1
高中数学《圆锥曲线》
知识点+题型归纳全集
3.1 椭圆及其标准方程....................................................................................6
模块一：基础知识..............................................................................................................................................6
考点一：椭圆的定义..................................................................................................................................6
考点二：椭圆的标准方程..........................................................................................................................6
考点三：椭圆的标准方程推导..................................................................................................................6
考点四：椭圆方程的求解..........................................................................................................................7
考点五：椭圆的焦点三角形......................................................................................................................7
考点六：点与椭圆的位置关系..................................................................................................................8
模块二：题型分类..............................................................................................................................................8
题型一：椭圆定义及其辨析......................................................................................................................8
题型二：求椭圆标准方程..........................................................................................................................9
题型三：椭圆标准方程求参数值或范围............................................................................................... 11
题型四：点与椭圆的位置关系................................................................................................................13
题型五：椭圆焦点三角形周长与面积问题........................................................................................... 13
题型六：焦点三角形与其他问题综合....................................................................................................14
题型七：椭圆中线段及其和差最值问题............................................................................................... 16
题型八：椭圆中轨迹方程问题................................................................................................................18
模块三：综合巩固............................................................................................................................................20
3.2 椭圆的简单几何性质............................................................................... 26
模块一：基础知识............................................................................................................................................26
考点一：椭圆的简单几何性质................................................................................................................26
考点二：直线与椭圆的位置关系............................................................................................................26
考点三：椭圆的中点弦问题....................................................................................................................27
模块二：题型分类............................................................................................................................................28
题型一：由椭圆方程求研究几何性质....................................................................................................28
题型二：利用几何性质求椭圆方程........................................................................................................30
题型三：求椭圆的离心率........................................................................................................................32
题型四：离心率取值范围........................................................................................................................34
题型五：直线与椭圆的位置关系............................................................................................................36
题型六：直线与椭圆相交弦长................................................................................................................38
题型七：椭圆的中点弦问题....................................................................................................................40
题型八：椭圆的实际应用........................................................................................................................42
题型九：椭圆的综合应用........................................................................................................................45
模块三：综合巩固............................................................................................................................................47
3.3 双曲线及其标准方程............................................................................... 53
模块一：基础知识............................................................................................................................................53
2
考点一：双曲线的定义............................................................................................................................53
考点二：双曲线的标准方程....................................................................................................................53
考点三：双曲线方程的求解....................................................................................................................54
考点四：由双曲线标准方程求参数范围............................................................................................... 54
考点五：双曲线的焦点三角形................................................................................................................54
模块二：题型分类............................................................................................................................................54
题型一：双曲线的定义及辨析................................................................................................................54
题型二：双曲线的标准方程的求解........................................................................................................57
题型三：双曲线轨迹方程........................................................................................................................59
题型四：由双曲线的方程求参数............................................................................................................62
题型五：根据方程表示双曲线求参数范围........................................................................................... 62
题型六：求双曲线焦点三角形周长与面积........................................................................................... 64
题型七：利用焦点三角形求其他量........................................................................................................65
题型八：利用双曲线定义求线段和差最值问题................................................................................... 66
模块三：综合巩固............................................................................................................................................68
3.4 双曲线的简单几何性质.............................................................................75
模块一：基础知识............................................................................................................................................75
考点一：双曲线的几何性质....................................................................................................................75
考点二：等轴双曲线与共轭双曲线........................................................................................................76
考点三：直线与双曲线的位置关系........................................................................................................76
模块二：题型分类............................................................................................................................................77
题型一：双曲线的几何性质....................................................................................................................77
题型二：由双曲线几何性质求标准方程............................................................................................... 79
题型三：求双曲线离心率的值................................................................................................................81
题型四：双曲线离心率范围问题............................................................................................................83
题型五：双曲线渐进线相关问题............................................................................................................85
题型六：直线与双曲线的位置关系........................................................................................................86
题型七：直线与双曲线的交点及弦长....................................................................................................88
题型八：双曲线的“中点弦”问题........................................................................................................90
题型九：双曲线的实际应用....................................................................................................................92
题型十：双曲线的综合问题....................................................................................................................95
模块三：综合巩固............................................................................................................................................98
3.5 抛物线及其标准方程..............................................................................104
模块一：基础知识..........................................................................................................................................104
考点一：抛物线的定义..........................................................................................................................104
考点二：抛物线的标准方程..................................................................................................................104
考点三：解题技巧与方法......................................................................................................................105
模块二：题型分类..........................................................................................................................................105
题型一：抛物线方程简单应用..............................................................................................................105
题型二：抛物线的定义及辨析..............................................................................................................106
题型三：抛物线的轨迹问题..................................................................................................................108
题型四：抛物线标准方程求解..............................................................................................................110
题型五：抛物线相关量求解..................................................................................................................111
题型六：抛物线定义求线段及和差最值............................................................................................. 112
3
题型七：抛物线的实际应用问题..........................................................................................................114
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................119
3.6 抛物线的简单几何性质...........................................................................123
模块一：基础知识..........................................................................................................................................123
考点一：抛物线的简单几何性质..........................................................................................................123
考点二：焦半径公式..............................................................................................................................124
考点三：直线与抛物线的位置关系..................................................................................................... 124
考点四：抛物线的弦长公式..................................................................................................................124
考点五：焦点弦及二级公式..................................................................................................................125
考点六：圆锥曲线中的定点问题策略................................................................................................. 126
模块二：题型分类..........................................................................................................................................126
题型一：利用抛物线标准方程求几何性质......................................................................................... 126
题型二：由几何性质求抛物线方程..................................................................................................... 129
题型三：直线与抛物线的位置关系..................................................................................................... 130
题型四：抛物线的切线问题..................................................................................................................132
题型五：直线与抛物线交点及弦长..................................................................................................... 133
题型六：抛物线的中点弦问题..............................................................................................................134
题型七：焦半径及焦点弦应用..............................................................................................................135
题型八：与抛物线有关的范围和最值问题......................................................................................... 137
题型九：抛物线的定点问题..................................................................................................................139
题型十：抛物线的定值问题..................................................................................................................141
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................144
3.7 圆锥曲线中定点定直线问题..................................................................... 150
模块一：基础知识..........................................................................................................................................150
考点一：圆锥曲线中定点问题的思路与策略..................................................................................... 150
考点二：直线过定点问题......................................................................................................................150
考点三：圆过定点问题..........................................................................................................................150
考点四：与定点问题有关的基本结论................................................................................................. 151
考点五：定直线问题的处理方法..........................................................................................................151
模块二：题型分类..........................................................................................................................................152
题型一：椭圆中直线过定点问题..........................................................................................................152
题型二：双曲线中直线过定点问题..................................................................................................... 154
题型三：抛物线中直线过定点问题..................................................................................................... 156
题型四：圆锥曲线中动圆过定点..........................................................................................................157
题型五：椭圆中定直线问题..................................................................................................................159
题型六：双曲线中定直线问题..............................................................................................................161
题型七：抛物线中定直线问题..............................................................................................................163
题型八：圆锥曲线中定曲线问题..........................................................................................................165
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................166
3.8 圆锥曲线中定值问题..............................................................................171
模块一：基础知识..........................................................................................................................................171
考点一：定值问题解题思路与策略..................................................................................................... 171
考点二：与线段长度有关的定值问题................................................................................................. 171
4
考点三：与面积有关的定值问题..........................................................................................................171
考点四：与斜率有关的定值问题..........................................................................................................172
考点五：与向量有关的定值问题..........................................................................................................173
考点六：与代数式有关的定值问题..................................................................................................... 173
考点七：与定值有关的结论..................................................................................................................173
模块二：题型分类..........................................................................................................................................174
题型一：线段类定值..............................................................................................................................174
题型二：面积类定值..............................................................................................................................177
题型三：斜率类定值..............................................................................................................................179
题型四：向量类定值..............................................................................................................................183
题型五：代数式类定值..........................................................................................................................185
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................186
3.9 圆锥曲线中的轨迹问题...........................................................................189
模块一：基础知识..........................................................................................................................................189
考点一：轨迹与轨迹方程......................................................................................................................189
考点二：用待定系数法求圆锥曲线的方程......................................................................................... 189
考点三：定义法求曲线轨迹方程..........................................................................................................189
考点四：直接法求曲线轨迹方程..........................................................................................................190
考点五：相关点法（代入法）..............................................................................................................190
考点六：参数法......................................................................................................................................190
模块二：题型分类..........................................................................................................................................191
题型一：定义法求动点轨迹..................................................................................................................191
题型二：直接法求动点轨迹..................................................................................................................193
题型三：相关点法求动点轨迹..............................................................................................................195
题型四：参数法求动点轨迹..................................................................................................................197
题型五：交轨法求动点轨迹..................................................................................................................198
题型六：中点弦的点差法求动点轨迹................................................................................................. 201
题型七：空间中的动点轨迹..................................................................................................................202
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................203
3.10 线段、斜率、面积最值范围问题..............................................................208
模块一：题型分类..........................................................................................................................................208
题型一：两点间距离公式求线段..........................................................................................................208
题型二：利用弦长公式求距离..............................................................................................................208
题型三：利用点到直线距离公式求垂线段的长................................................................................. 209
题型四：利用函数思想求距离最值..................................................................................................... 210
题型五：利用基本不等式求线段最值................................................................................................. 212
题型六：弦长与点到直线距离求三角形面积..................................................................................... 213
题型七：割补法求三角形那个面积..................................................................................................... 213
题型八：对角线互相垂直的四边形面积的计算................................................................................. 214
题型九：利用函数性质求面积最值或范围......................................................................................... 215
题型十：利用均值不等式求面积最值或范围..................................................................................... 218
题型十一：利用斜率求解三点共线问题............................................................................................. 219
题型十二：根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质.............................................................219
题型十三：根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质.............................................................221
5
题型十四：判断或证明与斜率有关的定值与范围问题..................................................................... 222
题型十五：向量代数式的最值范围..................................................................................................... 223
题型十六：参数的最值范围..................................................................................................................224
3.11 圆锥曲线设而不求与中点弦问题..............................................................227
模块一：基础知识..........................................................................................................................................227
考点一：设而不求理解..........................................................................................................................227
考点二：椭圆双曲线的中点弦与点差法............................................................................................. 228
考点三：抛物线的中点弦与点差法..................................................................................................... 228
考点四：点差法在圆锥曲线中的结论................................................................................................. 229
模块二：题型分类..........................................................................................................................................229
题型一：斜率型设而不求......................................................................................................................229
题型二：坐标型设而不求......................................................................................................................231
题型三：椭圆的中点弦问题..................................................................................................................233
题型四：双曲线的中点弦问题..............................................................................................................235
题型五：抛物线中点弦问题..................................................................................................................236
题型六：弦中点轨迹与曲线方程..........................................................................................................238
题型七：中点弦与离心率......................................................................................................................239
题型八：直线与曲线相交中点弦长..................................................................................................... 240
题型九：曲线上两点关于直线对称..................................................................................................... 241
题型十：弦中点存在性探究问题..........................................................................................................241
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................242
3.12 圆锥曲线二级公式及应用...................................................................... 247
模块一：题型分类..........................................................................................................................................247
题型一：焦点三角形的面积公式..........................................................................................................247
题型二：圆锥曲线的切线问题..............................................................................................................250
题型三：圆锥曲线的中点弦问题..........................................................................................................252
题型四：圆锥曲线中的定值问题..........................................................................................................256
题型五：圆锥曲线中的定点问题..........................................................................................................261
题型六：圆锥曲线中的定直线问题..................................................................................................... 266
题型七：抛物线的焦点弦长公式..........................................................................................................269
题型八：抛物线中的三类直线与圆相切问题..................................................................................... 272
圆锥曲线章末复习卷（一）.......................................................................... 277
圆锥曲线章末复习卷（二）.......................................................................... 281
6
高中数学《圆锥曲线》
知识点+题型归纳全集
3.1 椭圆及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点的
1F 、
2
F 的距离之和等于常数（大于
1
2
F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定
点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距．13723366289
2.椭圆定义的集合语言表示：
1
2
1
2
2 2
0
P
M MF
MF
a a
F F
，
3.理解：椭圆轨迹：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|：三角形两边之和大于第三边
线段轨迹：|MF1|+|MF2|=|F1F2|：点M 在线段F1F2 之间，表示线段F1F2
|MF1|+|MF2|＞|F1F2|：轨迹不存在
考点二：椭圆的标准方程
椭圆
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
图形
焦点坐标
)
,0 ,
,
(
) (
0
c
c
-
)
0,
,
,
(
) (0
c
c
焦距
2c
, ,
a b c 的关系
2
2
2
a
b
c
考点三：椭圆的标准方程推导
1.建立适当的直角坐标系
以经过点
1F 、
2
F 的直线为x 轴，线段
1
2
F F 的垂直平分为y 轴建立直角坐标系xOy ，如图
2.用坐标表示线段关系
设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）.
焦点
2
1,F
F
的坐标分别是
)
0,
(
),
0,
(
c
c
，
7
又设M 与
2
1,F
F
的距离的和等于常数2a．
由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|
a
MF
MF
2
2
1
}
因为
2
2
1
|
|
(
)
MF
x
c
y
，
2
2
2
|
|
(
)
MF
x
c
y
所以
2
2
2
2
(
)
(
)
2
x
c
y
x
c
y
a
3.计算推导过程
即
2
2
2
2
(
)
2
(
)
x
c
y
a
x
c
y
两边平方得
2
2
2
2
2
2
2
(
)
4
4
(
)
(
)
x
c
y
a
a
x
c
y
x
c
y
整理得
2
2
2
(
)
a
x
c
y
a
cx
再平方并整理得
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
a
c
x
a y
a a
c
两边同除以
2
2
2
(
)
a a
c
得
2
2
2
2
2
1
x
y
a
a
c
考虑
0
a
c
,应有
2
2
0
a
c
，故设
2
2
2
b
a
c
，就有
2
2
2
2
1
x
y
a
b
．
考点四：椭圆方程的求解
1.用定义法求椭圆的标准方程：根据椭圆的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b 的值，从而确定方程（注意焦点
的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x 轴上和焦点在y 轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般
方程为
=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
考点五：椭圆的焦点三角形
1.焦点三角形的概念
设M 是椭圆上一点，
,
为椭圆的焦点，当点M,
,
不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦
点三角形，如图所示.
2.焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在
中，由余弦定理可得
.
③设
，
，则
.
8
④S△MF1F2＝1
2|MF1||MF2|·sinα，当|y0|＝b，即M 为短轴端点时，S△MF1F2 取最大值为bc.
考点六：点与椭圆的位置关系
1.根据椭圆的定义判断点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆内部；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆上；
1
2
2
MF
MF
a
点P 在椭圆外部．
2.对于点
0
0
(
,
)
P x
y
与椭圆的位置关系，有如下结论：
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆外
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆内
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
点
0
0
(
,
)
P x
y
在椭圆上
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
；
模块二：题型分类
题型一：椭圆定义及其辨析
1.若点��, �满足方程�2 + �−2 2 +
�2 + �+ 2 2 = 12，则动点M 的轨迹方程为（
）
A．
�2
36 +
�2
32 = 1
B．
�2
36 +
�2
20 = 1
C．
�2
36 +
�2
32 = 1
D．
�2
144 +
�2
16 = 1
2．方程
2
2
2
2
4
4
10
x
y
x
y
的化简结果是（
）
A．
2
2
1
5
3
x
y
B．
2
2
1
3
5
x
y
C．
2
2
1
25
9
x
y
D．
2
2
1
9
25
x
y
3．平面直角坐标系中点
,
M x y 满足
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，则点M 的轨迹为（
）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．不存在
4.已知P 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上的动点，则P 到椭圆的两个焦点的距离之和为（
）
A．3
B．4
C．2 5
D．6
5.点P 是椭圆
�2
2 + �2 = 1 上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（
）
A．2
B．2
C．2 2
D．4
6.（多选）过已知圆内一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹可能是（
）
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．射线
7．已知
4,0 ,
4,0
B
C
，且ABC
的周长等于20，求顶点A 的轨迹方程
.
8.已知B，C 是两个定点，��= 8，且△���的周长等于18．求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．
9.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
16 +
�2
5 = 1 的左、右焦点，�为�上一点，若|��1| = 3，则|��2| =（
）
A．2
B．3
C．5
D．6
9
10.已知点P 在椭圆C：
�2
25 +
�2
21 = 1 上，C 的左焦点为F，若线段��的中点在以原点O 为圆心，��为半径
的圆上，则��的值为（
）13723366289
A．5
B．6
C．7
D．8
11.（多选）下列是真命题的是（
）
A．已知定点
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
，则满足
1
2
2
PF
PF
的点P 的轨迹为椭圆
B．已知定点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，则满足
1
2
4
PF
PF
的点P 的轨迹为线段
C．到定点
1
2
,
,
,0
3
3
0
F
F
距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P 到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和等于点
5,3
M
到定点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
的距离的和，则
点P 的轨迹为椭圆
12.若�为椭圆�：
�2
12 +
�2
16 = 1 上一点，�1，�2为�的两个焦点，且��1
2 −��2
2 = 16，则��1 =（
）
A．21
B．3 2
C．
8 3
3
D．5
13．已知椭圆
2
2
:
1
16
12
x
y
C
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是椭圆C 上的动点，
1
m
PF
，
2
n
PF
，
则4m
n
mn
的最小值为（
）
A．9
8
B．5
4
C．20
3 7
9
D．20
3 7
9
14．设椭圆
2
2
1
25
16
x
y
上一点M 到左焦点
1F 的距离为3，记N 为
1
MF 的中点，O 为坐标原点，则ON
.
15.已知△���的两个顶点坐标分别是�0,6 和�0, −6 ，边AB，AC 所在直线的斜率的乘积是−
4
9，求顶点
A 的轨迹方程.
题型二：求椭圆标准方程
1.若椭圆焦点在�轴上且经过点−4,0 ，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（
）
A．
�2
16 +
�2
8 = 1
B．
�2
16 +
�2
7 = 1
C．
�2
9 +
�2
16 = 1
D．
�2
7 +
�2
16 = 1
10
2.已知�= 5, �= 2，焦点在�轴上，则椭圆的标准方程为
.
3．焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为2 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
2
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
4.焦点在x 轴上，中心为坐标原点，经过点
3
1, 2
,
0,
3
.则椭圆的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
2
3
x
y
1
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
4
x
y
1
5.过点
6, 6 且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦距的椭圆的标准方程为（
）
A．
2
2
1
8
9
x
y
B．
2
2
1
15
10
x
y
C．
2
2
1
10
15
x
y
D．
2
2
1
15
10
x
y
或
2
2
1
10
15
x
y
6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点分别是
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，椭圆上的点P 与两焦点的距离之和等于8；
(2)两个焦点分别是
1
2
(0, 4),
(0,4)
F
F
，并且椭圆经过点( 3,
5)
．
7．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
0, 2
，
0,2 ，并且椭圆经过点
3 5
,
2 2
；
(2)经过两点
2,
2
，
14
1,
2
．
11
8.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1, �2，点�在椭圆上，且满足∠�1��2 = 90°,��2
延长线交椭圆于另一点�，��2 = 2 �2�= 2，则椭圆的方程为（
）
A．
�2
9 + �2 = 1
B．
�2
5 + �2 = 1
C．
�2
9 +
�2
4 = 1
D．
�2
18 +
�2
2 = 1
9.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1，�2，P 为椭圆C 上一点，��1 的最小值为1，
且△��1�2的周长为34，则椭圆C 的标准方程为（
）
A．
�2
81 +
�2
64 = 1
B．
�2
64 +
�2
17 = 1
C．
�2
81 +
�2
17 = 1
D．
�2
81 +
�2
36 = 1
10.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点，�在�上，�在�轴上，2�2�Ԧ
ሬሬሬሬሬ= 3��2Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ，以
��为直径的圆过�1，且△��1�2的面积为
20
3 ，则椭圆�的标准方程为（
）
A．
�2
25 +
�2
10 = 1
B．
�2
25 +
�2
20 = 1
C．
�2
20 +
�2
5 = 1
D．
�2
15 +
�2
10 = 1
11．求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点
3 , 4
5
P
和点
4 ,3
5
Q
；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为
3 .
题型三：椭圆标准方程求参数值或范围
1.已知椭圆
2
2
1
4
x
y
m
的一个焦点坐标为
1,0 ，则实数m 的值为（
）
A．3
B．5
C．6
D．9
2.已知椭圆
2
2
1
7
x
y
k
的一个焦点坐标为
0,2 ，则k 的值为（
）
A．3
B．5
C．11
D．83
12
3.已知�∈3,6,7 , �∈2,4,5 ,则方程
�2
�2 +
�2
�2 = 1 可表示焦点在�轴上的不同椭圆的个数为（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
4．19 世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著
名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭
圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的蒙日圆方程为
2
2
2
2
x
y
a
b
.若圆
2
2
3
9
x
y
b
与椭圆
2
2
1
3
x
y
的蒙日
圆有且仅有一个公共点，则b 的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．2 5
5．已知椭圆C 的方程为
2
2
2
1
8
x
y
m
(
0
m
)，如果直线
2
2
y
x
与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好
是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（
）
A．2
B．2
2
C．4
D．8
6.若方程
2
2
1
4
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．
0
m
B．
4
m
C．0
4
m
D．0
4
m
且
2
m
7.已知方程
2
2
1
5
3
x
y
k
k
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（
）
A．(
)
5,3
B．( 5, 1)
C．( 1,3)
D．(3,
)
8.若方程
2
2
1
2
x
y
m
表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是
．
9.若曲线�: �−4 �2 +
�2
6−�= 1 表示椭圆，则实数k 的取值范围是（
）
A．4,6
B．4,5
C．5,6
D．4,5 ∪5,6
10.若方程�+ 1 �2 + 1 −��2 = 1 −�2表示焦点在�轴上的椭圆，则（
）
A．−1 < �< 1
B．0 < �< 1
C．−1 < �< 0
D．−1 < �< 0 或0 < �< 1
11.“2 < |�| <
6”是“方程
�2
�2−4 +
�2
6−�2 = 1 表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知m、n 均为实数，方程
2
2
2
2
1
3
x
y
m
n
m
n
表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n 的取值范围
是
.
13
题型四：点与椭圆的位置关系
1.点
1,1 与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的位置关系为（
）
A．点在椭圆上
B．点在椭圆内
C．点在椭圆外
D．不确定
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的焦点为
1
2
,
F F ，点P 满足
1
2
2
PF
PF
a
，则（
）
A．点P 在椭圆C 外
B．点P 在椭圆C 内
C．点P 在椭圆C 上
D．点P 与椭圆C 的位置关系不能确定
3.（多选）点
,1
A a
在椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的内部，则a 的值可以是（
）
A．
2
B．1
C．1
D．
2
4.（多选）已知直线:
4
l mx
ny
与圆
2
2
:
4
O x
y
相切，椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
，则（
）
A．点
( , )
P m n 在圆O 内
B．点
( , )
P m n 在圆O 上
C．点
( , )
P m n 在椭圆C 内
D．点
( , )
P m n 在椭圆C 上
题型五：椭圆焦点三角形周长与面积问题
1.．椭圆
2
2
1
5
9
x
y
的两个焦点分别为
1F ，
2
F ，点M 在椭圆上运动，则
1
2
MF F
△
的周长为（
）
A．6
B．2 5
C．8
D．10
2.经过椭圆
2
2
:
1
36
16
x
y
C
的左焦点
1F 的直线交椭圆C 于
,
A B 两点，
2
F 是椭圆C 的右焦点，则
2
ABF
△
的周
长为（
）
A．24
B．12
C．36
D．48
3.过椭圆
�2
25 +
�2
16 = 1 的右焦点�2作直线�交椭圆于�、�两点，�1为左焦点，则△��1�的周长为（
）
A．20
B．
500 23
29
C．10
D．
250 23
29
4.已知椭圆�:
�2
4 +
�2
3 = 1 的上顶点为�，两个焦点为�1，�2，过�1且垂直于��2的直线与�交于�，�两点，
则△���的周长是（
）
A．6
B．4 3
C．4 5
D．8
5.已知椭圆�:
�2
25 +
�2
16 = 1 的左、右焦点分别为�1, �2，�是椭圆上一点，且满足��2 = �1�2 ，则△��1�2
的面积等于
，△��1�2的周长等于
．
14
6.已知点�是椭圆
�2
25 +
�2
9 = 1 上一点，椭圆的左、右焦点分别为�1、�2，且cos∠�1��2 =
1
3，则△��1�2的
面积为（
）【注：可以用前面的焦点三角形面积公式转化求解】
A．6
B．12
C．
9 2
2
D．2 2
7.已知椭圆的方程为
�2
4 +
�2
3 = 1，若点P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠��1�2 = 120°，求△��1�2
的面积．
8.已知点�在椭圆
�2
49 +
�2
24 = 1 上，�1，�2是椭圆的焦点，且��1 ⊥��2，求
(1) ��1 ⋅��2
(2)△��1�2的面积
9.设
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
4
1
49
6
x
y
的两个焦点，P 是椭圆上的点，且
1
2
:
4:3
PF
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
10．已知P 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
上的点，
1F 、
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，若
1
2
1
2
PF PF
PF
PF
1
2 ，则
1
2
F PF
△
的
面积为
．
11.已知点P 是椭圆
�2
45 +
�2
20 =1 上一点，�1，�2是椭圆的两个焦点，若��1Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ＝0，则△P�1�2的面积
为
．
题型六：焦点三角形与其他问题综合
1.设
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
的两个焦点，点P 在C 上，若
1
2
0
PF PF
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．1
B．2
C．4
D．5
15
2．已知椭圆C：
2
2
1
25
9
x
y
的左､右焦点分别为F1，F2，点M 在椭圆C 上，当△MF1F2 的面积最大时，
△MF1F2 内切圆半径为（
）
A．3
B．2
C．5
3
D．4
3
3．已知椭圆
2
2
1
16
4
x
y
的左，右两焦点为
1F 和
2
F ，P 为椭圆上一点，且
2 3
PO
，则
1
2
PF
PF
（
）
A．8
B．12
C．16
D．64
4.已知椭圆
2
2
1
12
3
x
y
的两个焦点
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，且
1
2
60
F PF
，则
2
2
1
2
PF
PF
．
5．已知点P 在椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上，
1
2
,
F F 是椭圆的左､右焦点，若
1
2
2
PF PF
，且
1
2
PF F
△
的面
积为
3 ，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
x
M
y
，若P 在椭圆M 上，
1
2
,
F F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的
有（
）
A．若
1
2
|
| |
|
PF
PF
，则
1
2
30
PF F
B．
1
2
FPF
△
面积的最大值为2
C．
1
2
|
|
|
|
PF
PF
的最大值为2 3
D．
1
2
|
| |
|
F
P
P
F
的最大值为4
7．（多选）
1F ，
2
F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得
1
2
120
F PF
，则椭圆C 的方程可以是
（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
5
2
x
y
C．
2
2
1
7
2
x
y
D．
2
2
1
14
3
x
y
8.椭圆�:
�2
4 +
�2
3 = 1(�> �> 0)的两焦点分别为�1，�2 ，�是椭圆�上一点，当△�1��2的面积取得最大值
时，∠�1��2 =（
）
A．
�
6
B．
�
2
C．
�
3
D．
2�
3
9.椭圆
�2
12 +
�2
3 = 1 的焦点为�1, �2，点P 在此椭圆上，如果线段��1的中点在y 轴上，那么
��1
��2 的值为（
）
A．
1
7
B．4
C．7
D．
7
2
10.已知�1, �2分别是椭圆�:
�2
9 +
�2
4 = 1 的左、右焦点，�是椭圆�在第一象限内的一点，若��1 ⊥��2，则
tan∠��1�2 =
．
11.设椭圆
�2
2 + �2 = 1 的左右焦点为�1，�2，点P 在该椭圆上，则使得△��1�2为等腰三角形的点P 的个数
为（
）
16
A．2
B．4
C．6
D．8
12.椭圆�:
�2
100 +
�2
75 = 1 的焦点为�1、�2，若点�在�上且满足��1 −��2 = 8，则△�1��2中最大角为（
）
A．60∘
B．90∘
C．120∘
D．150∘
13.在椭圆
�2
4 +
�2
2 = 1 上有一点P，�1､�2是椭圆的左､右焦点，△�1��2为直角三角形，这样的点P 有（
）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
题型七：椭圆中线段及其和差最值问题
1.已知椭圆的标准方程为
�2
100 +
�2
64 = 1，则椭圆上的点P 到椭圆中心O 的距离��的取值范围为（
）
A．6,10
B．6,8
C．8,10
D．16,20
2.已知椭圆的两焦点为�1 −4,0 , �2 4,0 ，点�在椭圆上．若△��1�2的面积最大为12，则椭圆的标准方程
为
．
3.已知椭圆�:
�2
25 +
�2
9 = 1 的左焦点为�, �为�上任意一点，则��的最大值为（
）
A．5
B．9
C．10
D．18
4.已知P 点是椭圆
�2
4 +
�2
2 = 1 上的动点，A 点坐标为
1
2 , 0 ，则|��|的最小值为（
）
A．
7
4
B．
7
2
C．
3
2
D．
5
2
5．已知F 是椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左焦点，P 是椭圆上一动点，若
1,1
A
，则PA
PF
的最小值为（
）
A．6
3
B．6
5
C．6
2
D．6
6
6．设实数,x y 满足
2
2
2
2
2
2
1,
2
1
2
1
5
4
x
y
x
y
y
x
y
x
的最小值为（
）
A．2 5
2
B．1
5
C．
2
D．前三个答案都不对
7．已知定点
2, 3
A
，点
2
F 为椭圆
2
2
1
25
16
x
y
的右焦点，点M 在椭圆上移动，求
2
AM
MF
的最大值和
最小值为（）
A．12，2 7
B．10
5
，10
5
C．12，8
D．9，2 7
17
8．已知椭圆方程
2
2
1,
4
3
x
y
F
是其左焦点，点
1,1
A
是椭圆内一点，点P 是椭圆上任意一点，若PA
PF
的最大值为
max
D
，最小值为
min
D
，那么
max
min
D
D
（
）
A．4 3
B．4
C．8
D．8 3
9．（多选）已知点F 为椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左焦点，点P 为C 上的任意一点，点A 的坐标为
1,3 ，则下
列正确的是（
）
A．PA
PF
的最小值为13
B．PA
PF
的最大值为7
C．PF
PA
的最小值为13
D．PF
PA
的最大值为1
10.已知椭圆C ：
2
2
1
4
3
x
y
，的右焦点为F，P 为椭圆C 上任意一点，点A 的坐标为
2 4
,
5 5
，则PA
PF
的最大值为（
）
A．21
5
B．5
C．28
5
D．33
5
11.已知F1，F2 分别是椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，点A(1，1)，则
1
MA
MF
的最大
值是
.
12.已知P 是椭圆
2
2
1
16
12
x
y
上一动点，Q 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上一动点，点
(5,4)
M
，则|
|
|
|
PQ
PM
的最
大值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
13.已知椭圆
2
2
:
1
9
5
x
y
C
的左焦点为F ，P 为C 上的动点，点
(1,2 2)
A
，则|
|
|
|
PF
PA
的最大值为（）
A．6
2
B．2 2
C．3
D．3
2
14．已知椭圆
2
2
:
1
3
2
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
,
,
F F M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：
2
2
(
5)
(
3)
1
x
y
上任意一点，则
1
MN
MF
的最小值为
.
15．已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E：
2
2
3
2
1
x
y
上任意一点，则
1
MN
MF
的最小值为
.
16.已知动点�在直线�: �= �+ 5 上，以点�−3,0 和�3,0 为焦点的椭圆经过点�，当椭圆的长轴长最小时，
点�的坐标为（
）
A．−3,2
B．−
16
5 ,
9
5
C．−
17
5 ,
8
5
D．−4,1
18
17.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的离心率为
6
3 ，下顶点为�，点�为�上的任意一点，则��的最大值
是（
）
A．
3 2
2 �
B．2�
C．3�
D．2�
18.已知直线�: �= ��与椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 交于�, �两点，�是椭圆上异于�, �的一点．若椭圆�
的离心率的取值范围是
3
3 ,
2
2 ，则直线��，��斜率之积的取值范围是（
）
A．−
2
2 , −
1
2
B．−
1
2 , −
1
4
C．−
3
2 , −
2
2
D．−
2
3 , −
1
2
19．（多选）椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 的左、右焦点分别为�1、�2，�为坐标原点，以下说法正确的是（
）
A．椭圆�的离心率为
1
2
B．过点�1的直线与椭圆�交于�、�两点，则△���2的周长为8
C．椭圆�上存在点�，使得△��1�2的面积为2
D．�为椭圆
�2
4 + �2 = 1 上一点，�为圆�2 + �2 = 1 上一点，则��的最大值为3
题型八：椭圆中轨迹方程问题
1．如图，一动圆与圆
2
2
1 :
3
1
O
x
y
外切，与圆
2
2
2 :
3
81
O
x
y
内切，求动圆圆心的轨迹方程．
2．已知点P 为圆
2
2
9
x
y
上任一点，D 为点P 在x 轴上的射影，且动点M 满足
2
PM
MD
，当点P 在
圆上运动时，点M 的轨迹是什么？为什么？
19
3.已知动圆M 和圆
1
C ：
2
2
1
36
x
y
内切，并和圆
2
C ：
2
2
1
4
x
y
外切，则动圆圆心M 的轨迹是
（
）
A．直线
B．圆
C．焦点在x 轴上的椭圆
D．焦点在y 轴上的椭圆
4.已知圆
2
2
:
1
8
C
x
y
，定点为
(
)
1,0
A
，M 为圆C 上一动点，点P 是线段AM 的中点，点N 在CM 上，
点N 不在x 轴上，且满足NP
AM
，则点N 的轨迹方程为
.
5．已知
( 2,0)
M
，P 是圆
2
2
:
4
32
0
N x
x
y
上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点
Q 的轨迹方程为
.
6．已知点P 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，作PH
y
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
16
x
y
C．
2
2
1
16
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
7．在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
:(
1)
16
A
x
y
，点
( 1,0)
B
，过B 的直线l 与圆A 交于点C，D，过
B 作直线BE 平行AC 交AD 于点E.求点E 的轨迹的方程.
8．（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为
10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
20
9．椭圆
2
2
1
9
x
y
上有动点P，点
1F ，
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，求
1
2
PF F
△
的重心M 的轨迹方程.
模块三：综合巩固
1.设P 是椭圆
2
2
1
4
16
x
y
上的点，若
1
2
,
F F 是椭圆的两个焦点，则
1
2
PF
PF
等于（
）
A．4
B．5
C．8
D．10
2．已知椭圆C ：
2
2
1
0
5
x
y
m
m
的一个焦点的坐标为
2,0 ，则m （
）
A．1
B．2
C．5
D．9
3.已知椭圆C：
2
2
1
3
x
y
k
的一个焦点为
0, 1
，则k 的值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．10
4.过点
3
1, 2
且与椭圆
2
2
1
2
x
y
有相同焦点的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
5
4
x
y
B．
2
2
1
4
3
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
3
4
x
y
5．“
0
mn
，
0
m
n
”是“方程
2
2
1
x
y
m
n
表示的曲线为椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.若方程
2
2
1
2
1
5
3
x
y
m
m
表示椭圆，则实数m 的取值范围为（
）
A．1 6
6 5
,
,
2 5
5 3
B．5 ,
3
C．1 5
,
2 3
D．6 ,
5
21
7.若点
3,2 在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上，则下列说法正确的是（
）
A．点
3, 2
不在椭圆上
B．点
3, 2
不在椭圆上
C．点
3,2
在椭圆上
D．无法判断上述点与椭圆的关系
8.设
1
2
,
F F 分别是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的左，右焦点，过
1F 的直线l 交椭圆于
,
A B 两点，则
2
2
AF
BF
的最大值
为(
)
A．29
3
B．28
3
C．8
3
D．6
9．已知A ，B 两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A ，B 两
点的距离之和为8km.当甲到A ，B 两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为（
）
A．2 15km
B．4 15km
C．5km
D．10km
10．（多选）若方程
2
2
1
3
1
x
y
t
t
所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（
）
A．曲线C 可能是圆
B．若1
3
t
，则C 为椭圆
C．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则2
3
t
D．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则2
3
t
11.（多选）若椭圆
2
2
2
2
1(
0)
2
x
y
m
m
m
的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有（
）
A．5
B．7
C．
2
D．2
12.（多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左､右焦点分别为
1
2
F F
、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，
则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
PF F
的周长为8
B．存在点P ，使得
1
2.5
PF
C．
1
2
PF PF
的取值范围为
2,3
D．
1
2
|
||
|
PF
PF 的取值范围为
3,4
13.“lg
0
m
”是“方程
2
2
1
1
m
x
y
m
表示椭圆”的（
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（多选）
1F ，
2
F 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的两个焦点，A 是椭圆上一点，
1
2
AF F
△
是直角三角形，则
1
2
AF F
△
的
面积为（
）
A．9
B．36
5
C．4 6
D．5 7
22
15．（多选）已知椭圆
2
2
:
1
16
9
x
y
C
的左、右焦点分别是
1
2
,
F
F ，左、右顶点分别是
1
2
,
A
A ，点 P 是椭圆 C
上异于
1
2
,
A
A 的任意一点，则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
4
PF
PF
B．若
1
2
F PF
△
的面积为2 7 ，则点 P 的横坐标为
4
5
3
C．存在点 P 满足
1
2
90
FPF
D．直线
1
PA 与直线
2
PA 的斜率之积为
9
16
16．已知椭圆
2
2
1
5
x
y
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点M 在椭圆C 上，且
1
2
120
F MF
，（O为原点），
则|
|
OM
．
17．若点O 和点F 分别为椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP
· FP
的取值范
围为
.
18．已知点P 是圆C ：
2
2
(
2)
64
x
y
上动点，
( 2,0)
A
.若线段PA 的中垂线交CP 于点N ，则点N 的轨
迹方程为
.
19．已知椭圆C：
2
2
1
16
7
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是椭圆C 上的一点，则
1
2
2
PF
PF
的
最大值为
.
20.椭圆
2
2
1
100
36
x
y
上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于
.
21.已知点P 在焦点为
1F 、
2
F 的椭圆
2
2
1
4
x
y
上，若
1
2
90
F PF
，则
1
2
PF
PF
的值为
．
22.已知
1
2,0
F
，
2 2,0
F
，动点P 满足
1
2
6
PF
PF
，若
1,1
A
，则
1
PA
PF
的范围为
．
23．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)
1
b ，
15
c
，焦点在y 轴上；
(2)焦距为4，且经过点
5,0 ；
(3)经过点
3,0
P
，
0,2
Q
的椭圆标准方程.
23
24．已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，
1
2
2
F F
，
2 5
(2,
)
5
M
为C 上一点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若P 为C 上一点，且
1
2
PF
PF
，求
1
2
F PF
△
的面积.
25.已知椭圆C 的焦点坐标为
1
1,0
F
和
2 1,0
F
，且椭圆经过点
3
1, 2
G
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 为椭圆上的动点，且
1
2
60
F PF
，求
1
2
PF F
△
的面积.
26.（1）动点
( , )
M x y 与定点
(4,0)
F
的距离和M 到定直线
25
:
4
l x
的距离的比是常数4
5 ，求动点M 的轨迹．
（2）如图，在圆
2
2
9
x
y
上任取一点P ，过点P 向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD 的中点M
的轨迹方程．
24
27．在平面直角坐标系中，点
,
A B 的坐标分别为
4,0
，
4,0 ，点
,
M x y 为坐标系内一点，若直线AM
与直线BM 的斜率的乘积为
9
16
．
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)说明点M 的轨迹是何种几何图形．
28.已知椭圆�：
�2
25 +
�2
16 = 1 内有一点�2,3 ，�1，�2分别为椭圆的左、右焦点，�为椭圆�上的一点，求：
(1) ��−��1 的最大值与最小值；
(2) ��+ ��1 的最大值与最小值．
29.（1）已知�1，�2是椭圆
�2
100 +
�2
64 = 1 的两个焦点，�是椭圆上一点，求|��1| ⋅|��2|的最大值；
（2）已知�(1,1)，�1是椭圆5�2 + 9�2 = 45 的左焦点，点�是椭圆上的动点，求|��| + |��1|的最大值和
最小值．
25
30．一种作图工具如图1 所示．O是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与
ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且
1
DN
ON
，
3
MN ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运
动时，带动N 绕O转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB 所
在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．求曲线C 的轨迹方程；
31．如图．已知圆
2
2
:(
2)
81
M
x
y
，圆
2
2
:(
2)
1
N
x
y
．动圆S 与这两个圆均内切．
(1)求圆心S的轨迹C 的方程；
(2)若
2,3
P
、
2, 3
Q
是曲线C 上的两点，A B
、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为
1
2 ，求四边形APBQ 面积的最大值．
26
3.2 椭圆的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：椭圆的简单几何性质
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
x
a
y
范围
a
x
a
，
b
y
b
b
x
b
，
a
y
a
对称性
关于x,y 轴、原点对称
轴长
长轴长：|A1A2|=2a；短轴长：|B1B2|=2b
顶点
,0
a
0, b
0, a
,0
b
离心率
)1
0
(
1
2
2
e
a
b
a
c
e
)1
0
(
1
2
2
e
a
b
a
c
e
离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
a
b2
2
注意：
①.由
2
2
2
2
1
0
1
b
a
c
e
e
a
a
可知,当e 越趋近于1 时, b
a
越趋近于0,椭圆越扁；当e 越趋近于
0 时, b
a
越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当a
b
时,
0
c
,两焦点重合,图形变为圆,方程为
2
2
2
x
y
a
＋
②离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2−b2
a2
=
a2
a2 −
b2
a2 =
1 −
b2
a2
考点二：直线与椭圆的位置关系
1．直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示．
27
2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系
设直线方程为y
kx
m
＋
,椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
,由方程组
2
2
2
2
1
y
kx
m
x
y
a
b
消去一个变量,得到
关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论：
0
直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交；
0
直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切；
0
直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离．
3．弦长问题
设直线l
y
kx
m
：
交椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
于点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P x
y
两点, 则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
1
y
y
PP
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
2
1
2
1
|
|
k
x
x
同理可得
1
2
1
2
2
1
|
|
1
PP
y
y
k
可利用根与系数的关系求解
1
2
1
2
,
x
x
y
y
,常进行以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
4
,
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
|
|
4
y
y
y
y
y y
考点三：椭圆的中点弦问题
1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数
的关系以及中点坐标公式解决；
2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(
0
b
a
)上两点A 、B ，其中AB 中
点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则有
2
2
a
b
k
k
OP
AB
．
证明：设
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，则有
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
b
y
a
x
，
28
上式减下式得
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
y
a
x
x
，∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
a
b
x
x
y
y
，
∴
2
2
0
0
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
，∴
2
2
a
b
k
k
OP
AB
．(焦点在x 轴椭圆)
特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆
1
2
2
2
2
b
x
a
y
(
0
b
a
)上两点A 、B ，线段AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则有
2
2
b
a
k
k
OP
AB
．(焦点在y 轴椭圆)
模块二：题型分类
题型一：由椭圆方程求研究几何性质
1．求椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
2.椭圆9�2 + 25�2 = 225 上的点��, �的横、纵坐标的范围分别为（
）
A．�≤3, �≤5
B．�≤
1
3 , �≤
1
5
C．�≤5, �≤3
D．�≤
1
5 , �≤
1
3
3.（多选）已知椭圆
2
2
:
1
2
11
x
y
C
，则（
）
A．椭圆C 的长轴长为2 2
B．椭圆C 的焦距为6
C．椭圆C 的短半轴长为2 11
D．椭圆C 的离心率为3 11
11
4.有关椭圆�2 + 4�2 = 16 叙述错误的是（
）
A．长轴长等于4
B．短轴长等于4
C．离心率为
3
2
D．�的取值范围是[ −4,4]
5.椭圆
2
2
1
x
my
的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（
）
A．1
4
B．
1
2
C．2
D．4
6．椭圆
2
2
1
25
16
x
y
的四个顶点所围成的四边形的面积是
.
