
，定值电阻
的阻值为
，滑动变阻器
的阻值范围是
到
，已知纯电
阻电路下图的一个功率公式为
，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则
的功率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）设
且
，
且
，若
，则
的最小值是
（ ）
A．3
B．
C．9
D．18
2．（2026·河南开封·模拟预测）若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
3．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三下·山东·月考）若直线
过点
，则
的最小值为（）
A．7
B．
C．6
D．
5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数
，
满足
.若不等式
恒成立，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若
，则
的值可能是（ ）
A．0
B．
C．2
D．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知
，
，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．ab 的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为4
10．（25-26 高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
的最小值为1
B．
的最小值为2
C．
的最小值为4
D．
的最小值为4
11．（2026·北京昌平·一模）当
时，函数
的最小值为_____．
12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，且
在
上恒成立，则实数
的
最小值为___________．
13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最小值为_____.
14．（2026·陕西咸阳·三模）已知
，且
，则
的最小值为______．
15．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
且
，若对任意的
，不等式
恒成立，
则
的最小值为_______.
