文档文本内容
2.1 基本不等式（讲义）
目录
1
知识点01 基本不等式................................................................................2
2
知识点02 均值定理....................................................................................3
3
题型一、直接法求和的最小值（积为定值）.........................................3
4
题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）.........................................5
5
题型三、直接法求积的最大值（和为定值）.........................................6
6
题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）.........................................8
7
题型五、“1”的替换...............................................................................9
8
题型六、换元法求最值...........................................................................10
1 知识点01 基本不等式
(1)
基本不等式1：若a，b∈R，则a
2+b
2≥2ab，当且仅当
a=b时取等号；
(2)
基本不等式2：若a>0，b>0，则a+b
2
≥❑√ab（或a+b≥2❑√ab）
当且仅当a=b时取等号。
注意：基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”
①“一正”指正数：即a>0，b>0
②“二定”指积为定值或者和为定值（定值指的是常数）
③“三相等”指等号成立的条件：a=b时取等号
(3)
如果a>0，b>0，那么❑√ab≤a+b
2 ，当且仅当a=b时，等号成立．
其中，a+b
2 叫作a，b的算术平均数，❑√ab叫作a，b的几何平均数．即
正数a，b的算术平均数≥几何平均数。
(4)
常考的不等式及其变形
①a>0时，a+ 1
a ≥2
②a>0，b>0时，a
b + b
a ≥2
③a
2+b
2≥(a+b)
2
2
（沟通两和a+b与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
④ab≤a
2+b
2
2
（沟通两积ab与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
⑤ab≤(
a+b
2 )
2
（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
⑥不等式链：
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0，b>0)
即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条
件）．
2 知识点02 均值定理
已知x>0，y >0
（1）积定和最小：如果xy = P（定值），则x + y ≥2❑√xy =2❑√P（当且仅当
“x = y”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”
（2）和定积最大：如果x + y = S（定值），则xy ≤(
x + y
2 )
2
= S
2
4 （当且仅当
“x = y”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”
模型一：ax + b
x ≥2❑√ab(a>0,b>0)，当且仅当x = ❑√
b
a时等号成立.
模
型
二
：
x(n-mx)= mx(n-mx)
m
≤1
m ⋅（mx +n-mx
2
)
2= n
2
4 m (m>0,n>0,0< x< n
m )，当且仅
当x = n
2m时等号成立．
模型三：mx +
n
x -b =m( x -b)+
n
x -b +mb≥2❑√mn+mb(m>0,n>0)，当且仅当
x -b= ❑√
n
m时等号成立.
模型四：
x
a x
2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2❑√ac +b (a>0,c>0)，当且仅当x = ❑√
c
a时
等号成立.
3 题型一、直接法求和的最小值（积为定值）
1．若x>0,则x + 9
x 有（ ）
A．最小值6
B．最小值8
C．最大值8D．最大值3
2．如果m>0，那么当m+ 16
m 取得最小值时m 的值为（ ）
A．－4
B．4
C．8
D．16
3．已知a>0，那么a+ 4
a的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
4．已知x>0，则x + 1
x 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．已知a 为实数，则“a+ 1
a ≥2”是“0<a≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若x>0，则x + 2
x 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．2❑√2
D．4
7．若x>0，则y =2 x + 2
x 的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．4
D．2
8．若x>0，则y =2 x + 2
x 的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√2
C．4
D．2
9．若x>0，则x + 1
x 的最小值为（ ）
A．-2
B．-2❑√2
C．- 3
2
D．2
10．已知x>0，则x + 9
x 的最小值是（ ）
A．3
B．2❑√6
C．6
D．0
11．函数y =3 x + 1
x
(x>0)的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．3 ❑√2
D．2❑√3