7．（多选）已知椭圆
2
2
1
16
x
y
m
的焦距是2 3 ，则m 的值可能是（
）
A．13
B．13
C．19
D．19
29
8.椭圆
2
2
1
9
x
y
m
的焦距为2，则m 为（
）
A．5 或13
B．5
C．8 或10
D．8
9.若椭圆�2＋��2 = 1 的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2 倍，则m 的值为
，焦点坐标
为
．13723366289
10.椭圆�:
�2
80 +
�2
35 = 1 的长轴长与焦距之差等于（
）
A．5
B．2 5
C．2 6
D．3 6
11.若椭圆
�2
�2 +
�2
3 = 1(�> 0)的离心率为
2
2 ，则该椭圆的焦距为（
）
A．3
B．6
C．2 6或3
D．2 3或6
12．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，点P 在C 上，
1
1
2
2
,
,
3
PF
F F AB
PF
AB
∥
，则该椭圆的长轴长为
．
13．已知椭圆C ：
2
2
1
16
7
x
y
，F 为椭圆C 的左焦点，A 为椭圆C 的右顶点，B 为椭圆C 上一点．若
4
7
AF
BF
，则AB
．
14.椭圆
2
2
1
25
9
x
y
与椭圆
2
2
1
9
25
9
x
y
k
k
k
的（
）
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
15.已知椭圆
�2
4 + �2 = 1 经过点��, �，则�2 + �2的取值范围是（
）
A．0,1
B．0,4
C．4, + ∞
D．1,4
16．（多选）中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器．如
图，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的
椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用
1
2c 和
2
2c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用
1
2a 和
2
2a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（
）
A．
1
1
2
2
a
c
a
c
B．
1
1
2
2
a
c
a
c
C．
1
2
1
2
c
c
a
a
D．
1
2
1
2
c
c
a
a
30
题型二：利用几何性质求椭圆方程
1.与椭圆
2
2
9
4
36
x
y
有相同焦点，且满足短半轴长为2 5 的椭圆方程是（
）
A．
2
2
1
25
20
x
y
B．
2
2
1
20
25
x
y
C．
2
2
1
20
45
x
y
D．
2
2
1
80
85
x
y
2.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的长轴长为4，离心率为
2
2 ，则该椭圆的方程为（
）
A．
�2
4 +
�2
2 = 1
B．
�2
4 + �2 = 1
C．
�2
16 +
�2
8 = 1
D．
�2
8 +
�2
16 = 1
3．已知椭圆C 过点(3,0) ，且离心率为
6
3
，则椭圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
9
3
x
y
B．
2
2
1
27
9
y
x
C．
2
2
1
9
3
x
y
或
2
2
1
3
9
x
y
D．
2
2
1
9
3
x
y
或
2
2
1
27
9
y
x
4.已知直线
2
2
0
x
y
，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（）
A．
2
2
1
5
x
y
B．
2
2
1
5
3
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
3
x
y
5.已知P 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一点，
1F 、
2
F 分别是椭圆的左、右焦点，若
1
2
PF F
△
的周长为6.且
椭圆的离心率为
1
2 ，则椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
3
4
x
y
6.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6．
(1)求这个椭圆的离心率；
(2)求这个椭圆的标准方程．
7.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1
2 ，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
16
12
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
16
4
x
y
31
8．分别根据下列条件求椭圆标准方程：
(1)一个焦点为
3,0
2
F
a
c
，
(2)与椭圆
2
2
1
2
x
y
有相同的焦点，且经过点
3
(1, )
2
P
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)经过点
3,0
P
，
0,2
Q
的椭圆标准方程.
(2)焦点在y 轴上，短轴长为12，离心率为4
5 的椭圆标准方程.
10．已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点为
1F ，
2
F ，离心率为
3
3
，过
2
F 的直线l 交椭圆于A 、B 两
点．若
1
ABF
的周长为4 6 ，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
3
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
6
4
x
y
D．
2
2
1
12
8
x
y
11．已知椭圆的方程为
2
2
1(
0)
x
y
m
n
m
n
，且离心率为
3
2
e
，则下列选项中不满足
．．．条件的为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
8
2
x
y
C．
2
2
1
2
x
y
D．
2
2
4
1
x
y
12.（1）求与椭圆
�2
2 + �2 = 1 有相同的焦点，且经过点1,
3
2 的椭圆标准方程；
（2）已知椭圆�2 + (�+ 3)�2 = �(�> 0)的离心率�=
3
2 ，求�的值及椭圆的长轴长､焦距､焦点坐标､顶
点坐标；
32
13．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
1
2
1 ,
,
2 A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若
1
2
2
BA BA
，则椭圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
16
12
x
y
B．
2
2
1
8
6
x
y
=
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
2
1
2
3
x
y
14.已知椭圆�的中心为原点，焦点为�1 −2,0 ，�2 2,0 ，以�1为圆心，�1�2 为半径的圆交椭圆�于�、�
两点，且∠��1�= 120°，则椭圆�的方程是（
）
A．
�2
12 +
�2
8 = 1
B．
�2
8 +
�2
12 = 1
C．
�2
16 +
�2
12 = 1
D．
�2
12 +
�2
16 = 1
15.已知椭圆�：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的离心率为
1
3，�1，�2分别为�的左、右焦点，�为�上一点，若△�1��2
的面积等于2，且cos∠�1��2 =
15
17，则�的方程为（
）
A．
�2
2 + �2 = 1
B．
�2
3 +
�2
2 = 1
C．
�2
9 +
�2
8 = 1
D．
�2
18 +
�2
16 = 1
题型三：求椭圆的离心率
1.如图，直线�: �−2�+ 2 = 0 过椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左焦点�1和一个顶点B，该椭圆的离心率为
（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
5
5
D．
2 5
5
2.已知椭圆E：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 与直线�= �相交于A，B 两点，O 是坐标原点，如果△���是等边三
角形，那么椭圆E 的离心率等于（
）
A．
3
6
B．
3
4
C．
3
3
D．
3
2
33
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A 为
AFB
△
的垂心，
则椭圆C 的离心率为（）
A．
5
1
2
B．1
2
C．
2
2
D．
3
2
4．已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
0,
B
b ，点P 在x 轴上，
1F B
BP
，
且
2
F 为线段
1F P 的中点，则C 的离心率为
.
5．已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点A 是椭圆短轴的一个端点，且
1
2
5
cos
6
F AF
，则椭圆的离心率为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
6
D．
33
6
6.已知
1F ，
2
F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，M 为C 的顶点，若
1
2
MF F
的内心和重心重合，
则C 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
3
2
C．1
2
D．1
3
7.设椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左、右焦点分别为�1，�2，点�在�上，
1
2 ��1 = 5 −
1
2 ��2 ，且椭圆
过点�0,4 ，则椭圆�的离心率为（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
8．已知P 是椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
上一点，
1
2
F F
､
分别是椭圆的左､右焦点､若
1
2
PF F
△
的周长为6，且椭
圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（
）
A．1
2
B．1
3
C．
3
2
D．
3
3
9.已知�1，�2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，��2Ԧ
ሬሬሬሬሬ⋅�1�2Ԧ
ሬሬሬሬሬሬ= 0，∠��1�2 =
π
6，则C 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
3−1
2
C．3 −1
D．3
34
10．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆
的离心率为（
）
A．
2
2
B．
3
1
2
C．
5
1
2
D．
5
1
2
11.椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的右顶点为A ，右焦点为F
B
，
为椭圆在第二象限上的点，直线BO
交椭圆E 于点C ，11 延长直线BF 交线段AC 于M
，若CM
MA
，则椭圆E 的离心率是
（
）
A．1
3
B．2
3
C．1
2
D．
2
2
12.椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F，过F 的直线交椭圆于A，B 两点，点C 是A 点关于原点O 的对
称点，若CF
AB
且
2
AB
CF
，则椭圆的离心率为（
）
A．3 1
B．
6
3
C．
5
2 5
D．
6
3 3
13．设椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：
2
2
2
x
y
c
与C 有四个公共
点，依次连接这四点组成一个正方形，则
2e （
）
A．3 1
B．2
3
C．
2
1
D．2
2
14．已知右焦点为F 的椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上的三点A ，B ，C 满足直线AB 过坐标原点，若
BF
AC
于点F ，且
3
BF
CF
，则E 的离心率是（
）
A．
2
2
B．
7
5
C．
3
2
D．1
2
题型四：离心率取值范围
1.已知
1
2
F
F
、
是椭圆的两个焦点，满足
1
2
MF
MF
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A．
1
0, 2
B．
2
0, 2
C．1
2
,
2
2
D．
2 ,1
2
2．若椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上存在一点M，使得
1
2
90
F MF
（
1F ，
2
F 分别为椭圆的左、右焦点），
则椭圆的离心率e 的取值范围为
.
35
3.设
1F ，
2
F 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，过
2
F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，
若
1
ABF
为钝角三角形，则离心率e的取值范围为（
）
A．0
2 1
e
B．
2
1
1
e
C．1
1
2
e
D．
1
0
2
e
4.已知椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 上一点�关于原点的对称点为点�，�为其右焦点，若��⊥��，设∠���=
�，且�∈
π
6 ,
π
4 ，则该椭圆离心率�的取值范围为（
）
A．
2
2 ,
3 −1
B．
2
2 , 1
C．
2
2 ,
3
2
D．
3
3 ,
6
3
5.椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1F ，
2
F ，若椭圆上存在点Q ，使
1
2
120
FQF
，则椭圆
离心率e的取值范围为（
）
A．
3
0, 2
B．
3
0, 2
C．
3 ,1
2
D．
3 ,1
2
6.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，P 是椭圆C 上的点，
1
2
,0 ,
,0
F
c
F c
是椭圆C 的左右焦点，若
1
2
2
PF
PF
ac
恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（
）
A．
5
1,1
2
B．0,
2
1
C．
5
1
0,
2
D．
2
1,1
7．已知圆
2
2
2
1 :
C
x
y
b
与椭圆
2 :
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，若在椭圆
2
C 上存在一点P ，使得由点P 所作
的圆
1
C 的两条切线的夹角为60，则椭圆
2
C 的离心率的取值范围是（
）
A．
3
[
,1)
2
B．1
[ ,1)
2
C．
2
3
,
2
2
D．
2
[
,1)
2
8．设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的焦点为
1
2
,
,
F F P 为椭圆C 上的任意一点，
1
2
PF PF
的最小值取值范围为
2
2
,3
c
c
，其中
2
2
2
a
b
c
，则椭圆C 的离心率为（
）
A．1 1
,
4 2
B．1
2
,
2
2
C．1 1
,
5 3
D．
5
3
,
5
3
36
9．已知两定点
( 2,0)
A
和
(2,0)
B
，动点
( , )
P x y 在直线:
3
l y
x
上移动，椭圆C 以A，B 为焦点且经过点
P，则椭圆C 的离心率的最大值为（
）
A．
26
13
B．2 26
13
C．2 13
13
D．4 13
13
10．若
1F 、
2
F 为椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的左、右焦点，焦距为4，点P 为C 上一点，若对任意的
1,4
，
均存在四个不同的点P 满足
1
2
PF PF
，则C 的离心率e的取值范围为
.
11.已知�1，�2是椭圆
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左、右焦点，若椭圆上总存在点�，使得tan∠�1��2 =−2 6，
则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．0,
2
2
B．0,
3
5
C．
3
5 , 1
D．
15
5 , 1
12．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点为
1
2
,
F F ．点
,
P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且
1
2
PQ
F F
，
2
PF Q
△
的面积
2
1
8
S
PQ
，则C 的离心率的取值范围为
．
13．（多选）已知
1
2
,
F F 为椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
b
)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，
2
1
2
1
2
1
4
BF BF
F F
，则椭圆的离心率的取值可以是（
）
A．1
2
B．
3
6
C．
3
3
D．
3
2
题型五：直线与椭圆的位置关系
1．求直线
3
2
2
0
x
y
和椭圆
2
2
1
4
x
y
的公共点的坐标．
37
2．判断直线
2
2
y
x
与椭圆
2
2
1
5
4
x
y
是否有公共点．如有两个公共点，求出公共点的坐标，并求出以
这两个公共点为端点的线段长．
3．设直线
1
y
kx
和椭圆
2
2
1
4
x
y
m
有且仅有一个公共点，求k 和m 的取值范围．
4．已知直线l ：y
x
m
与椭圆C ：
2
2
1
5
4
x
y
有公共点，则m 的取值范围是（
）
A．
2 2
,
B．
3,3
C．
, 2
2,
U
D．
, 3
3,
5.已知椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
，直线:
2
2
0
l x
y
，则l 与C 的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上选项都不对
6．直线l：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
与椭圆C：
2
2
1
18
12
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
7.已知直线l 的方程为
2
1
mx
y
m
，椭圆C 的方程为
2
2
1
9
4
x
y
，则直线l 与椭圆C 的位置关系为（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
8．已知点P（x，y）是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上任意一点，则点P 到直线l：
2 13
y
x
的最大距离为
.
38
9.直线
1
x
y
a
b
与椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的位置关系为（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
10.已知直线
1
y
kx
与焦点在x 轴上的椭圆
2
2
2
2
mx
y
m
总有公共点，则m 的取值范围（
）.
A．
0,1
B．1 ,2
2
C．
1 ,1
2
D．
1,2
11．直线:
2
4 0
l x
y
＋
－＝与椭圆
2
2
1
1
x
y
m
m
(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝
，点P 的坐标
是
.
题型六：直线与椭圆相交弦长
1.直线l ：
2
1
y
x
在椭圆
2
2
1
2
y
x
上截得的弦长是（
）
A．10
3
B．2 5
3
C．8 5
9
D．5 2
3
2.已知椭圆�:
�2
4 + �2 = 1，过原点�且倾斜角为
π
4的直线交椭圆于�, �两点，则��=（
）
A．
10
5
B．
2 10
5
C．
3 10
5
D．
4 10
5
3.过椭圆
2
2
2
2
x
y
的左焦点作斜率为1 的弦AB ，则弦AB 的长为（
）
A．
3
B．
2
C．4
3
3
D．4
2
3
4.过椭圆
2
2
1
4
x
y
的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于
,
A B 两点，则AB 等于（
）
A．4
B．2 3
C．1
D．4 3
5．（多选）已知过点
0,1 的直线与椭圆
2
2
1
2
y
x
交于A 、B 两点，则弦长AB 可能是（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．3
39
6．（多选）已知椭圆
2
2
1
2
x
y
与直线y
x
m
交于
,
A B 两点，且
4 2
3
AB
，则实数m ＝（
）
A．1
B．
2
C．1
2
D．1
7.斜率为1 的直线�与椭圆
�2
4 + �2 = 1 相交于A，B 两点，则��的最大值为（
）
A．2
B．
4 5
5
C．
4 10
5
D．
8 10
5
8.已知椭圆�的中心在原点，焦点为�1( −2 3, 0)，�2(2 3, 0)，且离心率�=
3
2 ．过点�(2, −1)的直线�与
椭圆�相交于�，�两点，且�为��的中点，则弦长��=（
）
A．2 3
B．2 2
C．2 5
D．2 6
9.已知直线�: ��−�+ 1 = 0 与椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 交于�，�两点，当��取最大值时�的值为（
）
A．±
5
2
B．±
3
2
C．±
2
2
D．±
1
2
10．已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
与椭圆
2
2
1
5
2
x
y
有相同的焦点，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴
的弦长度为1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l：y
x
m
与椭圆C 交于A，B 两点，若
8
5
AB
，求实数m 的值．
11．直线:l y
kx
m
与圆
2
2
2
x
y
相切，并与椭圆
2
2
1
4
3
y
x
交于
,
M N 两点，若
12 2
7
MN
，求k 的
值．
40
12.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的长轴为4 3 ，短轴长为4．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l：y
x
m
与椭圆C 交于不同两点A、B，且
3 2
AB
，求直线AB 的方程．
题型七：椭圆的中点弦问题
1.在椭圆
�2
16 +
�2
9 = 1 中，以点�2,
3
2 为中点的弦所在的直线方程为（
）
A．�−2�+ 1 = 0
B．3�−4�= 0
C．3�+ 4�−12 = 0
D．8�−6�−25 = 0
2．椭圆
2
2
4
9
144
x
y
内有一点
3,2
P
，设某条弦过点P 且以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为
（
）
A．3
2
12
0
x
y
B．2
3
12
0
x
y
C．4
9
14
0
x
y
D．9
4
14
0
x
y
3．椭圆
2
2
1
12
9
x
y
内有一点
(1,2)
P
，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A．
8
3
B．
3
2
C．
2
3
D．
3
8
4.不经过原点的直线l 与椭圆
2
2
1
3
2
x
y
相交于
1P ，
2P ，线段
1
2
PP 的中点为P ，设直线l 的斜率为
1
1
(
0)
k k
，
直线OP （O 为原点）的斜率为
2k ，则
1 2
k k 的值为（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．2
3
D．3
2
5.若椭圆
2
2
1
3
4
x
y
的动弦AB 斜率为1，则弦中点坐标可能是（
）
A．
3 4
，
B．
3 ,1
4
C．
4 3
，
D．
4 ,1
3
6.已知椭圆方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，其右焦点为
4,0
F
，过点F 的直线交椭圆与A ，B 两点．若AB 的
中点坐标为(
)
1, 1
-
，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
52
36
x
y
B．
2
2
1
20
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
25
9
x
y
41
7.已知倾斜角为
π
4的直线�与椭圆�:
�2
4 + �2 = 1 交于�, �两点，�为��中点，�为坐标原点，则直线��的斜率
为（
）
A．−1
B．−
1
2
C．−
1
3
D．−
1
4
8.椭圆
�2
16 +
�2
4 = 1 上的两点A，B 关于直线2�−2�−3 = 0 对称，则弦��的中点坐标为（
）
A．−1,
1
2
B．
1
2 , −1
C．
1
2 , 2
D．2,
1
2
9.已知斜率为�(�> 0)的直线�与椭圆�:
�2
16 +
�2
2 = 1 交于�，�两点，�为坐标原点，以��，��为邻边作平行
四边形����，点�恰好在�上．若线段��的中点�在直线�=−1 上，则直线�的方程为（
）
A．�−
6�+ 2 = 0
B．�−2 6�+ 4 = 0
C．6�−2�+ 1 = 0
D．�−4 6�+ 5 = 0
10．斜率为k 的直线l 与椭圆C ：
2
2
1
6
3
x
y
交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
2,
M
m ，则k 的范围是（
）
A．
1
k
B．
1
1
3
3
k
C．
1
k 或
1
k
D．
2
2
3
3
k
11.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
的短半轴为3，离心率为
2
2
.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)过
1,1
P
的直线l 交椭圆M 于
,
A B 两点，且P 为AB 的中点，求弦AB 的长度.
12．以两条坐标轴为对称轴的椭圆C 过点
2,1
P
和
0,
2
Q
，直线l 与椭圆C 相交于
,
A B 两点，M 为线
段AB 的中点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点M 的坐标为
2 1
,
3 3
，求直线l 的方程；
42
13．已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
，
2,1
P
是椭圆E 上一点.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若A ，B 是椭圆E 上两点，且线段AB 的中点坐标为2 1
,
3 3
，求直线AB 的方程.
14．已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的长轴长为4 ，且短轴长是长轴长的一半．
(1)求C 的方程；
(2)已知直线1l ：
1
y
x
与椭圆C 相交于两点M ，N ，求线段MN 的长度；
(3)经过点
1
1 2
P
，作直线2l ，交椭圆于A 、B 两点．如果P 恰好是线段AB 的中点，求直线2l 的方程．
题型八：椭圆的实际应用
1．（多选）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假
设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为
2
2
1
9
5
x
y
，则光线从椭圆一个焦点出发，到
首次回到该焦点所经过的路程可能为（
）
A．2
B．8
C．10
D．12
43
2．搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．此后，神舟
十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，并快速完成与“天和”核心舱的对接，聂海胜、刘伯明、
汤洪波3 名宇航员成为核心舱首批“入住人员”，并在轨驻留3 个月，开展舱外维修维护，设备更换，科学
应用载荷等一系列操作．已知神舟十二号飞船的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球半径为R，其近
地点与地面的距离大约是1
32 R ，远地点与地面的距离大约是1
16 R ，则该运行轨道（椭圆）的离心率大约
是（
）
A．1
67
B．1
3
C．1
35
D．1
9
3．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江
区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关
“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB ，且AB 过椭圆
的下焦点，
44
AB
米，桥塔最高点P 距桥面110米，则此椭圆的离心率为（
）
A．1
3
B．2
5
C．2
3
D．4
5
4．1970 年4 月24 日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号”，从此我国开向了人造卫层的
新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行
时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的
时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，下列结论正确
的是（
）
A．卫星向径的最大值为2a
B．卫星向径的最小值为2b
C．卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
44
5．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆
形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q 点处
变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆
轨道Ⅱ的离心率为
.（用R、r 表示）
6．某操场的正前方有两根高度均为6m、相距10m 的旗杆（都与地面垂直）.有一条26m 长的绳子，两端
系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在
系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面（水平面）的接触点到两根旗杆的距离各是多少.
7．贵州省安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97
米，短轴总尺寸约77 米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为
5
1
2
的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
其中A，F 分别为其左顶点和右焦点，
B 为上顶点．
(1)求黄金椭圆C 的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测
ABF
△
可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说
明理由．
45
题型九：椭圆的综合应用
1．已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左、右顶点分别为A，B，P 为C 上异于A，B 的一点，直线PA，PB 与直线
4
x
分别交于M，N 两点，则MN 的最小值为（
）
A．15
2
B．7
C．13
2
D．6
2．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，过椭圆右焦点F 且斜率为1 的直线l 交椭圆于A B
、两点，
满足OA
OB
与
4, 3
a
共线．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当椭圆的焦距为2 时，设P 为椭圆上任意一点，且
,
OP
mOA
nOB m n
R
，求点
,
M m n 到原点O的
最大距离．
3．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且
1
AB ，
2
BC
，
1
O
切直线l 于点A ，又过B 、C 作
1
O
异于l
的两切线，设这两切线交于点P .
(1)求点P 的轨迹E 方程；
(2)设M 、N 是P 的轨迹E 上的不同两点且不关于原点O对称，若OM ，ON 的斜率分别为
1k ，
2k ，问：是
否存在实数，使得当
1 2
k k
时，OMN
的面积是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理
由.
46
4．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
过
3
(1, )
2 和
6
( 2,
)
2
两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M 在定直线
4
x
上运动时，直线AM ，BM 分别
交椭圆于两点P 和Q（不同于B，A）.证明：点B 在以PQ 为直径的圆内.
5．已知点F 为椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N
两点（不与A，B 重合），记直线AM 与BN 的斜率分别为
1
2
,
k k .证明
1
2
k
k 为定值.
6．已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
2 2,0
F
为椭圆E 的右焦点，三点3 3 1
,
2
2
，
3 3 1
,
2
2
，
1
2, 3
中恰有两点在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点
,
A B 为椭圆E 的左右端点，过点
2,0
M
作直线交椭圆E 于P ，Q 两点（不同于
,
A B ），求证：直线
AP 与直线BQ 的交点N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
47
7．已知椭圆
2
2
2
:
1
2
x
y
C
b
的离心率为
2
2
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当椭圆的焦点在x 轴上时，直线:
1
l y
kx
与椭圆的一个交点为P（点P 不在坐标轴上），点P 关于x
轴的对称点为Q，经过点Q 且斜率为
2
2
的直线与l 交于点M，点N 满足PN
x
∥轴，MN
x
轴，求证：
点N 在直线
2
1
2
y
x
上．
模块三：综合巩固
1．椭圆
2
2
1
11
y
x
的焦点坐标是（
）
A．
2 3,0
B．
0, 2 3
C．
0,
10
D．
10,0
2.已知椭圆
2
2
1
12
x
y
t
t
的离心率为
6
3
，则椭圆的长轴长为（
）
A．12 2
B．6 2
C．3 2
D．6
3．已知椭圆C：
2
2
1
2
x
y
的左焦点是
1F ，过
1F 的直线l：y
x
m
与圆：
2
2
4
x
y
交于A，B 两点，则
AB 的长为（
）
A．14
B．7
C．2
D．
14
2
4.焦点在y 轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为2 3 的椭圆方程为（
）
A．
2
2
1
4
16
x
y
B．
2
2
1
16
4
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
y
x
5.通过椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长等于（
）
A．2 3
B．3
C．
3
D．6
6.直线
3
1
y
x
与椭圆
2
2
1
4
8
x
y
的公共点的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
48
7.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 的直线交椭圆于
,
A B 两点，且
2
2
1
:
:
3: 2:6
AF
BF
BF
，则椭圆的离心率为（
）
A．1
3
B．2
3
C．
5
5
D．10
5
8.已知椭圆
2
2
1
4
x
y
，点P 是椭圆上任意一点，则P 到直线
5
0
x
y
的距离最大值是（
）
A．10
B．10
2
C．10
3
D．10
4
9．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 的直线交C 于,
P Q 两点，直线
1FQ 交y
轴于点M ，若
1
1
,
2
PM
FQ PF
PQ
，则椭圆C 的焦距为（
）
A．
3
B．6
C．
6
2
D．
3
2
10．如图所示，用一束与平面成60角的平行光线照射半径为
3 的球O，在平面上形成的投影为椭圆
C 及其内部，则椭圆C 的（
）
A．长轴长为3
B．离心率为
2
2
C．焦距为2
D．面积为3π
11．已知
1F 、
2
F 是椭圆的两个焦点，满足
1
2
0
MF MF
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
（
）．
A．
1
(
)
2
0，
B．
2
(0
)
2
，
C．1
2
(
)
2
2
，
D．
2
(
1)
2 ，
49
12．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P 使
π
2
OPA
，则椭圆离心率
e 的取值范围为（
）
A．
2
0, 2
B．
2
0, 2
C．
2 ,1
2
D．
2 ,1
2
13．（选做）已知点P 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上的动点，则点P 到直线
2
10
0
x
y
的距离最小值为（
）
A．3
B．5
C．3 5
D．5
14.（多选）椭圆
2
2
2
2
:
1
0
1
x
y
C
m
m
m
的焦点为
1F ，
2
F ，上顶点为A，直线
1
AF 与C 的另一个交点为B，
若
1
2
π
3
F AF
，则（
）
A．C 的焦距为2
B．C 的短轴长为2 3
C．C 的离心率为
3
2
D．
2
ABF
△
的周长为8
15.（多选）已知椭圆
2
2
2
2
1
2
: 4
4,
:
1
9
4
x
y
C
x
y
C
，则（
）
A．
1
2
,
C C 的焦点都在x 轴上
B．
1
2
,
C C 的焦距不相等
C．
1
2
,
C C 有公共点
D．椭圆
1
C 比椭圆
2
C 扁平
16．（多选）某月球探测器顺利进入以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100
千米，远月点与月球表面距离为400 千米．已知月球的直径约为3476 千米，对该椭圆下述四个结论正确
的是（
）
A．焦距约为300 千米
B．长轴长约为3988 千米
C．两焦点坐标约为
150,0
D．离心率约为75
994
50
17．（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0
2
）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的
底面圆半径为2，
3
，则（
）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
3
2
C．椭圆的标准方程可以是
2
2
1
16
4
x
y
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4
2 3
18．（多选）已知椭圆C：
2
2
1
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
0
0
(
,
)
P x
y
是椭圆C 上异于左、右顶
点的一点，则下列说法正确的是（
）
A．
1
2
PF F
△
的周长为2 5
4
B．
1
2
PF F
△
的面积的最大值为2
C．若
(
)
1,0
A
，则PA 的最小值为5 1
D．
0
0
4
y
x
的最小值为
11
11
19．已知椭圆G：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，斜率为1
2 的直线l交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为
2,
2
，
试写出椭圆G 的一个标准方程
.
20．若直线
2
y
x
m
与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
有唯一公共点，则实数m
．
21．直线:
1
0
l x
y
与椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
C
交于
,
A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP
的面积
为
.
22.若焦点在x 轴上的椭圆
2
2
1
10
2
x
y
m
m
的焦距为2 2 ，则实数m 的值为
．
51
23.设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
经过点
(0,4)
A
，离心率为3
5 ，求过点(3,0) 且斜率为4
5 的直线被C 所截线
段的中点坐标
.
24.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
,
F F P 是椭圆上一点，
1
2
PF F
△
是以
2
F P 为底边的
等腰三角形，且
1
2
60
120
PF F
，则该椭圆的离心率的取值范围是
．
25．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，上顶点为A，过左焦点
1F 的直线1l 与C 交于D，E 两
点，过右焦点
2
F 的直线2l 经过A 点，且1
2
l
l
．若四边形
2
AEF D 的面积为48
13 ，则C 的长轴长为
．
26．我们把
5
1
2
c
a
的椭圆称为“优美椭圆”，设
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
为“优美椭圆”，点F ，A 分别是它
的左焦点和右顶点，点B 是它短轴的一个端点，则
ABF
．
27.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的焦距为2，离心率为
2
2
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)经过椭圆的左焦点
1F 作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆交于M，N 两点，点
2
F 为椭圆的右焦点，求
2
F MN
的面积．
28．设a 为实数，已知双曲线
2
2
:
1
3
x
y
C
a
与椭圆
2
2
2
1
5
x
y
a
有相同的焦点
1
2
,
F F ．
(1)求a 的值；
(2)若点P 在C 上，且
1
2
PF
PF
，求
1
2
F PF
△
的面积．
52
29．如图，已知直线: 4
5
0
l
x
y
m
和椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
．m 为何值时，直线l 与椭圆C：
(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
30.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
L
a
b
a
b
的离心率为
3
2
，短轴长为2．
(1)求椭圆L 的标准方程；
(2)过椭圆内一点
1
1, 2
P
引一条弦，使弦被点P 平分．求此弦所在的直线方程．
31．已知椭圆
:
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为1
2 ，左、右焦点分别为
1F ，2
F ，O为坐标原点，且
1
2
4
F F
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知过点
2,0 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点
8,0
Q
，求证：
MQO
NQO
．
32．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为4
5 ，点
1
2
,
F F 分别为椭圆的左、右焦点，点
5 6 , 3
3
P
在
椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过点
(
)
1,0
A
，斜率为k 的直线交椭圆于
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
两点，且
1
2
x
x
，
2
MNF
的面积为
2
45 33
9
25k
，
求直线MN 的方程.
53
3.3 双曲线及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：双曲线的定义
一般地,我们把平面内与两个定点
1
2
,
F F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
1
2
F F )的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若
1
2
,
F F 分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下
两种情形：
①若点P 满足
2
1
2
0
PF
PF
a a
,则点P 在左支上,如图（1）
②若点P 满足
1
2
2
0
PF
PF
a a
,则点P 在右支上,如图（2）
（2）注意定义中的“小于
1
2
F F ”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”．
①若2
2
a
c
,即
1
2
1
2
PF
PF
F F
,根据平面几何知识知,当
1
2
1
2
PF
PF
F F
时,动点轨迹是以F2 为
端点向右延伸的一条射线；当
2
1
1
2
PF
PF
F F
时,动点轨迹是以F1 为端点向左延伸的一条射线．
②若2
2
a
c
,即
1
2
1
2
PF
PF
F F
,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在．
（3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段
1
2
F F 的垂直平分线．
考点二：双曲线的标准方程
1、双曲线的两种标准方程
焦点位置
焦点在x 轴
焦点在y 轴
图形
标准方程
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0,
0
y
x
a
b
a
b
焦点坐标
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
1 0,
F
c
、
2 0,
F
c
, ,
a b c 的关系
2
2
2
c
a
b
54
考点三：双曲线方程的求解
1.用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2 的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为
或
，再根据条件求解.
考点四：由双曲线标准方程求参数范围
1.对于方程
2
2
1
x
y
m
n
，当
0
mn
时表示双曲线；
当
0,
0
m
n
时表示焦点在x 轴上的双曲线；当
0,
0
m
n
时表示焦点在y 轴上的双曲线.
2.对于方程
2
2
1
x
y
m
n
，当
0
mn
时表示双曲线；
当
0,
0
m
n
时表示焦点在x 轴上的双曲线；当
0,
0
m
n
时表示焦点在y 轴上的双曲线.
3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根
据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
考点五：双曲线的焦点三角形
1.①根据双曲线的定义求出
1
2
2
PF
PF
a ；
②利用余弦定理表示出
1
PF 、
2
PF 、
1
2
F F 之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出
1
2
PF
PF 的值；
④利用公式
1
2
1
2
1
sin
2
S
PF
PF
F PF 求得面积。
2.利用公式
1
2
1
2
p
S
F F
y
求得面积；
3.若双曲线中焦点三角形的顶角
1
2
F PF
，则面积
2
tan 2
b
S
，结论适用于选择或填空题。
模块二：题型分类
题型一：双曲线的定义及辨析
1.已知双曲线
�2
9 −
�2
16 = 1 的左右焦点分别为�1，�2，点�在双曲线上，��1 = 7，则��2 =（
）
A．13
B．10
C．1
D．13 或1
55
2．已知动点
( , )
M x y 满足
2
2
2
2
(
2)
(
2)
4
x
y
x
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．射线
B．直线
C．椭圆
D．双曲线的一支
3．已知点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
，则在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹为双曲线的是（
）
A．
1
2
3
PF
PF
B．
1
2
3
PF
PF
C．
1
2
4
PF
PF
D．
1
2
4
PF
PF
4.已知P 为双曲线
2
2
1
9
16
x
y
右支上一点，
1
2
,
F F 为双曲线的左右焦点，
1
2
PF
PF
等于（
）
A．8
B．6
C．4
D．3
5.化简方程
2
2
2
2
5
5
8
x
y
x
y
的结果是（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
6
25
1
1
x
y
D．
2
2
1
16
9
x
y
6.已知双曲线�:
�2
5 −�2 = 1 的左、右焦点分别为�1, �2，点�是�的左支上一点，则��1 −��2 =（
）
A．2 5
B．−2 5
C．±
5
D．±2 5
7.设
1F 、
2
F 是两定点，
1
2
6
F F
，动点P 满足
1
2
4
PF
PF
，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
8.若点M 在双曲线
2
2
1
16
4
x
y
上，双曲线的焦点为
1
2
,
F F ，且
1
2
3
MF
MF
，则
2
MF 等于（
）
A．2
B．4
C．8
D．12
9.在平面直角坐标系���中，已知双曲线�：
�2
4 −�2 = 1 的左焦点为�，点�在�的右支上，�关于�的对称点
为�，则��−��=（
）
A．−2 5
B．2 5
C．−4
D．4
10.已知�1, �2为双曲线�2 −
�2
3 = 1 的左，右焦点，�为坐标原点，�为双曲线上一点，且cos∠�1��2 =
7
25，
则�到�轴的距离为（
）
A．2
B．
7
3
C．
21
3
D．
57
3
56
11．（多选）已知平面直角坐标系中，点
1,0
A
、
1 0
B
,
，点P 为平面内一动点，且
2
PA
PB
a a
R ，
则下列说法准确的是（
）
A．当
0
a
时，点P 的轨迹为一直线
B．当
1
a 时，点P 的轨迹为一射线
C．当
1
a 时，点P 的轨迹不存在
D．当
1
2
a
时，点P 的轨迹是双曲线
12．（多选）已知
1
2
( 3,0),
(3,0)
F
F
，满足条件
1
2
2
1
PF
PF
m
的动点P 的轨迹是双曲线的一支．则下列
数据中，m 可以是（
）
A．1
2
B．2
C．1
D．3
13.（多选）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
2,0 ,
2,0 ,
A
B
P
是一个动点，则下列说法正确的是（
）
A．若
4
PA
PB
，则点P 的轨迹为椭圆
B．若
2
PA
PB
，则点P 的轨迹为双曲线
C．若
2
2
|
|
|
|
4
PA
PB
，则点P 的轨迹为一条直线
D．若|
| |
|
PA
PB
PA
PB
，则点P 的轨迹为圆
14．如图，小明在ABCD 外的某处出发，在ABCD 范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点
的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可
能是（
）
A．椭圆的一部分
B．一段圆弧
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
57
题型二：双曲线的标准方程的求解
1．在双曲线的标准方程中，若
6,
8
a
b
，则其标准方程是（
）
A．
2
2
1
36
64
y
x
B．
2
2
1
64
36
x
y
C．
2
2
1
36
64
x
y
D．
2
2
1
36
64
x
y
或
2
2
1
36
64
y
x
2.已知点�−2,0 , �2,0 ，动点�满足��−��= 2 2，则动点�的轨迹方程为（
）
A．
�2
2 −
�2
2 = 1 �≥
2
B．
�2
2 −
�2
2 = 1
C．
�2
4 −
�2
2 = 1 �≥2
D．
�2
4 −
�2
2 = 1
3.双曲线经过点
1,0
，焦点分别为
1
2,0
F
、
2 2,0
F
，则双曲线的方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
2
y
x
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
4.已知点
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
，曲线上的动点P 到
1
2
,
F F 的距离之差为6，则曲线方程为（
）
A．
2
2
1
0
9
7
x
y
x
B．
2
2
1
9
7
x
y
C．
2
2
1
0
9
7
y
x
y
D．
2
2
1
9
7
y
x
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
6
c ，焦点在x 轴上，且过点
5,2
A
；
(2)经过两点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
.
6．已知
1
5,0
F
、
2 5,0
F
两点，根据下列条件，写出动点M 的轨迹方程．
(1)
1
2
10
MF
MF
；
(2)
1
2
8
MF
MF
；
(3)
1
2
6
MF
MF
．
58
7.设中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝
对值等于6，双曲线的方程为（
）
A．
�2
9 −
�2
55 = 1
B．
�2
9 −
�2
7 = 1
C．
�2
100 −
�2
64 = 1
D．
�2
7 −
�2
9 = 1
8.已知双曲线的左､右焦点分别为�1 −3,0 , �2 3,0 , �为双曲线上一点，且��2 −��1
= 2，则双曲线的
标准方程为（
）
A．�2 −
�2
8 = 1
B．�2 −
�2
10 = 1
C．
�2
8 −�2 = 1
D．
�2
10 −�2 = 1
9.以椭圆
2
2
1
9
16
x
y
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
7
9
y
x
B．
2
2
1
7
9
x
y
C．
2
2
1
9
16
y
x
D．
2
2
1
9
16
x
y
10.与椭圆C ：
2
2
1
15
6
x
y
共焦点且过点
2,
2
P
的双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
16
7
x
y
B．
2
2
1
6
3
x
y
C．
2
2
1
3
6
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
11．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
6
c ，焦点在x 轴上，且过点
5,2
A
；
(2)
4
b
，一个焦点的坐标是
8,0
；
(3)经过两点
7, 6 2
A
，
7, 3
B
．
12．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是( 5,0),(5,0)
，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0, 6)
，且双曲线经过点
( 5,6)
A
．
59
13.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)�= 4，经过点�1, −
4 10
3
；
(2)以椭圆
�2
8 +
�2
5 = 1 长轴的端点为焦点，且经过点3,
10 ；
(3)过点�3,
15
4 ，�−
16
3 , 5 且焦点在坐标轴上.
题型三：双曲线轨迹方程
1.已知动圆与圆�1: (�+ 4)2 + �2 = 1 及圆�2: (�−4)2 + �2 = 9 都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（
）
A．�2 −
�2
15 = 1
B．�2 −
�2
15 = 1(�≤−1)
C．
�2
15 −�2 = 1
D．
�2
15 −�2 = 1(�≤−
15)
2.设�1、�2是两定点，�1�2 = 6，动点P 满足��1 −��2 = 4，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．一条射线
D．轨迹不存在
3.与圆
2
2
1
x
y
及圆
2
2
8
12
0
x
y
x
都外切的圆的圆心在（
）
A．椭圆上
B．双曲线上的一支上C．抛物线上
D．圆上
4．与两圆
2
2
4
x
y
及
2
2
8
15
0
x
y
x
都外切的圆的圆心的轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
5．已知圆
2
2
:(
2)
9
A
x
y
，圆
2
2
:(
2)
1
B
x
y
，圆C 与圆A 、圆B 外切，则圆心C 的轨迹方程
为
．
60
6.已知�( −2,0), �(2,0)，��−��= 4，则动点P 的轨迹是（
）
A．双曲线
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
7．动点
( , )
M x y 与定点
(4,0)
F
的距离和它到定直线
9
:
4
l x
距离的比是常数4
3 ，求动点M 的轨迹.
8．已知动点M 与两定点
3 0
A , ，
3,0
B
构成
MAB
△
，且直线MA ，MB 的斜率之积为4，求动点M 的轨
迹方程.