12．已知x>0，那么函数y = x + 1
x 有（ ）
A．最大值2
B．最小值2
C．最小值4
D．最大值4
13．已知x>0，则25 x + 4
x 的最小值为（ ）
A．50
B．40
C．20
D．10
14．已知实数a>0，则a+ 2
a +3的最小值是（ ）
A．3 ❑√2+3 B．2❑√2+3
C．6
D．5
15．已知x>0，则x -1+ 4
x 的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．3
D．2
16．已知a>0，则a+1+ 4
a的最小值为（ ）
A．-1
B．3
C．4
D．5
17．已知a>0，则a+ 1
a +1的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
18．设a>0，则a+ a+ 4
a 的最小值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5
19．已知x>0，则x + 4
x +1的最小值为（ ）
A．❑√2+1
B．2❑√2+1
C．4
D．5
20．如果x>0，那么4 x + 1
x +1的最小值是（ ）
A．4
B．1
4
C．5
D．1
2
21．若x>0，则x + 4
x -2有（ ）
A．最小值1
B．最小值2
C．最大值1
D．最大值2
4 题型二、配凑法求和的最小值（积为定值）
1．函数f ( x)= x +
1
x -1 ( x>1)的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
2．若x>1，则函数y =2 x +
8
x -1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
3．已知a≥0，则a+ 16
a+ 4 的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．已知x>1，则2-（3 x +
4
x -1 ）的最大值是（ ）
A．- 4 ❑√3+1
B．- 4 ❑√3-1
C．-1-2❑√3
D．1-2❑√3
5．已知x>- 4，则2 x +
1
x + 4的最小值为（ ）
A．2❑√2-8
B．2❑√2+8
C．2❑√2
D．2❑√2+ 4
6．已知a>1，则a+
4
a-1的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．5
D．4
7．已知x>4，则函数y =
1
x - 4 + 4 x的最小值是（ ）
A．8
B．12
C．16
D．20
8．若x∈R且x<1，则4 x +
1
x -1的最大值为（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．8
9．已知x>7，则x +
1
x -7的最小值为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．10
10．已知x>3，则x +
2
x -3的最小值为（ ）
A．2❑√2+3 B．2❑√2-3
C．2❑√2
D．4
11．已知a>1，则2a+
1
2a-2的最小值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
12．设x>0,则y =3-（3 x + 1
x ）的最大值为（ ）
A．3
B．3-3❑√2
C．3-2❑√3
D．-1
13．将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ）
A．7
B．4 ❑√3
C．3 ❑√3
D．2❑√3
5 题型三、直接法求积的最大值（和为定值）
1．若x>0，y >0，且x + 4 y =1，则xy的最大值是（ ）
A．1
32
B．1
16
C．1
4
D．1
2
2．已知a，b为正实数，2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．1
4
B．1
9
C．1
12
D．1
8
3．若正实数x、y满足x + y =2，则1
xy 的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．设x , y >0且x +2 y = 40，则2 xy的最大值是（ ）
A．400
B．100
C．40
D．20
5．若a>0,b>0且2a+b=1，则1
ab的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．下列函数的最值中错误的是（ ）
A．x + 1
x 的最小值为2
B．已知x>0，2-3 x - 4
x 的最大值是2- 4 ❑√3
C．已知x>1，x +
1
x -1的最小值为3
D．❑√x (10- x)的最大值5
7．已知a>0,b>0，a+2b= 4，则ab的最大值是（ ）
A．4
B．1
4
C．2
D．1
2
8．已知4 a
2+b
2=6，则ab的最大值为（ ）
A．3
4
B．3
2
C．5
2
D．3
9．已知m>0，n>0，若m+n=2，则（ ）
A．mn 的最大值为1
B．mn 的最大值为2
C．mn 的最小值为1
D．mn 的最小值为2
10．已知x>0, y >0,2 x + y =1，则xy的最大值是（ ）
A．2
25
B．1
12
C．1
9
D．1
8
11．已知x , y都为正数，且2 x + y =1，则2 xy的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．1
16
D．2
9
12．已知a>0，b>0，a+b= 4，则ab的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．不存在
6 题型四、配凑发求积的最大值（和为定值）
1．若0< x< 1
2，则❑√x (1-2 x)的最大值是（ ）
A．1
4
B．
❑√2
4
C．1
2
D．
❑√2
2
2．若0< x<8，则❑√x (8- x)的最大值是（ ）
A．2❑√2
B．4
C．8
D．16
3．已知0< x<1，则2 x(3-3 x)的最大值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．3
2
D．3
4
4．已知0< x< 2
3，则x (2-3 x)的最大值是（ ）
A．1
3
B．1
4
C．2
9
D．1
6
5．已知0< x<2，则3 x (2- x)的最大值是（ ）
A．-3
B．3
C．1
D．6