9.已知
3,2 ,
3, 2
A
B
，若动点M 满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为1
3 ，则动点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1,
3
3
x
y
x
B．
2
2
1,
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
x
y
10.如图，定圆O的半径为定长r ，A 是圆O外一个定点，P 是圆O上任意一点.线段AP 的垂直平分线l 与直
线OP 相交于点Q ，当点P 在圆O上运动时，点Q 的轨迹是（
）
A．射线
B．椭圆
C．双曲线
D．圆
11.已知
2,0
M
，圆
:
C
2
2
4
0
x
x
y
，动圆P 经过M 点且与圆C 相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
3
y
x
x
B．
2
2
1
3
3
x
y
x
C．
2
2
1
3
y
x
D．
2
2
1
3
x
y
61
12.已知�−2,0 ，圆�: �2 −4�+ �2 = 0，动圆�经过�点且与圆�相切，则动圆圆心�的轨迹方程是（
）
A．�2 −
�2
3 = 1 �≥1
B．
�2
3 −�2 = 1 �≥
3
C．�2 −
�2
3 = 1
D．
�2
3 −�2 = 1
13．M 是一个动点，MA 与直线y
x
垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y
x
垂直，垂足B 位于第
四象限，若四边形OAMB （O为原点）的面积为4，则动点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
8
y
x
B．
2
2
16
x
y
C．
2
2
8(
0)
x
y
x
D．
2
2
16(
0)
x
y
x
14．已知圆
2
2
: (
4)
16
M
x
y
，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点
(4,0)
A
，线段PA 的垂直平分线l 与
直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1(
2)
4
12
x
y
x
B．
2
2
1
4
12
x
y
C．
2
2
1(
1)
3
y
x
x
D．
2
2
1
3
y
x
15．已知椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
，其左､右顶点分别为
,
A B ，一条垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于
,
E F 两
点，直线AE 与直线BF 相交于点M ，则点M 的轨迹方程为
.
16.求下列动圆的圆心�的轨迹方程：
(1)与圆�1: �2 + �−2 2 = 1 和圆�2: �2 + �+ 2 2 = 4 都内切；
(2)与圆�1: �+ 3 2 + �2 = 9 内切，且与圆�2: �−3 2 + �2 = 1 外切；
(3)在△���中，�−3,0 ，�3,0 ，直线��，��的斜率之积为
16
9 ，求顶点�的轨迹方程.
62
17.直线�= �和�=−�上各有一点�, �（其中点�, �的纵坐标分别为��, ��且满足����< 0），△���的面积
为4，则��的中点�的轨迹方程为（
）
A．�2 + �2 = 4
B．�2 −�2 = 4
C．�2 −�2 = 4
D．�2 + �2 = 8
题型四：由双曲线的方程求参数
1．若双曲线
2
2
1
3
x
y
m
的一个焦点为( 2,0)
，则m 的值为（
）
A．
7
B．1
C．1
D．7
2．若双曲线
2
2
1(
4)
5
4
x
y
的焦距为4，则（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．5
2
3．双曲线
2
2
1
2
x
y
a
与椭圆
2
2
2
1
4
x
y
a
的焦点相同，则a 等于（
）
A．1
B．2
C．1 或2
D．2
4．若双曲线
2
2
2
1(
0)
x
y
a
a
的右焦点与圆
2
2
8
0
x
y
x
的圆心重合，则
a
.
5．双曲线
2
2
15
(
0)
x
y
a a
与椭圆
2
2
1
25
9
x
y
的焦点相同，则实数
a
.
题型五：根据方程表示双曲线求参数范围
1.已知方程
2
2
1
3
2
y
x
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是（）
A．
2
，
B．
5
2 2
，
C．
3
，
D．5 3
2
，
2．已知曲线
2
2
1
2
3
5
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3
,
5,
2
B．
5,
C．
3
, 2
D．3 ,5
2
63
3.若方程
2
2
1
7
1
x
y
m
m
表示双曲线，则实数m 的取值范围是
.
4．“
4
k
”是“方程
2
2
1
2
4
x
y
k
k
表示的曲线是双曲线”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.已知曲线�:
�2
6 +
�2
�= 1(�≠0)，则“�∈(0,6)”是“曲线�的焦点在�轴上”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.若方程
2
2
(1
)
1
m x
my
表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为
.
7．写出使“方程
2
2
1
3
x
y
m
m
表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值
.
8．已知曲线
2
2
1
2
1
x
y
m
m
是焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是
．
9．（多选）已知方程
2
2
1
4
1
x
y
t
t
表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（
）
A．当1
4
t
时，曲线C 是椭圆
B．当
4
t
或
1
t 时，曲线C 是双曲线
C．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则
5
1
2
t
D．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则
4
t
10.若方程
�2
3−�+
�2
�−1 = 1 所表示的曲线为�，则下面四个命题中正确的是（
）
A．若�为椭圆，则1 < �< 3
B．若�为双曲线，则�> 3 或�< 1
C．曲线�不可能是圆
D．若�为椭圆，且长轴在�轴上，则1 < �< 2
11．（多选）若关于,x y 的方程
2
2
2
1
2
0
x
y
xy
x
y
表示的曲线为C ，则（
）
A．当
1
时，C 表示双曲线
B．当
0
时，C 表示两条直线
C．当
1
时，C 表示圆
D．当
2
时，C 表示关于坐标轴对称的椭圆
64
题型六：求双曲线焦点三角形周长与面积
1.已知双曲线�：
�2
16 −
�2
9 = 1 的左，右焦点分别为�1，�2，过�2的直线与双曲线�的右支交于�，�两点，且
��= 6，则△�1��的周长为（
）
A．20
B．22
C．28
D．36
2.已知
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
:
1
9
4
y
x
C
的上、下焦点，过
1F 的直线l 交C 于A，B 两点，若AB 的长等于
虚轴长的3 倍，则
2
ABF
△
的周长为
．
3．已知双曲线
2
2
:
1
16
4
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
、
，在左支上过
1F 的弦AB 的长为4，那么
2
ABF
△
的
周长是（
）
A．24
B．20
C．16
D．8
4.双曲线16�2 −9�2 = 144 的左、右两焦点分别为�1, �2，点�在双曲线上，且��1 ⋅��2 = 64，求△��1�2
的面积．
5.设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
1
5
4
x
y
的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且
1
2
:
2:1
PF
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积等
于
．
6．若椭圆
2
2
1
0
x
y
m
t
m
t
与双曲线
2
2
1
0,
0
x
y
n
t
n
t
有相同的焦点
1F ，
2
F ，P 是两曲线的一个
交点，则
1
2
F PF
△
的面积是（
）
A．2
t
B．t
C．2t
D．4t
7.设�1，�2为双曲线
�2
9 −
�2
4 = 1 的两个焦点，点�在双曲线上，且满足��1 ⊥��2，则△�1��2的面积是
65
8.已知双曲线C：
�2
4 −
�2
3 = 1 的左、右焦点分别为�1，�2，点P 在双曲线C 上，O 为坐标原点，若��= ��1 ，
则△��1�2的面积为（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．3
9.双曲线�:
�2
9 −
�2
16 = 1 的右支上一点�在第一象限，�1，�2分别为双曲线�的左、右焦点，�为△��1�2的内
心，若内切圆�的半径为1，则△��1�2的面积等于（
）
A．24
B．12
C．
32
3
D．
16
3
题型七：利用焦点三角形求其他量
1.若
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且
1
2
F PF
△
的面积是16，则
1
2
|
| |
|
PF
PF
2．已知
1F ，2
F 分别是双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
的左、右两个焦点，点M 在双曲线的右支上，且
1
2
6
MF
MF
，
则
1
2
MF F
（
）
A．30
B．45
C．60
D．90
3.已知双曲线的方程是
�2
16 −
�2
8 = 1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点�1的距离为10，点N 是��1的中
点，O 为坐标原点，则��=
.
4.已知双曲线
2
2
1
9
4
x
y
，1
2
,
F F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，P 是双曲线右支上一点，
1
2
3
cos
5
F PF
，则
PO
（
）
A．10
B．15
C．2 5
D．33
5.设点P 在双曲线
�2
9 −
�2
16 = 1 上，�1, �2为双曲线的两个焦点，且��1 : ��2 = 1: 3，则△�1��2的周长等
于
，cos∠�1��2 =
．
66
6．已知
1
2
F
F
、
分别是双曲线
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右焦点，O是坐标原点，点P 是双曲线C 上一点，且
10
OP
，则
1
2
cos
F PF
（
）
A．1
3
B．1
2
C．3
5
D．2
3
7．已知双曲线
2
2
1
5
y
x
的左、右焦点分别为
1F ，2
F ，点M 位于双曲线的右支上，1F M 交左支于N ，
2
MNF
的内切圆I 的半径为1，I 与
2
NF ，MN 分别切于点P ，R ，则cos
RNP
.
8.设双曲线
�2
4 −
�2
3 = 1 的左、右焦点分别为�1，�2，�为双曲线右支上一点，且|��1| = 3|��2|，则∠�1��2
的大小为
．
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�, �> 0)的焦点为�1, �2，离心率为2，点�是�上一点，若△��1�2的面积为��，
则∠�1��2为（
）
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不能确定
10.已知�1，�2分别为双曲线�：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的左、右焦点，左右顶点分别为�1, �2，离心率为
2，点�为双曲线C 上一点，直线�1�，�2�的斜率之和为
6 15
5 ，△��1�2的面积为15，则�=（
）
A．2 2
B．2
C．2
D．1
11.已知点�1, �2分别为双曲线�:
�2
4 −
�2
5 = 1 的左､右焦点，过点�1的直线�交双曲线�的右支第一象限于点�，
若△�1��2的内切圆的半径为1，则直线�的斜率为（
）
A．
5
13
B．
5
12
C．1
D．3
题型八：利用双曲线定义求线段和差最值问题
1．已知F 是双曲线C：
2
2
1
8
y
x
的右焦点，P 是C 的左支上一点，
0, 7
A
，则PA
PF
的最小值为
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
67
2.已知
0,4
A
，双曲线
2
2
1
4
5
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 是双曲线左支上一点，则
2
|
|
PA
PF
的最小值为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
3．设
1F ，
2
F 为双曲线C：
2
2
1
3
x
y
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当
1
QF
PQ
取最小值时，
2
QF 的值为（
）
A．3
2
B．
3
2
C．
6
2
D．
6
2
4.已知圆
2
2
:
(
4)
1
C x
y
上有一动点P ，双曲线
2
2
1
9
7
: x
M
y
的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动
点Q ，则PQ
QF
的最小值为（
）
A．4 2
1
B．4 2
5
C．4 2
7
D．4 2
5
5.已知双曲线�:
�2
4 −
�2
4 = 1 的左焦点为�，点�是双曲线�右支上的一点，点�是圆�: �2 + (�−2 2)2 = 1
上的一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．5
B．5 + 2 2
C．7
D．8
6．过双曲线
2
2
2
1
16
x
y
a
的左焦点F 作圆
2
2
2 2
3
x
y
a
a
的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于
P，点M 为线段FP 的中点，连接MO，则MO
MT
的最大值为
．
7．P 为双曲线
2
2
1
15
y
x
右支上一点，M，N 分别是圆
2
2
4
4
x
y
和
2
2
4
1
x
y
上的点，则
PM
PN
的最大值为
.
8．已知点
1,2
M
，点P 是双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
左支上的动点，
2
F 为其右焦点，N 是圆
2
2
:
5
1
D
x
y
的
动点，则PM
PN
的最小值为
．
68
9.已知
(6,4)
A
，双曲线C：
2
2
1
4
5
x
y
的左焦点为F，P 是双曲线C 的右支上的动点，则|
|
|
|
PF
PA
的最大
值是（
）
A．1
B．2
C．109
D．9
10.已知双曲线
2
2
:
1
4
5
y
x
C
的下焦点为F ，
3,7
A
，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF
PA
的最大值
是（
）
A．不存在
B．8
C．7
D．6
11.已知�1，�2为双曲线�:
�2
4 −
�2
2 = 1 的左、右焦点，点P 是C 的右支上的一点，则
��1
2
��2 的最小值为（
）
A．16
B．18
C．8 + 4 2
D．9 +
15 2
2
12.已知点�是双曲线�1:
�2
4 −�2 = 1 的上焦点，�是�1下支上的一点，点�是圆�2: �2 + �2 −4�+ 3 = 0 上
一点，则��+ ��的最小值是（
）
A．7
B．6
C．5
D．4 2 −1
13．已知点
5 4
A
,
，点F 是双曲线
2
2
:
1
4
5
x
y
C
-
= 的右焦点，点P 是双曲线C 右支上一动点，则当APF
的
周长取得最小时APF
的面积为
;
14．已知
1
2
F
F
，
分别是双曲线
2
2
2
:
1(
0)
3
x
y
C
a
a
的左、右焦点，P 是C 左支上一动点，(0,2 3)
A
，△
2
APF
周长的最小值为10，求此时△
1
2
PFF 的面积=
.
模块三：综合巩固
1.已知双曲线的方程为
2
2
1
5
4
x
y
，则该双曲线的焦距为（
）
A．2
B．4
C．2 5
D．6
69
2．M 是双曲线
2
2
1
4
12
x
y
上一点，点
1
2
,
F F 分别是双曲线左右焦点，若
1
5
MF
，则
2
MF （
）
A．9 或1
B．1
C．9
D．9 或2
3.已知双曲线的实轴长为4 ，焦点为
4,0 , 4,0
，则该双曲线的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
12
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
5
y
x
D．
2
2
1
5
y
x
4．在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点
(4,0)
A
，分别过点
( 5,0),
(5,0)
M
N
作圆C 的切线并交于
点P (点P 不在x 轴上)，则点P 的轨迹方程为（）
A．
2
2
1(
4)
16
9
x
y
x
B．
2
2
1(
4)
16
9
x
y
x
C．
2
2
1(
4
16
9
x
y
x
或
4)
x
D．
2
2
1
16
9
x
y
5.已知AB 是平面内两点，且|
| 6
AB
，判断当P 点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（
）
A．|
|
|
| 2024
PA
PB
B．|
|
|
| 2024
PA
PB
C．|
| |
| 2024
PA
PB
D．|
|
|
| 2023
PA
PB
6．已知椭圆
2
2
:
1
5
x
y
M
m
和双曲线
2
2
:
1
5
6
x
y
C
m
，则m 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
0,6
C．
0,5
5,6
D．
6,
7.若方程
2
2
1
3
6
x
y
m
m
表示双曲线，则m 的取值范围是（
）
A．
3
m 或
6
m
B．3
6
m
C．
6
m 或
3
m
D．6
3
m
8．已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
y
C x
m
m
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，直线l 经过
2
F 且与C 的右支相交于A，B
两点，若
2
AB
，则
1
ABF
的周长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
9.设P 是双曲线
2
2
1
16
20
x
y
上一点，
1
2
,
F F 分别是双曲线左右两个焦点，若
1
9
PF
，则
2
PF 等于（
）
A．1
B．17
C．1 或17
D．5 或13
70
10.与圆A ：
2
2
5
49
x
y
和圆B ：
2
2
5
1
x
y
都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
4
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
16
x
y
x
11．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3 的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知
该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却
塔的最小直径为（
）
A．
574
8
cm
B．
287
8
cm
C．
574
4
cm
D．
287
4
cm
12．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个
焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学
装置由有公共焦点
1F 、
2
F 的椭圆T与双曲线S 构成，现一光线从左焦点
1F 发出，依次经S 与T反射，又回
到了点
1F ，历时1t 秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点
1F 发出，经T两次反射后又回到了点
1F ，
历时2t 秒：若2
1
3
t
t
，则T的长轴长与S 的实轴长之比为（
）
A．3: 2
B．4:3
C．2:1
D．3:1
71
13．已知
1F 、
2
F 分别为双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，且
2
1
2
2b
F F
a
，点P 为双曲线右支上一
点，I 为
1
2
PF F
△
内心，若
1
2
1 2
IPF
IPF
IF F
S
S
S
l
=
+
△
△
△
，则的值为（
）
A．
5
2
B．1
2
C．
5
1
2
D．
5
1
2
14．（多选）已知m ，n 为两个不相等非零实数，则方程
0
mx
y
n
，与
2
2
nx
my
mn
所表示的曲线不
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
15.（多选）已知m nR
､
，则方程
2
2
2
1
m x
ny
表示的曲线可能是（
）
A．两条直线
B．圆
C．焦点在x 轴的椭圆
D．焦点在y 轴的双曲线
16．
（多选）若双曲线
1
C ：
2
2
1
3
x
y
与双曲线
2
C 关于直线
1
y
x
对称，则双曲线
2
C 的焦点坐标可能为（
）
A．
3, 1
B．
3,1
C．
1, 1
D．
1,1
17.(多选)已知左、右焦点分别是
1F ，2
F 的双曲线
2
2
1
4
x
y
上有一点
( , )
P m n （m ，
0
n
），且
1
2
15
cos
16
F PF
，
则（
）
A．
1
2
31
sin
16
F PF
B．
1
2
16
PF PF
C．
1
2
PF F
△
的面积为31
D．
1
2
PF F
△
的周长为12
2 5
18．已知F 是双曲线
2
2
1
16
9
x
y
的左焦点，
4,4 ,
A
P 是双曲线右支上的动点，则PF
PA
的最小值
为
.
19.若点P 是双曲线
2
2
:
1
4
12
x
y
C
上一点，
1F ，
2
F 分别为C 的左、右焦点，
1
9
PF
，则
2
PF
.
72
20.以椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为
．
21．已知点F1，F2分别是双曲线
2
2
1
9
16
x
y
=1 的左、右焦点，若点P 是双曲线左支上的点，且
1
2
32
PF
PF
，
则△
1
2
F PF 的面积为
.
22.已知P 是双曲线
2
2
1
9
7
x
y
上的点，F 为双曲线的右焦点，点A 的坐标为
5,1 ，则PF
PA
的最小值
是
．
23．已知动圆C 与圆
2
2
1 : (
3)
4
C
x
y
，圆
2
2
2:(
3)
4
C
x
y
中的一个外切､一个内切，求动圆圆心C 的
轨迹方程为
24．双曲线C 的渐近线方程为
2 3
3
y
x
，一个焦点为
(0,
7)
F
，点
( 2,0)
A
，点P 为双曲线第一象限内
的点，则当点P 的位置变化时，
PAF
△
周长的最小值为
.
25．已知点P 在双曲线
2
2
:
1
16
9
x
y
C
上，若,
P Q 两点关于原点O对称，直线
1
PF 与圆
2
2
2
x
y
r
相切于点M
且
1
2OM
OP
OF
，其中
1
2
,
F F 分别为双曲线C 的左､右焦点，则
1
PFQ
△
的面积为
．
26.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
5,0 , 5,0
，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x 轴上，经过点
4, 2
P
和点
2 6,2 2
Q
．
(3)经过点
( 3,2 7)
P
和
( 6 2, 7)
Q
．
(4)已知与椭圆
2
2
1
49
24
x
y
共焦点的双曲线过点
5 ,
6
2
P
73
27．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x 轴上，
2 5
a
，经过点
5,2
A
；
(2)经过
7, 6 2
A
、
2 7,3
B
两点．
(3)过点
2,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦点双曲线方程.
28．已知
1( 4,0)
F
､
2(4,0)
F
是双曲线
2
2
:
1
0
4
x
y
C
m
m
的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且
1
2
60
F MF
，求
1
2
F MF
△
的面积.
29．已知方程
2
2
1
2
1
x
y
k
k
表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆．试分别求出k 的取值范围．
30．已知双曲线
2
2
2
x
y
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过点
2
F 的动直线与双曲线相交于
,
A B 两点．若动
点M 满足
1
1
1
1
F M
F A
F B
FO
（其中O为坐标原点），求点M 的轨迹方程；
74
31.已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
2
y
x
C
a
a
的上、下焦点分别是
1
2
,
F F ，P 为双曲线C 上支上的动点，
1
2
4
F F
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
π
3
F PF
，求
1
2
PF
PF
．
32．已知圆
1
O ：
2
2
5
1
x
y
的圆心为
1
O ，圆
2
O ：
2
2
5
9
x
y
的圆心为
2
O ，动圆M 与圆
1
O 和圆
2
O
均外切，记动圆M 圆心的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若P 是C 上一点，且
1
2
O P
O P
，求
1
2
O O P
△
的面积.
75
3.4 双曲线的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：双曲线的几何性质
1.双曲线的几何性质
标准方程
x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a>0，b>0)
y
2
a
2－x
2
b
2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±b
a
x
y＝±a
b
x
离心率
e＝c
a
，e∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系
c
2＝a
2＋b
2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
通径
垂直焦点所在轴并经过焦点与双曲线的弦长：
2.双曲线离心率理解
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比
，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为
=
，所以e 越大，
越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=
.
3.双曲线离心率的求法
(1)直接求出a, c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c 的齐次方程(或不等式)，借助于
消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)
求解.
76
(3)离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2+b2
a2
=
a2
a2 +
b2
a2 =
1 +
b2
a2【
b
a一般与渐近线相关】
4.双曲线渐近线求法
根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”
改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
考点二：等轴双曲线与共轭双曲线
1.等轴双曲线的性质
在双曲线中，若
a
b ，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率为：
2
e
；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：
y
x ；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和
135°．
2.共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
与
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
a
b
b
是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）一对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）一对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线x
a
及y
b
的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心
为坐标原点，半径为c（半焦距）；
（4）由于
1
c
e
a
，
2
c
e
b
，则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
a
b
e
e
c
c
，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的
倒数的平方和等于常数1．
考点三：直线与双曲线的位置关系
1．直线与双曲线的位置关系
(1)研究直线与双曲线的位置关系：
一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组
的解的个数进行判断.
①代入②得
.
当
=0，即
时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当
0，即
时，
=
.
>0
直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
=0
直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
<0
直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
77
(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：
①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件
；
②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件
> 0
�1 + �2 < 0
�1�2 > 0
；
③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件
Δ > 0
�1�2 < 0.
2.双曲线与弦长问题
（1）弦长公式：若直线:l y
kx
m
与双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）交于
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
两点，
则
2
1
2
1
A
k
B
x
x
或
1
2
2
1
1
AB
y
y
k
（
0
k
）．
（2）注意：
①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
③双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论
焦点在x 轴上还是在y 轴上，双曲线的通径总等于
.
3．中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的
这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转化为能用韦达定理直接代换的
.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
4．双曲线的第二定义
平面内，当动点M 到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=
(e>1)
时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心
率.
模块二：题型分类
题型一：双曲线的几何性质
1．已知双曲线
2
2
:
1
9
7
y
x
C
，则下列选项中不正确的是（
）
A．C 的焦点坐标为
4,0
B．C 的顶点坐标为
0, 3
C．C 的离心率为4
3
D．C 的虚轴长为2 7
78
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图：
(1)
2
2
1
4
9
x
y
；
(2)
2
2
1
9
4
y
x
．
3.若双曲线
2
2
2
1
1
x
y
m
的实轴长为4 ，则正数m （
）
A．
3
B．2
C．9
4
D．7
2
4.双曲线
�2
9 −
�2
3 = 1 的渐近线方程是（
）
A．�=±
3
3 �
B．�=±
1
3 �
C．�=±
3�
D．�=± 3�
5.若双曲线
2
2
1
mx
y
的虚轴长与实轴长相等，则m 的值为（
）
A．4
B．4
C．1
D．1
6．双曲线
2
2
1
x
y
m
的实轴长是虚轴长的3 倍，则m 的值为（
）
A．9
B．－9
C．1
9
D．
1
9
7.已知双曲线
�2
�2 −
�2
4 = 1 �> 0 的两条渐近线的夹角为
π
3，则a 为（
）
A．
2 3
3
B．2
C．
2 3
3 或2 3
D．2 3
8．已知F 为双曲线C：
2
2
1
3
y
x
的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（
）
A．
3
B．3
C．2
D．1
9.已知双曲线
2
2
1
9
16
x
y
与
2
2
1
16
9
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
10．设双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
，
0
b
)的虚半轴长为1，半焦距为
3 ，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
1
2
y
x
D．
2
2
y
x
79
11.曲线
2
2
1
10
6
x
y
m
m
（
6
m
）与曲线
2
2
1
5
9
x
y
n
n
（5
9
n
）的（
）
A．焦距相等
B．离心率相等
C．焦点相同
D．顶点相同
12.已知双曲线C：�2 −
�2
�2 = 1 �> 0 ，直线�=−�与双曲线C 的两条渐近线交于A，B 两点，O 为坐标原
点，若△���为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（
）
A．2
B．3
C．2
D．4
13.求双曲线�2 −2�2 = 1 的焦点坐标和渐近线方程.
题型二：由双曲线几何性质求标准方程
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为
5
4；
(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点−5,3 ；
(3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±
3
2x.
2．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
y
x
C a
b
的一条渐近线斜率为2
，实轴长为4，则C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
4
16
y
x
C．
2
2
1
4
y
x
D．
2
2
1
16
4
y
x
3.过点
4,
3
且与双曲线
2
2
1
4
3
x
y
有相同渐近线的双曲线方程是（
）
A．
2
2
1
12
9
y
x
B．
2
2
1
12
9
x
y
C．
2
2
1
9
12
y
x
D．
2
2
1
9
12
x
y
4．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
4
9
x
y
B．
2
2
1
9
4
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
9
16
x
y
5.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为5
3 ，且双曲线C 上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线C
的方程为（
）
A．
2
2
1
3
4
x
y
B．
2
2
1
9
16
x
y
C．
2
2
1
16
9
x
y
D．
2
2
1
34
9
x
y
80
6．已知双曲线C 过点
1,2 ，且与双曲线
2
2
1
2
y
x
有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为
.
7．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过
7, 6 2
A
、
2 7,3
B
两点．
(2)过点
2,2
P
，且与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
有相同焦点双曲线方程.
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆
2
2
1
25
16
y
x
有公共焦点，且过点
2, 10
；
(2)焦点在y 轴上，焦距为8，渐近线斜率为
1
3
；
(3)离心率
2
e
，且经过点
5,3
P
；
(4)经过点
4,3 ，且一条渐近线的方程为
1
2
y
x
．
9．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，
5
4
e
；
②渐近线方程是
2
y
x
，虚轴长为4.
10.若双曲线�1与双曲线�2:
�2
7 −�2 = 1 有相同的焦距，且�1过点3,1 ，则双曲线�1的标准方程为（
）
A．
�2
6 −
�2
2 = 1
B．
�2
9−73 −
�2
73−1 = 1
C．
�2
6 −
�2
2 = 1 或
�2
9−73 −
�2
73−1 = 1
D．
�2
6 −
�2
2 = 1 或�2 −
�2
3 = 1
11.双曲线
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0，�> 0)的左、右焦点分别为�1、�2. �是双曲线右支上一点，且直线��2的斜率
为2．△��1�2是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（
）13723366289
A．
�2
8 −
�2
2 = 1
B．
�2
8 −
�2
4 = 1
C．
�2
2 −
�2
8 = 1
D．
�2
4 −
�2
8 = 1
81
题型三：求双曲线离心率的值
1.若双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的右焦点为�2,0 ，且点�2,0 到双曲线�的一条渐近线的距离为1，
则双曲线�的离心率为（
）
A．2
B．3
C．
2 3
3
D．2 3
2.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线的倾斜角为π
3 ，则此双曲线的离心率e为（
）
A．2
B．2 3
3
C．2 或2 3
3
D．
3 或2
3.若双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的一条渐近线被圆�+ 2 2 + �2 = 4 所截得的弦长为2 3，则�的离
心率为（
）
A．3
B．
2 3
3
C．2
D．
3 2
2
4.如图，已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为F ，过原点的直线l 与E 交于
,
A B 两点，A 在第
一象限，延长AF 交E 于多一点C ，若BF
AC
且
4
AC
AF
，则E 的离心率为（
）
A．
10
2
B．10
3
C．17
2
D．
17
3
5.双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点M 是双曲线左支上一点，
1
2
90
F MF
，直
线
2
MF 交双曲线的另一支于点N ，
2
2
MN
NF
，则双曲线的离心率（
）
A．3
B．9
C．5
D．2
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，过F 作双曲线的一
条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 与另一渐近线交于点N ，若M 是FN 的中点，则双曲线的离心率
为（
）
A．
2
B．2
C．
3
D．3
82
7．已知坐标平面xOy 中，点
2
F 为双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
C
y
a
a
的右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，
2
MF 与
双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为
2
MF 的中点，点I 为
2
OMF
△
的外心，若O、I 、D 三点共线，则
双曲线C 的离心率为（
）
A．
2
B．3
C．5
D．5
8．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
2
F 作一条直线与双曲线右支交于
,
A B 两
点，坐标原点为O，若
2
2
1
|
|
,|
| 5
OA
a
b
BF
a
，则该双曲线的离心率为
.
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)，如图，过�的右焦点�作直线与�的两条渐近线分别交于点�, �，
与�轴交于点�，若��⊥��，且
��
��=
3
2，则�的离心率为（
）
A．2
B．3
C．2
D．2 3
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过
1F 斜率为4
3 的直线与C 的右支交于点
P ，若线段
1
PF 与y 轴的交点恰为
1
PF 的中点，则C 的离心率为（
）
A．1
3
B．2 3
3
C．2
D．3
11．设
1
2
,
F F 是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点，过点
1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .
若
2
3
MF
b
，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
3
B．
3
3
C．3
D．5
12．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，直线y
a
与双曲线C 交于M，N 两点，直线y
b
与双曲线C
交于P，Q 两点，若|
|
2 |
|
MN
PQ
，则双曲线C 的离心率等于
．
83
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，过双曲线C 上一点P 向y 轴作垂线，垂
足为Q ，若
1
2
PQ
F F
且
1
PF 与
2
QF 垂直，则双曲线C 的离心率为
.
题型四：双曲线离心率范围问题
1.双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点为
1F ,
2
F ，若点P 在双曲线右支上,且
1
2
7
PF
PF
，则双
曲线C 离心率的值不可能是（
）
A．6
5
B．5
4
C．4
3
D．3
2
2．已知斜率为2
2 的直线l 过双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0,
0
a
b
）的右焦点，若直线l 与双曲线的左、右两
支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是
．若直线l 与双曲线的一支相交，则双曲线的离心
率e 的取值范围是
．
3.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的左右焦点分别为�1, �2，过�2的直线与双曲线的右支交于�, �两
点，若△���1的周长为10�，则双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
6
2 , + ∞
B．
10
2 , + ∞
C．1,
6
2
D．1,
10
2
4.已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，M 为双曲线右支上的一点，若M
在以
1
2
F F 为直径的圆上，且
2
1
π 5π
,
3 12
F
MF
，则该双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
1, 2
B．
2,
C．
1, 3
1
D．
2, 3
1
5.设双曲线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为e ，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于
2
2
，则e的取值范围是
（
）
A．
6 ,
2
B．
6
1, 2
C．
6 , 3
2
D．
6
0, 2
84
6．双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
2
a
，
0
b
）的焦距为
2
0
c c
，已知点
,0
A a
，
0,
B
b ，点
2,0 到直线AB 的
距离为
1d ，点
2,0
到直线AB 的距离为
2
d ，且
1
2
4
5
d
d
c
，则双曲线离心率的取值范围为（
）
A．
2 ,
2
2
B．
5 , 5
2
C．
10 , 10
2
D．
3,2 3
7．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 为C 右支上一点，
1
PF 与C 的左
支交于点Q .若
2
|
|
|
|
PQ
PF
，则C 的离心率的取值范围是（
）
A．(1,3]
B．(2,3]
C．( 5,3]
D．(2, 7]
8.已知点
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
的左右焦点，O为坐标原点，点P 在双曲线右支上，且
满足
1
2
2
F F
OP
，
2
1
tan
4
PF F
，则双曲线C 的离心率的取值范围是（
）
A．1,17
9
B．17 ,
9
C．
17 ,
3
D．
17
1,
3
9.已知双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的上、下焦点分别为�1，�2，P 是C 上支上的一点（不在y 轴上），
��2与x 轴交于点A，△���1的内切圆在边��1上的切点为B，若��> 2�，则C 的离心率的取值范围是
（
）
A．(1,
5
2 )
B．(
5
2 , + ∞)
C．(1,
3
2 )
D．(
3
2 , + ∞)
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
2 6,0
F
，点A 坐标为
0,1 ，点P 为双曲线左支上的
动点，且APF
的周长不小于18，则双曲线C 的离心率的取值范围为
.
11．设点F 为双曲线
2
2
:
1
1
3
x
y
C m
m
的左焦点，经过原点O 且斜率
3
k
的直线与双曲线C 交于A､B
两点，AF 的中点为P，BF 的中点为Q.若OP
OQ
，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是
.
85
12．曲线
2
:
1
0
x
D
y
m
m
且
1
m
过定点,
P Q ，点
,
P Q 在椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
上，设椭圆C 的
左右焦点为
1
2
,
F F ，若
1
2
8
PF
QF
，则该椭圆的离心率取值范围是
．
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
，点B 的坐标为(0, )
b ，若C 上的任意一点P 都满足PB
b
，则C
的离心率取值范围是
．
题型五：双曲线渐进线相关问题
1.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的离心率为6，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．�=±
5�
B．�=±
6�
C．�=±
5
5 �
D．�=±
6
6 �
2.已知双曲线��2 −�2 = 1 的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．�=± 2�
B．�=±
1
2 �
C．�=±
2�
D．�=±
2
2 �
3.已知双曲线�:
�2
3�+2 −
�2
�= 1(�> 0)的实轴长等于虚轴长的2 倍，则�的渐近线方程为（
）
A．�=±
1
2 �
B．�=±
2
2 �
C．�=± 2�
D．�=±
2�
4.双曲线
2
2
1
3
6
x
y
m
m
的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
y
x
D．
1
2
y
x
5.已知双曲线
2
2
1 :
1(
0)
4
x
y
C
m
m
与双曲线
2
2
2 :
1(
0)
2
y
x
C
m
m
有共同的渐近线，则m （
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．4
6．已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
的左、右焦点，点M 在E 上，
1
2
2
1
:
:
2: 3: 4
F F
F M F M
，则双曲
线E 的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
1
2
y
x
C．
3
y
x
D．
3
3
y
x
7．过原点的直线l 与双曲线E：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
交于A，B 两点（点A 在第一象限），AC
x
交x
轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D，且
1
AB
AD
k
k
，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
2
y
x
B．
1
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
2
y
x
86
8.已知双曲线�：
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0，�> 0)的左、右焦点分别�1，�2．�是�上一点(在第一象限)，直线��2
与轴�交于点�，若��1 ⊥��1，且3 ��2 = 2 �2�，则�的渐近线方程为（
）
A．�=±
2 5
5 �
B．�=±
5
2 �
C．�=±
5
5 �
D．�=±
5�
9.已知
1
2
,
F F 为双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左、右焦点，过
2
F 的直线l 与双曲线的渐近线交于A、B
两点，满足A，B 均在y 轴右侧，且
1
ABF
为正三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（
）
A．
2 3
3
x
y
B．
2 3
3
y
x
C．
2
y
x
D．
2
x
y
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
虚轴的一个顶点为D，
1
2
,
F F 分别是C 的左，右焦点，直线
2
x
a
与
C 交于A，B 两点．若
ABD
△
的重心在以
1
2
F F 为直径的圆上，则C 的渐近线方程为（
）
A．
7
8
y
x
B．
8
7
y
x
C．
2 14
7
y
x
D．
14
4
y
x
11．设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在
第一象限分别交于
,
A B 两点，O为坐标原点，若
1
2
OA
OF
OB
，则双曲线C 的渐近线方程
为
.
12．（多选）已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
与双曲线
2
2
2 :
1
4
y
C
x
有公共的焦点，
2
C 的一条渐近线与
以
1
C 的长轴为直径的圆相交于
,
A B 两点，若
1
C 恰好将线段AB 三等分，则（
）
A．
2
11
2
a
B．
2
8
a
C．
2
1
2
b
D．
2
3
b
13．已知F1，F2 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，P 为双曲线C 上的动点，
1
2
10
F F
，
1
2
8
PF
PF
，点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离分别为
1d ，
2
d ，则
1
2
d d
＝
．
题型六：直线与双曲线的位置关系
1．讨论直线y
x
b
与双曲线
2
2
1
x
y
的公共点的个数．
87
2.直线3
4
0
x
y
与双曲线
2
2
1
9
16
y
x
的交点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3.已知直线�: �= 2�−8，双曲线�:
�2
4 −�2 = 1，则（
）
A．直线�与双曲线�有且只有一个公共点
B．直线�与双曲线�的左支有两个公共点
C．直线�与双曲线�的右支有两个公共点
D．直线�与双曲线�的左右两支各有一个公共点
4.双曲线
2
2
1
9
4
x
y
与直线
2
3
y
x
m m
R 的公共点的个数为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或1 或2
5.过点
1,2
P
的直线l 与双曲线
2
2
1
4
x
y
的公共点只有1 个，则满足条件的直线l 有（
）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．5 条
6．直线
1
y
kx
与双曲线
2
2
1
x
y
有且只有一个公共点，则实数k
．
7.过双曲线�：�2 −
�2
3 = 1 左焦点为�和点�0,2 3 直线�与双曲线�的交点个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．若直线l 与单位圆（圆心在原点）和曲线
2
2
1
4
8
x
y
均相切，则直线l 的一个方程可以是
9.若直线�: �+ ��−�−2 = 0 与曲线
�2
4 −�2 = 1 有且只有一个交点，则满足条件的直线�有（
）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
10．已知双曲线
2
2
4
x
y
，直线
:
1
l y
k x
，若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k 的范
围
．
88
11.如果直线l 经过双曲线
2
2
9
4
36
x
y
的中心，且与该双曲线不相交，则l 的斜率的取值范围是（
）
A．
3 3
,
2 2
B．
3
3
,
,
2
2
C．
3
0, 2
D．
3 ,0
2
题型七：直线与双曲线的交点及弦长
1.过双曲线
�2
3 −
�2
6 = 1 的右焦点�2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B 两点，则��的值为（
）
A．
4
5
3
B．
8
5
3
C．
16
5
3
D．
32
5
3
2．已知双曲线C ：
2
2
1
3
x
y
，若直线l 的倾斜角为60°，且与双曲线C 的右支交于M，N 两点，与x 轴
交于点P，若
3
2
MN
，则点P 的坐标为
.
3．双曲线
2
2
2
2
1(
0
0)
y
x
a
b
a
b
，
的一条渐近线方程为
3
3
y
x
，过焦点且垂直于y 轴的弦长为6．
(1)求双曲线方程；
(2)过双曲线的下焦点作倾角为45的直线交曲线于M 、N ，求MN 的长．
4．已知双曲线C 离心率为
3 ，且过
3,0 点，过双曲线C 的右焦点
2
F 且倾斜角为π
3 的直线l 交双曲线于
,
A B 两点，O为坐标原点，
1F 为左焦点.
(1)写出直线l 的方程；
(2)求双曲线的标准方程；
(3)求AOB
的面积.
5．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
，焦点到渐近线的距离为
3 ，且离心率为
7
2
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线:
3
l y
kx
与双曲线交于
,
M N 两点，若
16 3
MN
，求k 的值．
89
6．已知双曲线C 经过点
2,
2
P
，且其两条渐近线相互垂直．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点
0,2
Q
的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E
F
、
，若OEF
的面积为2 2 （O为坐标原点），求
直线l 的方程．
7．已知圆
2
2
:
3
16
M
x
y
，圆
2
2
:
3
4
N
x
y
，圆P 与圆M，圆N 都外切，圆P 的圆心的轨迹记为
Q．
(1)求Q 的方程；
(2)若直线:
3
4
l y
x
与Q 交于A，B 两点，求AB ．
8．已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦距为6，且虚轴长是实轴长的
2 倍.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为π
4 的直线l 与双曲线交于A，B 两点，求AB .
9.过双曲线
2
2
4
x
y
的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B 两点，则弦长AB
．
10.已知双曲线
2
2
:
1
3
x
C
y
，直线:l y
x
m
被C 所截得的弦长为4 6 ，则m
．
11.已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
的右焦点为F，过F 的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，若AB
4
，则这样
的直线l 有（
）
A．0 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
90
12.已知�是双曲线�: �2 −
�2
3 = 1 的左焦点，过点�的直线与�交于�, �两点（点�, �在�的同一支上），且
��= 2 ��，则��=（
）
A．6
B．8
C．
13
2
D．
27
4
13.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的左焦点为�1，圆�: �2 + �2 = �2.若过�1的直线分别交�的左、右
两支于A，B 两点，且圆�与�1�相切，�的离心率为3, �1到�的渐近线的距离为2 2，则|��| =（
）
A．
32
7
B．
30
7
C．
20
7
D．
16
7
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
2
1
2
5,0 ,
5,0 ,
4
F
F
MF
MF
，动点M 的轨迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)若直线
3
:
4
l y
x
t
交C 于
,
A B 两点，且
2 11
AB
，求直线l 的方程．
题型八：双曲线的“中点弦”问题
【部分小题可参照双曲线中点弦斜率二级公式快速求解】
1.直线l 与双曲线�2 −
�2
9 = 1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为点�−1, −4 ，则直线l 的斜率为（
）
A．−
4
9
B．
4
9
C．−
9
4
D．
9
4
2.直线�与双曲线�2 −
�2
4 = 1 交于�、�两点，线段��的中点为�(3,2)，则直线�的斜率为(
)
A．3
B．6
C．8
D．12
3.设A，B 为双曲线
2
2
1
8
16
x
y
上的两点，若线段AB 的中点为
1,2
M
，则直线AB 的方程是（
）
A．
3
0
x
y
B．2
3
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
2
3
0
x
y
4．过点
2,1
P
的直线l 与双曲线
2
2
1
3
y
x
相交于
,
A B 两点，若P 是线段AB 的中点，则直线l 的方程是（
）
A．6
11
0
x
y
B．6
13
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
4
0
x
y
91
5.已知双曲线
2
2
: 2
2
C
x
y
，过点
(1,2)
P
的直线l 与双曲线C 交于M､N 两点，若P 为线段MN 的中点，则
弦长|MN|等于（
）
A．4 2
3
B．3 3
4
C．4 3
D．4 2
6.直线
1
y
x
被双曲线
2
2
2
1
x
y
所截得的弦的中点坐标是
.
7．不与x 轴重合的直线l 过点N（
N
x ,0）（xN≠0），双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
＝（a＞0，b＞0）上存在两点A、B
关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为
M
x ．若
4
N
M
x
x
，则C 的离心率为
．
8．已知
2,0 ,
2,0
A
B
，直线
,
AM BM 相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点
2,3
N
能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P，Q，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m
的方程；若不能，说明理由．
9．已知双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
，过点
0,1
A
作直线l 交双曲线于
1P ，
2P ，若线段
1
2
PP 的中点在直线
1
2
x
上，
求直线l 的斜率．
10．已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为
7,0
F
，直线
1
y
x
与其相交于M 、N 两点，线段
MN 中点的横坐标为
2
3
，求此双曲线的方程．
92
题型九：双曲线的实际应用
1.江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10 米，水面宽��= 20 5米，若
水面上升5 米，则水面宽为（
）
A．10 2米
B．15 2米
C．12 3米
D．30 米
2．如图，B 地在A 地的正东方向4km处，C 地在B 地的北偏东30方向2km处，河流的沿岸PQ （曲线）
上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B、C 两地转运
货物．经测算，从M 到B、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km、2a 万元/km，那么修建这两条公路
的总费用最低是（
）
A．(2 7
2)a
万元
B．5a 万元
C．(2 7
1)a
万元
D．(2 3
3)a
万元
3.圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用
了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都
经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 的左、右焦点分别为�1，�2，
当入射光线�2�和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），cos∠�1�2�=
7−1
4 ，则该双曲线的离心率
为（
）
A．2
B．2
C．
7
2
D．7
93
4．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，
基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似
为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小
直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为
．
5．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：
1F ，
2
F 是双曲线的左
､右焦点，从
2
F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过
1F ；当P
异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分
1
2
FPF
.若双曲线C 的方程为
2
2
1
9
16
x
y
，则下列结论正确
的是（
）
A．射线n 所在直线的斜率为k ，则
4 4
,
3 3
k
B．当m
n
时，
1
2
32
PF
PF
C．当n 过点
7,5
Q
时，光线由
2
F 到P 再到Q 所经过的路程为13
D．若点T 坐标为
1,0 ，直线PT 与C 相切，则
2
12
PF
6.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，
正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离是1020m.则该巨响发生在接报
中心的（）处.（假定当时声音传播的速度为340m/s3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北45°方向，距离680 10m
B．东偏南45°方向，距离680 10m
C．西偏北45°方向，距离680 5m
D．东偏南45°方向，距离680 5m
94
7.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的
材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成
是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面
图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 22 m，楼顶直径为50 6 m，最细处
距楼底300 m，则该地标建筑的高为（
）
A．350 m
B．375 m
C．400 m
D．450 m
8．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P
为双曲线（
1F ，
2
F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分
1
2
FPF
．已知双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y
，O 为坐标原
点，l 是点
10
3,
2
P
处的切线，过左焦点
1F 作l 的垂线，垂足为M，则OM
．
9．如图，某绿色蔬菜种植基地在A 处，现要把此处生产的蔬菜沿道路
1
AA 或
2
AA 运送到农贸市场
1
2
3
4
A A A A
中去，已知
1
10km
AA
，
2
15km
AA
，
1
2
60
A AA
，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧
的点沿道路
1
AA 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路
2
AA 运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什
么曲线，并求出该曲线的方程.
95
10．如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），
可以加强对流，自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为
55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.
附：
2
660
600
481
5
11．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地．A 在B 的正东，相距6 千米；C 在B 的北偏西30°，相距4 千米．P
为敌炮兵阵地．某时刻A 发现P 地某种信号，4 秒后B 、C 两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度
为1 千米/秒）．若从A 地炮击P 地，求准确炮击的方位角．
题型十：双曲线的综合问题
1．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
经过点
3, 2 ，其中一条渐近线为
3
3
y
x
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)一条过双曲线C 的右焦点F 且纵截距为2
的直线l ，交双曲线C 于P ，Q 两点，求OP OQ
的值.
2.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的一条渐近线为y
x
，且双曲线C 的虚轴长为2 2 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)记O为坐标原点，过点
0,2
Q
的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点M 、N ，若OMN
的面积为2 2 ，
求直线l 的方程．
96
3.已知双曲线
1
C 过点( 4,3 2)
且与双曲线
2
2
2 :
1
2
3
x
y
C
有共同的渐近线，1F ，
2
F 分别是
1
C 的左、右焦点．
(1)求
1
C 的标准方程；
(2)设点P 是
1
C 上第一象限内的点，求
1
2
PF PF
的取值范围．
4.已知两定点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，满足条件
2
1
2
PF
PF
的点P 的轨迹是曲线E ，直线
1
y
kx
与曲线
E 交于
,
A B 两个不同的点．
(1)求曲线E 的方程；
(2)求实数k 的取值范围；
5．已知圆
2
2
1 : (
3)
9
C
x
y
，
2
2
2 : (
3)
1
C
x
y
，动圆M 与圆
1
C ，
2
C 均外切，记圆心M 的轨迹为曲线
C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)直线l 过点
2
C ，且与曲线C 交于
,
A B 两点，满足
2
2
3
AC
C B
，求直线l 的方程．
6.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
经过点
2,0
A
，离心率为5 ，直线l 过点
3,0
D
且与双曲线C 交于
两点
,
P Q （异于点A ）.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值，并求出该定值.
97
7．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
a
a
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .过
2
F 的直线l 交C 的右支于M，N 两点，
当l 垂直于x 轴时，M，N 到C 的一条渐近线的距离之和为2 2 .
(1)求C 的方程；
(2)证明：
1
1
2
2
MF
NF
MF
NF
为定值.
8．已知双曲线C :
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
（
）的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，双曲线C 的右顶点A 在圆
O :
2
2
1
x
y
上，且
1
2
3
AF
AF
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O 为
坐标原点）的面积．
9．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2 ，过点
1,0
E
的直线l 与C 左右两支分别交于M，
N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P 为线段MN 的中点，求直线OP 与直线MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若A，B 为双曲线的左右顶点，且AB
4
，试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
98
10．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的两条渐近线分别为1 :
2
x
l
y
，2 :
2
x
l
y
.
(1)求双曲线E 的离心率；
(2)O为坐标原点，过双曲线上一点
2 2,1
P
作直线l 分别交直线1l ，2l 于A ，B 两点（A ，B 分别在第一、
第四象限），且
2
PB
AP
，求AOB
的面积.
模块三：综合巩固
1．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4 ，其两条渐近线方程为2
0
x
y
，该双曲线的焦点为（
）
A．
2 3,0
B．
4 3,0
C．
2 5,0
D．
4 5,0
2.双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b
的焦距为4，则C 的渐近线方程为（
）
A．
15
y
x
B．
3
y
x
C．
15
15
y
x
D．
3
3
y
x
3．已知双曲线
2
2
:
1
16
9
x
y
C
的左焦点为F ，过原点O的直线与C 的右支交于点A ，若
OAF
△
为等腰三角
形，则点A 到x 轴的距离为（
）
A．9
5
B．12
5
C．3
D．5
4.已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4 ，其两条渐近线方程为2
0
x
y
，该双曲线的焦点为（）
A．
2 3,0
B．
4 3,0
C．
2 5,0
D．
4 5,0
5．已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
,
F B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O为坐标原点，OM
交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
2
B．2
C．
3
D．2 3
3
6.已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
16
x
y
B．
2
2
1
4
x
y
C．
2
2
1
16
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
99
7．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
b
a
的一条渐近线方程为
5
2
y
x
，且与椭圆
2
2
1
3
12
x
y
有公共焦
点，则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
8
10
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
4
3
y
x
D．
2
2
1
5
4
y
x
8.已知双曲线
2
2
1
2
3
x
y
的左右焦点分别是
1F 、
2
F ，过
1F 的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，则满足
3 2
AB
的直线l 有
A．1条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
9．已知
1F ，
2
F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，过
1F 的直线分别交双曲线左、右两
支于A，B 两点，点C 在x 轴上，
2
4
CB
F A
，
2
BF 平分
1F BC
，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
6
3
y
x
B．
2 2
3
y
x
C．
6
2
y
x
D．
2 6
3
y
x
10.已知双曲线C：
2
2
1
9
y
x
，若双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，则这条弦所在直线的斜率为（
）
A．
9
4
B．1
C．1
D．9
4
11.已知双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的左右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0
F
c
F c
，若双曲线左支上存在点P 使得
2
3
2
2
PF
c
a
，则离心率的取值范围为（
）
A．(1,4]
B．[6,
)
C．[4,
)
D．[2,
)
12．已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
右支上非顶点的一点A 关于原点的对称点为
,
B F 为双曲线的右焦点，
若AF
BF
，设
ABF
，且
π
π
,
12 4
，则该双曲线的离心率的取值范围为（
）
A．
1,
2
B．
2,2
C．
2,
D．
2,
100
13．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点
2
F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向
延长线经过左焦点
1F ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双
曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
1
2
,
F F 分别为其左、右焦点，若从右焦
点
2
F 发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后（
2
F ，A，B 在同一直线上），满足
3
,
4
AB
AD
ABC
，
则该双曲线的离心率的平方为（
）
A．
2
1
B．
2
3
C．5
2 2
D．5
2 2
14.（多选）已知直线
:
2
l y
k x
，双曲线
2
2
:
1
C x
y
，则（
）
A．当
1
k 时，l 与C 只有一个交点
B．当
1
k 时，l 与C 只有一个交点
C．当
1
2
k
时，l 与C 的左支有两个交点
D．当
2
k
时，l 与C 的左支有两个交点
15．（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
M
a
b
a
b
的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则下列说法正确
的是（
）
A．M 的离心率为2 3
3
B．M 的标准方程为
2
2
1
2
x
y
C．M 的渐近线方程为
3
y
x
D．直线
2
0
x
y
经过M 的一个焦点
101
16．（多选）在平面直角坐标系中，已知
(2,0)
F
，过点F 可作直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，使|
| 2
MN
，
则曲线C 可以是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
2
1
6
2
x
y
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
3
y
x
17.（多选）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0 ,
F
c
F c
P
是C 右支上一点，
下列结论正确的有（
）
A．若C 的离心率为
7
2
，则过点
2,3
M
且与C 的渐近线相同的双曲线的方程是
2
2
1
3
2
y
x
B．若点
2
, 2
b
A c
a
，则
2
AP
PF
的最小值为
4
2
2
4
2
4
b
c
a
a
C．过
1F 作
1
2
FPF
的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 到直线
2
0
x
y
a
的距离的最大值为3a
D．若直线
2
PF 与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M ，且
2
2
PF
PM
，则C 的离心率为
3
18．直线
1
y
kx
与双曲线
2
2
1
x
y
的左支交于不同两点，则实数k 的取值范围为
．
19．双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，离心率为
5
2 ，焦点F 到渐近线距离为1，则双曲线方程为
．
20．已知双曲线
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
，其一条渐近线被圆
2
2
3
8
x
y
截得的弦长为2 2 ，则该双曲线的
虚轴长为
.
21.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的焦点分别为
1
2,
F
F M
、
为双曲线上一点，若
1
2
2π
21
,
3
3
F MF
OM
b
，
则双曲线的渐近线方程为
.
22.已知双曲线C 的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，
1
2
8
F F
，过
2
F 的直线与C 的右支交于A，B 两点，且
1
1
4
AF
BF
AB
.则C 的离心率为
.
102
23.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的焦点到渐近线的距离为2 ，且直线
3
y
x
与双曲线没有公共点，则a
的取值范围是
.
24．已知双曲线E 的两个焦点分别为
1
2
0
,
,
2 0
, 2
F
F
，并且E 经过点
(2,3)
P
.过点
(0,1)
M
的直线l 与双曲
线E 有且仅有一个公共点，则直线l 的方程为
.
25．已知P 为双曲线
2
2
1
4
5
x
y
上一点，以P 为切点的切线为l ，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于
点
,
M N ，则OMN
（O为坐标原点）的面积为
．
26．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x 轴上，两顶点间的距离是10，且经过点
10,3 ；
(2)一个焦点坐标为
5,0 ，一条渐近线方程为3
4
0
x
y
．
27.已知双曲线
2
2
16
9
144
x
y
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据k 的不同取值，讨论直线:
1
l y
kx
与该双曲线的交点个数
28.已知双曲线
2
2
2
:
1(
0)
x
C
y
a
a
的一条渐近线方程为
1
2
y
x
，点
( ,0)
P t
.
(1)若
3
t
，O为坐标原点，过点P 且斜率为1的直线l 与双曲线C 交于A B
、两点，求OAB
的面积；
(2)若点
( , )
Q x y 是双曲线C 上任意一点，当且仅当Q 为双曲线的顶点时，|
|
PQ 取得最小值，求实数t 的取值
范围．
103
29．已知双曲线E ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
( 5
)
,0
F
，过F 且斜率为1 的直线与E 的渐近线分别
交于A ，B 两点（A 在第一象限），O为坐标原点，|
|
3
|
|
OA
OB
．
(1)求E 的方程；
(2)过点(4,0) 且倾斜角不为0 的直线与E 交于C ，D 两点，与E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，证明：
|
| |
|
CP
DQ
．
30．已知双曲线Γ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，
1A ，
2
A 为Γ的左、右顶点，
3
7, 2
P
为Γ上一点，
1
PA 的斜
率与
2
PA 的斜率之积为1
4 ．过点
3,0
A
且不垂直于x 轴的直线l 与Γ交于M，N 两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F 为直线
3
x
上关于x 轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF 的交点在定直线上．
104
3.5 抛物线及其标准方程
模块一：基础知识
考点一：抛物线的定义
1.定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫
做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．如图所示，抛物线上的点M 到定点F 的距离为|MF|，到定直
线l 的距离为|MH|，则|MF|=|MH|
2.抛物线集合表示：
,
为点
到准线的距离
P
M MF
d d
M
l
．
3.要点辨析：
（1）定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，
这也是利用抛物线定义解题的实质．
考点二：抛物线的标准方程
1.抛物线的标准方程
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
2
2
(
0)
y
px p
,0
2
p
F
2
p
x
2
2
(
0)
y
px p
,0
2
p
F
2
p
x
2
2
(
0)
x
py p
0, 2
p
F
2
p
y
2
2
(
0)
x
py p
0,
2
p
F
2
p
y
2.注意：①“ p ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0；
②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．
3.对标准方程的理解
（1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
（2）焦点的非零坐标是一次项系数的1
4
．
（3）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称．
105
（4）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p
的值决定开口大小，p 越大，则抛物线开口越大；p 越小，则抛物线开口越小．
（5）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线．
考点三：解题技巧与方法
1.由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得
到参数p ，从而得焦点坐标与准线方程，要注意
0
p
；
（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，
系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。
2.求抛物线标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标
准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的
方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，
为避免开口方向不确定可分为y
2＝2px(p>0)和y
2＝－2px(p>0)两种情况求解
法二
设成y
2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m 有两个解，则抛物
线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x
2＝my(m≠0)．如果
不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程
模块二：题型分类
题型一：抛物线方程简单应用
1.准线方程为
1
y 的抛物线的标准方程是（
）
A．
2
4
x
y
B．
2
8
y
x
C．
2
4
y
x
D．
2
8
x
y
= -
2.已知抛物线的焦点是
(0,2)
F
，则抛物线的标准方程是（
）
A．
2
8
y
x
B．
2
8
x
y
C．
2
8
y
x
D．
2
8
x
y
= -
3.抛物线�= 4�2的焦点坐标是（
）
A．1,0
B．0,1
C．
1
16 , 0
D．0,
1
16
4.抛物线
2
8
x
y
= -
的准线方程是（
）
A．
1
32
x
B．=
2
y
C．
1
32
y
D．
2
y
106
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
4
y
；
(2)顶点在原点，且过点
3,2
；
(3)顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3
4
12
0
x
y
上；
(4)焦点在x 轴上，且抛物线上一点
3,
A
m 到焦点的距离为5.
题型二：抛物线的定义及辨析
1.已知抛物线
2
2
y
x
，则其焦点到准线的距离为（
）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．4
2．（多选）已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为
,
F O 为坐标原点，点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，若
4
MF
，则
（
）
A．
0
3
x
B．
0
2 3
y
C．
21
OM
D．F 的坐标为
0,1
3.已知抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点为
,
F 点M 在C 上. 若M 到直线
2
x 的距离为4，则MF （
）
A．7
B．6
C．5
D．4
4.已知抛物线�2 = 2��(�> 0)上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（
）
A．�2 = �
B．�2 = 2�
C．�2 = 4�
D．�2 = 8�
5．已知抛物线
2
4
x
y
的焦点为F ，点M 在抛物线上，且
3
MF
，则M 点到y 轴的距离为（
）
A．2 3
B．2 2
C．2
D．1
6．已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的顶点为O，经过点
0,2
A x
，且F 为抛物线C 的焦点，若
3
AF
OF
，
则p＝（
）
A．1
2
B．1
C．
2
D．2
107
7．已知抛物线
2
2
x
py
上一点
0,2
A x
到焦点的距离是该点到x 轴距离的2 倍，则p
．
8．已知抛物线E ：
2
8
x
y
的焦点为F ，点P 为E 上一点，Q 为PF 靠近点P 的三等分点，若
10
PF
，则Q
点的纵坐标为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
9．若抛物线
2
2
y
x
上的两点A，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是
．
10.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，准线为�，点�是抛物线�上一点，��⊥�于�.若��=
2, ∠���= 60∘，则抛物线�的方程为（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 = 2�
D．�2 = �
11．（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线�2 = 10�的有（
）
A．焦点在y 轴上
B．焦点在x 轴上
C．抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)
12．（多选）对于抛物线上
1
8 �2 = �，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为0,2
B．开口向上，焦点为0,
1
16
C．焦点到准线的距离为4
D．准线方程为�=−2
13.若抛物线
2
4
x
y
上的一点A 到焦点的距离为5，则点A 的纵坐标是（）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
14.已知�为抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，点�在�上，且点�到直线�=−�的距离为3�，则��=（
）
A．3�
B．2�
C．
7
2 �
D．
5
2 �
15.已知点��, 2 为抛物线�2 = 2���> 0 上一点，且点�到抛物线的焦点�的距离为3，则�=（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．4
108
16.已知抛物线C：�2 = 4 3�的焦点为F，点P 为抛物线C 上一点，过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足
为M，且∠���=
2π
3 ，则��=（
）
A．2
B．4
C．4 3
D．
4 3
3
17.已知抛物线�: �2 = 2���> 0 的焦点为�, �为�上一点，�为坐标原点，当∠���=
2π
3 时，��= 6，则�=
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
18.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若
AFB
△
是
边长为2 的等边三角形，则p 的值是（
）.
A．1
B．
3
C．2
D．2 3
题型三：抛物线的轨迹问题
1.到定点�(1,0)的距离比到�轴的距离大1 的动点且动点不在�轴的负半轴的轨迹方程是（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 = 2�
D．�2 = �
2.点P 到直线
3
y 的距离比到点
0, 1
F
的距离大2，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
4
x
y
D．
2
4
x
y
3．写出一个与直线= 1
x 相切，且与圆
2
2
2
1
x
y
外切的圆的方程
.
4.若圆C 与x 轴相切且与圆
2
2
4
x
y
外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（
）
A．
2
4
4
x
y
B．
2
4
4
x
y
C．
2
4
4
x
y
D．
2
4
4
x
y
5.一个动圆与定圆�：�+ 2 2 + �2 = 1 相内切，且与定直线�: �= 3 相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程
是（
）
A．�2 = 8�
B．�2 = 4�
C．�2 =−4�
D．�2 =−8�
6．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点
1,0
F
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直
径；②点P 到
1,0
F
的距离比P 到y 轴的距离大1.在①和②中选择一个作为条件.
选择条件：，求曲线C 的方程.
109
7．已知直线l 平行于y 轴，且l 与x 轴的交点为(4,0) ，点A 在直线l 上，动点P 的纵坐标与A 的纵坐标相
同，且OA
OP
，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
8.已知点�到点�( −2,0)的距离比点�到直线�= 3 的距离小1.
(1)求点�的轨迹方程；
(2)求线段��中点�的轨迹方程.
9．平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
:
4
y
x
，F 为的焦点，A ，B 为上的两个不重合的动点，使得线
段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
10．已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的
轨迹方程．
11．已知点
,
P x y 到定点
1
0, 2
M
的距离比它到x 轴的距离大1
2 ，则PM
，点P 的轨迹点C 的方
程为
．
12.已知动点M 的坐标满足方程
2
2
(
1)
1
0
x
y
y
，则动点M 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
110
题型四：抛物线标准方程求解
1.已知抛物线C 关于x 轴对称，且焦点在直线3
2
6
0
x
y
上，则抛物线C 的标准方程为（
）
A．
2
4
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
8
y
x
2.焦点在直线2
5
10
0
x
y
上的抛物线的标准方程为（
）
A．
2
10
y
x
或
2
4
x
y
B．
2
10
y
x
或
2
4
x
y
C．
2
20
y
x
或
2
8
x
y
D．
2
20
y
x
或
2
8
x
y
= -
3．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点
1, 2
M
，求抛物线的标准方程和准线方
程.
4.分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点�2,3 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为
5
2.
5.已知抛物线�的顶点在原点，焦点�在坐标轴上，点�关于其准线的对称点为6,0 ，则�的方程为（
）
A．�2 =−8�
B．�2 =−4�
C．�2 = 8�
D．�2 = 4�
6.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)）的焦点为F，点�(�, 4)在抛物线C 上，且��= 4，则抛物线C 的准线
方程是（
）
A．�=−4
B．�=−2
C．�=−4
D．�=−2
7．点
(5,3)
M
到抛物线
2x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
8.抛物线�2 = 2��(�> 0)上纵坐标为2 的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（
）
A．�2 = 12�
B．�2 = 10�
C．�2 = 8�
D．�2 = 6�
111
9.如图，过抛物线�2 = 2��(�> 0)的焦点F 的直线�交抛物线于两点A、B，交其准线于C，��与准线垂直
且垂足为�，若��= 2 ��, ��= 3，则此抛物线的方程为（
）
A．�2 =
3�
2
B．�2 = 9�
C．�2 =
9�
2
D．�2 = 3�
10．如图，曲线
1
C 是以原点O为中心，
1F 、
2
F 为焦点的椭圆的一部分，曲线
2
C 是以
2
F 为焦点的抛物线的
一部分，A 是曲线
1
C 和
2
C 的交点且
2
1
AF F
为钝角，若
1
7
2
AF
，
2
5
2
AF
．求曲线
1
C 和
2
C 的方程．
题型五：抛物线相关量求解
1.已知抛物线C：
2y
mx
过点
2, 5 ，则抛物线C 的准线方程为（）
A．
5
8
x
B．
5
8
x
C．
3
8
x
D．
3
8
x
2.已知抛物线�: �= 6�2，则�的准线方程为（
）
A．�=−
3
2
B．�=
3
2
C．�=−
1
24
D．�=
1
24
3.已知抛物线C：�2 = ��过点2,
5 ，则抛物线C 的准线方程为（
）
A．�=
5
8
B．�=−
5
8
C．�=
3
8
D．�=−
3
8
4.已知抛物线�: �2 = ��(�> 0)上的点�(2,
2�)到其准线的距离为4，则�=（
）
A．6
B．
1
8
C．8
D．
1
4
112
5.已知抛物线�2 = 2��的焦点在直线�= 2�+ 1 上，则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知点P 在抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若
60
HPF
，点P 的横坐标为1，则p
.
7.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为F，准线为l，点A 在抛物线C 上，点B 在准线l 上，若△���
是边长为2 的等边三角形，则�的值是（
）.
A．1
B．3
C．2
D．2 3
8.设抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，准线为�, �是�上一点，�是�与�轴的交点，若��= 4 2, ��=
4，则�=（
）
A．2
B．2
C．2 2
D．4
题型六：抛物线定义求线段及和差最值
1.设抛物线
2
4
y
x
上一点P 到y 轴的距离为
1d ，到直线3
4
12
0
x
y
的距离为
2
d ，则
1
2
d
d
的最小值为
（
）
A．3
B．2
C．16
3
D．5
2．设P 是抛物线
2
8
y
x
上的一个动点，F 为抛物线的焦点，点
3,1
B
，则PB
PF
的最小值为
.
3.设抛物线�2 = 2�的焦点是�，点�是抛物线上的动点，且点�4,2 ，则��+ ��的最小值为（
）
A．
7
2
B．4
C．
9
2
D．5
4.已知抛物线方程为:�2 = 16�，焦点为�.圆的方程为�−5 2 + �−1 2 = 1，设�为抛物线上的点，�为
圆上的一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
5.已知点�2,5 ，且�是抛物线�: �2 = 4�的焦点，�为�上任意一点，则��+ ��的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
113
6.已知
3,2
A
，抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点为
,
F P 是抛物线C 上任意一点，则
PAF
△
周长的最小值为（
）
A．3 2
B．5
2 2
C．5
5
D．3
2 2
7.已知
( ,2),
( ,3)
A m
B n
，C 是抛物线
2
:
4
M
x
y
上的三个点，F 为焦点，
(4,3)
D
，点C 到x 轴的距离为d，
则AF
BF
CD
d
的最小值为（
）
A．10
B．6
2 5
C．11
D．7
2 5
8.已知
(5,2)
A
，点P 是抛物线
2
8
y
x
上的一点，点B 是圆
2
2
: (
2)
1
F
x
y
上的一点，则|
|
|
|
PA
PB
的最
小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，点
(3,1)
A
在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个动点，
且
ABF
△
周长的最小值为4
5
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．在平面直角坐标系xOy 中，M 是以F 为焦点的抛物线
2
2
0
y
px p
上任意一点，N 是线段MF 上
的点，且
3
4
MN
MF
，则直线ON 斜率的最大值为（
）
A．1
B．
2
2
C．
1
2
D．
3
3
11．已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p
在第一象限内的一点
,2
A a
到抛物线焦点F 的距离为3，若P 为抛物线准
线上任意一点，则当
PAF
△
的周长最小时，直线AP 的斜率为
.
12．已知
3,2
A
，若点P 是抛物线
2
8
y
x
上任意一点，点Q 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上任意一点，则PA
PQ
的最小值为
.
13．已知点
,
A B 分别是抛物线
2
:
4
C y
x
和圆
2
2
:
2
4
4
0
E x
y
x
y
上的动点，点A 到直线:
2
l x
的距
离为d ，则AB
d
的最小值为
．
114
14．已知A 为抛物线C ：
2
4
y
x
上的一个动点，F 为C 的焦点．
(1)当
2
AF
时，求A 的坐标；
(2)若点B 的坐标为
4,0 ，求AB 的最小值．
题型七：抛物线的实际应用问题
1.已知一隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1 米，跨度为2 米，建立适当的平面直角坐标系，求相应坐标系
下此拱形的抛物线方程．
2.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶
部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度��= 6m，那么车辆
通过隧道的限制高度为（
）
A．2.25m
B．3.25m
C．3.5m
D．3.75m
3.石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可
近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线C 的一部分，当水距离拱顶4 米时，水面的宽
度是8 米，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（
）
A．1 米
B．2 米
C．4 米
D．8 米
115
4.2024 年3 月20 号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球
背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴
截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点�处.若“金
色大伞”的深度为0.49m，则“金色大伞”的边缘�点到焦点�的距离为（
）
A．2.25m
B．2.74m
C．4.5m
D．4.99m
5.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 米时，水面宽8 米，一条木船宽4 米，木船露出水面上
的部分高为0.75 米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5 米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
6.上世纪90 年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993 年江宁区出资帮助洛南修建了宁
洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6 米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛
物线形的拱桥（图2）跨度��= 30m，拱高��= 5m，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱�1�1
的长度为
m.（精确到0.01m）
116
7.如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货
轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深
度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
8.一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射
聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.
(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；
(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.
9．如图1 所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的
照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结
构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2 是图1 的轴截面，A，B 两点关于抛物线的对称轴对称，F
是抛物线的焦点，∠AFB 是馈源的方向角，记为，焦点F 到顶点的距离f 与口径d 的比值f
d 称为抛物面
天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，tan
4 5
，
则其焦径比为（
）
A．
10
4
B．
10
8
C．
5
4
D．
5
8
117
10．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军
使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，
是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某
炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ 的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100 米，
DE 长为400 米，CD
CE
，
30
CAB
，建立适当的坐标系使得抛物线Γ 的方程为
2
2
0
x
py p
，则
（
）
A．
200
p
B．Γ 的准线方程为
100
y
C．Γ 的焦点坐标为
0, 50
D．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为50 3
3
11．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证
发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.
(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？
(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离
不变.求探照灯的深度.
118
12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，
如图所示.现要求水流最高点B 离地面5m，点B 到管柱OA 所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O
为圆心，以9m 为半径的圆上，求管柱OA 的高度.
13.如图，�地在�地东偏北45∘方向，相距2 2km 处，�地与东西走向的高铁线（近似看成直线）�相距4km
已知曲线形公路��上任意一点到�地的距离等于到高铁线�的距离，现要在公路旁建造一个变电房�（变电
房与公路之间的距离忽略不计），分别向�地、�地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路��所在曲线的方程；
(2)问变电房�应建在相对�地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最
短长度．
14．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为
2
2
1
100
25
x
y
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物
线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，
36
0, 5
为顶点的抛物线的一部分（从点C 到点B ）.已知观测点A
的坐标
6,0 ，当航天器与点A 距离为4 时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点C 的坐标；
(2)求航天器降落点B 与观测点A 之间的距离.
119
模块三：综合巩固
1.顶点在原点，焦点是
(0,3)
F
的抛物线的标准方程是（
）
A．
2
21
y
x
B．
2
12
x
y
C．
2
1
12
y
x
D．
2
1
12
x
y
2.抛物线
:
C
2
6
y
x
的准线方程为（
）
A．
2
x
B．
1
24
x
C．=
2
y
D．
1
24
y
3．抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，且抛物线C 与椭圆
2
2
1
2
x
y
在第一象限的交点为A，若AF
x
轴，则p （
）
A．2
B．1
C．2 2
3
D．2
3
4.已知抛物线
2
(
0)
y
mx m
的准线方程为= 1
x ，则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
5.动圆与定圆A：
2
2
(
2)
1
x
y
外切，且和直线x＝1 相切，则动圆圆心的轨迹是（
）
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
6．已知动点P(x，y)满足
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，则动点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
7.点
(5,3)
M
到抛物线
2x
ay
的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（
）
A．
2
1
12
x
y
B．
2
1
12
x
y
或
2
1
36
x
y
C．
2
12
x
y
或
2
36
x
y
D．
2
1
36
x
y
8．已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，
0,2
P
，点Q 在抛物线C 上，且PQ
PF
，则QF （
）
A．4
B．5
C．8
D．9
9.设点
(0,8)
A
，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的点P 到y 轴的距离为d ，若|
|
PA
d
的最小值为4，则p （
）
A．6
B．10
C．12
D．16
10．已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F，准线为l，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B.若
3
AF
，则
AFB
△
的外接圆面积为（
）.
A．27π
8
B．64π
27
C．9π
4
D．25π
16
11．设抛物线
2
4
x
y
上一点P 到x 轴的距离为d ，点Q 为圆
2
2
(
4)
(
2)
1
x
y
任一点，则d
PQ
的最小
值为（
）
A．2 5
1
B．2
C．3
D．4
120
12．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F，准线为l，A，B 为C 上两点，且均在第一象限，过A，B
作l 的垂线，垂足分别为D，E.若
1
AB ，
1
sin
4
DFE
，则
AFB
△
的外接圆面积为（
）.
A．16π
15
B．15π
16
C．14π
15
D．15π
14
13．已知ABC
的顶点在抛物线
2
2
y
x
上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC
的重心，则FA
FB
FC
的
值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14.（多选）对于抛物线
2
16
x
y
，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为(0,4)
B．开口向上，焦点为(4,0)
C．准线方程为
4
x
D．准线方程为
4
y
15．（多选）已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，O为坐标原点，点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上，若
5
MF
，
则（
）
A．F 的坐标为
1,0
B．
0
4
y
C．|
| 4 2
OM
D．
2
OFM
S
16.以直线
2
1
0
x
y
与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（
）
A．
2x
y
B．
2
2
x
y
C．
2
2
y
x
D．
2
4
y
x
17．（多选）已知抛物线C：
2
4
y
x
的焦点为F，准线为l，点
A
l ，线段AF 交抛物线C 于点B，过点B
作l 的垂线，垂足为H，若
3
FA
FB
，则（
）
A．
5
3
BH
B．
4
AF
C．
3
AF
BH
D．
4
AF
BH
18．
（多选）在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线
2
:
0
C y
ax a
的焦点，两点
,1
16
a
A
、
,
0
B a b
b
在抛物线C 上，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线C 的方程为
2
4
y
x
B．
4
b
C．以AB 为直径的圆的方程是
2
2
17
3
25
8
2
8
x
x
D．A 、F 、B 三点共线
121
19.已知抛物线C ：
2
2
0
x
py p
，若C 上一点
0,3
M x
到焦点F 的距离为6，则p 的值为
.
20．准线方程为
2
x 的抛物线的标准方程为
.
21.抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点到直线
1
y
x
的距离为
2 ，则p
.
22．抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，点P 在双曲线C：
2
2
1
4
2
x
y
的一条渐近线上，O 为坐标原点，若OF
PF
，
则△PFO 的面积为
.
23．过点
0,4
F
且与直线
4
0
y
相切的动圆圆心的轨迹方程为
．
24.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，若P 是该抛物线上一点，点
4,3
Q
，则PF
PQ
的最小值
.
25．已知直线l 是抛物线
2
:
2
C y
x
的准线，抛物线的顶点为O，焦点为F ，若A 为C 上一点，l 与C 的对
称轴交于点B ，在
ABF
△
中，sin
2sin
AFB
ABF
，则AB 的值为
．
26．已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q ，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的
轨迹方程
．
27．已知抛物线
2
2
y
px
上有
6, 6
P
，A，B 三点，且直线AB 过抛物线的焦点F，抛物线的准线l 与x 轴
交于点C，若
3
4
AF
AB
，则AB
，sin
ACB
．
28.根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
3
2
y
；
(2)焦点在x 轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y 轴，经过点(
)
1, 2
-
．
122
29．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为
2,0
F
；
(2)准线方程为：
4
y ；
(3)焦点到准线的距离为6.
30.已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的焦点F 到准线的距离为2．
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足
9
PQ
QF
，求点Q 的轨迹方程．
31．已知点A 的坐标为
3,2 ，点F 为抛物线
2
2
y
x
的焦点，若点P 在此抛物线上移动，求PA
PF
的最
小值，并求此时点P 的坐标．
123
3.6 抛物线的简单几何性质
模块一：基础知识
考点一：抛物线的简单几何性质
1.抛物线的简单几何性质：
标准方程
2
2
0
y
px p
2
2
0
y
px p
2
2
0
x
py p
2
2
0
x
py p
图象
性质
范围
0
x
y
R
，
0
x
y
R
，
0
x
y
R，
0
x
y
R，
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
O（0,0）
焦点
,0
2
p
F
,0
2
p
F
0, 2
p
F
0,
2
p
F
准线
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
离心率
哦
通径
垂直焦点所在轴并经过焦点的弦长：2p
2.范围：由方程
2
2
(
0)
y
px p
可知，对于抛物线上的点
( , )
M x y ，
0
x ，y
R
，抛物线在y 轴的右侧，开口
方向与x 轴的正方向相同；当x的值增大时，y 的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
3.离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和点M 到准线的距离d 的比MF
d
，叫做抛物线的离心率，用e表
示．由抛物线的定义可知，
1
e ．
4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4 个顶点，双曲线有2 个顶点，抛物线只有1 个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2 个焦点，抛物线只有1 个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
124
考点二：焦半径公式
1.焦半径的定义
设抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点M
0
0
(
,
)
x
y
，焦点为F ，准线为l ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径，过点
M 作准线l 的垂线段MH ，由抛物线的定义可知，
0
2
p
MF
MH
x
．
2.用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（2）抛物线
2
2
(
0)
y
px p
，
0
0
2
2
p
p
MF
x
x
．
（3）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
（4）抛物线
2
2
(
0)
x
py p
，
0
0
2
2
p
p
MF
y
y
．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径
公式．
3.焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解
题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单．
考点三：直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线的三种位置关系：
2.设直线l:y=kx+m，抛物线:
=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程
.
①若k≠0，当
>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当
=0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当
<0 时，直线与抛物线相离，无交点.
②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
考点四：抛物线的弦长公式
1.弦长公式
设直线与抛物线交于A
,B
两点，则
125
|AB|=
=
或
|AB|=
=
(k 为直线的斜率，k≠0).
2.中点弦问题
中点弦斜率：
0
AB
p
k
y
,
推导：由题意，知
2
2
2
2
y
px
，①
2
1
1
2
y
px
②
由①-②，得
1
2
1
2
1
2
(
)(
=2 (
)
y
y
y
y
p x
x
）
，故
1
2
1
2
1
2
2
y
y
p
y
y
x
x
，即
0
AB
p
k
y
.
所以，中点弦直线方程：直线AB 的方程为
0
0
0
(
)
p
y
y
x
x
y
．
3．抛物线的切线
过抛物线
=2px(p>0)上的点P
的切线方程是
.
抛物线
=2px(p>0)的斜率为k 的切线方程是
(k≠0).
考点五：焦点弦及二级公式
1.焦点弦长
抛物线
=2px(p>0)上一点A
与焦点F(
,0)的距离为|AF|=
，若MN 为抛物线
=2px(p>0)
的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=
+
+p(
,
分别为M,N 的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A
,B
，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程
弦长公式
y
2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y
2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x
2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x
2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)
2.焦点弦常用二级公式
根据抛物线的定义有
1
AF
AA
，
1
BF
BB
，
1
1
AB
AF
BF
AA
BB
故
1
1
AB
AF
BF
AA
BB
.
又因为
1
MM 是梯形
1
1
AA B B 的中位线，所以
1
1
1
2
AB
AA
BB
MM
，
从而有下列结论；
(1)
0
2
2
p
AB
x
(焦点弦长与中点关系)
(2)
1
2
AB
x
x
p
.
126
(3)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF|＝
p
1－cos θ
，|BF|＝
p
1＋cos θ
；
(4)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p
sin
2θ
(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝
p
2
2sin θ
(其中θ为直线AB 的倾斜角)；
(5) A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即
2
1
2
4
p
x x
，
2
1
2
y y
p
.
(6)
1
1
AF
BF
为定值2
P .
(7)以AB 为直径的圆必与准线l 相切.
(8)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切；
(9)以A1B1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(10)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
(11)经过原点与抛物线通径端点直线的斜率绝对值为2，即|k|=2
考点六：圆锥曲线中的定点问题策略
1.直线过定点策略
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
0
0
,
x
y
，常利用直线的点斜式方程
0
0
y
y
k x
x
或截距式y
kx
b
来证明.
2.圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有
关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
模块二：题型分类
题型一：利用抛物线标准方程求几何性质
1．求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程.
(1)
2
2
y
x
；
(2)
2
32
x
y
；
(3)
2
8
y
x
；
(4)
2
1
16
x
y
.
127
2.对抛物线�=
1
8 �2，下列描述正确的是（
）
A．开口向上，焦点为0，2
B．开口向上，焦点为0，
1
32
C．开口向右，焦点为2，0
D．开口向右，焦点为
1
32 ，0
3．（多选）关于抛物线
2
2
y
x
，下列说法正确的是（
）
A．开口向左
B．焦点坐标为
1,0
C．准线为
1
x
D．对称轴为x 轴
4.在同一坐标系中，方程
�2
�2 +
�2
�2 = 1 与��+ ��2 = 0 �> �> 0 的曲线大致是（
）
A．
B．
C．
D．
5.抛物线
2
1
8
y
x
上一点
0,2
A x
到其对称轴的距离为（
）
A．4
B．2
C．
2
D．1
6.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，
0,8
P x
是C 上一点，且P 到F 的距离与P 到C 的对称轴的
距离之差为2，则p （
）
A．1
2
B．1
C．2 或4
D．4 或36
7.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
2
4
y
x
上，则这个等边三角形的边长为（
）
A．8 3
B．4 2
C．4 3
D．3 2
8.已知点F 是抛物线
2
4
y
x
的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为4，则点A 的坐标
为（
）
A．(3,2 3)
B．(3, 3)
C．(1,2)
D．(2,2 2)
9.设抛物线C ：
2
2
x
py
的焦点为F ，
,4
M x
在C 上，
5
MF
，则C 的方程为（
）
A．
2
4
x
y
B．
2
4
x
y
C．
2
2
x
y
D．
2
2
x
y
128
10.若抛物线
2
y
mx
上一点( ,2)
t
到其焦点的距离等于3，则（
）
A．
1
4
m
B．
1
2
m
C．
2
m
D．
4
m
11．抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10 和6，则该点的横坐标
是
．
12.已知��≠0，则方程��2 + ��2 = 1 与��2 = ��在同一坐标系内对应的图形编号可能是（
）
A．①④
B．②③
C．①②
D．③④
13.已知�≠0，则方程��−
�
�−��+ �2 = 0 表示的曲线可能是（
）
A．
B．
C．
D．
14.边长为1 的等边AOB
，O 为坐标原点，AB x 轴，以O 为顶点且过
,
A B 的抛物线方程是（
）
A．
2
3
6
y
x
B．
2
3
3
y
x
C．
2
3
6
y
x
D．
2
3
3
y
x
15．已知抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3 和2 2 ，则p （
）
A．2
B．2 或4
C．1 或2
D．1
16.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且
PEF
是周长为
12 的正三角形.则抛物线C 的方程为
.
129
17.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线�2 = 2�上，则这个等边三角形的边长为（
）
A．2
B．2 3
C．4
D．4 3
18.�为抛物线�: �2 = 12�的焦点，直线�= 1 与抛物线交于�, �两点，则∠���为（
）
A．30∘
B．60∘
C．120∘
D．150∘
19.�, �是抛物线�2 = 2��(�> 0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△���的重心恰为F，若|��| = 5，
则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
20.在平面直角坐标系���中，抛物线�: �2 = 8�, �为�轴正半轴上一点，线段��的垂直平分线�交�于�, �两
点，若∠���= 120°，则四边形����的周长为（
）
A．64 3
B．64
C．80 3
D．80
题型二：由几何性质求抛物线方程
1．焦点是(3,0) 的抛物线的标准方程是
；准线方程是
2
x 的抛物线的标准方程是
.