6．已知10> x>0，则2- ❑√x (10- x)的最小值为（ ）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0
7．函数y = ❑√x (10- x)(0≤x ≤10)的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
8．已知x>1，y >0，x + y =2，则(x -1)⋅y的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．4
9
D．1
9．❑√
❑√x(2- ❑√x)的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．已知0< x< 1
2，求y = 1
2 x (1-2 x)的最大值为（ ）
A．1
16
B．1
8
C．1
4
D．1
2
11．若0< x< 1
2，则x(1-2 x)的最大值是（ ）
A．1
8
B．1
16
C．- 1
8
D．- 1
4
12．若1≤x ≤4，则❑√(6- x)(x +2)的最大值为（ ）
A．4
B．❑√15
C．2❑√3
D．2
13．已知0<a<❑√2，则a
❑√2-a
2的最大值为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．1
D．❑√2
14．已知0< x< 1
3，则函数y = x(1-3 x)的最大值为（ ）
A．1
12
B．1
4
C．1
3
D．1
2
15．已知0< x<2，求❑√
x(1- x
2)
的最大值为（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．1
4
D．
❑√2
4
7 题型五、“1”的替换
1．若正数x、y满足x + y =1，则1
x + 1
y 的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知实数a>0,b>0，且a+b=1，则1
2b + 2
a - 1
2的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．2❑√2
D．2
3．已知m>0,n>0,2m+n=1，则1
4 m + 2
n的最小值为（ ）
A．4
B．2❑√2
C．9
2
D．16
4．已知任意正实数x，y 满足1
x + 4
y =1，则x + y
2 的最小值是（ ）
A．3+2❑√2
B．4 ❑√2
C．5
D．3+ ❑√2
5．已知正实数x , y满足3 x + y =2 xy，则x +3 y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．设x>0，y >0，1
x +2 y =2，则2 x + 1
y 的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．4
C．3 ❑√2
D．6
7．已知x∈(0,5)，则1
x + 16
5- x 的最小值为（ ）
A．25
B．6
C．10
D．5
8．已知x>0, y >0, x +2 y =1，则1- y
xy 的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．6
C．4+2❑√2
D．3+2❑√2
9．设a>0，b>0，若a+b= 4，则9
a + 1
b的最小值为（ ）
A．4
B．9
4
C．25
4
D．8
10．已知m>0，n>0，且m+n=mn，则4 m+n的最小值为（ ）．
A．9
B．8
C．6
D．5
11．已知正数x , y，满足1
x + 2
y =1，则2 x + y的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
12．已知x>0, y >0, x + y =1，则1
x + x
y 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．1
D．3
13．已知正数a，b，满足a+b=1，则9a+b
ab
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．16
D．25
14．已知a>b>0且a
2 + 3b
2 =1，则1
a + 1
b的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．2+ ❑√3
D．4+2❑√3
15．已知实数x>0, y >0，且2 x + y =1，则1
x + 2
y 的最小值为（ ）
A．4+ 4 ❑√2B．8 ❑√2
C．8
D．12
8 题型六、换元法求最值
1．若x>-1，则2 x
2+ 4 x + 4
x +1
的最小值为
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若x⩾7
2，则f ( x)= x
2-6 x +10
x -3
有（ ）
A．最大值5
2
B．最小值5
2
C．最大值2D．最小值2
3．若函数f (x)= x
2-2 x + 4
x -2
(x>2)在x =a处取最小值，则a=（ ）
A．1+ ❑√5
B．2
C．4
D．6
4．函数y = x
2+3 x +3
x +1
( x<-1)的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1
5．函数f ( x)= x
2+ x +1
x -1
（x>1）的最小值为（ ）
A．2❑√3
B．3+2❑√3
C．2+2❑√2
D．5
6．若-1< x<1 ，则y = x
2-2 x +2
2 x -2
有（ ）
A．最大值-1
B．最小值-1
C．最大值1
D．最小值1
7．已知正实数x，则y =-2 x
2+ x - 4
x
的最大值是（ ）
A．1
B．4 ❑√2
C．- 4 ❑√2
D．1- 4 ❑√2
8．函数 f ( x)= x
2-5 x +3
x +1
( x⩾0) 的最小值是（ ）
A．-1
B．3
C．6
D．12
9．函数y = x
2+ x -5
x -2
( x>2) 的最小值为 ．
10．若x>0，则2 x
2-3 x +1
x
的最小值是 .
11．函数f (x)= x
2+8
x -1 ( x>1)的最小值为 ．
12．函数f ( x )=
3 x -3
2 x
2- x +1在(1,+∞)上的最大值为 ．
13．函数y = x
2+ x +3
x -2
(x>2)的最小值为 ．
14．若x>-1，则2 x
2+ 4 x + 4
x +1
的最小值为 .