2．分别根据下列条件写出相应的抛物线标准方程：
(1)焦点是
2,0
F
；
(2)准线方程是
1
y ．
3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点
2, 2 2
M
，求它的标准方程.
4.直线
2
0
x
y
与抛物线C ：
2y
ax
的图象相切，则C 的准线方程为（
）
A．
2
x
B．= 1
x
C．=
2
y
D．
1
y
5．（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点
(
3)
,
M m
到焦点的距离为5，求m 的值、
抛物线方程和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原
点，若OAB
的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
130
6．若抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的点
0, 2
A x
到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3 倍，则抛物线的标准方程
为（
）
A．
2y
x
B．
2
2
y
x
C．
2
3
y
x
D．
2
4
y
x
7．已知点
,4 2
P m
在抛物线：
2
2
0
y
px p
上，点F 为抛物线的焦点，且
6
PF
，则抛物线的
标准方程为
.
8．若抛物线
2
(
0)
y
mx m
的准线与圆
2
2
4
5
0
x
y
x
相切，求抛物线的准线和标准方程．
9．（多选）直线�= ��−�过抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点且与该抛物线交于M，N 两点，设O 为坐标
原点，则下列说法中正确的是（
）
A．�= 1
B．抛物线E 的准线方程是�= −1
C．以MN 为直径的圆与定直线相切
D．∠���的大小为定值
10．（多选）在平面直角坐标系���中，点�是抛物线�: �2 = ���> 0 的焦点，两点�
�
16 , 1 、��, �
�< 0
在抛物线�上，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线�的方程为�2 = 4�
B．�=−4
C．以��为直径的圆的方程是�−
17
8
2
+ �+
3
2
2
=
25
8
D．�、�、�三点共线
题型三：直线与抛物线的位置关系
1.直线
2
y
与抛物线
2
8
y
x
的公共点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．无数
2．过点
0,4
M
作直线l 与抛物线
2
8
y
x
只有一个公共点，这样的直线有几条？
131
3.直线�= ��−1 + 2 与抛物线�2 = 4�的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
4.过点�(0,1)与抛物线�2 = 2�只有一个公共点的直线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．0 条
5.已知抛物线方程
2
4
y
x
，过点
0,2
P
的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（
）条
A．0
B．1
C．2
D．3
6.“
1
k ”是“直线
0
kx
y
k
与抛物线
2
4
y
x
有唯一公共点”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
7．已知抛物线
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点为F，点P 是抛物线准线上一动点，作线段PF 的垂直平分线l ，
则直线l 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（
）
A．{0}
B．{1}
C．{0,1}
D．{1,2}
8．已知直线
(
1)
1
y
a
x
与曲线
2y
ax
恰有一个公共点，则实数a 的值为
.
9.设抛物线�2 = 8�的准线与�轴交于点�，若过点�的直线�与抛物线有公共点，则直线�的斜率的取值范围
是（
）
A．−
1
2 ,
1
2
B．[ −2，2]
C．[ −1，1]
D．[ −4，4]
10.已知抛物线�: �2 = �，点�(�, 1)，则“�> 1”是“过�且与�仅有一个公共点的直线有3 条”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11.已知点�( −2,0), �是抛物线�: �2 = 18�上的动点，则直线��的斜率的取值范围是（
）
A．−
1
2 ,
1
2
B．−
3
2 ,
3
2
C．[ −1,1]
D．−
3
2 ,
3
2
12.已知抛物线C 的方程为�2 =
1
2 �，过点�0, −1 和点��, 3 的直线l 与抛物线C 没有公共点，则实数t
的取值范围是（
）
A．−∞, −
2 ∪
2, + ∞
B．2 2, + ∞
C．−∞, −2 2
D．−
2,
2
132
题型四：抛物线的切线问题
1．过抛物线
2
4
x
y
上一点
4,4 的抛物线的切线方程为
.
2.抛物线�2 = 9�在点1,3 处的切线的斜率为（
）
A．－1
B．−
3
2
C．
3
2
D．1
3.已知点�(4, −2)在抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的准线上，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A，B，则
直线AB 的方程为（
）
A．�−�+ 2 = 0 B．2�−�+ 2 = 0
C．3�−�+ 2 = 0
D．�−2�+ 4 = 0
4．已知点
(0,2)
A
和抛物线
2
:
6
C y
x
，求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程．
5．点
,4
0
M m
m
为抛物线
2
2
0
x
py p
上一点，F 为其焦点，已知
5
FM
．
(1)求m与p 的值；
(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N，求FMN
的面积．
6.已知抛物线�：�2 = 4�，直线�= �与抛物线�交于�, �两点，过�, �两点分别作抛物线的两条切线交于点
�，若△���为正三角形，则�的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7.已知抛物线�：�2 = 4�，过直线�：�+ 2�= 4 上的动点�可作�的两条切线，记切点为�, �，则直线��
（
）
A．斜率为2
B．斜率为±2
C．恒过点0, −2
D．恒过点−1, −2
133
题型五：直线与抛物线交点及弦长
1.已知直线2�+ �−2 = 0 与抛物线�：�2 = 4�交于�, �两点，则��=（
）
A．5
B．5
C．3 5
D．4 5
2.设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，过点( 2,0)
且斜率为2
3 的直线与C 交于M，N 两点，则cos
MFN
（
）
A．2
3
B．3
4
C．4
5
D．5
6
3.已知抛物线�：�2 = 2���> 0 的焦点为�，过�且倾斜角为45∘的直线与�交于�, �两点，若��= 4，
则�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.如图，已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F，点M 在其准线上，
2 2
MF
，直线MF 的倾斜角为
135，且与C 交于A，B 两点，O 为坐标原点
(1)求C 的方程；
(2)求AOB
的面积.
5．已知点
2, 2 2
M
在抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上，倾斜角为45的直线l 经过抛物线C 的焦点F.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求线段AB 的长及ABO
的面积.
134
题型六：抛物线的中点弦问题
1．已知
,
A B 为抛物线
2
2
y
x
上的两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为
.
2.直线
2
y
kx
与抛物线
2
8
y
x
交于
,
A B 两点，AB 中点的横坐标为2，则k 为（
）
A．1
B．2
C．1
或2
D．以上都不是
3．已知抛物线
2
:
6
C y
x
，过
3,2
P
的直线l 交抛物线C 于
,
A B 两点，且PA
PB
，则直线l 的方程
为
.
4.过抛物线
2
:
2
E y
x
焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到x 轴距离为1，则AB （
）
A．2
B．9
4
C．3
D．4
5.双曲线
�2
3 −�2 = 1 和抛物线�2 = 2��（�> 0）的公共焦点为�，过点�的直线交抛物线于�，�两点，若��
中点的横坐标为6，则��=（
）
A．16
B．12
C．10
D．8
6.直线l 过抛物线
2
4
y
x
的焦点F ，且与抛物线交于
,
A B 两点，线段AB 中点的纵坐标为1，O 为坐标原点，
则O 到直线AB 的距离为（）
A．2 5
5
B．3 5
5
C．5
D．2
5
7.已知直线l 过抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点F ，与C 相交于
,
A B 两点，且
10
AB
．若线段AB 的中点
的横坐标为3，直线l 的斜率为
．
8.已知抛物线
2
5
x
y
，过点
5
( ,1)
4
P
作一条直线l 与抛物线交于
,
A B 两点，恰使得点P 平分AB ，则直线l 的
方程为
.
9.已知点P 到
0,4
F
的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4
，求l 的斜率.
135
10．直线
2
y
kx
交抛物线
2
2
0
y
px p
于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为2 ，抛物线的焦点到y
轴的距离为2 .
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与x 轴交于点D ，求
ABD
△
的面积.
11．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
其中一个焦点重合．过抛物线的焦点F
且斜率为1 的直线l 与抛物线交于
,
A B 两点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求线段AB 的中点P 的坐标．
题型七：焦半径及焦点弦应用
1.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，直线:
2
l y
x
与抛物线C 在第一象限交于点M ，则|
|
MF （
）
A．
2
B．2
C．2 2
D．4
2.过抛物线�2 = 4�的焦点，斜率为2 的直线�与抛物线相交于�、�两点，求线段��的长．
3．（多选）如图，过抛物线�2＝8�的焦点F，斜率为k 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，与抛物线准线交
于C 点，若B 是AC 的中点，则（
）
A．�=±
2
B．�=± 2 2
C．��= 9
D．��= 10
136
4.已知抛物线�: �2 = 4�的焦点为�，准线与�轴交于点�，直线�过其焦点�且与�交于� ， �两点，若直线��
的斜率为
2 5
5 ，则|��| =（
）
A．
4 5
5
B．
8 5
5
C．4
D．5
5.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点�到其准线的距离为2，过�的直线�与�交于�，�两点，则��的最
小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6.直线�经过抛物线�2 = 6�的焦点�，且与抛物线交于�，�两点．若��= 3 ��，则��=（
）
A．4
B．
9
2
C．8
D．
9
4
7．（多选）已知抛物线�: �2 = 4�的焦点为F，直线�: �= ��−1
�≠0 与抛物线C 交于A、B 两点，下
面说法正确的是（
）
A．抛物线C 的准线方程为�=−2
B．∠���>
π
2
C．�= 1 时，��= 4 2
D．
1
��+
1
��= 1
8.已知抛物线C 的方程为�2 = 2���> 0 ，若倾斜角为锐角的直线l 过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，
B 两点，且��= 3 ��，则直线l 的倾斜角为
．
9.已知抛物线�2 = 2�的焦点为F，过点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，则4 ��+ ��的最小值是
.
10.已知抛物线�: �2 = 4�的焦点为�，过点�的直线交�于�, �两个不同点，则下列结论正确的是
.
①若点�(2,2)，则|��| + |��|的最小值是3
②|��|的最小值是2
③若|��| ⋅|��| = 12，则直线��的斜率为±
2
2
④过点�, �分别作抛物线�的切线，设两切线的交点为�，则点�的横坐标为−1
137
11.已知�为坐标原点，过抛物线�: �2 = 2��(�> 0)焦点�的直线与�交于�, �两点，点�在第一象限，且
��= 2�.
(1)求直线��的斜率；
(2)若��=
16
3 ，求抛物线�的方程.
12.已知F 为抛物线�: �2 = 4�的焦点，过F 作两条互相垂直的直线�1，�2，直线�1与C 交于A，B 两点，直
线�2与C 交于D，E 两点，求��+ ��的最小值.
13.已知抛物线�2 = 4�.其焦点为F.
(1)求以�(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n 都经过抛物线�2 = 4�的焦点F，且与抛物线相交于A，B 两点和C，D 两点，
求四边形����面积的最小值．
题型八：与抛物线有关的范围和最值问题
1．已知
2,4
P
是抛物线C ：
2
2
0
y
px p
上一点，过C 的焦点F 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，则
9
AF
BF
的最小值为（
）
A．24
B．28
C．30
D．32
2．已知F 为抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A，B 两点，
直线2l 与C 交于D，E 两点，求AB
DE
的最小值.
138
3.已知抛物线�：�2 = 2���> 0 的焦点为�0,
1
2 ，�为抛物线�上一动点．若�0, −1 ，则
4 ��
2 ��+1的最大
值为（
）
A．6
B．
4 6
3
C．2 6
D．
8 6
3
4.设抛物线�: �2 = 2��(�> 0)，直线�−�+ 1 = 0 与�交于�，�两点，且��= 8．
(1)求抛物线�的方程；
(2)已知点�为�2 + �+ 1 2 = 1 上一点，过点�作抛物线�的两条切线��，��，设切点分别为�，�，试求
直线��，��斜率之积的最小值．
5.已知抛物线�: �2 = 2���> 0 ，过�4,0 的直线交抛物线C 于A，B 两点，O 是坐标原点，��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若F 点是抛物线C 的焦点，求��+ ��的最小值．
6.设F 为抛物线�: �2 = 2���> 0 的焦点，点P 在H 上，点�
7�
2 , 0 ，若��= ��= 5．
(1)求�的方程；
(2)过点F 作直线l 交H 于A、B 两点，过点B 作x 轴的平行线与H 的准线交于点C，过点A 作直线CF 的
垂线与H 的另一交点为D，直线CB 与AD 交于点G，求
|��|
|��|的取值范围．
139
7.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�0,1 ，过点�的直线�与�交于�, �两点，过�, �作�的切线�1, �2，
交于点�，且�1, �2与�轴分别交于点�, �.
(1)求证：��= ��；
(2)设点�是�上异于�, �的一点，�到直线�1, �2, �的距离分别为�1, �2, �，求
�1�2
�2 的最小值.
题型九：抛物线的定点问题
1．设抛物线C 的方程为
2x
y
，点M 为直线:
(
0)
l y
m m
上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线
MA，MB，切点分别为A ，B ．
(1)当M 的坐标为
1
0,
4
时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线AB 恒过定点．
2．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
经过点
2, 2 2
M
，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)如果
4
OA OB
，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
3．过点
, 2
P m
向抛物线²
4
x
y
引两条切线
,
PA PB ，切点分别为A，B，直线AB 恒过的定点为
.
4．已知抛物线
2y
ax
，直线l 交该抛物线于M，N 两点（直线l 不过原点），若
0
OM ON
，则直线l 经
过定点
．
140
5．已知双曲线：
2
2
1 1
5
5
1
x
y
m
m
m
的一个焦点与抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点重合.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l ：
8
x
ty
交抛物线C 于A、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O.
6．已知抛物线C ：
2
2
y
px
过点
2,4
A
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2) P ，Q 是抛物线C 上的两个动点，直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为4，证明：直线PQ 恒过定点．
7．已知点O 为平面直角坐标系的坐标原点，点F 是抛物线C：
2
4
y
x
的焦点．
(1)过点F 且倾斜角为4
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，求AOB
的面积；
(2)若点T 为直线
2
x 上的动点，过点T 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN 过
定点．
8.已知抛物线�: �2 = 2��的焦点与椭圆�':
�2
4 + �2 = 1 的上顶点重合，点�是直线�: �−2�−8 = 0 上任意一
点，过点�作抛物线的两条切线，切点分别为�、�．
(1)求抛物线�的方程．
(2)证明直线��过定点，并且求出定点坐标．
141
题型十：抛物线的定值问题
1．已知抛物线
2
2
C
y
px
：
的焦点为F.
(1)过点F 且斜率为
3 的直线交抛物线C 于P，Q 两点，若
16
3
PQ
，求抛物线C 的方程；
(2)过点F 的直线交抛物线C 于A，B 两点，直线AO，BO 分别与直线x
p
相交于M，N 两点，试判断ABO
与MNO
的面积之比是否为定值，并说明理由．
2．已知抛物线
2(
0)
y ax a
，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M
N
、
，都有
2
2
1
1
|
|
|
|
MP
NP
为定值，则点P 的坐标为
．
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心为C 的动圆过点
2,0 ，且在y 轴上截得的弦长为4，记C 的轨迹
为曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知
1,2
A
及曲线E 上的两点B 和D ，直线BD 经过定点
3,2
，直线AB
AD
、
的斜率分别为
1
2
k
k
、
，
求证：
1
2
k
k
为定值．
142
4．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C .①过点
1,0
F
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直
径；②点P 到
1,0
F
的距离比P 到y 轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件：求曲线C 的方程；
(2)在x 轴正半轴上是否存在一点M ，当过点M 的直线l 与抛物线C 交于Q
R
，
两点时，
1
1
MQ
MR
为定
值？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.
5．已知圆O ：
2
2
16
x
y
与y 轴相交于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过点B 作圆O 的切线1l ，P 是平
面内一动点，过点P 作1l 的垂线，垂足为Q ，且
0
PQ
PA QA
，记点P 的运动轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点A 且斜率不为0 的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点D ，证
明：
AD
MN 为定值.
143
6．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为π
6 的直线交抛物线于点M （M
在第一象限），MN
l
，垂足为N ，直线NF 交x 轴于点D ，
4 3.
MD
(1)求p 的值.
(2)若斜率不为0 的直线1l 与抛物线C 相切，切点为G ，平行于1l 的直线交抛物线C 于,
P Q 两点，且
π
2
PGQ
，点F 到直线PQ与到直线1l 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
7．设点F 为抛物线C：
2
2
0
x
py p
的焦点，过点F 且斜率为5 的直线与C 交于A，B 两点
2 6
AOB
S
△
（O 为坐标原点）
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点
0,2
E
作两条斜率分别为
1k ，
2k 的直线1l ，2l ，它们分别与抛物线C 交于点P，Q 和R，S.已知
EP EQ
ER ES
，问：是否存在实数，使得
1
2
k
k
为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明
理由.
144
模块三：综合巩固
1.已知抛物线
2
1
4
y
x
上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（）
A．17
16
B．5
C．6
D．4 2
2．过抛物线
2
4
y
x
的焦点F 的直线交该抛物线于
,
A B 两点，若
,
A B 两点的横坐标之和为3，则AB （
）
A．5
B．14
3
C．13
3
D．4
3.抛物线C 的方程为
2
4
x
y
，过点
(0,2)
P
的直线交C 于
,
A B 两点，记直线
,
OA OB 的斜率分别为
1
2
,
k k ，则
1 2
k k
的值为（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．
1
4
4.直线
1
y
x
与抛物线
2
4
y
x
交于A B
、两点，则AB （
）
A．6
B．8
C．10
D．12
5．已知圆
2
2
:(
1)
1
C
x
y
与抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的准线相切，则p （
）
A．1
8
B．1
4
C．8
D．2
6.已知抛物线
2
4
x
y
的焦点为F，直线l 过点F 且与抛物线交于P，Q 两点，若
2
FP
QF
，则直线l 倾斜
角的正弦值为（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．3
7.已知直线:
(
1)
l y
k x
，抛物线
2
:
4
C y
x
，l 与C 有一个公共点的直线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条、2 条或3 条
8.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
，过C 的焦点F 且倾斜角为π
3 的直线交C 于A，B 两点，线段AB 的中点为
W，
4
|
|
3
FW
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，经过点
,0
2
p
P
且斜率为2 2
3
的直线l 与抛物线C 交于
,
A B
两点，若|
| 2 |
|
AF
BF
，且
2
2
BOF
S
△
，则p （
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
2
4
y
x
上，则这个等边三角形的边长为
（
）
A．8 3
B．4 2
C．4 3
D．3 2
145
11．已知直线l：
0
2
p
y
x
p
与抛物线C：
2
2
y
px
交于A，B 两点，且
16
AB
，则C 的方程为（
）
A．
2
2
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
8
y
x
D．
2
12
y
x
12．已知抛物线C：
2
2
y
px
的焦点为
2,0
F
，过点
2,1
M
的直线与抛物线C 交于A，B 两点，且M 是
AB 的中点，则直线AB 的方程为（
）
A．
1
y
x
B．
4
7
y
x
C．
3
y
x
D．
2
5
y
x
13．已知点F 是抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点，
( 2,0)
P
，过F 斜率为1 的直线交抛物线于M，N 两点，
且
16
PM PN
，若Q 是抛物线上任意一点，且
( ,
)
PQ
PM
PN
R
，则
的最小值是（
）
A．0
B．1
3
C．1
2
D．1
14.（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（
）
A．抛物线没有离心率
B．抛物线的离心率为1
C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切
D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点
15．（多选）设抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，点
0,3
N
，若
10
MF
，且
NM
NF
，则抛物线C 的方程可以为（
）
A．
2
3
y
x
B．
2
4
y
x
C．
2
36
y
x
D．
2
18
y
x
16.（多选）设抛物线C:
²
2
y
px
的焦点为F，准线为= 1
x . 点A，B 是抛物线C 上不同的两点，且
8
AF
BF
，则（
）
A．
2
p
B．以线段AB 为直径的圆必与准线相切
C．线段AB 的长为定值
D．线段AB 的中点E 到准线的距离为定值
17．（多选）已知O 为坐标原点，抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点F 到其准线的距离为4，过点F 作直线l
交C 于M ，N 两点，则（
）
A．C 的准线为
2
x
B．
MON
的大小可能为π
2
C．MN 的最小值为8
D．
2
MF NF
MF
NF
146
18．（多选）已知O 为坐标原点，M 为抛物线
2
:
4
C y
x
上一点，直线:
3
l x
my
与C 交于A ，B 两点，
过A ，B 作C 的切线交于点P ，则下列结论正确的是（
）
A．
3
OA OB
B．若点M 为
9, 6
，且直线AM 与BM 倾斜角互补，则
3
m
C．点P 在定直线
3
x 上
D．设Q 点为
3,0 ，则MQ 的最小值为3
19．已知抛物线
2
:
8
C y
x
，过抛物线焦点F 的直线与拋物线交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
x x
．
20．已知抛物线C 的方程为
2
2
0
y
px p
，若倾斜角为锐角的直线l 过抛物线的焦点F，与抛物线交于
A，B 两点，且
3
AF
BF
，则直线l 的倾斜角为
．
21.已知抛物线C：
2
2
y
x
的焦点为F，准线为l，过F 的直线交抛物线C 于A，B 两点，AF 的中垂线分别
交l 与x 轴于D，E 两点（D，E 在AB 的两侧）.若四边形ADFE 为菱形，则AB
22.已知抛物线
2
4
y
x
的弦AB 斜率为1，则弦AB 中点M 的轨迹方程
.
23．已知抛物线顶点在原点，焦点为
1,0
F
，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐
标为2，则线段AB 的长为
24．抛物线C ：
2
6
y
x
与直线l 交于A ，B 两点，且AB 的中点为
, 2
m
，则l 的斜率为
.
25．已知抛物线
2
:
8
C y
x
与直线:
3
2 3
0
l
x
y
交于
,
M N 两点（点M 在第一象限），C 的焦点为F ，
则MF
.
26．已知抛物线
2
2
y
x
的焦点为F，过点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，则4 AF
BF
的最小值
是
.
147
27.已知点
0,1
A
和抛物线
2
:
4
C y
x
，则过点A 且与抛物线C 相切的直线的方程为
.
28.已知抛物线
2
:
4
C y
x
，定点
0,1
A
．
(1)过点A 且过抛物线C 的焦点F 的直线，交抛物线C 于A 、B 两点，求AB ；
(2)求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线方程．
29.已知抛物线C ：
2
2
y
px
（
0
p
）的焦点F 关于其准线的对称点为
3,0
M
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若O为坐标原点，过焦点F 且斜率为1 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，求AOB
的面积.
30．设抛物线C ：
2
2
0
y
px p
的焦点为F ，M
C
，Q 在准线上，Q 的纵坐标为
3p ，F 到点Q 距离
为4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过F 且斜率为2 的直线l 与C 交于A 、B 两点，求ABQ
的面积.
31．已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点
0
6
A
y
,
在抛物线C 上，且
10
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且点
4,2 为线段MN 的中点，求直线l 的方程．
148
32．抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为2 .
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点F 的直线（斜率存在且不为0）交抛物线C 于
,
A B 两点，线段AB 的中垂线交抛物线的对称轴于
点P ，求
FP
AB .
33．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上一点P 的横坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为
5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线:l x
my
t
交抛物线于A，B 两点（位于对称轴异侧），且
9
4
OA OB
，求证：直线l 必过定点．
34．已知抛物线
2
:
4
y
x
，在上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(
0)
a a
.
(1)若A 到抛物线准线的距离为3，求a 的值；
(2)当
4
a
时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线上，求O 到直线AB 的距离；
(3)直线:
3
l x ，P 是第一象限内上异于A 的动点，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交
点为Q .若在P 的位置变化过程中，
4
HQ
恒成立，求a 的取值范围.
149
35．已知抛物线
2
:
4
C x
y
，直线l 垂直于y 轴，与C 交于
,
M N 两点，O 为坐标原点，过点N 且平行于y
轴的直线与直线OM 交于点P ，记动点P 的轨迹为曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)点A 在直线
1
y 上运动，过点A 作曲线E 的两条切线，切点分别为
1
2
,
P P ，在平面内是否存在定点B ，
使得
1
2
AB
PP
？若存在，请求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
36.已知抛物线E 的准线方程为：�=−1，过焦点F 的直线与抛物线E 交于A、B 两点，分别过A、B 两点
作抛物线E 的切线，两条切线分别与y 轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物线E 交于M、N 两点，直线DF
与抛物线E 交于P、Q 两点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：
1
��+
1
��为定值.
150
3.7 圆锥曲线中定点定直线问题
模块一：基础知识
考点一：圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1．处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量（此处设为k ）
(2)利用条件找到k 与过定点的曲线
,
0
F x y
的联系，得到有关k 与,x y 的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点
0
0
,
x
y
，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于k
与,x y 的等式进行变形，直至易于找到
0
0
,
x
y 。常见的变形方向如下：
①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“
k
”的形式，从而
0
0
,
x
y 只需要先
让括号内的部分为零即可
②若等式为含k 的分式，
0
0
,
x
y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或
者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择
容易观察到的形式）
2.圆锥曲线过定点问题处理方法
（1）参数无关法
把直线或者曲线方程中的变量x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程
就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y 的方程组，这个方
程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
（2）特殊到一般法
根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
（3）关系法
对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上
两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），
然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
考点二：直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y
kx
b
，然后利用题中条件整理出,k b 的关
系，若
,
b
km
n m n
为常数，代入y
kx
b
得
y
k x
m
n
，则该直线过定点
,
m n
。
考点三：圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为PA
PB
，也可以转化
151
为
0
PA PB
考点四：与定点问题有关的基本结论
1.若直线l 与抛物线
2
2
y
px
交于点
,
A B ，则OA
OB
直线l 过定点
2 ,0
P
p
；
2. 若直线l 与抛物线
2
2
y
px
交于点
,
A B ，则
OA
OB
k
k
m
直线l 过定点
2 ,0
P p
m
p
；
3.设点
2
0
0
2
,2
P
pt
pt
是抛物线
2
2
y
px
上一定点，
,
M N 是该抛物线上的动点，则PM
PN
直线MN 过
定点
2
0
0
2
2
, 2
Q
p
pt
pt
。
4.设点
0
0
,
A x y
是抛物线
2
2
y
px
上一定点，
,
M N 是该抛物线上的动点，则
AM
AN
k
k
m
直线MN 过定
点
0
0
2
,
p
P x
y
m
；
5.过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点
,
A B ，则PA
PB
直
线AB 过点
2
2
2
2
,0
a a
b
Q
a
b
；
6.过椭圆
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点
,
A B ，则PA
PB
直
线AB 过点
2
2
2
2
,0
a a
b
Q
a
b
；
7.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点，点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若
0
PA
PB
k
k
，则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
；
8. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点，点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点
考点五：定直线问题的处理方法
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题这类问题的核心在于确定定点的
轨迹，主要方法有：
（1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；
（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；
（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证
152
模块二：题型分类
题型一：椭圆中直线过定点问题
1.已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2，F1F2 = 4，过F2的直线l 与椭圆C 交于
P，Q 两点，△PQF1的周长为8 2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，点A，F1分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M，N（M，N 都在x
轴上方）．且∠AF1M = ∠OF1N．证明直线m 过定点，并求出该定点的坐标．
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
1,0
F
，A、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 的
上顶点，PAB
的面积为
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线:l y
kx
m
与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点
2,0
Q
，若直线MQ 的斜率与直线NQ 的斜率
互为相反数，求证：直线l 过定点.
3.已知点
1
1,0
F
，
2 1,0
F
，曲线C 上的动点M 满足
1
2
1
2
2
MF
MF
F F
．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若直线
1
MF 与曲线C 相交于另一点N，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P，证明：
直线PN 恒过一定点．
153
4.椭圆C 的焦点为
1
2,0
F
，
2
2,0
F
，且点
2,1
M
在椭圆C上．过点
0,1
P
的动直线l 与椭圆相交
于A，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D（不同于点A）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．
5.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为
1
2，依次连接四个顶点得到的图形的面积为4 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过直线x = 4 上一点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M, N，求证：直线MN 过定点.
6.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，点
0, 1
M
是椭圆的一个顶点，
1
2
F MF
△
是等
腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M 分别作直线
,
MA MB 交椭圆于
,
A B 两点，设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
4
k
k
，求证：
直线AB 过定点
1 ,1
2
.
154
7.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .离心率等于
6
3
，点P 在y 轴正半轴上，
1
2
PF F
△
为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，
直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
题型二：双曲线中直线过定点问题
1.已知圆M：
2
2
5
9
x
y
的圆心为M，圆N：
2
2
5
1
x
y
的圆心为N，一动圆与圆N 内切，与圆
M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C 为双曲线的一支；
(2)已知点
2,0
P
，不经过点P 的直线l 与曲线C 交于A，B 两点，且
0
PA PB
．直线l 是否过定点？若过
定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
2.已知双曲线Ω: mx2 −ny2 = 1 经过点A(8,
7), B(4, −1)．
(1)求Ω的离心率；
(2)设直线l: y = kx + b(k ≠0)经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点M, N，点N 关于x 轴的对称点为点
P，证明：直线PM 过定点．
155
3．双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的一条渐近线l 的倾斜角为π
6 ，过左、右焦点
1F ，
2
F 分别作l
的垂线，两垂足间的距离为2 3．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点P（1，0）且斜率不为0 的直线1l 与双曲线C 交于M，N 两点，记N 关于x 轴的对称点为Q，证明
直线MQ 过x 轴上的定点．
4.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的虚轴长为2 2，点P(3, −2)在C 上.设直线l 与C 交于A，B 两
点（异于点P），直线AP 与BP 的斜率之积为
1
3.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.
5.已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 的左、右焦点分别为F1, F2，且F1F2 = 8，过F2作其中一条渐近
线的垂线，垂足为M，延长F2M 交另一条渐近线于点N，且F2M = MN ．
(1)求C 的方程；
(2)如图，过A 6,0 作直线l（l 不与x 轴重合）与曲线C 的两支交于P,Q 两点，直线F1P, F1Q 与C 的另一个
交点分别为S, T，求证：直线ST 经过定点．
156
题型三：抛物线中直线过定点问题
1.已知抛物线C: x2 = 2py 的焦点与椭圆C':
x2
4 + y2 = 1 的上顶点重合，点A 是直线l: x −2y −8 = 0 上任意
一点，过点A 作抛物线的两条切线，切点分别为M、N．
(1)求抛物线C 的方程．
(2)证明直线MN 过定点，并且求出定点坐标．
2.在平面直角坐标系xOy 中，点
,1
A m
在抛物线
2
:
2
C y
px
上，且A 到C 的焦点的距离为1．
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
两点，
1
2
0
y y
，且
3
OP OQ
，试探究直线l 是否过定点，
若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由．
3.已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线
2
0
x
y
的距离为5 2
4
.点
0
0
0
,
0
N x
y
y
为此抛物线上的一点，
5
2
NF
.直线l 与抛物线交于异于N 的两点A，B，且
2
NA
NB
k
k
.
（1）求抛物线方程和N 点坐标；
（2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.
157
4.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F ，点
0
(
,4)
M x
在C 上，且
5
2
p
MF
．
（1）求点M 的坐标及C的方程；
（2）设动直线l 与C 相交于
,
A B 两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，
求出该点坐标；若不过，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线y＝x－2 上一动点，过点M 作抛物线C：x
2＝y 的两条切线MA，MB，
切点分别为A，B，N 为AB 的中点．
（1）证明：MN⊥x 轴．
（2）直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型四：圆锥曲线中动圆过定点
1.已知抛物线C 的方程为
2
2
y
px
，若不过原点的直线y
kx
b
与抛物线C 相交于A ，B 两点，且以AB 为
直径的圆过坐标原点，证明直线y
kx
b
过定点．
158
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
(1 0)
F ，，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C交于A ，
B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，
3
AB
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线
4
x
于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的
圆过定点.
3.已知与圆
2
2
: (
1)
3
C
x
y
相切的直线l，过抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
的焦点F，且直线l 的倾斜角为
2
3
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）直线1l 与抛物线E 交于点A，B 两点，且A，B 关于直线
5 3
y
x
对称，在
1
2
y
x
上是否存在点N，
使得以AB 为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.
4.已知圆
2
2
:(
3)
72
M
x
y
，点
3,0
N
，动圆P 经过点N ，且与圆M 相切，记动圆圆心P 的轨迹为W ．
(1)求轨迹W 的方程；
(2)过点
0, 1
Q
的动直线l 交曲线W 于,
A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这
个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．
159
5.已知F 为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点，点P 在C 上，且满足
3,4
FP
．
(1)求点P 的坐标及C 的方程；
(2)设过点F 的直线l 与C 相交于,
A B 两点，且l 不过点P ，若直线
,
PA PB 分别交C 的准线于,
S T 两点，证
明：以线段ST 为直径的圆恒过定点．
6.已知常数
0
s
，向量
0,1
a
，
,0
b
s
，经过点
,0
A s
的直线AD 以a
b
为方向向量，经过点
,0
B
s
的直线BD以
4
b
a
为方向向量，其中
R
．
(1)求点D 的轨迹方程，并指出轨迹E ．
(2)当
3
s
时，点A 为轨迹E 与x 轴正半轴的交点，过点
6,0
T
的直线2l 与轨迹E 交于P 、Q 两点，直线AP 、
AQ 分别与直线
6
x
相交于M ，N 两点，试问：是存在定点R 在以M 、N 为直径的圆上？若存在，求出
R 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：椭圆中定直线问题
1.椭圆E 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为
2,0
A
，
2,0
B
，点
1,
6 在椭圆E
上．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)过点
1,0
的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点（异于点A，B），记直线AP 与直线BQ 交于点M，试问点M
是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
160
2.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的左顶点为A −3,0 ，右顶点为B 3,0 ，椭圆上不同于点A, B 的一点P
满足kPA ⋅kPB =−
4
9.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点2,0 的直线l 交椭圆C 于M､N 两点，直线AM､BN 交于点Q，证明：点Q 在定直线上.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左，右顶点分别为A，B，且AB
4
，椭圆C 离心率为1
2 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0 的直线l 交椭圆C 于M，N 两点，直线AM，BN 交于点Q，求证：点Q
在直线
4
x
上．
4.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的离心率为
2
2 ，A，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线y =
kx + 4 与C 交于不同的两点M，N．
(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；
(2)若AB = 4，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．
161
5.已知双曲线Γ:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的左､右焦点分别为F1, F2，左､右顶点分别为A1, A2，在x 轴上位
于F2右侧有一点A，满足AF1 ⋅AF2 = 4, AA1 = 5, AA2 = 1.
(1)求Γ的方程；
(2)过点A 且不与坐标轴垂直的直线l 与Γ交于M, N 两点，以A 为圆心作圆与直线x = 3 交于E, F 两点，
证明：直线ME, NF 的交点恒在直线x =
4
3上.
6.已知椭圆C 的两个顶点分别为A 0,1 、B 0, −1 ，焦点在x 轴上，离心率为
3
2 ，直线l: y = kx −
5
3 k < 0
与椭圆C 交于M、N 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当k 变化时，是否存在过点A 的定直线m，使直线m 平分∠MAN？若存在，求出该定直线的方程；若
不存在，请说明理由.
题型六：双曲线中定直线问题
1.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线方程为y
x
，且点
6,
2
P
在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为,
A B ，在直线
1
x 上取一点
1,
0
P
t
t
，直线AP 交双曲线右支于点C ，直
线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.
162
2.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 的右焦点F
10, 0 到C 的一条渐近线的距离为6．
(1)求C 的方程．
(2)设C 的左、右顶点分别为A1，A2，过点3,0 且斜率不为0 的直线l 与C 相交于M，N 两点，直线A1M
与直线A2N 相交于点P．试问点P 是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
3.已知点
1,0
A
，
1 0
B
,
，动点
,
P x y 满足直线PA 与PB 的斜率之积为3，记动点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
2,0
F
的直线与曲线C 交于
,
M N 两点，直线AM 与BN 相交于Q ．求证：点Q 在定直线上．
4.已知A，B 分别是双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的左、右顶点，P 是C 上异于A，B 的一点，直线PA，
PB 的斜率分别为k1, k2，且k1k2 = |AB| = 4.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点(4,0)的直线l: x = my + 4，交C 的左，右两支于D，E 两点（异于A，B）.
（i）求m 的取值范围；
（ii）设直线AD 与直线BE 交于点Q，求证：点Q 在定直线上.
163
5.在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，A( −1,0), B(1,0)，动点P 满足kPA ⋅kPB = 3，设点P 的轨迹为
曲线Γ．
(1)求曲线Γ的方程；
(2)过点C(1,1)的直线l 与曲线Γ在y 轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN 上取异于点M，N 的点D，满
足|CM| ⋅|DN| = |MD| ⋅|CN|．证明：点D 在定直线上．
6.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 a > 0, b > 0 实轴端点分别为A1 −a, 0 、A2 a, 0 ，右焦点为F，离心率为2，
过A1点的直线l 与双曲线C 交于另一点B x, 3 ，已知△A1BF 的面积为
9
2．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点F 的直线l′与双曲线C 交于M、N 两点，试探究直线A1M 与直线A2N 的交点Q 是否在某条定直
线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
题型七：抛物线中定直线问题
1.已知抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，设动点P 的坐标为
,
m n ．
(1)若
2,
1
m
n
，求过点P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点P 的两条直线1
2
,l l 均与C 相切，且1
2
,l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，满足
1
2
1
1
4
k
k
．证明：动
点P 在一条定直线上．
164
2.已知点F 为抛物线C: x2 = 2py(p > 0)的焦点，点M、N 在抛物线上，且M、N、F 三点共线.若圆P: (x −
2)2 + (y −3)2 = 16 的直径为MN.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A，B，分别过A、B 两点作抛物线C 的切线l1，l2，证明直线l1，l2
的交点在定直线上，并求出该直线.
3.已知点F 是抛物线
2
4
y
x
的焦点，动点P 在抛物线上.
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)设直线l 与抛物线交于D，E 两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF 为平行四边形，证明：直线
l 过定点，并求出这个定点的坐标.
4.已知抛物线C: y2 = 2px(p > 0)，过点D 0,2 的直线l 与C 交于不同的两点A, B.当直线l 的倾斜角为135°
时，AB = 4 30.
(1)求C 的方程；
(2)在线段AB 上取异于点A, B 的点E，且满足
DA
DB =
AE
EB ，试问是否存在一条定直线，使得点E 恒在这条定
直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
165
5.已知抛物线E：y2 = 2px（p>0），过点−2,0 的两条直线l1，l2分别交E 于AB 两点和C，D 两点．当l1
的斜率为
2
3时，AB =
13.
(1)求E 的标准方程：
(2)设G 为直线AD 与BC 的交点，证明：点G 必在定直线上．
6.已知抛物线C: x2 = 2py(p > 0)的焦点F 关于直线y =−2 的对称点为0, −5 ．
(1)求C 的方程；
(2)若O 为坐标原点，过焦点F 且斜率为1 的直线l 交C 于A、B 两点，求AB ；
(3)过点M 4,1 的动直线l 交C 于不同的A, B 两点，N 为线段AB 上一点，且满足AM ⋅BN = AN ⋅BM ，
证明：点N 在某定直线上，并求出该定直线的方程．
题型八：圆锥曲线中定曲线问题
1.如图，线段AB 的两个端点,
A B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|
| 5
AB
，点M 是AB 上一点，且
2
AM
，
点M 随线段AB 的运动而变化.
(1)求点M 的轨迹方程C ；
(2)动点P 在曲线C 外，且点P 到曲线C 的两条切线相互垂直，求证：点P 在定圆上.
166
2.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C 经过点
3,
2
M
，
6, 1
N
．
(1)求C 的方程；
(2)已知点
3,0
D
，直线
:
3,
0
l x
ty
n n
t
与C 交于,
A B 两点，且直线
,
DA DB 的斜率之和为1
t
，证明：
点
,t n 在一条定抛物线上．
3.已知点
2,1
A
，
2,1
B
在双曲线C ：
2
2
1
2
x
y
上，过点
0, 3
D
作直线l 交双曲线于点E ，F （不与
点A ，B 重合）.证明：
(1)记点
0,2
5
P
，当直线l 平行于x 轴，且与双曲线的右支交点为E 时，P ，A ，E 三点共线；
(2)直线AE 与直线BF 的交点在定圆上，并求出该圆的方程.
模块三：综合巩固
1.已知椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)的离心率为e =
2
2 ，椭圆上的点P 与两个焦点F1、F2构成的三角形的
最大面积为1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点Q 为直线x + y −2 = 0 上的任意一点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QD、QE（切点分别为D、E），
试证明动直线DE 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
167
2.已知双曲线C1:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的右焦点为F
6, 0 ，双曲线C1与抛物线C2: y2 = 2px 交于点
A 2,2 .
(1)求C1, C2的方程；
(2)作直线l 与C1的两支分别交于点M, N，使得AM ⊥AN，求证：直线MN 过定点.
3.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0)的虚轴长为2 2，点P(3, −2)在C 上.设直线l 与C 交于A，B 两
点（异于点P），直线AP 与BP 的斜率之积为
1
3.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线l 的斜率存在，且直线l 过定点.
4.已知抛物线C: y2 = 2px p > 0 的焦点为F，O 为原点，第一象限内的点P 在C 上，PO = PF ，且△POF
的面积为2 2.
(1)求C 的方程；
(2)若M，N 是C 上与P 不重合的两动点，且PM ⊥PN，求证：直线MN 过定点.
168
5.已知抛物线C：y2 = 2px p > 0 与椭圆E：
y2
a2 +
x2
b2 = 1 a > b > 0 的一个交点为A(1,2)，且E 的离心率
e =
2
2 .
(1)求抛物线C 和椭圆E 的方程；
(2)过点A 作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C 的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ 过定点.
6.在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线
4
x
的距离等于点M 到点
(1,0)
D
的距离的2 倍，记动点M 的轨
迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）己知斜率为1
2 的直线l 与曲线C 交于A、B 两个不同点，若直线l 不过点
3
1, 2
P
，设直线PA
PB
、
的
斜率分别为
PA
PB
k
k
、
，求
PA
PB
k
k
的值；
（3）设点Q 为曲线C 的上顶点，点E、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判
断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
7.已知椭圆Γ：
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的右焦点为F，过点F 作x 轴的垂线交椭圆Γ于点P(1,
3
2 )．过点P 作
椭圆Γ的切线，交x 轴于点Q．
(1)求点Q 的坐标；
(2)过点Q 的直线（非x 轴）交椭圆Γ于A、B 两点，过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D，求证：线
段AD 的中点在定直线上．
169
8.已知椭圆E:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 a > b > 0 的短轴长为2 3，左、右顶点分别为C, D，过右焦点F 1,0 的直线l
交椭圆E 于A, B 两点（不与C, D 重合），直线AC 与直线BD 交于点T．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求证：点T 在定直线上.
9.已知双曲线C:
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y = 3 与C 的左、右两支分
别交于M，N 两点，四边形MF1F2N 为矩形，且面积为12．
(1)求四边形MF1F2N 的外接圆方程；
(2)设A，B 为C 的左、右顶点，直线l 过点( −3,0)与C 交于P，Q 两点（异于A，B），直线AP 与BQ 交
于点R，证明：点R 在定直线上．
10.已知抛物线C: y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，过F 作互相垂直的直线l1, l2，分别与C 交于A, B 和D,E 两
点（A，D 在第一象限），当直线l1的倾斜角等于45°时，四边形ADBE 的面积为32．
(1)求C 的方程；
(2)设直线AD 与BE 交于点Q，证明：点Q 在定直线上．
170
11.已知抛物线C：y2 = 2px p > 0 的焦点为F，过点F 且与x 轴垂直的直线交C 于A，B 两点，且AB = 4.
(1)求抛物线C 的方程，并写出焦点坐标；
(2)过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M，N 两点（异于A，B 两点），且M，A 位于x 轴同一侧，直线AM
与直线BN 相交于点G，证明：点G 在定直线上.
12.已知抛物线C1：x2 = 2py(p > 0)和圆C2：x + 1 2 + y2 = 2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点且与C2
相切．
(1)求p 的值：
(2)点M 在C1的准线上，动点A 在C1上，C1在A 点处的切线l2交y 轴于点B，设MNԦ
ሬሬሬሬ= MAԦ
ሬሬሬሬ+ MBԦ
ሬሬሬሬ，求证：点
N 在定直线上，并求该定直线的方程．
171
3.8 圆锥曲线中定值问题
模块一：基础知识
考点一：定值问题解题思路与策略
1.解题思路：
定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在
解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数：
(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程）
(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,
(3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况）
常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.
2.解题步骤：
(1)设参数；
(2)用参数来表示要求定值的式子；
(3)消参数.
3.解题策略：
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求
得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
考点二：与线段长度有关的定值问题
与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化
简,得出结果为定值
圆锥曲线中线段取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
考点三：与面积有关的定值问题
与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.面积比
值类宜采用同底或同高进行处理化简。
172
考点四：与斜率有关的定值问题
1.与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表
达式,再利用题中条件或韦达定理化简.
2.斜率和（积）构造与韦达定理
斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一
步分成在坐标轴上和一般点. 倘若定点
)
,0
(
t
P
，在椭圆上的动点
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A
，那么：
①
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
)
(
x
x
t
y
y
t
y
y
x
t
y
x
t
y
k
k
PB
PA
，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直
接代入韦达定理求解.
②
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
)
(
x
x
x
x
t
y
x
y
x
x
t
y
x
t
y
k
k
PB
PA
,这里对交叉项
1
2
2
1
y
x
y
x
的处理可进一步代入直
线方程：
m
kx
y
AB
:
，化简可得：
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
x
x
m
x
kx
m
kx
x
m
kx
x
y
x
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
)
)(
(
2
)
(
x
x
x
x
t
m
k
x
x
x
x
t
y
x
y
x
k
k
PB
PA
（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很
重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.
③
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
t
y
t
y
y
y
t
y
x
y
x
t
y
x
t
y
x
k
k
PB
PA
.
可进一步代入直线方程：
n
my
x
AB
:
，化简可得：
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
y
y
n
y
my
y
n
my
y
n
my
y
x
y
x
3.椭圆斜率和积结论
（1）P(x0，y0)是椭圆
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（a>b>0）上一点，若A，B 是椭圆上的两个动点，且满足kPA+kPB=λ是定
值，则
①当λ=0 时，直线AB 的斜率为定值；
②当λ≠0 时，直线AB 恒过定点.
（2）P(x0，y0)是椭圆
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（a>b>0）上一点，若A，B 是椭圆上的两个动点，且满足kPA.kPB=λ是定
值，则
①当λ=�2
�2 时，直线AB 的斜率为定值；
②当λ≠�2
�2 时，直线AB 横过定点.
173
考点五：与向量有关的定值问题
与向量有关的定值问题常见类型是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关
的定值结论；或利用向量得数量级运算得出定值.
考点六：与代数式有关的定值问题
与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得
出定值
考点七：与定值有关的结论
1.若点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
；
2.若点A,B 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上与A,B 不重合的
点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
.
3.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若
0
PA
PB
k
k
,则直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
；
4. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若
0
PA
PB
k
k
,直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
；
5. 设点
,
P m n 是抛物线C：
2
2
0
y
px p
一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若
0
PA
PB
k
k
,
直线AB 斜率为定值
0
p n
n
.
6.设
, ,
A B C 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上不同3 点,B,C 关于x 轴对称,直线AC,BC 与x 轴分别交于点
,
M N ,则
2
OM ON
a
.
7.点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上动点,O 为坐标原点,若OA
OB
,则
2
2
1
1
OA
OB
=
2
2
1
1
a
b
（即点
O 到直线AB 为定值）
174
8. 经过椭圆
2
2
2
2
2
2
b x
a y
a b
（a＞b＞0）的长轴的两端点A1 和A2 的切线,与椭圆上任一点的切线相交
于P1 和P2,则
2
1
2
|
| |
|
PA
PA
b
.
9. 过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a＞b＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x
轴于P,则|
|
|
|
2
PF
e
MN
.
10. 点P 为椭圆
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过P 引x 轴、y 轴的平
行线,交y 轴、x 轴于
,
M N ,交直线
b
y
x
a
于
,
Q R ,记
OMQ
与
ONR
的面积为
1
2
,
S S ,则：
1
2
2
ab
S
S
.
模块二：题型分类
题型一：线段类定值
1.已知椭圆：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A ，
2
A ，上、下顶点分别为
2
B ，
1
B ，
1
2
2 2
B B
，
四边形
1
1
2
2
A B A B 的周长为8 2 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点F 为椭圆的左焦点，点
3,
T
m
，过点F 作TF 的垂线交椭圆于点P，Q，连接OT 与PQ 交于点
H．试判断
PH
HQ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
175
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A 、
2A ,点
6
2,
2
在椭圆C上,过椭圆C的右焦
点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形
1
2
ADA E 的面积为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线
2
2
y
k x
m
m
与椭圆C相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若
2
2
PM
PN
的
值与m无关,求斜率k 的值．
3.已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
过点
5
3, 2
和点
4, 15 ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过
0,1
M
的直线与双曲线交于P ，Q 两点，过双曲线的右焦点F 且与PQ平行的直线交双曲线于A ，B
两点，试问
MP
MQ
AB
是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
4.已知椭圆E：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的左焦点�1 −1,0 ，过点�1且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
为3.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设A，B 是椭圆E 的左、右顶点，�是椭圆E 的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M，N 两点（点
M 在x 轴的上方），直线AM，BN 分别与y 轴交于点P，Q，试判断
��
��是否为定值？若是定值，求出这个
定值；若不是定值，说明理由.
176
5.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 �> 0, �> 0 , �1, �2分别是�的左、右焦点．若�的离心率�= 2，且点4,6 在�
上．
(1)求�的方程；
(2)若过点�2的直线�与�的左、右两支分别交于�, �两点，与抛物线�2 = 16�交于�, �两点，试问是否存在常
数�，使得
1
��−
�
��为定值？若存在，求出常数�的值；若不存在，请说明理由．
6.已知抛物线E 的准线方程为：�=−1，过焦点F 的直线与抛物线E 交于A、B 两点，分别过A、B 两点
作抛物线E 的切线，两条切线分别与y 轴交于C、D 两点，直线CF 与抛物线E 交于M、N 两点，直线DF
与抛物线E 交于P、Q 两点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：
1
��+
1
��为定值.
7.已知�是抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，直线�是抛物线�的准线，�是坐标原点，点�在抛物线�上，且
满足��= ��，连接��并延长交�于点�，使得三角形���的面积为2 2.
(1)求抛物线�的方程；
(2)若直线�= ��−
�
2 与抛物线�交于点�, �，线段��中点为�，证明：在�轴上存在点�，使得|��|2 −
1
4 |��|2为定值，并求出该定值.
177
8.设常数
0
m
且
1
m ,椭圆：
2
2
2
1
x
y
m
,点P 是上的动点．
（1）若点P 的坐标为
2,0 ,求的焦点坐标；
（2）设
3
m,若定点A 的坐标为
2,0 ,求PA 的最大值与最小值；
（3）设
1
2
m
,若上的另一动点Q 满足OP
OQ
（O为坐标原点）,求证：O到直线PQ 的距离是定值．
题型二：面积类定值
1.已知O为坐标原点,椭圆：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右顶点为A ,离心率为
3
2
．动直线l ：
1
1
y
x
m
与
相交于B ,C 两点,点B 关于x 轴的对称点为B,点B到的两焦点的距离之和为4．
（1）求的标准方程．
（2）若直线B C
与x 轴交于点M , OAC
, AMC
的面积分别为
1S ,
2S ,问
1
2
S
S 是否为定值？若是,求出该定值；
若不是,请说明理由．
2.已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）的左、右顶点分别为P ，Q ，右焦点F 到渐近线的距离为1，
且离心率为2 3
3
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过点F 的直线l（直线l 的斜率不为0）与双曲线C 交于A ，B 两点，若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y
轴的交点，记OPM
，
OQN
△
的面积分别记为
OPM
S
，
QQN
S△
，求
OPM
OQN
S
S
△
△
的值.
178
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
(
0)
a
b
离心率等于
3
2
且椭圆C 经过点
1
3, 2
p
．
(1)求椭圆的标准方程C ；
(2)若直线y
kx
m
与轨迹C 交于M
N
，
两点，O为坐标原点，直线OM
ON
，
的斜率之积等于
1
4
，试探求
OMN
的面积是否为定值，并说明理由．
4.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)的左、右焦点分别为�1( −1,0)、�2(1,0)，�在椭圆�上，且△��1�2
面积的最大值为3.
(1)求椭圆�的方程；
(2)直线�: �= ��+ �与椭圆�相交于P，Q 两点，且4�2 + 3 = 4�2，求证：△���（�为坐标原点）的面
积为定值.
5.已知�−1,0 ，�1,0 ，平面上有动点�，且直线��的斜率与直线��的斜率之积为1.
(1)求动点�的轨迹Ω的方程.
(2)过点A 的直线与Ω交于点�（�在第一象限），过点�的直线与Ω交于点�（�在第三象限），记直线��，
��的斜率分别为�1，�2，且�1 = 4�2.试判断△���与△���的面积之比是否为定值，若为定值，请求出
该定值；若不为定值，请说明理由.
179
6.已知抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点为�，过�且倾斜角为
π
6的直线�与�交于�，�两点．直线�1，�2与�相
切，切点分别为�，�，�1，�2与�轴的交点分别为�，�两点，且|��| =
2 3
3 ．
(1)求�的方程；
(2)若点�为�上一动点（与�，�及坐标原点均不重合），直线�3与�相切，切点为�，�3与�1，�2的交点分别为
�，�．记△���，△���的面积分别为�1，�2．
①请问：以�，�为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
②证明：
�1
�2为定值．
题型三：斜率类定值
1.双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
的左、右顶点分别为
1A ，
2A ，左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，过
1F 作直线与双曲线C
的左、右两支分别交于A，B 两点.若
2
2
AB
BF
，且
1
2
1
cos
4
F BF
，则直线
1A B 与
2
A B 的斜率之积为（
）
A．5
3
B．3
5
C．4
3
D．3
4
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点
2
F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，且其离心率为1
2 .
(1)求椭圆C 的方程；15202662509
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求证：
MN
OP
k
k
（O 为
坐标原点）为定值.
180
3.已知椭圆C：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 的两个焦点分别为�1 −
2, 0 、�2
2, 0 ．点�1,0 与椭圆短轴的两
个端点的连线互相垂直．
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知点�3,2 ，过点M 任作直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，求证：���+ ���为定值．
4.已知圆
2
2
:
1
16
E
x
y
，点
1,0 ,
F
G 是圆E 上任意一点，线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H .
(1)求动点H 的轨迹L 的方程；
(2)若
2,0 ,
2,0
A
B
，过F 作直线l 与轨迹L 交于
,
M N 两点（不与
,
A B 重合），记直线AM 与BN 的斜率
分别为
1
2
,
k k ，证明：
1
2
k
k 为定值.
5.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
0,1
P
，离心率为
2
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点定点
0, 3
G
作斜率为k 的直线l 与椭圆交于A ，B ，直线PA ，PB 的斜率分别记为
1k ，
2k .求
1
2
k k
的值
181
6.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)，过点(0,
3)，�，�分别是�的左顶点和下顶点，�是�右焦点，∠���=
π
3.
(1)求�的方程；
(2)过点�的直线与椭圆�交于点�，�，直线��，��分别与直线�= 4 交于不同的两点�，�.设直线��，��
的斜率分别为�1，�2，求证：�1�2为定值.
7.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的实轴长为4，离心率为
2 ．过点
4,2
P
的直线l 与双曲线C 交
于A，B 两点．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知点
3,4
Q
，若直线QA，QB 的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
8.已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0
0
x
y
a
b
a
b
＞，＞
的离心率为
2 ，点
3, 5
A
在双曲线上．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)双曲线C 上是否存在点B，使得对双曲线C 上任意一点P（其中
3
Px ），都有
PA
PB
k
k
为定值？若存
在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．
182
9.已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)经过点�−2,0 ，离心率为5，直线�过点�3,0 且与双曲线�交于
两点�, �（异于点�）.
(1)求双曲线�的方程；
(2)求证：直线��与直线��的斜率之积为定值，并求出该定值.
10.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ,直线
2
1
y
x
与抛物线交于M , N 两点,且|
|
|
| 4
MF
NF
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若
(4
P
,
)(
0)
m m
是抛物线C 上一点,过点
(1, 4)
Q
的直线与抛物线C 交于A , B 两点（均与点P 不重合）,
设直线PA , PB 的斜率分别为
1k ,
2k ,求证：
1
2
k k 为定值．
11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心为C 的动圆过点
2,0 ，且在y 轴上截得的弦长为4，记C 的轨迹为
曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)已知
1,2
A
及曲线E 上的两点B 和D ，直线BD 经过定点
3,2
，直线AB
AD
、
的斜率分别为
1
2
k
k
、
，
求证：
1
2
k
k
为定值．
183
12.设点�为抛物线�: �2 = 2��(�> 0)的焦点，过点�且斜率为5的直线与�交于�, �两点（�为坐标原
点）．�△���= 2 6.
(1)求抛物线�的方程；
(2)过点�0,2 作两条斜率分别为�1, �2的直线�1, �2，它们分别与抛物线�交于点�, �和�, �．已知��⋅��=
��⋅��，问：是否存在实数�，使得�1 + ��2为定值？若存在，求�的值，若不存在，请说明理由．
题型四：向量类定值
1.已知A，B 为椭圆
2
2
2
:
1
y
E
x
a +
=
的左、右顶点，过其焦点
(0,1)
F
的直线与椭圆E 交于C，D 两点，并与x
轴交于点P (异于A，B)，直线AC ，BD 交于点Q ，求证：OP OQ
为定值.
2.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
,
1F ,
2
F 分别为椭圆C的左,右焦点, M 为椭圆C 上一
点,
1
2
MF F
△
的周长为4
2 3
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）P 为圆
2
2
5
x
y
上任意一点,过P 作椭圆C 的两条切线,切点分别为A,B,判断PA PB
是否为定值?若是,
求出定值：若不是,说明理由,
184
3.已知
0,1
P
为椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
内一定点,Q 为直线l：
3
y 上一动点,直线PQ 与椭圆C 交于A､B 两点
（点B 位于P､Q 两点之间）,O 为坐标原点.
（1）当直线PQ 的倾斜角为4
时,求直线OQ 的斜率；
（2）当AOB 的面积为3
2 时,求点Q 的横坐标；
（3）设AP
PB
, AB
BQ
,试问
是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
4.已知�为平面上一个动点，�到定直线�= 1 的距离与到定点�(2,0)距离的比等于
2
2 ，记动点�的轨迹为
曲线�．
(1)求曲线�的方程；
(2)过点�的直线�与曲线�交于�，�两点，在�轴上是否存在点�，使得��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ为定值？若存在，求出该定值；
若不存在，请说明理由．
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
2,0
F
，直线:
3
l x =
，动点
,
0
P x y
x
到l 的距离等于
1
PF .
设动点P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)若直线
4
x
my
与曲线C 交于,
A B 两点，证明：OA OB
为定值.
185
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:
2
l x 与x 轴交于点A ，过l 右侧的点P 作PM
l
，垂足为M ，
且PA
PM
OA
．
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点
10
B
,
的动直线l交轨迹C 于,
S T ，设
3,0
Q
，证明：QS QT
为定值．
题型五：代数式类定值
1.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，O 为坐标原点，离心率
2
e
，点
5, 3
M
在双曲线上．
(1)求双曲线的方程;
(2)如图，若直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且
0
OP OQ
.求证:
2
2
1
1
OP
OQ
为定值；
2.已知抛物线C：
2
4
y
x
＝
，圆M：
2
2
2
(
)
3
x
y
r
－
＋＝
，圆M 上的点到抛物线上的点距离最小值为
2 ．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 为
7
x
上一点，P 的纵坐标不等于± 2 ．过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于两个不
同的点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
和点
3
3
(
,
)
Q x
y
，
4
4
(
)
,
R x
y
，求证：
1
2
3
4
y y y y 为定值．
186
3.已知F 为抛物线C 的焦点，过F 的直线l 交C 于A，B 两点，点D 在C 上，使得
ABD
△
的重心G 在x
轴的正半轴上，直线AD ，BD分别交x 轴于Q，P 两点.O 为坐标原点，当AB
OF
时，
4
AB
.
(1)求C 的标准方程.
(2)记P，G，Q 的横坐标分别为
P
x ，
G
x ，
Q
x ，判断2
2
3
P
Q
G
x
x
x
是否为定值.若是，求出该定值；若不是，
请说明理由.
4.已知A,B 是双曲线
2
2
1 :
1
3
y
C
x
的左、右顶点,P 是双曲线
1
C 上不同于A,B 的一点．
（1）若线段PB 的垂直平分线分别交PB,PA 于点
,
M
M
M x
y
,
,
N
N
N x
y
,求
M
N
x
x
；
（2）若O 为坐标原点,射线OP 交椭圆
2
2
2 :
1
3
y
C
x
于点Q,设直线PA,PB,QA,QB 的斜率分别为
1k ,
2k ,
3k ,
4k ,
求
2
2
2
2
1
2
3
4
k
k
k
k
的值．
模块三：综合巩固
1.已知动圆M 经过定点�1( −
3, 0)，且与圆�2: (�−
3)2 + �2 = 16 内切.
(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A，B，点P 为轨迹C 上异于A，B 的动点，设直线PB 交直线�= 4
于点T，连接AT 交轨迹C 于点Q；直线AP，AQ 的斜率分别为���，���.
（i）求证：���⋅���为定值；
（ii）设直线��: �= ��+ �，证明：直线PQ 过定点.
187
2.已知双曲线�:
�
2
�
2 −
�
2
�
2 = 1(�> 0, �> 0)的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线�的方程；
(2)若动直线�与双曲线�恰有1 个公共点，且与双曲线�的两条渐近线分别交于点�，�两点，�为坐标原点，
证明：△���的面积为定值.
3.设双曲线C：
�2
�2 −
�2
�2 = 1（�> 0，�> 0）的一条渐近线为�−3�= 0，焦点到渐近线的距离为1．�1，�2
分别为双曲线�的左、右顶点，直线�过点�2,0 交双曲线于点�，�，记直线��1，��2的斜率为�1，�2．
(1)求双曲线�的方程；
(2)求证
�1
�2为定值．
4.设抛物线�:�2 = 2��(�> 0)的焦点为�，点��, 0 ，过点�且斜率存在的直线交�于不同的�, �两点，当
直线��垂直于�轴时，��= 3.
(1)求�的方程；
(2)设直线��, ��与�的另一个交点分别为�, �，设直线��, ��的斜率分别为�1, �2，证明：
（ⅰ）
�1
�2为定值；
（ⅱ）直线��恒过定点.
5.已知抛物线
2
:
4
C y
x
的准线为l ,直线
1
x
my
交C于A , B 两点,过点A , B 分别作l 上的垂线,垂足分别
为A, B.
（1）若梯形ABB A
的面积为24 3 ,求实数m的值；
（2）是否存在常数,使得
2
A B
AF BF
成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由?
188
6．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点为F,过点F 的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,当l
x
轴时,
2
AB
.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线l 交y 轴于点D,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P,直线PF 交抛物线C 于另一点
Q.
①是否存在定点M,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
②求证：
QAF
QBF
S
S
△
△
为定值.
7．已知过点
0, 1
A
且斜率大于零的直线1l 与抛物线
2
:
2
0
C x
py p
及圆
2
2
6
7
0
x
y
x
都相切.
（1）求p 的值；
（2）过点
0,2
B
的动直线2l 与抛物线C 交于点P,Q,以BP 为直径的圆与直线
0
y
y
交于点M,N,若MN 为
定值,求
0y 的值.
8．已知
1F ,
2
F 分别是双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
,
0
b
)的左、右焦点,
1
2
6
F F
,P 是C 上一点,
1
1
2
PF
F F
,
且
1
2
3 6
PF
PF
.
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）经过点
2
F 的直线l与双曲线C交于A,B两点,过点A作直线
2
x
的垂线,垂足为D,过点O 作OM
BD
(O
为坐标原点),垂足为M.则在x 轴上是否存在定点N,使得MN 为定值？若存在,求出点N 的坐标；若不存在,
请说明理由.
189
3.9 圆锥曲线中的轨迹问题
模块一：基础知识
考点一：轨迹与轨迹方程
1.轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示
出来，轨迹方程就产生了.
（1）求轨迹方程的实质是将形"转化为数”，将曲线“转化为方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；
（2）求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.
2.解轨迹问题注意：
（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形
状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方
程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
考点二：用待定系数法求圆锥曲线的方程
1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后
再根据条件建立关于a,b 的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把
椭圆方程设为mx
2＋ny
2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．思路：直接解不等式,确定函数单调区间
求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定
双2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.
“焦点跟着正项走”,若x
2项的系数为正,则焦点在x 轴上;若y
2项的系数为正,那么焦点在y 轴上.确定方
程的形式后,然后再根据a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出a,b 的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为
了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax
2＋By
2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
3. 如果已知双曲线的渐近线方程
0,
0
b
y
x a
b
a
,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x
2
a
2－y
2
b
2
＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x
2
a
2－y
2
b
2＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x
2
a
2－y
2
b
2＝
λ(λ≠0)．
4. 利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.
(2)求参数p 的值.
(3)确定抛物线的标准方程.
考点三：定义法求曲线轨迹方程
1.若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确
定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解这种方法称为定义法.
190
2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．
3. 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的
焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c 为常数：
(1)若a>c,则集合P 为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P 为线段；
(3)若a<c,则集合P 为空集．
4. 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c 为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P 点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P 点不存在．
5. 平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物
线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
注意：(1)定直线l 不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
考点四：直接法求曲线轨迹方程
1.定义：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接
将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程.
2.方法步骤：
①建系，建立适当的坐标系；
②设点，设轨迹上的任一点P(x，y)；
③列式，列出动点P 所满足的关系式；
④代换，依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y 的方程式，并化简；
⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
考点五：相关点法（代入法）
1.定义：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可
用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程.这种方法称为相关点法.
20 方法步骤：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标
0x 、
0y ，然后代入点P 的坐标
0
0
,
x
y
所满足的曲
线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
考点六：参数法
1.定义：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的
轨迹.这种方法称为交轨法.
2.方法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
191
模块二：题型分类
题型一：定义法求动点轨迹
1．(1)若动圆M 与圆
2
2
1 : (
1)
9
F
x
y
内切，与圆
2
2
2 : (
1)
1
F
x
y
外切.求动圆圆心M 的轨迹
1
C 的方程；
(2)若动圆M 与圆
2
2
3 : (
3)
9
F
x
y
､圆
2
2
4 : (
3)
1
F
x
y
都外切.求动圆圆心M 的轨迹
2
C 的方程.
2.若点
,
P x y 满足方程
2
2
3
4
12
(
1)
(
2)
5
x
y
x
y
，则点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．已知动点P(x，y)满足
2
2
5
1
(
1)
3
4
7
x
y
x
y
（
）
，则动点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4.如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且
2
AB
，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平
分线l 和半径AP 相交于点Q，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（
）
A．圆
B．射线
C．长轴为4 的椭圆
D．长轴为2 的椭圆
5.与两圆
2
2
4
x
y
及
2
2
8
15
0
x
y
x
都外切的圆的圆心的轨迹为（
）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
6．已知圆
2
2
4 3
0
x
y
y
的圆心为S，过点
0, 2 3
T
的直线m 交圆S于C 、D 两点，过点T 作SC 的
平行线，交直线SD于点M ，则点M 的轨迹为（
）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
192
7．已知圆
2
2
2
16
x
y
的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点
2,0
N
，线段PN 的垂直平分线交
PM 于G 点，则点G 的轨迹C 的方程为
．
8．在平面直角坐标系xOy 中，圆
2
2
:(
1)
16
A
x
y
，点
( 1,0)
B
，过B 的直线l 与圆A 交于点C，D，过B
作直线BE 平行AC 交AD 于点E.求点E 的轨迹的方程.
9.在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过
1,0
A
，且与圆C ：
2
2
1
9
x
y
相切，则圆心P 的轨
迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．拋物线
10.已知圆
2
2
(
1)
16
x
y
的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,点G 在线段AP
上,且满足GP
GB
.
（1）求点G 的轨迹E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于
,
M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线
2
4
y
x
上,求直线l
的斜率k 的取值范围.
11.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：
2
2
2
8
x
y
,
2,0
B
,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆
的圆点P 的轨迹为C .
（1）求C的方程；
（2）试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E , F 两点时,恒有
EAM
FAM
？若
存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
193
12.已知一定点
(0,1)
F
,及一定直线l：
1
y ,以动点M 为圆心的圆M 过点F,且与直线l 相切．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设P 在直线l 上,直线PA,PB 分别与曲线C 相切于A,B,N 为线段AB 的中点．求证：|
|
2 |
|
AB
NP
,且
直线AB 恒过定点．
题型二：直接法求动点轨迹
1．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点
( 1,1)
A
关于原点O对称，点P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之
积为
1
3
，则点P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
3
4(
1)
x
y
x
B．
2
2
3
1(
1)
x
y
x
C．
2
2
3
4(
1)
x
y
x
D．
2
2
3
1(
1)
x
y
x
2.已知点
( 2,0)
A
，
(2,0)
B
，直线PA 的斜率为
1k ，直线PB 的斜率为
2k ，若
2
1
1
k
k
，则点P 的轨迹为不
包含A ，B 两点的（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且
4
AM
MB
，则点M
的轨迹方程是
A．
2
2
16
64
x
y
B．
2
2
16
64
x
y
C．
2
2
16
8
x
y
D．
2
2
16
8
x
y
4．阿波罗尼斯（约前262—前190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
0,
1
k k
k
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点
0,0
O
，
3,0
A
，动点P 满足
1
2
PO
PA
，
则点P 的轨迹方程是
．
5.已知A，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N.若
2
1
2
MN
AN NB
，则
动点M 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
194
6．在平面直角坐标系xOy 中，A（6，0），点B 为圆C：
2
2
6
1
1
x
y
上的动点，点P 满足
2
PO
PA
，
则动点P 的运动轨迹方程为
.
2
PB
PA
的最小值为
.
7.设点M、N 分别是不等边ABC
的重心与外心，已知
(0,1)
A
、
(0,
1)
B
，且MN
AB
．则动点C 的轨迹
E
；
8.（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为
10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
9．设平面上有一条长度为4 的线段AB ，试建立适当的平面直角坐标系，求：
(1)到线段AB 两端点的距离的平方差为16 的点的轨迹方程；
(2)到线段AB 两端点的距离的平方和为16 的点的轨迹方程．
10.设动点M 在直线
0
y
和
2
y 上的射影分别为点N 和R ,已知
2
MN MR
OM
,其中O为坐标原点.
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）过直线
2
0
x
y
上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB ( A , B 为切点),求证：直线AB 经过定点.
195
题型三：相关点法求动点轨迹
1.设定点
6,2 ,
A
P 是椭圆
2
2
1
25
9
x
y
上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程．
2．如图所示，从双曲线x
2－y
2＝1 上一点Q 引直线x＋y＝2 的垂线，垂足为N．求线段QN 的中点P 的轨迹
方程．
3.如图,P 是圆x
2＋y
2＝4 上的动点,点P 在x 轴上的射影是点D,点M 满足DM
→＝1
2
DP
→.
(1)求动点M 的轨迹C 的方程,并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A,B,求以OA,OB 为邻边的平行四边形OAEB 的
顶点E 的轨迹方程．
4．已知面积为16 的正方形ABCD的顶点A、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，
3
1
4
2
OP
OA
OB
，
则动点P 的轨迹方程是
．
5.直线y
x
和y
x
上各有一点,
P Q（其中点
,
P Q 的纵坐标分别为
,
P
Q
y
y 且满足
0
P
Q
y y
），
OPQ
△
的面
积为4，则PQ的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
4
x
y
B．
2
2
4
x
y
C．
2
2
4
y
x
D．
2
2
8
x
y
6．一条线段的长等于10，两端点
,
A B 分别在x 轴和P 轴上滑动，M 在线段AB 上且
4
AM
AB
，则点M 的
轨迹方程是（
）
A．
2
2
16
64
x
y
B．
2
2
16
64
x
y
C．
2
2
16
8
x
y
D．
2
2
16
8
x
y
196
7.已知点P 为圆
2
2
18
x
y
上一动点，PQ
x
轴于点Q ，若动点M 满足
1
2
3
3
OM
OP
OQ
,求动点M 的轨
迹C 的方程；
8.已知
2,1 ,
2, 1 ,
A
B
O
为坐标原点，动点
,
P x y 满足OP
mOA
nOB
，其中
,
R
m n
，且
2
2
1
2
m
n
，
则动点P 的轨迹方程是
.
9.如图，在圆
2
2
4
x
y
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线
段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？
10．已知抛物线
2
1
y
x
，定点
3 ,1 ,
A
B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有
:
1: 2
BP PA
，
当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．
11．如图所示，已知
(4,0)
P
是圆
2
2
36
x
y
内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足
90
APB
，求矩形
APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
197
题型四：参数法求动点轨迹
1．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线1
2
,l l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，若点M 是线段AB 上的
点，且满足
2
BM
AM
，则点M 的轨迹方程是
．
2.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，F 到双曲线
2
2
1
3
y
x
的渐近线的距离为2 .
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过动点
,0
A a
作抛物线C 的切线AB （斜率不为0），切点为B ，求线段AB 的中点D 的轨迹方程.
3.已知双曲线
2
2
1
4
y
x
与直线
:
2
l y
kx
m k
有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交
x 轴、y 轴于
,0 ,
0,
A x
B
y 两点．当点M 运动时，点
,
P x y 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
0
4
x
y
y
B．
2
2
1
0
4
x
y
y
C．
2
2
4
1
0
25
25
x
y
y
D．
2
2
4
1
0
25
25
x
y
y
4．已知椭圆C:
2
2
1
9
4
x
y
，若动点
0
0
P x
y
，
为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点
P 的轨迹方程
.
5.已知斜率为2
5 的动直线与椭圆
2
2
1
5
4
x
y
交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为M ，则M 的轨迹长度
为
．
6.平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
:
4
y
x
，F 为的焦点，A ，B 为上的两个不重合的动点，使得线
段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点.求点Q 的轨迹方程.
198
7．如图，设点A 和B 为抛物线
2
4
y
px
0
p
上原点以外的两个动点，已知OA
OB
，OM
AB
．求
点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
8．过抛物线
2
2
y
px
（
0
p
）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
9．如图，给出定点A(a，0)(a>0)和直线l：x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点
C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.
题型五：交轨法求动点轨迹
1.设
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
与x 轴的两个交点，1
2
,
P P 是椭圆上垂直于
1
2
A A 的弦的端点，则直线
1 1
A P 与
2
2
A P
交点的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
3
9
4
x
y
x
B．
2
2
1
3
9
4
y
x
x
C．
2
2
1
3
9
4
x
y
x
D．
2
2
1
3
9
4
y
x
x
199
2．已知MN 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
中垂直于长轴的动弦，,
A B 是椭圆长轴的两个端点，则直线AM 和
NB 的交点P 的轨迹方程为
．
3.如图，椭圆
2
2
0
2
2
:
1
x
y
C
a
b
（
0
a
b
，,a b为常数），动圆
1
1
2
2
2
:
C
x
y
t
，
1
b
t
a
，点
1
2
,
A A 分别为
0
C 的左，右顶点，
1
C 与
0
C 相交于
, , ,
A B C D 四点，求直线
1
AA 与直线
2
A B 交点M 的轨迹方程.
4.已知矩形ABCD中，
2 6,
2 2, , , ,
AB
BC
E F G H
分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF
所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线
,
HF BC 上的动点
,
R S 满足
,
OR
OF CS
CF
R
.求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程.
5．已知反比例函数
1
y
x
的图象C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C 的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设
1A 、
2
A 为双曲线C 的两个顶点，点
0
0
,
M x
y
、
0
0
,
N y x
是双曲线C 上不同的两个动点.求直线
1A M
与
2
A N 交点的轨迹E 的方程；
200
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过
2
2
:
25
O x
y
上的点P 作切线l ，l 分别与直线
5
x
，
5
x 交于
点
,
C
D ，圆O与x 轴交于点,
A B．
(1)若P 点坐标是(3,4) ，求直线
,
AC
BD 的方程；
(2)若
( , )
P s t 是圆O上的动点，证明：两条动直线
,
AC
BD 的交点M 总在同一个椭圆T 上，并求出椭圆T 的
方程．
7.已知抛物线
2
:
C y
x
,过点
1,2
M
的直线交抛物线C于
,
A B 两点,以
,
A B 为切点分别作抛物线C的两条
切线交于点P .
（1）若线段AB 的中点N 的纵坐标为3
2 ,求直线AB 的方程；
（2）求动点P 的轨迹.
8．已知双曲线
2
2
1
2
x
y
的左、右顶点分别为
1
2
,
A A ,点
1
1
,
P x y
,
1
1
,
Q x
y
是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线
1A P 与
2
A Q 交点的轨迹E 的方程
（2）若过点H(0,h)（h>1）的两条直线1l 和2l 与轨迹E 都只有一个公共点，且1
2
l
l
，求h 的值.
9．已知MN 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
中垂直于长轴的动弦，,
A B 是椭圆长轴的两个端点，求直线AM 和
NB 的交点P 的轨迹方程．
201
题型六：中点弦的点差法求动点轨迹
1．求过定点
0,1 的直线被双曲线
2
2
1
4
y
x
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
2．直线l 与椭圆
2
2
1
4
x
y
交于A，B 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦AB 中点的轨迹方程是
．
3．椭圆
2
2
1
4
x
y
，则该椭圆所有斜率为1
2 的弦的中点的轨迹方程为
．
4．斜率为2 的平行直线截双曲线
2
2
1
x
y
所得弦的中点的轨迹方程是
．
5．已知曲线上一动点P 到两定点
1 0, 2
F
，
2 0,2
F
的距离之和为4 2 ，过点
1,0
Q
的直线L 与曲线
相交于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦AB 满足：AM
MB
，求点M 的轨迹方程；
6．已知抛物线
2
2
y
x
，过点
2,1
Q
作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程.
202
7．已知点
1,1
A
，
,
P Q 为抛物线
2y
x
上异于A 点的两动点，且
0
AP AQ
.
(1)求证：直线PQ 必过一定点；
(2)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程.
题型七：空间中的动点轨迹
1.如图，点A 是平面外一定点，过A 作平面的斜线l，斜线l 与平面所成角为50．若点P 在平面内
运动，并使直线AP 与l 所成角为35，则动点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线的一支
2.已知空间直线a 、b 和平面满足：a
b
，a
，/ /
b
.若点P
，且点P 到直线a 、b 的距离相等，
则点P 的轨迹是（
）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3.如图，在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 为棱
1
1
A B 中点，点Q 在侧面
1
1
DCC D 内运动，若
PBQ
PBD
，则动点Q 的轨迹所在曲线为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
203
4.如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的所有棱长均相等，P 是侧面
1
1
AAC C 内一点，若点P 到平面
1
1
BB C C 的距离
1
3
2
PE
PA
，则点P 的轨迹是（
）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
模块三：综合巩固
1.已知ABC
的周长为12，且
4
BC
，则ABC
的顶点A 的轨迹为（
）
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
2．已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.线段AB 的端点B 在圆C 上运动，则线段AB 的中点M 的轨
迹方程为（
）
A．
2
2
3
1
4
x
y
B．
2
2
3
1
4
x
y
C．
2
2
3
1
4
x
y
D．
2
2
4
1
3
x
y
3.平面直角坐标系中点
,
M x y 满足
2
2
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
x
y
，则点M 的轨迹为（
）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．不存在
4．动点
,
M x y 到定点
4,0
F
的距离与M 到定直线l ：
25
4
x
的距离的比等于4
5 ，则动点M 的轨迹方
程是（
）
A．
2
2
1
25
9
x
y
B．
2
2
1
25
16
x
y
C．
2
2
1
25
9
y
x
D．
2
2
1
25
16
y
x
5.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定
义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0
1
e
时，轨迹为椭圆；当
1
e 时，轨迹为抛物线；当
1
e 时，轨迹为双曲线.现有方程
2
2
3
4
12
x
y
x
y
表
示的圆锥曲线为（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
204
6．已知点P 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，作PH
y
轴于点H，则线段PH 的中点M 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
4
x
y
B．
2
2
1
16
x
y
C．
2
2
1
16
y
x
D．
2
2
1
4
y
x
7.半径不等的两定圆
1
O 、
2
O 无公共点，动圆O 与
1
O 、
2
O 都内切，则圆心O 的轨迹是（
）
A．双曲线的一支
B．椭圆
C．双曲线的一支或椭圆
D．抛物线或椭圆
8.动圆M 经过定点
4, 1
P
，且与y 轴相切，则圆心M 的轨迹为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
9.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
，Q 为上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
所在平面内的动点，当直线DQ 与
1
DA 的所成角为45°
时，点Q 的轨迹为（
）
A．圆
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
10．已知
1
2
,
A A 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q 与
点P 关于x 轴对称，则直线
1
PA 与直线
2
QA 的交点M 所形成的轨迹为（
）
A．双曲线
B．抛物线
C．椭圆
D．两条互相垂直的直线
11.（多选）已知
1 0
A ，，
10
B ，，直线AP ，BP 相交于P ，直线AP ，BP 的斜率分别为
1k ，2k ，则（
）
A．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的椭圆
B．当
1
2
1
k
k
×
= - 时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的圆
C．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的双曲线
D．当
1
2
2
k
k
时，P 点的轨迹为除去A ，B 两点的抛物线
12.（多选）若A 是圆C 所在平面内的一定点，P 是圆C 上的一动点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相
交于点Q ，则点Q 的轨迹可能是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
205
13.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点
1
0, 2
的距离，记动点P 的轨迹为W ．则W 的方
程为
；
14.已知点P 是曲线
2
1
y
x
上任意一点，
2,0
A
，连接PA 并延长至Q ，使得
2
AQ
PA
，求动点Q 的轨
迹方程
．
15.在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆
2
2
1
45
:
2
0
4
C
x
y
x
内切，且与圆
2
C ：
2
2
3
2
0
4
x
y
x
外
切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .则轨迹E 的方程为
；
16．已知等腰三角形ABC 的顶点为
(4 2)
，
A
，底边的一个端点为
(5 3)
，
B
，则底边的另一个端点C 的轨迹方程
为
．
17．已知圆M 与圆
2
2
:
1
O x
y
内切，且圆M 与直线
2
x
相切，则圆M 的圆心的轨迹方程为
．
18．已知椭圆
2
2
1
4
9
x
y
，一组平行直线的斜率是3
2 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段
的中点轨迹方程是
．
19.已知点M 为圆
2
2
:
1
O x
y
上的动点，点
1
2
2,0 ,
2,0
F
F
，延长
1F M 至N ，使得
1
MN
F M
，线段
1F N 的垂直平分线交直线
2
F N 于点P ，记P 的轨迹为Γ .则Γ 的方程为
.
206
20.已知点M 到点
( 2,0)
F
的距离比点M 到直线
3
x
的距离小1.
(1)求点M 的轨迹方程；
(2)求线段MF 中点Q 的轨迹方程.
21.（1）已知点M 到定点
2,0
F
的距离与到定直线:
5
l x
的距离之比为10
5
，求点M 的轨迹方程；
（2）已知点A 是圆
2
2
9
x
y
上的动点，过点A 作AB
x
轴，垂足为B ，点P 在线段AB 上，且
1
3
PB
AB
，
求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么图形.
22．设椭圆方程为
2
2
1
4
y
x
，过点
0,1
M
的直线l 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
1
2
OP
OA
OB
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．
23．已知拋物线
2
:
4
C y
x
，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点
,
A B
和点
,
.
,
C D AB CD 的中点分别为
,
M N .
(1)若直线AB 的斜率为2，求直线MN 的方程；
(2)求线段MN 的中点E 的轨迹方程.
207
24．已知Rt ABC
的斜边为AB，且
1,0 ,
3,0
A
B
.求:
(1)
ABC
外接圆的一般方程;
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
25.己知抛物线C ：
2
2
0
x
py p
的焦点为F , P 为C上的动点,Q 为P 在动直线
0
y
t t
上的投影．当
PQF
△
为等边三角形时,其面积为4 3 ．
（1）求C的方程；
（2）设O为原点,过点P 的直线l 与C 相切,且与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
交于A , B 两点,直线OQ 与线段AB 交于点
M ．试问：是否存在t ,使得
QMA
△
和△QMB 的面积相等恒成立？若存在,求t 的值；若不存在,请说明理
由．
26.在平面直角坐标系xOy 中,点D , E 的坐标分别为
2,0
,
2,0 , P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积
等于
1
4
.
（1）求动点P 的轨迹C的方程；
（2）已知直线y
kx
m
与椭圆：
2
2
1
4
x
y
相交于A , B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m使得
3
4
OA
OB
OM
+
=
,求m的取值范围.
208
3.10 线段、斜率、面积最值范围问题
模块一：题型分类
题型一：两点间距离公式求线段
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右准线为:
4
l x
（定义：椭圆C 的右准线
方程为
2
a
x
c
,其中
2
2
c
a
b
）.点P 是右准线上的动点,过点P 作椭圆C 的两条切线,分别与y 轴交于M,N
两点.当P 在x 轴上时,|
| |
|
OP
MN
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求|
|
MN 的最小值.
题型二：利用弦长公式求距离
【基础公式】
1.设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝1＋k2|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝
2
1
2
1
2
4
x
x
x x
2.设斜率为k(k≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝
1＋1
k2|y2－y1|.当消去x 整理
方程为关于y 的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|
＝
2
1
2
1
2
4
y
y
y y
.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A 、
2A ,点
6
2,
2
在椭圆C上,过椭圆C的右焦
点F 作与x 轴垂直的直线与椭圆相交于D 、E 两点,且四边形
1
2
ADA E 的面积为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线
2
2
y
k x
m
m
与椭圆C相交于M 、N 两点,且与x 轴相交于点P ,若
2
2
PM
PN
的
值与m无关,求斜率k 的值．
209
2.已知抛物线C：
2
2
0,
4
y
px p
p
,过点
(2,0)
A
且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P,Q 两点.
（1）设点B 在x 轴上,分别记直线PB,QB 的斜率为
1
2
,
k k .若
1
2
0
k
k
,求点B 的坐标；
（2）过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M,N 两点,求
|
|
|
| |
|
MN
AP
AQ
的值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
,短轴长为2 2 ,离心率为
2
2
.过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交
椭圆于A ､B 两点, AB 的中垂线交x 轴于点M ,交直线
2 2
x
于点N .
（1）求C的方程；
（2）求
AB
FM 的大小；
（3）证明：A ､M ､B ､N 四点共圆.
题型三：利用点到直线距离公式求垂线段的长
1.物线T ：
2y
x
在第一象限上一点A ,过A 作抛物线T 的切线交y 轴于点B ,过B 作OA的垂线交抛物线T 于
C, D （D 在第四象限）两点,交OA于点E ．
（1）求证：CD 过定点；
（2）若
1
OB OD
,求AE OE
的最小值．
210
2.设常数
0
m
且
1
m ,椭圆：
2
2
2
1
x
y
m
,点P 是上的动点．
（1）若点P 的坐标为
2,0 ,求的焦点坐标；
（2）设
3
m,若定点A 的坐标为
2,0 ,求PA 的最大值与最小值；
（3）设
1
2
m
,若上的另一动点Q 满足OP
OQ
（O为坐标原点）,求证：O到直线PQ 的距离是定值．
3.双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、
D 两点，且
ABD
△
是直角三角形．
(1)求双曲线C 的方程；
(2) M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为
1k 、
2k ，若
1
2
2
k k ，求点A 到直线MN
的距离d 的取值范围．
题型四：利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的长轴长为4 3 ,点
3,
6 在C上.
（1）求C的方程；
（2）设C的上顶点为A,右顶点为B,直线l 与AB 平行,且与C交于M , N 两点, MD
DN
,点F 为C的右焦点,
求DF 的最小值.
211
2.已知斜率为k 的直线l 与抛物线y2=4x 交于A､B 两点,y 轴上的点P 使得△ABP 是等边三角形.
（1）若k>0,证明：点P 在y 轴正半轴上；
（2）当|
|
OP 取到最大值时,求实数k 的值.
3.设实数
0
k
,椭圆D：
2
2
1
6
2
x
y
的右焦点为F,过F 且斜率为k 的直线交D 于P、Q 两点,若线段PQ 的
中为N,点O 是坐标原点,直线ON 交直线
3
x
于点M．
（1）若点P 的横坐标为1,求点Q 的横坐标；
（2）求证：MF
PQ
；
（3）求
PQ
MF 的最大值．
4.已知圆
1F ：
2
2
1
16
x
y
,
2 1,0
F
, M 为圆
1F 上的动点,若线段
2
MF 的垂直平分线交
1
MF 于点P .
（1）求动点P 的轨迹C的方程；
（2）已知
0
0
1,
0
T
y
y
为C 上一点,过T 作斜率互为相反数且不为0 的两条直线TA ,TB 分别交曲线C于
A , B ,求AB 的取值范围.
212
5.已知抛物线
2
:
2
0
E y
px p
的焦点F 到双曲线
2
2
1
3
x
y
的渐近线的距离是
1
2 .
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知过点F 的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与E 的准线l 交于点P ，且线段AB 的中点为
M ，求
PM
AB 的最小值.
题型五：利用基本不等式求线段最值
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，离心率为
2
2
，过F 的直线交C 于
,
A B 两点，O为坐标
原点，当AB
OF
时，
2
AB
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的另一条直线交C 于
,
D E 两点，设直线AB 的斜率为
1
1
0
k
k
，直线DE 的斜率为
2k ，若
1
2
2
k
k
，
求AB
DE
的最大值．
2.已知椭圆C∶
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a>b>0）与抛物线y2=4x 共焦点F,且过点
8
(1,
)
3
,设
,
P x y 是椭圆上任意一点,A、
B 为椭圆的左、右顶点,点E 满足
(9
,0)
PE
x
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）判断|
|
|
|
PE
PF 是否为定值,并说明理由；
（3）设Q 是直线x=9 上动点,直线AQ、BQ 分别交椭圆于M、N 两点,求|MF | +| NF |的最小值．
213
题型六：弦长与点到直线距离求三角形面积
1.若椭圆
2
2
2
2
:
1,(
0)
x
y
E
a
b
a
b
过抛物线
2
4
x
y
的焦点，且与双曲线
2
2
1
x
y
有相同的焦点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)不过原点O 的直线:l y
x
m
与椭圆E 交于A、B 两点，求ABO
面积的最大值以及此时直线l 的方程．
2.顺次连接椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的四个顶点,得到的四边形的面积为8 2 ,连接椭圆C 的某两个顶点,
可构成斜率为
2
2
的直线.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知过点
( 4,0)
A
的直线l 与椭圆C 交于E,F 两点,点B 在线段EF 上,若|
|
|
|
|
|
|
|
AE
BE
AF
BF
,求OAB
（O 为
坐标原点）面积的取值范围.
题型七：割补法求三角形那个面积
【基本思路】
若过定点Q 的直线圆锥曲线交于点A,B,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△PAB 的面积,可先求出
点A,B 到直线PQ 的距离之和d,则
1
2
PAB
S
PQ d
,特别的,若PQ 与y 轴垂足,
1
2
PAB
A
B
S
PQ y
y
,利用这
种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
上的点到左、右焦点
1F 、
2
F 的距离之和为4,且右顶点A 到右焦点
2
F 的
距离为1.15202662509
（1）求椭圆C的方程;
（2）直线y
kx
与椭圆C交于不同的两点M , N ,记
MNA
△
的面积为S,当
3
S
时求k 的值.
214
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
，经过
0,1 ，且离心率为
2
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线:l y
x
m
与椭圆交于A ，B 两点，O为坐标原点.求OAB
面积的最大值.
题型八：对角线互相垂直的四边形面积的计算
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的离心率为
1
2 ,且椭圆E 经过点
3
1, 2
,过右焦点F 作两条互相垂直的弦
AB 和CD ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）当四边形ACBD的面积取得最小值时,求弦AB 所在直线的方程．
2.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)经过点�−2,0 和点�2,0 ，椭圆�的焦距为2.
(1)求椭圆�的方程；
(2)�和�是椭圆�上异于�, �的两点，四边形����是平行四边形，直线��､��分别交�轴于点�和点�, �是
椭圆的右焦点，求四边形����面积的最小值.
215
3.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
被直线
2
3
y
x
截得的弦的中点M 的纵坐标为1．
(1)求p 的值及抛物线的准线方程；
(2)过抛物线的焦点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与拋物线相交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线相
交于C ，D 两点，求四边形ACBD的面积S的最小值．
4.设双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，1
2
2 5
F F
，且E 的渐近线方程为
2
x
y
．
(1)求E 的方程；
(2)过
2
F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与E 的右支分别交于A，C 两点和B，D 两点，求四边形ABCD 面
积的最小值．
题型九：利用函数性质求面积最值或范围
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右顶点为A,上､下顶点分别为B,D,直线AB的斜率为
1
2
,坐标原点O到
直线AB 的距离为2 5
5
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l // AB ,且交椭圆C 于M,N 两点,当△DMN 的面积最大时,求直线l 的方程.
216
2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
3,0
F
，
2
3,0
F
，点P 满足
1
2
2 6
PF
PF
.记P 的轨迹为M .
(1)求M 的方程；
(2)直线
3
0
x
y
交M 于A ，B 两点，C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线CD
AB
，求
四边形ACBD面积的最大值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
1
x
y
C
ab
a
b
>
的离心率为
3
2
，短轴长为2，椭圆C 与圆
2
2
2
:
(
0)
M
x
y
r
r
相交于点
, , ,
A B C D .
(1)当四边形ABCD面积最大值时，求圆M 的半径；
(2)直线:l x
ty
m
与（1）中的圆M 相切，并与椭圆C 相交于,
P Q 两点，求
OPQ
△
面积的最大值.
4.设点O 为坐标原点，P 是圆A：
2
2
2
4
x
y
上任意一点，点
2,0
B
，线段BP 的垂直平分线与直线
AP 交于点Q，记点Q 的轨迹为曲线C．
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 与曲线C（在y 轴右侧）恰有一个公共点，且l 与直线
3
y
x
分别交于M，N 两点，求BMN
面积S 的最小值．
217
5.已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
实轴的一个端点是P ，虚轴的一个端点是Q ，直线PQ 与双曲线的一条渐
近线的交点为1 1
,
2 2
.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
1 (0
1)
y
kx
k
k
与曲线C 有两个不同的交点
,
A
B O
、
是坐标原点，求OAB
的面积最小值.
6.已知动圆过点
1 ,0
2
F
，且与直线
1
0
2
x
相切，设动圆圆心的轨迹为曲线C ；过点F 的直线与曲线C 交
于A ，B 两点，曲线C 在A ，B 两点处的切线交于点E .
(1)证明：EF
AB
；
(2)设AF
FB
，当
1 1
,
3 2
时，求ABE
的面积S 的最小值.
7.已知曲线Γ 在x 轴上方，它上面的每一点到点
0,2
Q
的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点
, ,
A B C 分
别在该曲线Γ 上，且点A C
､
在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC
的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点
M 且满足3 AM
BM
，直线BC 交y 轴于点N .记
,
,
ABC
AMG CNG
的面积分别为
1
2
3
,
,
S S
S
(1)求曲线Γ 方程；
(2)求
2
3
1
S
S
S
的取值范围.
218
题型十：利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式,若对代数式进行恒等变形后能出现和为定
值或乘积为定值的式子,可考虑利用均值不等式求最值或范围.
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,0 ,
,0
F
c
F
c
，离心率为1
2 ，点
3
1, 2
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
3,0
D
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记
1
ABF
的面积为S ，求S 的最大值.
2.已知抛物线
2
:
2
0
T
y
px p
,点F 为其焦点,点M 、N 在抛物线上,且直线MN 过点
,0
2
p
G
,
2
6
FM
FN
.
（1）求抛物线T 的方程；
（2）过焦点F 作互相垂直的两条直线,与抛物线T 分别相交于点A 、B 和C、D ,点P 、Q 分别为AB 、CD
的中点,求
FPQ
△
面积的最小值.
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴长为4 ，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点
(0,2)
P
的直线l 与椭圆C 相交于
,
A B 两点，O 为原点，求OAB
面积的最大值.
219
4.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
焦距为6，离心率为3
4 .
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点
2
F 作直线l 交曲线C 于M 、N 两个不同的点，记OMN
的面积为S，求S的最大值.
题型十一：利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点
, ,
A B C 共线,通常是利用
AB
A
k
k
Ｃ.
1.已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
W
的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线1 :
4
l
x
.
（1）若椭圆W 的左顶点A 关于直线
4
0
x
my
的对称点在直线1l 上,求m 的值；
（2）过F 的直线2l 与椭圆W 相交于不同的两点C,D（不与点A,B 重合）,直线CB 与直线1l 相交于点M,求
证：A,D,M 三点共线.
题型十二：根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
【基础知识】
1.设点
,
P m n 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一定点,点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
,
220
2. 设点
,
P m n 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
一定点,点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
2
2
0
bm
n
an
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
2
2
,
n
b m
m
n
a
；
3. 设点
,
P m n
是抛物线C：
2
2
0
y
px p
一定点,点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点,若
PA
PB
k
k
, 则
0
时直线AB 斜率为定值
0
p n
n
, 若
0
, 则直线AB 过定点
2
2
,
n
p
m
n
；
4.若点P 在直线y
t
上,证明直线
,
PA PB 关于y
t
对称,或证明直线y
t
平分
APB
,可证明
0
PA
PB
k
k
.
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ,点
0, 1
M
是椭圆的一个顶点,
1
2
F MF
△
是等腰直
角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点M 分别作直线
,
MA MB 交椭圆于
,
A B 两点,设两直线的斜率分别为
1
2
,
k k ,且
1
2
4
k
k
,求证：直线
AB 过定点
1 ,1
2
.
2.已知抛物线
2
:
2
(
0)
E y
px p
的焦点为F ,其中P 为E 的准线上一点,O是坐标原点,且
9
4
OF OP
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）过
1,0
Q
的动直线与E 交于
,
C D 两点,问：在x 轴上是否存在定点
,0
0
M t
t
,使得x 轴平分
?
CMD
若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
221
题型十三：根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
【基础知识】
若点A,B 是椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是椭圆C 上与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
；若点A,B 是双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
上关于原点对称的两点,点P 是双曲线C 上
与A,B 不重合的点,则
2
2
PA
PB
b
k
k
a
.
善于利用点差法及圆锥曲线中点弦二级公式推导求解13723366289
【基础练习】
1.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的左、右顶点和右焦点分别为A 、B 和F ,直线
:l x
my
t
与椭圆C交于不同的两点M 、N ,记直线AM 、BM , BN 的斜率分别为
1k 、
2k 、
3k .
（1）求证：
1
2
k k 为定值；
（2）若
1
3
3
k
k
,求FMN
的周长.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ,椭圆的离心率为
2
2
,椭圆上的一点P 满足
2
PF
x
轴,且
2
1
PF ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A 为椭圆的左顶点,若点
,
B C 为椭圆上异于点A 的动点,设直线
,
AB AC 的斜率分别为
AB
AC
k
k
,且
1
AB
AC
k
k
,过原点O作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定
值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．
222
题型十四：判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
【基础知识】
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得
到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条
件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【基础练习】
1.已知双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的渐近线方程为
3
2
0
x
y
，且虚轴长为2 3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
与双曲线C 相交于不同的两点
,
A B ，且满足
1
OA OB
，求k 的取值范围.
2.已知椭圆方程
:
E
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
b
a
短轴长为2，离心率为2 2
3
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点
,
M N ，如果线段MN 的中点在直线
1
2
x
上，求直线l 的斜率的取
值范围．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1( > >0)
x
y
C
a b
a
b
的左右焦点分别为
1( 10)
F ，,
2(10)
F
，.过
2
F 与x 轴垂直的直线与椭圆C交于
点D ,点D 在x 轴上方,且
1
3 2
2
DF
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点
2
F 的直线l 与椭圆C交于A , B 两点,是否存在一定点M 使得
MA
MB
k
k
为定值,若存在,求出点M 的
坐标,若不存在,请说明理由.
223
4.已知圆
2
2
(
1)
16
x
y
的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线
2
4
y
x
的焦点,点G 在线段AP 上,
且满足GP
GB
.
（1）求点G 的轨迹E 的方程；
（2）不过原点的直线l 与（1）中轨迹E 交于
,
M N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线
2
4
y
x
上,求直线l 的
斜率k 的取值范围.
5.已知抛物线
2
2
0
x
py p
焦点为F，点
4,
A
m 在抛物线上，
5
AF .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F 直线l 与抛物线交于MN 两点，若MN 最小值为4，且
MAN
是钝角，求直线斜率范围.
题型十五：向量代数式的最值范围
1.已知F 是抛物线E：
2
2
0
x
py p
的焦点，
0,4
M x
是抛物线E 上一点，
0,7
N
与点F 不重合，点F
关于点M 的对称点为P，且
0
NF NP
．
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)若过点
0,2 的直线与抛物线E 交于A，B 两点，求
FA FB 的最大值．
224
2.已知圆M：
2
2
1
8
x
y
，点
0, 1
N
，P 是圆M 一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q．
(1)求点Q 的轨迹方程C；
(2)若点A 是曲线C 上的动点，求OA AN
的最大值（其中O 为坐标原点）．
3.已知双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过
0,2
E
且倾斜角为45的直线l 与双曲线C 交于
,
M N 两点，求OM ON
的值（O为坐标原点）.
题型十六：参数的最值范围
1.已知过点
4,0
A
的动直线l 与抛物线
2
2
(
0)
G
x
py p
：
相交于
,
B C 两点.当直线l 的斜率是1
2 时，
4
A
A
C
B
.
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b，求b 的取值范围.
225
2.已知A ，B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为2
3 .O为坐标原点，
过点
0, 3
P
，且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当直线l 的斜率为正时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点,
S T ，记PS
PO
，PT
PO
，求
的
取值范围.
3.已知
0
0
,
M
x
y
是双曲线
2
2
2
:
1
x
C
y
a
上的一点，
1
2
,
F F 分别是C 的左、右焦点，若
1
2
2 3
MF
MF
．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)当
1
2
0
MF MF
时，求
0y 的取值范围．
4.双曲线
2
2
1
5
x
y
焦点是椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设动点
,
M N 在椭圆C 上，且
4 3
3
MN
，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.
226
5.已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上的一点
2,
M
a 到抛物线的焦点F 的距离是3.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为
N ，设DN
AB
，求实数的取值范围.
6.已知点
,
A F 分别为双曲线
2
2
2
:
(
0)
C x
y
a
a
的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线第
一象限部分交于点B ，
ABF
△
的面积为
2
2
1
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
1
1
2
y
kx
k
与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交
于P ，Q 两点，记
MON
△
，
APQ
△
的面积分别为
1S ，
2
S （O为坐标原点）．若
1
2
S
S
，求实数的取值
范围．
227
3.11 圆锥曲线设而不求与中点弦问题
模块一：基础知识
考点一：设而不求理解
在直线与圆锥曲线的相交问题中，特别是涉及到相交弦问题,中点弦问题、最值问题、定点与定值问
题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还与韦达定
理、中点公式、弦长公式、斜率公式等结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然。而不求是解析几何
解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不
求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,
以参数为过渡,设而不求．
1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易些，或者多条直线但是直线之间存在垂直，或者与坐标
轴的正半轴之间的夹角为相同的锐角等之类也可以设斜率, 需要注意的是设斜率的时候需要考虑：（1）斜
率是否存在；（2）直线与曲线必须有交点，判别式必须大于等于0
这种设斜率k 最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多
也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。
2.设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距b ，斜率存在常设其方程为y
kx
b
；
（2）知直线横截距
0x ，斜率存在常设其方程为y=k(x-
0x )，或x=my+x0 (斜率不为0)；
（3）知直线过点
0
0
(
,
)
x
y
，当斜率k 存在时，常设其方程为
0
0
(
)
y
k x
x
y
，当斜率k 不存
在时，则其方程为
0
x
x
；
（4）与直线y
kx
b
平行的直线可表示为y=kx+m；
（5）与直线y
kx
b
垂直的直线可表示为y= -1/kx+t.
注意：直线与曲线必须有交点，判别式必须大于等于0
3.定点与定值问题
(1) 圆锥曲线中定点问题的两种解法
①参数法：设动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定
点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2) 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求
得．
③线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
4.设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点
的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显
然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略
进行的.
5.设参数
228
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参
数,这时常引入斜率、截距作为参数.
考点二：椭圆双曲线的中点弦与点差法
1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数
的关系以及中点坐标公式解决；
2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系，
具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(
0
b
a
)上两点A 、B ，其中AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，
则有
2
2
a
b
k
k
OP
AB
。
证明：设
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，则有
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
b
y
a
x
，
上式减下式得
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
b
y
y
a
x
x
，∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
a
b
x
x
y
y
，
∴
2
2
0
0
2
1
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x
y
x
x
y
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
，∴
2
2
a
b
k
k
OP
AB
。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆
1
2
2
2
2
b
x
a
y
(
0
b
a
)上两点A、B ，线段AB 中点为
)
(
0
0
y
x
P
，
，则
有
2
2
b
a
k
k
OP
AB
。
3.双曲线的用点差法同理，可得
2
2
0
2
2
0
(
)
AB
AB
OP
x
b
b
k
k
k
a
y
a
考点三：抛物线的中点弦与点差法
设直线与曲线的两个交点
)
(
1
1
y
x
A
，
、
)
(
2
2
y
x
B
，
，中点坐标为
)
(
0
0
y
x
P
，
代入抛物线方程，
2
1
1
2
y
px ，
2
2
2
2
y
px ，
将两式相减，可得
1
2
1
2
1
2
2
y
y
y
y
p x
x
，
整理可得：
1
2
1
2
1
2
0
2
AB
y
y
p
p
k
x
x
y
y
y
229
考点四：点差法在圆锥曲线中的结论
1.椭圆：
2
2
2
0
2
0
2
2
1
1
1
AB
AB
OM
b
e
x
y
a
k
k
k
x
a
y
b
e
焦点在轴
焦点在轴
2.双曲线：
2
2
2
0
2
0
2
2
1
1
1
AB
AB
OM
b
e
x
y
a
k
k
k
x
a
y
b
e
焦点在轴
焦点在轴
3.抛物线：
0
0
0
0
AB
AB
AB
AB
p
k
y
p
k
y
x
k
x
x
k
p
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
模块二：题型分类
题型一：斜率型设而不求
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ,
2
F ,其离心率为
3
2
,P 为椭圆C 上一动点,
1
2
F PF
△
面积的最大值为
3 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过右焦点
2
F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,试问：在x 轴上是否存在定点Q,使得QA QB
为定值？若
存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
230
2.已知椭圆C1:
2
2
2
2
x
y
a
b
=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1 的离心率为1
2 ,过椭
圆C1 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为4
2 .
（1）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程.
（2）过点A(-4,0)的直线l 与椭圆C1 交于M,N 两点,点M 关于x 轴的对称点为E.当直线l 绕点A 旋转时,直
线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
3.已知椭圆P 焦点分别是
1(0,
3)
F
和
2(0, 3)
F
,直线
3
y
与椭圆P 相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P 的标准方程；
（2）将椭圆P 绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q 上存在A,B,C 三点,且坐标原点为
ABC
的重心,
求
ABC
的面积.
4.已知双曲线C 的渐近线方程为
3
3
y
x
,且过点
(3,
2)
P
.
（1）求C 的方程；
（2）设
(1,0)
Q
,直线
(
)
x
t t
R 不经过P 点且与C 相交于A,B 两点,若直线BQ 与C 交于另一点D,求证：直
线AD 过定点.
231
5.如图,已知椭圆
2
2
1 :
1
4
3
x
y
C
,椭圆
2
2
2 :
1
9
4
y
x
C
,
2,0
A
、
2,0
B
. P 为椭圆
2
C 上动点且在第一象限,直
线PA 、PB 分别交椭圆
1
C 于E 、F 两点,连接EF 交x 轴于Q 点.过B 点作BH 交椭圆
1
C 于G ,且
//
BH PA.
（1）证明：
BF
BG
k
k
为定值；
（2）证明直线GF 过定点,并求出该定点；
（3）若记P 、Q 两点的横坐标分别为
P
x 、
Q
x ,证明：
P
Q
x x 为定值.
题型二：坐标型设而不求
1.已知点
0, 1
A
在椭圆C ：
2
2
2
1
3
x
y
b
上.
（1）求椭圆C 的方程和离心率；
（2）设直线l ：
1
y
k x
（其中
1
k ）与椭圆C 交于不同两点E,F,直线AE,AF 分别交直线
3
x
于点M,N.
当AMN
的面积为3 3时,求k 的值.
232
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为1
2 ,且过点
3
1, 2
E
．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）若点A , B 分别是椭圆的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A , B 的任意一点,
直线AP 交l 于点M ,如图所示．设直线OM 的斜率为
1k ,直线BP 的斜率为
2k ,求证：
1k
2k 为定值．
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的长轴长是4,且过点
0,1
B
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：
2
y
k x
交椭圆于P,Q 两点,若点B 始终在以PQ 为直径的圆内,求实数k 的取值范围.
4.设双曲线
2
2
2
2
:
1( ,
0)
x
y
C
a b
a
b
的右顶点为A ,虚轴长为
2 ,两准线间的距离为2 6
3
.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设动直线l 与双曲线C 交于
,
P Q 两点,已知AP
AQ
,设点A 到动直线l 的距离为d ,求d 的最大值.
233
题型三：椭圆的中点弦问题
1.已知直线l 交椭圆
2
2
:
1
9
4
y
x
C
于
,
A B 两点，若点
1,2
M
为
,
A B 两点的中点，则直线l 的斜率为（
）
A．2
9
B．
2
9
C．9
8
D．
9
8
2.若椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的弦AB 的中点为( 1, 1)
，则弦AB 的长为（
）
A．
30
3
B．2 6
3
C．10
3
D．
15
3
3.已知椭圆
2
2
:
1
5
3
x
y
M
，过点
1,
P
m ，斜率为3
5 的直线l 与M 交于
,
A B 两点，且P 为AB 的中点，则m
（
）
A．1
B．1
C．
1
2
D．
1
2
4.设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线l 不经过原点O，且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB
的中点，下列结论正确的是（
）
A．直线l 与OM 一定垂直
B．若直线l 方程为
2
2
y
x
，则
8
5
3
AB
.
C．若直线l 方程为
1
y
x
，则点M 坐标为
1 2
,
3 3
D．若点M 坐标为
1,1 ，则直线l 方程为2
3
0
x
y
5.若直线2
0
x
y
m
与椭圆
2
2
1
5
2
x
y
交于
,
A B 两点，且AM
MB
，则点M 的坐标可能是（
）
A．1
1
,
2
10
B．(5, 1)
C．1 1
,
2 10
D．(5,1)
6.如图，已知斜率为－2 的直线经过椭圆C：
2
2
1
5
4
x
y
的左焦点
1F ，与椭圆相交于A，B 两点，求：
(1)线段AB 的中点M 的坐标；
(2) AB 的值．
234
7.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个焦点F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦
长为3 .
（1）求该椭圆C 的方程；
（2）若过点
1
(1, )
2
M
的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点M 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.
8.已知椭圆C 的焦点分别为F1
2 2,0
，F2
2 2,0 ，长轴长为6，设直线
2
y
x
交椭圆C 于A，B 两
点.
(1)求线段AB 的中点坐标；
(2)求△OAB 的面积.
9.在直角坐标系xOy 中已知
5,0 ,
5,0
A
B
，P 是平面内一动点，且直线PA 和直线PB 的斜率之积为
1
5
．记
点P 的运动轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于M，N 两点．且线段MN 的中点为
5
1
,
3
3
Q
，求|
|
MN ．
10.已知椭圆C 的两个焦点分别为
1
2
0,
3 ,
0, 3
F
F
，且椭圆C 过点
3 ,1
2
P
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点
1 ,1
2
Q
作直线l 交椭圆于
,
M N 两点，Q 是弦MN 的中点，求直线l 的方程及弦MN 的长度.
235
题型四：双曲线的中点弦问题
1.直线l 与双曲线
2
2
1
9
y
x
交于A，B 两点，线段AB 的中点为点
1, 4
M
，则直线l 的斜率为（
）
A．
4
9
B．4
9
C．
9
4
D．9
4
2.直线l 与双曲线
2
2
1
4
y
x
交于A B
、两点，线段AB 的中点为
(3,2)
M
，则直线l 的斜率为(
)
A．3
B．6
C．8
D．12
3.已知A，B 为双曲线C：
2
2
1
4
y
x
上的两点，且A，B 关于直线l ：
1
1
3
y
x
对称，则线段AB 中点的
坐标为
.
4.已知双曲线C：
2
2
1
9
y
x
，若双曲线C 的一条弦的中点为
1, 4
，则这条弦所在直线的斜率为（
）
A．
9
4
B．1
C．1
D．9
4
5.已知
,
A B 为双曲线
2
2
1
9
y
x
上两点，且线段AB 的中点坐标为
1, 4
，则直线AB 的斜率为（
）
A．3
2
B．9
4
C．
9
4
D．
3
2
6.已知
,
A B 为双曲线
2
2
1
9
y
x
上两点，且线段AB 的中点坐标为
1, 4
，则直线AB 的斜率为
.
7.经过点
2,2
M
作直线l 交双曲线
2
2
1
4
y
x
于
,
A B 两点，且M 为AB 中点．
(1)求直线l 的方程．
(2)求线段AB 的长．
8.过
(9,4)
P
双曲线
2
2
9
16
144
y
x
的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程.
236
9.已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为
( 6,0)
F
，且C 的一条渐近线经过点
( 2,1)
D
.
(1)求C 的标准方程；
(2)是否存在过点
(2,1)
P
的直线l 与C 交于不同的A，B 两点，且线段AB 的中点为P.若存在，求出直线l 的
方程；若不存在，请说明理由.
10.双曲线C 的焦点与椭圆
2
2
1
3
x
y
的焦点相同，双曲线C 的一条准线方程为
2
2
x
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若双曲线C 的一弦中点为
3,2 ，求此弦所在的直线方程.
11.双曲线的焦点
1
2
,
F F 的坐标分别为
5,0
和
5,0 ，离心率为
5
4
e
，求：
(1)双曲线的方程及其渐近线方程；
(2)已知直线l 与该双曲线交于交于
,
A B 两点，且
,
A B 中点
5,1
P
，求直线AB 的弦长．
题型五：抛物线中点弦问题
1.已知直线l 交抛物线
2
:
28
C x
y
于
,
M N 两点，且MN 的中点为
2, 11
，则直线l 的斜率为（
）
A．
1
14
B．11
14
C．1
7
D．
1
7
2.抛物线C ：
2
6
y
x
与直线l 交于A ，B 两点，且AB 的中点为
, 2
m
，则l 的斜率为
.
3.已知抛物线
2
4
y
x
与过焦点的一条直线相交于A，B 两点，若弦AB 的中点M 的横坐标为3
2 ，则弦AB 的
长|
|
AB
237
4.若抛物线
2y
x
上两点
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x
y
关于直线y
x
b
对称，且
1
2
1
y y ，则AB 中点坐标为（
）
A．
3
1
2
2
，
B．3
1
2
2
，
C．3 1
2 2
，
D．
3 1
2 2
，
5.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为= 1
x ，直线l 与抛物线C 交于
,
M N 两点，若线段MN 的中点为
1,1 ，则直线l 的方程为
．
6.已知抛物线顶点在原点，焦点为
1,0
F
，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点横坐标
为2，则线段AB 的长为
7.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点
0
6
A
y
,
在抛物线C 上，且
10
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且点
4,2 为线段MN 的中点，求直线l 的方程．
8.已知F 是抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点，
0
4,
M
y
是抛物线C 上一点，且|
| 4
MF
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于
,
A B 两点，且线段AB 的中点坐标为(8,12) ，求直线l 的斜率.
9.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为
0
,
, 9
F A x
是抛物线C 上的点，且
15
AF
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线l 交抛物线C 于
,
M N 两点，且MN 的中点为
6, 4
，求直线l 的方程．
238
题型六：弦中点轨迹与曲线方程
1.已知椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，其右焦点为F（4，0），过点F 的直线交椭圆与A，B 两点．若AB
的中点坐标为(1, 1)
，则椭圆的方程为（
）
A．
2
2
1
45
36
x
y
B．
2
2
1
12
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
18
9
x
y
2.若抛物线C：
2
2
y
px
存在以点
3,3 为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为
.
3.斜率为2 的平行直线截双曲线
2
2
1
x
y
所得弦的中点的轨迹方程是
．
4.过抛物线
2
8
y
x
的焦点作直线交抛物线于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点的轨迹方程为（
）
A．
4
1
y
x
B．
2
1
4
x
y
C．
2
1
2
x
y
D．
2
4
2
y
x
5.过椭圆
2
2
1
9
4
x
y
内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN 中点P 的轨迹是（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
6.求过定点
0,1 的直线被双曲线
2
2
1
4
y
x
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
7.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为
4,0
F
，过点F 的直线交椭圆E 于
,
A B 两点，若AB 的中点
坐标为
1, 1
M
，则椭圆E 的方程为（
）
A．
2
2
1
18
2
x
y
B．
2
2
1
20
4
x
y
C．
2
2
1
24
8
x
y
D．
2
2
1
25
9
x
y
8.已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
5,0
F
，过点F 的直线交双曲线E 于A、B 两点.若AB
的中点坐标为
6, 2
，则E 的方程为（
）
A．
2
2
1
5
20
x
y
B．
2
2
1
16
9
x
y
C．
2
2
1
9
16
x
y
D．
2
2
1
15
10
x
y
239
题型七：中点弦与离心率
【基础知识】
1.对于椭圆：离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2−b2
a2
=
a2
a2 −
b2
a2 =
1 −
b2
a2
2.对于双曲线：离心率的推导e =
c
a =
c2
a2 =
a2+b2
a2
=
a2
a2 +
b2
a2 =
1 +
b2
a2
3.对于椭圆
)
0
(1
2
2
2
2
＞
＞b
a
b
y
a
x
，中点弦公式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
4.对于椭圆
)
0
(1
2
2
2
2
＞
＞b
a
b
x
a
y
，中点弦公式：
2
2
b
a
k
k
AB
OP
5.对于双曲线
1
-
2
2
2
2
b
y
a
x
，中点弦公式：
2
2
a
b
k
k
AB
OP
6.对于双曲线
1
-
2
2
2
2
b
x
a
y
，中点弦公式：
2
2
b
a
k
k
AB
OP
7.有心二次曲线通式：ɑx2+βy2=1，
-
AB
OP
k
k
8.有心二次曲线的第三定义：弦过中心有对称AB 两点，P 为曲线上任意一点，
1
e2
PB
PA
k
k
【基础练习】
1.过点
2,1
M
作斜率为1
的直线与椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
相交于
,
A B 两点，若M 为线段AB 的中点，则C 的
离心率为（
）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．
2
2
2.过双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
y
x
C
a
b
a
b
内一点
1,1
M
且斜率为
1
2 的直线交双曲线于
,
A B 两点，弦AB 恰好被
M 平分，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
6
2
B．
5
2
C．
3
D．5
3.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点和上顶点分别为点
,0
F c
b
c
和点A，直线:
2
4
0
l
x
y
交
椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为
APQ
△
的重心，则椭圆的离心率为（
）
A．
3
3
B．2 3
3
C．
6
3
D．
2
2
240
4.已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60的直线与椭圆E 交于A ，
B 两点，M 为线段AB 的中点，若5 FM
OF
（O为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（
）
A．
3
3
B．
6
3
C．2 2
3
D．2 7
7
题型八：直线与曲线相交中点弦长
1.设经过点
3,0
F
的直线与抛物线
2
12
y
x
相交于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为9，则AB （
）
A．18
B．24
C．30
D．36
2.已知点A，B 在双曲线
2
2
3
x
y
上，线段AB 的中点为
1,2
M
，则AB （
）
A．2 5
B．4 5
C．2 10
D．4 10
3.若椭圆
2
2
1
4
2
x
y
的弦AB 的中点为( 1, 1)
，则弦AB 的长为（
）
A．
30
3
B．2 6
3
C．
10
3
D．
15
3
4.已知椭圆E 的中心在原点，焦点为
1
2
( 2 3,0),
(2 3,0)
F
F
，且离心率
3
2
e
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
(2,
1)
P
的直线l 与椭圆E 相交于A，B 两点且P 为AB 的中点求弦长AB .
241
题型九：曲线上两点关于直线对称
1.已知抛物线
2
2
x
y
上两点A，B 关于点
2,
M
t 对称，则直线AB 的斜率为
.
2.已知
R
m
，在拋物线
2
4
y
x
上存在两个不同的点关于直线y
x
m
对称，则m 的取值范围是
.
3.已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
6)
6
y
x
b
b
上存在两点M，N 关于直线
1
0
x
y
对称，且线段MN 中点的纵坐标为
4
3
，则
2
b 的值是（
）
A．3
2
B．2
3
C．1
2
D．2
4.已知椭圆
2
2
1
4
3
x
y
，若椭圆上存在两点A 、B 关于直线
4
y
x
m
对称，则m 的取值范围是（
）
A．
2 13 2 13
,
13
13
B．
13
13
,
13
13
C．
2 ,1
2
D．
2
0, 2
题型十：弦中点存在性探究问题
1.双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为y
x
，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求C 的方程；
(2)是否存在直线l ，经过点
1,4
M
且与双曲线C 于A，B 两点，M 为线段AB 的中点，若存在，求l 的方
程；若不存在，说明理由.
2.已知圆
2
2
: (
3)
4
M
x
y
，圆
2
2
:(
3)
100
N
x
y
，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨
迹为曲线C
(1)求C 的方程；
(2)是否存在过点
3
1, 2
Q
的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
242
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的一个顶点为
(0, 1)
A
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和2 3 ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线:l y
x
m
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使|
| |
|
AM
AN
，若存在，求出
m 的值；若不存在，请说明理由．
4.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率
3
e
，焦距为2 3 .
（1）求该双曲线方程.
（2）是否定存在过点
1,1
P
的直线l 与该双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点若存在，请求
出直线l 的方程，若不存在，说明理由.
模块三：综合巩固
1.已知椭圆
2
2
1
16
9
x
y
以及椭圆内一点
(2,1)
P
，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（
）
A．32
9
B．8
9
C．
9
32
D．
9
8
2.已知双曲线
2
2
:
1
4
y
C x
，过点
1,3
A
且被A 平分的弦MN 所在的直线斜率为（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
3.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的准线为=
2
y
，点,
P Q 在抛物线C 上，且线段PQ 的中点为
2,4
，则直
线PQ 的方程为（
）
A．
2
6
0
x
y
B．
3
10
0
x
y
C．2
0
x
y
D．2
3
8
0
x
y
243
4.已知点F 为抛物线
2
:
8
C y
x
的焦点，过F 的直线l 与C 交于A、B 两点．若AB 中点的纵坐标为2，则
|
|
AB (
)
A．6
B．7
C．9
D．10
5.直线
2
3
0
l
x
y
：
经过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左焦点F ，且与椭圆交于
,
A B 两点，若M 为线
段AB 中点，MF
OM
，则椭圆的离心率为（
）
A．
2
2
B．1
2
C．
3
2
D．
3
1
2
6.设直线
3
0
0
x
y
m
m
与双曲线
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
分别交于A B
、两点，若线段AB 的中点横坐标是
4
5 m ，则该双曲线的离心率是（）
A．
5
2
B．
7
2
C．2
D．
2
7.（多选）设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M
为线段AB 的中点，下列结论不正确的是（
）
A．直线AB 与OM 垂直
B．若点M 坐标为(1,1) ，则直线方程为2
3
0
x
y
C．若直线方程为
1
y
x
，则点M 坐标为1 4
,
3 3
D．若直线方程为
2
2
y
x
，则
4
|
|
2
3
AB
8．（多选）已知抛物线
2
1
:
4
E x
y
上存在两个不同的点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
关于直线
6
x
ky
对称，直线AB
与x 轴交于点
0,0
M x
，则下列说法正确的是（
）
A．抛物线E 的焦点坐标为
1,0
B．
1
2
8
x
x
C．
2
1
4
k
D．
0
4,4
x
9.已知过点
1,1
P
的直线l 与双曲线C ：
2
2
2
2
1
1,
0
x
y
a
b
a
b
交于A、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，
则双曲线C 的离心率取值范围是
.
10.已知抛物线
2
4
y
x
的弦AB 斜率为1，则弦AB 中点M 的轨迹方程
.
11.双曲线E：
2
2
1
4
12
x
y
，过
4,
0
P
t
t
作直线l 交双曲线于A，B 两点，若不存在直线l 使得P 是线段AB
的中点，则t 的取值范围是
.
244
12.过椭圆
2
2
:
1
4
x
C
y
内一点
1
1, 2
M
引一条弦，使该弦被点M 平分.
(1)求该弦所在的直线方程；
(2)求该弦的弦长.
13．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率
3
e
，双曲线C 上任意一点到其右焦点的最小距离为
3 1
．
（1）求双曲线C 的方程．
（2）过点
1,1
P
是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l
存在，请求直线l 的方程：若不存在，说明理由．
14.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4 ,请从下面3 个条件中选择1 个补全条件,并完成后面问
题：
①该曲线经过点
2,3
A
；
②该曲线的渐近线与圆
2
2
8
4
0
x
x
y
相切；
③点P 在该双曲线上,
1F 、
2
F 为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为3
2 时,恰好
1
2
PF
PF
.
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)过定点
1,1
Q
能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于
1
Q 、
2
Q 两点,且Q 是弦
1
2
Q Q 的中点？若存在,求出l 的方
程；若不存在,说明理由.
245
15.已知点
(0,1)
F
为抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点,如图,过点F 的直线交抛物线于
,
A B 两点（点A 在y 轴右侧）,
点C 在抛物线上,直线AC 交y 轴的正半轴于点D 且|
| |
|
AF
DF
,设直线l 与抛物线相切于点B ,直线l 与y 轴
相交于点E ．
（1）设点
1
1
,
A x y
,
2
2
,
B x
y
；
①求证：
1
2
4
x x ；
②求证：直线AC 与l 平行；
（2）求使
AEB
△
面积取最小值时点A 的坐标．
16.已知圆O ：
2
2
2
x
y
,椭圆C ：
2
2
2
2
1
2
x
y
a
b
a
b
的离心率为
2
2
, P 是C 上的一点, A 是圆O 上的
一点, PA 的最大值为
6
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点M 是C 上异于P 的一点, PM 与圆O 相切于点N ,证明：
2
PO
PM
PN
.
17.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的离心率为
3
2
e
,且过点
0,1
P
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点
5
0,
3
Q
且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点A , B ,记PA , PB 的斜率分别为
1k ､
2k .
①求
1
2
k k
的值；
②设点
,0
M m
,若点M 到直线PA , PB 的距离相等,求m 的值.
246
18．抛物线C 的顶点为坐标原点O,焦点在x 轴上,直线l：x＝1 交C 于P,Q 两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),
且⊙M 与l 相切.
（1）求抛物线C,⊙M 的方程；
（2）设A1,A2,A3 是C 上的三个点,直线A1A2,A1A3 均与⊙M 相切.判断直线A2A3 与⊙M 的位置关系,并说明理
由.
19.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
经过
2,0 ,
1,1 ,
1, 1 ,
1,2
A
B
C
D
四个点中的三个.
（1）求E 的方程.
（2）若
,
M N 为E 上不同的两点,O 为坐标原点,且
BM
BN
BM
BN
与OA
垂直,试问E 上是否存在点G （异于点
A ）,使得
/ /
MN
AG
？若存在,求点G 的坐标；若不存在,说明理由.
20．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
,
0
b
）的实轴长为8,离心率
5
4
e
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)直线l 与双曲线C 相交于P ,Q 两点,弦PQ 的中点坐标为
8,3
A
,求直线l 的方程.
247
3.12 圆锥曲线二级公式及应用
模块一：题型分类
题型一：焦点三角形的面积公式
【基础公式】
1.椭圆中焦点三角形面积公式
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）中，
1F ，
2
F 分别为左､右焦点，P 为椭圆上一点，
1
2
F PF
，
1
2
PF F
的面积记为
1
2
ΔPF F
S
，则：①
1 2
Δ
1
2
1
=
|
||
|= |
|
2
PF F
p
p
S
F F y
c y
；②
1 2
Δ
1
2
1
=
|
|||
|sin
2
PF F
S
PF PF
；③
1 2
2
Δ
=
tan 2
PF F
S
b
，
其中
1
2
=
F PF
.
2.双曲线中焦点三角形面积公式
在双曲线
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）中，
1F ，
2
F 分别为左､右焦点，P 为双曲线上一点，
1
2
F PF
，
1
2
PF F
的面积记为
1
2
ΔPF F
S
，则：①
1 2
Δ
1
2
1
=
|
||
|= |
|
2
PF F
p
p
S
F F y
c y
；②
1 2
Δ
1
2
1
=
|
|||
|sin
2
PF F
S
PF PF
；③
1 2
2
Δ
=
tan 2
PF F
b
S
.
3.注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦
定理，基本不等式等综合应用.
【基础练习】
1. 椭圆C：
2
2
1
49
24
x
y
的焦点为
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，若
1
8
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积为（
）
A. 48
B. 40
C. 28
D. 24
248
2. 设
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
1
12
24
x
y
的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
1
2
1
3
cos
F PF
.则
1
2
PF F
△
的面积为
（
）
A. 6
B. 6 2
C. 8
D. 8 2
3.椭圆
2
2
1
4
x
y
的左右焦点为
1F ､
2
F ，P 为椭圆上的一点，
1
2
3
F PF
，则△
1
2
PF F 的面积为（
）
A. 1
B.
3
C.
3
3
D. 2
4.已知
1F 、
2
F 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的两个焦点，P 是椭圆上一点，
1
2
60
F PF
，则
1
2
PF F
△
的面积
是（
）
A. 3
B. 2
C. 4
3
3
D.
3
5.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，过原点的直线与双曲线交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆
恰好过双曲线的右焦点F，若
ABF
△
的面积为
2
2a ，则双曲线的离心率为（
）
A.
2
B.
3
C. 2
D.
5
6.已知P 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一动点，
1F ，
2
F 是椭圆的左、右焦点，当
1
2
3
F PF
时，
1
2
4 3
F PF
S
△
；当线段
1
PF 的中点落到y 轴上时，
1
2
4
tan
3
F PF
，则点P 运动过程中，
1
2
1
1
PF
PF
的
取值范围是（
）
A.
1 2
,
2 3
B.
8
2
,
15 3
C.
1
8
,
2 15
D.
1 2
,
2 3
7.双曲线
2
2
1
16
9
x
y
的两个焦点分别是
1
2
,
F F ，点P 是双曲线上一点且满足
1
2
60
F PF
，则
1
2
F PF
△
的
面积为（
）
A. 25 3
B. 16 3
C. 9 3
D. 3 3
249
8.已知椭圆C ：
2
2
1
25
9
x
y
，
1F ，
2
F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上
的一个动点，下列结论中错误的是（
）
A. 离心率
4
5
e
B.
1
2
F PF
△
的周长为18
C. 直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值
9
25
D. 若
1
2
90
F PF
，则
1
2
F PF
△
的面积为8
9.已知
1F ，
2
F 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，
使得
1
2
2 OP
F F
，设
1
2
F PF
△
的面积为S ，若
2
1
2
S
PF
PF
，则该椭圆的离心率为（
）
A. 1
3
B.
1
2
C.
3
2
D.
5
3
10.已知点
1
2
F F
､
是双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点，以线段
1
2
F F 为直径的圆与双曲线在第一象
限的交点为P ，若
2
1
3
PF
PF
，则（
）
A.
1
PF 与双曲线的实轴长相等
B.
1
2
PF F
△
的面积为
2
3
2 a
C. 双曲线的离心率为5
2
D. 直线3
2
0
x
y
是双曲线的一条渐近线
11.已知双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的两个焦点为
1F ，
2
F ，P 为双曲线上一点，
2
1
2
PF
F F
，
1
2
PF F
△
的内切圆
的圆心为I ，则PI （
）
A. 2 34
3
B.
34
3
C. 3 34
2
D.
34
2
12.已知双曲线C 的离心率为
1
2
3,
,
F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，
2
1
3
PF
PF
，若
1
2
PF F
△
的面
积为
2 ，则双曲线C 的实轴长为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
250
13.已知双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
的左，右焦点为
1
2
,
F F ，P 为双曲线右支上的一点，
1
2
30
PF F
，I 是
1
2
PF F
△
的内心，则下列结论错误的是（
）
A.
1
2
PF F
△
是直角三角形
B. 点I 的横坐标为1
C. |
| 2 3
2
PI
D.
1
2
PF F
△
的内切圆的面积为
题型二：圆锥曲线的切线问题
【基础公式】
1.过圆C ：
2
2
2
(
) +(
) =
x
a
y
b
R
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
的切线方程为
2
0
0
(
)(
)+(
)(
)=
x
a x
a
y
b y
b
R
.
2.过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
.
3.已知点
0
0
(
,
)
M x
y
，抛物线C ：
2=2
(
0)
y
px p
和直线l ：
0
0
(
)
y y
p x
x
.
（1）当点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上时，直线l 与抛物线C 相切，其中M 为切点，l 为切线.
（2）当点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 外时，直线l 与抛物线C 相交，其中两交点与点M 的连线分别是抛物线
的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.
（3）当点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 内时，直线l 与抛物线C 相离.
【基础练习】
1.已知点
,
P x y 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上任意一点，则点P 到直线l :
5
y
x
的最大距离为（
）
A. 5 2
26
2
B. 5 2
26
2
C. 5 2
26
D. 5 2
26
2.过点
2,2
P
作抛物线
2
2
y
x
的切线l ，切线l 在y 轴上的截距为___．
3.过双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，
且斜率之积为2
5
，则双曲线C 的离心率为（
）
A.
29
5
B.
30
3
C.
35
5
D.
30
5
251
4.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，则椭圆在其上一点
0
0
,
A x
y
处的切
线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
，试运用该性质解决以下问题；椭圆
2
2
1 :
1
2
x
C
y
，点B 为
1
C 在第一象限中的
任意一点，过B 作
1
C 的切线l，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于
,
C D 两点，则OCD
面积的最小值为（
）
A. 1
B.
3
C.
2
D. 2
5.已知过圆锥曲线
2
2
1
x
y
m
n
上一点
,
o
o
P x
y
的切线方程为
0
0
1
x x
y y
m
n
.过椭圆
2
2
1
12
4
x
y
上的点
3, 1
A
作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（
）
A.
3
0
x
y
B.
- 2
0
x
y
C. 2
3
3
0
x
y
D. 3
10
0
x
y
6.过圆
2
2
2
x
y
r
上一定点
,
o
o
P x
y
的圆的切线方程为
2
0
o
x x
y y
r
.此结论可推广到圆锥曲线上.过
椭圆
2
2
1
12
4
x
y
上的点
3, 1
A
作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（
）
A.
2
0
x
y
B.
3
0
x
y
C. 2
3
3
0
x
y
D. 3
10
0
x
y
7.若直线
2
y
kx
与曲线
2
6
x
y
交于不同的两点，那么k 的取值范围是
A. （
15
15
,
3
3
）B. （
15
0, 3
）
C. （
15 ,0
3
）
D. （
15 , 1
3
）
8.过点
1, 1
P
作抛物线
2
:
2
C x
y
的两条切线，切点分别为
,
M N .若Q 为PMN
的重心，则点Q 的
坐标为（
）
A.
1,1
B.
0,0
C.
1
1, 2
D.
2,2
252
9.倾斜角为135°的直线l 与抛物线
2
8
y
x
相切，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，过A ，B 两点的最
小圆截抛物线
2
8
y
x
的准线所得的弦长为（
）
A. 4
B. 2
C. 2 2
D.
2
10.设抛物线
2
2
x
py
(
0)
P
，M 为直线
2
y
p
上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，
B ，A ，B ，M 的横坐标分别为
A
X ，
B
X ，
M
X
则（
）
A.
2
A
B
M
X
X
X
B.
2
A
B
M
X
X
X
C.
1
1
2
A
B
M
X
X
X
D. 以上都不对
11.已知抛物线
2
:
2
0
6
C x
py
p
的焦点为F，P 为C 上一点，点
3,0
A
，
1, 2
B
，设
ABP
取
最小值和最大值时对应的点分别为
1P ，
2P ，且
1
2
0
BP BP
，则p （
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
题型三：圆锥曲线的中点弦问题
【基础公式】
1.在椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
中（特别提醒此题结论适用焦点在x 轴上椭圆）：
（1）如图①所示，若直线
(
0)
y
kx k
与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线l ，l，
有l //l，设其斜率为
0k ，则
2
0
2
=
b
k k
a
.
（2）如图②所示，若直线
(
0)
y
kx k
与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，若直线
PA ，PB 的斜率存在，且分别为
1k ，
2k ，则
2
1
2
2
=
b
k k
a
.
（3）如图③所示，若直线=
+ (
0,
0)
y kx b k
m
与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为弦AB 的中点，设直线PO
的斜率为
0k ，则
2
0
2
=
b
k k
a
.
253
2.在双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）
2
0
2
= b
k k
a
；（2）
2
1
2
2
b
k k
a
；（3）
2
0
2
= b
k k
a
.
3.在抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
中类比1（3）的结论有
0
0
=
(
0)
p
k
y
y
.
【基础练习】
1.椭圆
2
2
1
9
2
x
y
中以点
21
M
，为中点的弦所在直线斜率为（
）
A.
4
9
B.
1
2
C.
7
3
D.
7
3
2.已知A，B 在抛物线
2
4
y
x
上，且线段AB 的中点为M(1，1)，则|AB|＝（
）
A. 4
B. 5
C.
15
D. 2 15
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点F 与抛物线
2
12
y
x
的焦点重合，过点F 的直线交E 于
A 、B 两点，若AB 的中点坐标为(
)
1, 1
-
，则E 的方程为（
）
A.
2
2
1
45
36
x
y
B.
2
2
1
36
27
x
y
C.
2
2
1
27
18
x
y
D.
2
2
1
18
9
x
y
4.设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB
的中点，下列结论正确的是（
）
A. 直线AB 与OM 垂直；
B. 若直线方程为
2
2
y
x
，则
4
2
3
AB
.
C. 若直线方程为
1
y
x
，则点M 坐标为1 4
3 3
，
D. 若点M 坐标为
1,1 ，则直线方程为2
3
0
x
y
；
254
5.将
2
2
4
x
y
上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，得到曲线C，若直线l 与曲线C 交于A，B
两点，且AB 中点坐标为M（1，1
2 ），那么直线l 的方程为（
）
A.
2
2
0
x
y
B.
2
0
x
y
C. 2
3
0
x
y
D. 2
2
0
x
y
6.已知m，n，s，t 为正数，
4
m
n
，
=9
m
n
s
t
，其中m，n 是常数，且s
t
的最小值是8
9 ，点
( , )
M m n
是曲线
2
2
+
=1
8
2
x
y
的一条弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（
）
A.
4
6
0
x
y
B. 4
6
0
x
y
C. 4
10
0
x
y
D.
4
10
0
x
y
7.如图，双曲线
2
2
2
2
:
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
，
，AB 是圆
2
2
5
: (
2)
(
1)
2
M
x
y
的一条直径，若双
曲线C 过A ，B 两点，且离心率为
2 ，则直线AB 的方程为（
）
A. 3
7
0
x
y
B. 4
6
0
x
y
C.
5
0
x
y
D. 2
3
0
x
y
8.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
的左、右焦点分别为
1
,0
F
c
，
2
,0
F
c
，过
1F 的直线l 交双曲线C 的渐近
线于A，B 两点，若
2
2
F A
F B
，
1 2
1 2
2
8
5
AF F
BF F
S
S
c
△
△
（
1 2
AF F
S
表示
1
2
AF F
△
的面积），则双曲线C 的
离心率的值为（
）
A.
3
B.
6
2
C.
5
D.
15
3
或
41
5
255
9.设直线
2
0
y
x
t t
与双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
两条渐近线分别交于点A ，B ，若点
4 ,0
P
t
满足PA
PB
，则该双曲线的渐近线方程是（
）
A.
3
y
x
B.
3
y
x
C.
1
3
y
x
D.
1
9
y
x
10.已知抛物线
1
C ：
2
2
0
y
px p
，其焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 且斜率大于0 的直线l 交抛物
线于A，B 两点，以AB 为直径的圆
2
C 与准线相切于点Q，O 为坐标原点，
5
OQ
，则圆
2
C 的标准方
程为（
）
A.
2
2
3
2
16
x
y
B.
2
2
2
3
16
x
y
C.
2
2
3
2
8
x
y
D.
2
2
2
3
8
x
y
11.椭圆方程为
2
2
2
2
1
(
0)
x
y
a
b
a
b
椭圆内有一点(1,1) ，以这一点为中点的弦所在的直线方程为
2
3
0
x
y
，则椭圆的离心率为______．
12.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
3
，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点且线段AB 的中点
为
3,2
M
，则直线l 的斜率为________.
13.过点
(1,1)
M
作斜率为1
2 的直线与双曲线
2
2
2
2
Γ :
1
x
y
a
b
相交于A，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则
双曲线Γ 的离心率为___________.
14.已知双曲线
2
2
1
2
y
x
上存在两点
,
M N 关于直线y
x
b
对称，且MN 的中点在抛物线
2
3
y
x
上，
则实数b 的值为________．
256
15.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，
点
2,1
M
为弦PQ 的中点，且
//
PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则
2e ______．
题型四：圆锥曲线中的定值问题
【基础公式】
1．在椭圆中：已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，定点
0
0
(
,
)
P x
y
（
0
0
0
x y
）在椭圆上，设A ，B 是椭
圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为
PA
k
，
PB
k
，且满足
0
PA
PB
k
k
．则直线AB 的斜率
2
0
2
0
=
AB
b x
k
a y
．
2．在双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，定点
0
0
(
,
)
P x
y
（
0
0
0
x y
）在双曲线上，设A ，B 是双
曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为
PA
k
，
PB
k
，且满足
0
PA
PB
k
k
．则直线AB 的斜率
2
0
2
0
=
AB
b x
k
a y
．
3．在抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
，定点
0
0
(
,
)
P x
y
（
0
0
0
x y
）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两
个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为
PA
k
，
PB
k
，且满足
0
PA
PB
k
k
．则直线AB 的斜率
0
=
AB
p
k
y
．
【基础练习】
1.已知点
2, 1
P
是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
上的一点，且椭圆C 的离心率
3
2
e
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）两动点
,
A B 在椭圆C 上，总满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数，求证：直线AB 的斜率为定值.
257
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
过点
3
1, 2
A
，且离心率e 为1
2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率
为定值，并求出这个定值.
3.已知动点M 到直线+2=0
x
的距离比到点
(1,0)
F
的距离大1．
（1）求动点M 所在的曲线C 的方程；
（2）已知点
(1,2)
P
，A B
、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，
证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；
4.如图，已知
9
( ,3)
4
M
是抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上一点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，与抛
物线C 分别交于A ，B 两点，且均在M 点的下方．证明：直线AB 的斜率为定值．
258
5.已知点P 在抛物线
2
:
4
C y
x
上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若
直线AB 的斜率为1
，则点P 坐标为（
）
A.
1,2
B. (
)
1, 2
-
C.
2,2 2
D.
2, 2 2
6.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点为
1
2
,
F F ，椭圆的离心率为1
2 ，点
3
3, 2
在椭圆
C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点T 为椭圆C 上的点，若点T 在第一象限，且
2
TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线
分别与椭圆C 交于点M，N，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明
理由．
7.已知抛物线
2
:
4
C y
x
，点Q 在x 轴上，直线:(
2)
2
4
0
l
m
x
y
m
与抛物线C 交于M，N 两点，
若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是_____.
8.已知
1,2
A
为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的
斜率与直线AF 的斜率互为相反数．求直线EF 的斜率．
259
9.已知点
Q
2,0 ，点P 是圆C：
2
2
(x
2)
y
12
上的任意一点，线段PQ 的垂直平分线与直线CP
交于点M．
1 求点M 的轨迹方程；
2 过点
A
3,0
作直线与点M 的轨迹交于点E，过点
B 0,1 作直线与点M 的轨迹交于点F(E, F 不重合
) ，且直线AE 和直线BF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF 的斜率；
若不是定值，请说明理由．
10.已知，椭圆C 过点
3 5
A
,
2 2
，两个焦点为
0,2 ，
0, 2
，,
E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的
斜率与AF 的斜率互为相反数．
1 求椭圆C 的方程；
2 求证：直线EF 的斜率为定值．
260
11.在平面直角坐标系xOy 中，设点
0
0
,
M
x
y
是椭圆
2
2
:
1
20
5
x
y
C
上一点，以M 为圆心的一个半径
2
r
的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点P、Q.
（1）若点M 在第一象限且直线
,
OP OQ 互相垂直，求圆M 的方程；
（2）若直线
,
OP OQ 的斜率都存在，且分别记为
1
2
,
k k .求证：
1
2
k k 为定值；
（3）探究
2
2
OP
OQ
是否为定值，若是，则求出OP
OQ
的最大值；若不是，请说明理由.
12.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左右焦点为
1F 、
2
F ，离心率
3
2
e
，过圆
2
2
2
1 :
C
x
y
b
上
一点Q（Q 在y 轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E 于A、B 两点，交圆
2
2
2
2 :
C
x
y
a
于C、D 两点（如
图所示）．当切线AB 与x 轴垂直时，
2
CDF
V
的面积为3
3
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）（ⅰ）求ABO
的面积的最大值；
（ⅱ）求证：
2
AC
AF
为定值，并求出这个定值．
261
13.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
过点
3,2
A
，且离心率
5
e
（1）求该双曲线的标准方程：
（2）如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定
值，并求出该定值.
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
17,0
F
、
2
1
2
17,0
2
F
MF
MF
，
，点M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线
1
2
x
上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB
TP TQ
，
求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
题型五：圆锥曲线中的定点问题
【基础公式】
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．
1.对于椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点( ,0)
a
，
则直线AB
l
过定点
2
2
2
2
(
)
(
,0)
+
a
b a
a
b
．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(
,0)
a
时，直线AB
l
过定点
2
2
2
2
(
)
(
,0)
+
a
b a
a
b
．
262
2.对于双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点
( ,0)
a
，则直线AB
l
过定点
2
2
2
2
(
+
)
(
,0)
a
b a
a
b
．同理，对于左顶点(
,0)
a
，则定点为
2
2
2
2
(
+
)
(
,0)
a
b a
a
b
．
3.对于抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上异于顶点的两动点A ，B ，若
0
OA OB
，则弦AB 所在直线过点
(2 ,0)
p
．同理，抛物线
2
2
(
0)
x
py p
上异于顶点的两动点A ，B ，若
0
OA OB
，则直线AB 过定点
(0,2 )
p ．
【基础练习】
1.已知直线l 与抛物线
2
4
y
x
交于不同的两点A，B，O 为坐标原点，若直线
,
OA OB 的斜率之积为1
，
则直线l 恒过定点（
）
A. (4,0)
B. (0, 4)
C. (0, 4)
D. ( 4,0)
2.已知椭圆C：
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
3
2
），P4（1，
3
2
）中恰有
三点在椭圆C 上.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A，B 两点.若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过
定点.
3. 已知双曲线
2
2
1
2
y
x
，点
1,0
A
，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP
AQ
，则直线PQ 恒过定
点__________；
263
4.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a>b>0）的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
3
1, 2
M
满足
1
2
2
MF
MF
a
，
且
1
2
MF F
△
的面积为3
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的上顶点为P，不过点P 的直线l 交C 于A，B 两点，若PA
PB
，证明直线l 恒过定点.
5.已知椭圆
2
2
1
3
2
x
y
E
：
的左右顶点分别为A，B，点P 为椭圆上异于A，B 的任意一点．
（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值；
（2）设
0
3
Q t
t
，
，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M，N 两点．问：是否存在实数t ，
使得以MN 为直径的圆恒过定点B？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
6.已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线
2
0
x
y
的距离为5 2
4
.点
0
0
0
,
0
N x
y
y
为此抛物线上的一点，
5
2
NF
.直线l 与抛物线交于异于N 的两点A，B，且
2
NA
NB
k
k
.
（1）求抛物线方程和N 点坐标；
（2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.
264
7.在PAB
中，已知
2,0
A
、
2,0
B
，直线PA 与PB 的斜率之积为
3
4
，记动点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4 ，求证：直线PQ 过定点.
8.已知与圆
2
2
: (
1)
3
C
x
y
相切的直线l，过抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
的焦点F，且直线l 的倾斜
角为2
3
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）直线1l 与抛物线E 交于点A，B 两点，且A，B 关于直线
5 3
y
x
对称，在
1
2
y
x
上是否存在
点N，使得以AB 为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.
9.已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的右焦点为F，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
（1）若AM
MB
，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率．
（2）若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求
出该定点坐标；若不是，请说明理由．
265
10.过点
(0,2)
D
的任一直线l 与抛物线
2
2
0
C : x
py( p
)
＞
交于两点
,
A B ，且
4
OA OB
．
（1）求p 的值．
（2）已知
,
M N 为抛物线C 上的两点，分别过
,
M N 作抛物线C 的切线1
2
l
l
和
，且1
2
l
l
，求证：直线MN
过定点．
11.在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线
4
x
的距离等于点M 到点
(1,0)
D
的距离的2 倍，记动点M
的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）已知斜率为1
2 的直线l 与曲线C 交于A、B 两个不同点，若直线l 不过点
3
1, 2
P
，设直线PA
PB
、
的斜率分别为
PA
PB
k
k
、
，求
PA
PB
k
k
的值；
（3）设点Q 为曲线C 的上顶点，点E、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判
断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
12.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .离心率等于
6
3
，点P 在y 轴正半
轴上，
1
2
PF F
△
为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，
直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
266
题型六：圆锥曲线中的定直线问题
【基础公式】
1．已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点
,
A B
时，在线段AB 上取一点Q ，满足|
|
|
|
=
.
|
|
|
|
AP
AQ
PB
QB
则点Q 必在定直线
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
上；
2．已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点
,
A B
时，在线段AB 上取一点Q ，满足|
|
|
|
=
.
|
|
|
|
AP
AQ
PB
QB
则点Q 必在定直线
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
上；
3．已知抛物线
2
2
y
px
( >0)
p
，定点
0
0
(
,
)
P x
y
不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于
,
A B 两点，
在直线AB 上取点Q ，满足|
|
|
|
=
.
|
|
|
|
AP
AQ
PB
QB
则点Q 在定直线
0
0
(
)
y y
p x
x
上．
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
过点
6,1 ，且离心率为
2
2
.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知
3,0
D
，过M 且与y 轴垂直的直
线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.
2.已知点P 是离心率为
1
2 的椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、
y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线
b
y
x
a
于Q ，R 两点，记OMQ
与ONR
的面积
分别为
1S ，
2
S ，且
1
2
3
S
S
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 的上、下顶点分别为
1
B ，
2
B ，过点
0,1
D
的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直
线
2
EB ，
1
FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．
267
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点
1F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，原点到过点
,0 ,
0,
A a
B
b
的直线距离是2 21
7
（1）求椭圆C 的方程
（2）设动直线:l y
kx
m
与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过
1F 作
1
PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求
证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
6
3
，且过点
0,1 ．如图
所示，斜率为
0
k k
且过点
1,0
的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交
椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且
2
OG
OE
OF
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：点F 在定直线上．
268
5.如图，椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F 上顶点为A，过点A 与
2
AF 垂直的直
线交x 轴负半轴于点Q，且
1F 恰是
2
QF 的中点，若过A，Q，
2
F 三点的圆与直线:
3
3
0
l x
y
相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点
4,0
P
交C 于不同两点G，H，证明：四边形MNHG 的
对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．
6.已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）实轴端点分别为
1
,0
A
a
，
2
,0
A a
，右焦点为F ，
离心率为2，过
1A 点且斜率1 的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知
1A BF
△
的面积为9
2
．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过F 的直线l与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线
1A M 与直线
2
A N 的交点Q 是否在某条
定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
269
7.已知椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
C
，点
4,1
P
为椭圆外一点．
（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；
（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足
AP
QB
AQ
PB
，证明：点Q 总在某定直线上．
题型七：抛物线的焦点弦长公式
【基础公式】
不妨设抛物线方程为
2
2
0
y
px p
，如图1，准线
2
p
x
与x 轴相交于点P ，过焦点
,0
2
p
F
的直线l
与抛物线相交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
两点，O 为原点，为AB 与对称轴正向所成的角，则有如下的焦
点弦长公式：
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
= 1+
-
,
= 1+
-
,
= +
+ ,
= sin
p
AB
k
x x
AB
y y
AB
x
x
p AB
k
．
【基础练习】
1.设F 为抛物线
2
:
6
C
y
x
的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A，B 两点，则AB （
）
A.
30
3
B. 8
C. 12
D. 7 3
2.抛物线
2
4
y
x
的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（
）
A. m＋n＝mn
B. m＋n＝4
C. mn＝4
D. 无法确定
3.过抛物线
2
8
x
y
焦点F 的直线交抛物线于M，N 两点，若MF
FN
uuur
uuur
，
9
MN
，则的值为（
）
A. 1
3
B.
1
2
C. 1
3
或3
D.
1
2 或2
270
4.已知抛物线C ：
2
4
y
x
的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A，M 是抛物线C 上的点.若MF
x
轴，
则以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为(
)
A. 2
B.
2
C. 1
D.
2
2
5.己知F 为抛物线
2
:
6
C
y
x
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A、B 两点，
直线2l 与C 交于D、E 两点，则|
|
|
|
AB
DE
的最小值为（
）
A. 24
B. 22
C. 20
D. 16
6.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
，过抛物线焦点F 的直线与抛物线C 交于A､B 两点，交抛物线的准线于点
P，若F 为PB.中点，且
2 3
|
|
3
AF
，则|AB|=（
）
A. 2 2
3
B. 4 2
3
C. 4 3
3
D. 8 3
3
7.已知抛物线方程为
2
2
0
y
px p
，O 为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，A，B
的纵坐标之积为－8，且
3
AF
BF
，则OAB
的面积是（
）
A. 4 2
B. 1
4
C. 4 3
3
D. 8 3
3
271
8.（多选）已知O 为坐标原点，点
(1,1)
A
在抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
上，过点
(0, 1)
B
的直线交C 于P，
Q 两点，则（
）
A. C 的准线为
1
y
B. 直线AB 与C 相切
C.
2
|
OP
OQ
OA
D.
2
|
| |
| |
|
BP
BQ
BA
9.设F 为抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点，点A 在C 上，点
(3,0)
B
，若AF
BF
，则AB （
）
A. 2
B. 2 2 C. 3
D. 3 2
10.设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，点
,0
D p
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直
于x 轴时，
3
MF
．
（1）求C 的方程；
（2）设直线
,
MD ND 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
,
MN AB 的倾斜角分别为,
．当
取
得最大值时，求直线AB 的方程．
272
题型八：抛物线中的三类直线与圆相切问题
【基础公式】
不妨设抛物线方程为
2
2
0
y
px p
，如图1，准线
2
p
x
与x 轴相交于点P ，过焦点
,0
2
p
F
的直线l
与抛物线相交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
两点，O 为原点，为AB 与对称轴正向所成的角，AB 的中点为C ，
又作
1
1
1
,
,
AA
l BB
l CC
l
，垂足分别为
1
1
1
,
,
A B C ，则有如下结论（图2）：
图1
图2
图3
①以AB 为直径的圆M 与准线相切；
②以AF 为直径的圆C 与y 轴相切；
③以BF 为直径的圆D 与y 轴相切；
④分别以
,
,
AB AF BF 为直径的圆之间的关系：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M
相内切．
结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3 有，
①以AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影
1
M 与
,
A B 两点的连线互相垂直，即
1
1
M A
M B
；
②以AF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影
1
C 与
,
A F 两点的连线互相垂直，即
1
1
C A
C F
；
③以BF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影
1
D 与
,
B F 两点的连线互相垂直，即
1
1
D B
D F
；
④以
1
1
A B 为直径的圆必过原点，即
1
1
A F
B F
；
⑤
1
M F
AB
．
273
【基础练习】
1.设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点M 在C 上，
5
MF
，若以MF 为直径的圆过点（0,2），
则C 的方程为
A.
2
4
y
x
或
2
8
y
x
B.
2
2
y
x
或
2
8
y
x
C.
2
4
y
x
或
2
16
y
x
D.
2
2
y
x
或
2
16
y
x
2.在平面直角坐标系中，已知点
1,0
F
，直线:
1
l x ，动直线l垂直于l 于点H ，线段HF 的垂直平
分线交l于点P ，设P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）以曲线C 上的点
0
0
0
,
(
0)
Q x
y
y
为切点作曲线C 的切线1l ，设1l
分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，
且1l 恰与以定点
4,0
M
为圆心的圆相切. 当圆M 的面积最小时，求
ABF
△
与
AQM
V
面积的比.
3.已知抛物线
2
:
4
C x
y
的准线为l，记l 与y 轴交于点M，过点M 作直线l与C 相切，切点为N，则以
MN 为直径的圆的方程为（
）
A.
2
2
(
1)
4
x
y
或
2
2
(
1)
4
x
y
B.
2
2
(
1)
16
x
y
或
2
2
(
1)
16
x x
y
C.
2
2
(
1)
2
x
y
或
2
2
(
1)
2
x
y
D.
2
2
(
1)
8
x
y
或
2
2
(
1)
8
x
y
4.阿基米德（公元前287 年---212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面
贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B 处的切线交于点P，称△PAB 为“阿基米
德三角形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）
△PAB 为直角三角形，且PA
PB
;（3）PF
AB
.若经过抛物线
2
4
y
x
焦点的一条弦为AB，阿基
米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（
）
A. x-2y-1=0
B. 2x+y-2=0
C. x+2y-1=0
D. 2x-y-2=0
274
5.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，经过A ，
B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .
下列说法不正确的是
A.
1
|
|
|
|
2
MN
AB
B. FN
AB
C. Q 是线段MN 的一个三等分点
D.
QFM
QMF
6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C:y
2=2px(
0
p
)的焦点为F，直线x=3 与抛物线C 交于A，B 两点，｜
AF|=4，圆E 为FAB
的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M，点N 在圆E 上，则OM ON
的取值范围是（
）
A.
63,9
25
B.
3,21
C.
63,21
25
D.
3,27
7.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F ，准线为l ，,
A B 是抛物线上的两个动点，且满足
2
= 3
AFB
．设
线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
MN
AB 的最大值是（
）
A.
3
B.
3
2
C.
3
3
D.
3
4
8.已知抛物线
2
1 :
2
(
0)
C
x
py p
的焦点到准线的距离为1
2 ，点
0
0
,
D x
y
在抛物线
1
C 上，点
,
A B 在圆
2
2
2 :
4
3
0
C
x
y
y
上，直线
,
DA DB 分别与圆
2
C 仅有1 个交点，且与抛物线
1
C 的另一个交点分别
为
,
P Q ，若直线PQ 的倾斜角为120，则
0x （
）
A.
3
3
B.
3
或
3
3
C.
3
3
或
3
D.
3
275
9.抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点为F，准线为l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB
，设线
段AB 的中点M 在l 上的投影为N，则
MN
AB 的最大值是
A. 1
B.
3
2
C.
3
3
D. 2
10.（多选）抛物线C：
2
2
x
py
的焦点为F，P 为其上一动点，当P 运动到
,1
t
时，
2
PF
，直线l 与
抛物线相交于A，B 两点，点
4,1
M
，下列结论正确的是（
）
A. 抛物线的方程为
2
8
x
y
B. PM
PF
的最小值为6
C. 当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切
D. 若过A，B 的抛物线的两条切线交准线于点T，则A，B 两点的纵坐标之和最小值为2
11.抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的
圆F 交l 于
,
B D 两点，
（1）若
90 ,
BFD
ABD
的面积为4 2 ，求p 的值及圆F 的方程
（2）若直线y
kx
b
与抛物线C 交于P，Q 两点，且OP
OQ
，准线l 与y 轴交于点S，点S 关于直线
PQ 的对称点为T，求|
|
FT 的取值范围.
276
12.已知点
1,0
F
为抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
是抛物线上两个不同的动点，
存在动点
0
0
0
,
0
P x
y
x
使得直线PA，PB 分别交抛物线的另一点M，N，且3 PM
MA
，3 PN
NB
.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：
1
2
0
2
y
y
y
；
（3）当点P 在曲线
2
12
2
1
y
x
x
上运动时，求PAB
面积的取值范围.
277
圆锥曲线章末复习卷（一）
一．选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．抛物线C：
2
4
x
ay
过点( 2,1)
，则C 的准线方程为（
）
A．
1
y
B．
1
y
C．
1
x
D．= 1
x
2．已知点P 在双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
上，双曲线的左、右焦点分别记为
1F ，
2
F ，已知
1
2
PF
PF
，
1
2
2
PF
PF
，O为坐标原点.则（
）
A．b
a
B．
2
b
a
C．
5
b
a
D．
2
b
a
3．我们把由半椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
x
a
b
和半椭圆
2
2
2
2
1(
0)
y
x
x
b
c
合成的曲线称作“果圆”（其中
2
2
2,
0
a
b
c
a
b
c
）．如图，
1
2
3
,
,
F F F 是相应半椭圆的焦点．若
1
2
3
F F F
是等腰直角三角形，则构成该
“果圆”的两个半椭圆的离心率之积为（
）
A．
6
6
B．
3
4
C．
6
3
D．
3
2
4．已知双曲线
2
2
:
1
0
4
x
y
C
m
m
的左焦点与抛物线
2
16
y
x
的焦点重合，则双曲线的实轴长为（
）
A．2 5
B．4 5
C．2 3
D．4 3
5．已知点P 是抛物线
2
:
12
C x
y
上的一点，过点P 作直线
1
y 的垂线，垂足为M ，若
4,0
G
，则
PG
PM
的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别是
1F ，2
F ，P 是双曲线C 上的一点，且
1
5
PF
，
2
3
PF
，
1
2
120
F PF
，则双曲线C 的离心率是（
）
A．7
5
B．7
4
C．7
3
D．7
2
278
7．已知椭圆
2
2
1
1
1
2
2
1
1
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
与双曲线
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
有相同的焦点
1F 、2
F ，椭圆
1
C 的
离心率为
1e ，双曲线
2
C 的离心率为
2e ，点P 为椭圆
1
C 与双曲线
2
C 的交点，且
1
2
3
F PF
，则
2
2
1
2
1
3
e
e
的值
为（
）
A．
3
B．2
3
C．1
3
D．4
8．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 为C 的右支上一点．若
1
2
1
2
5
2
F F
PF
PF
，则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．3
2
0
x
y
B．2
3
0
x
y
C．
2
0
x
y
D．2
0
x
y
二．选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0）
9.（多选）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（
）
A．y2＝x
B．y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
10.（多选）已知双曲线E：
�2
16 −
�2
9 = 1 的左右焦点分别为�1、�2，点P 在双曲线E 上，��1 =10，则��2
为（
）
A．2
B．6
C．16
D．18
11.（多选）已知双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1(�> 0, �> 0)的一条渐近线为�1: �= 2�，则下列结论正确的是（
）
A．�> �
B．�= 2�
C．双曲线�的离心率为5
D．双曲线�的焦点在�轴上
12.（多选）已知椭圆�：16�2 + 25�2 = 400，关于椭圆�下述正确的是（
）
A．椭圆�的长轴长为10
B．椭圆�的两个焦点分别为(0, −3)和(0,3)
C．椭圆�的离心率等于
3
5
D．若过椭圆�的焦点且与长轴垂直的直线�与椭圆�交于�, �，则|��| =
32
5
279
三．填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．已知抛物线
2
2
(
0)
x
py p
的焦点为F，直线
2
x
与抛物线交于点M，且
2
MF
，则p
.
14．椭圆
2
2
1
49
24
y
x
与双曲线
2
2
1
24
x
y
有公共点P，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长
为
．
15．已知椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左焦点为F，P 是椭圆上一点，若点
1, 1
A
，则PA
PF
的最小值为
．
16．已知双曲线M：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，点P 为双曲线M 右支上一点，且
满足
1
2
1
2
1
3
PF
PF
F F
，则双曲线M 的渐近线方程为
.
四．解答题（本题共6 小题，17 题10 分，剩下每题12 分。共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17.已知曲线C 的方程：
�2
5−�+
�2
�−2 = 1
(1)当m 为何值时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆？
(2)当m 为何值时，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线？
18.根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)长轴长和短轴长分别为8 和6，且焦点在x 轴上；
(2)一个焦点坐标为( −3,0)，一个顶点坐标为(0,5)．
19.求适合下列条件的曲线标准方程.
（1）虚轴长为16，离心率为2的双曲线的标准方程；
（2）过点�1, −3 的抛物线的标准方程.
280
20.已知动点M 到定点�1( −
3, 0)和�2( 3, 0)的距离之和为4
(1)求动点�轨迹�的方程；
(2)若直线�: �−�−1 = 0 交椭圆�于两个不同的点A，B，O 是坐标原点，求△���的面积
21.已知抛物线的顶点在原点�，焦点在�轴上，且过点�2,1 .
(1)求抛物线的方程；
(2)若点�也在抛物线上，且��⊥��，求线段��的长.
22.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)上的点到它两个焦点的距离之和为4，以椭圆�的短轴为直径的圆�
经过两个焦点，点�，�分别是椭圆�的左、右顶点.
（Ⅰ）求圆�和椭圆�的方程；
（Ⅱ）设�，�分别是椭圆�和圆�上的动点（�，�位于�轴两侧），且直线��与�轴平行，直线��，��分别
与�轴交于点�，�，试判断��与��所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，请说明
理由.
281
圆锥曲线章末复习卷（二）
一．选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．已知抛物线
2
2
0
y
px p
的准线为l ，且点
4,4
A
在抛物线上，则点A 到准线l 的距离为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
4
5
x
y
E
的两个焦点，P 是椭圆E 上一点（顶点除外），则
1
2
PF F
△
的周长为（
）
A．2
2 5
B．6
C．1
5
D．3
3．已知
1
,0
F
c
，
2
,0
F
c
分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，点P 在C 的右支上，点Q
在直线
2
2
:
c
a
l x
c
上，若
1
2
F F
QP
，则双曲线C 的离心率的取值范围是（
）
A．
1
3
1,
2
B．1
3 ,
2
C．
1
5
1,
2
D．1
5 ,
2
4．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，
1F ，
2
F 分别为
该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点
2
F 的一条弦，且
1
PQF
△
的周长为
1
2
3 F F .若该椭球横截面的最大直径
为2 米，则该椭球的高为（
）
A．2 10
3
米
B．6 5
5
米
C．8
3 米
D．12
5 米
5．设F 为抛物线
2
1 :
2
C
y
x
的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在准线l 上，满足PQ
x
∥
轴．若PQ
QF
，
则PF （
）
A．2
B．2 3
C．3
D．3 3
6．已知直线:
1
0
l x
my
过抛物线
2
:
2
C y
px
的焦点，直线l 与抛物线C 相交于
,
A B 两点，若AB 的中点M
到抛物线C 的准线的距离为5
2 ，则m （
）
A．2
B．
1
2
C．1
2
D．2
282
7．已知椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
的左、右焦点分别为
1
2
F F
，
，点，M
在椭圆C
上，当
1
2
MF F
的面
积最大时，
1
2
MF F
内切圆半径为（
）
A．3
B．2
C．5
3
D．4
3
8．抛物线
2
:
2
W y
px
的焦点为F．点F 关于原点O 的对称点为A．若以F 为圆心的圆经过点A 且与W
的两个交点为B，C，则下面结论正确的是（
）
A．BOC
一定是钝角三角形
B．BOC
可能是锐角三角形
C．ABC
一定是钝角三角形
D．ABC
可能是锐角三角形
二．选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0）
9.（多选）已知�1，�2分别是椭圆Γ:
�2
16 +
�2
12 = 1 的左、右焦点，点�是Γ上的动点，则（
）
A．Γ的离心率为
1
2
B．∠�1��2 <
�
2
C．△��1�2的周长为12
D．△��1�2的面积的最大值为2 3
10.（多选）已知椭圆Ω:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 ，则下列结论正确的是（
）
A．若�= 2�，则Ω的离心率为
2
2
B．若Ω的离心率为
1
2，则
�
�=
3
2
C．若F1，F2 分别为Ω的两个焦点，直线�过点F1 且与Ω交于点A，B，则△ABF2 的周长为4�
D．若A1，A2 分别为Ω的左、右顶点，P 为Ω上异于点A1，A2 的任意一点，则PA1，PA2 的斜率之积为−
�2
�2
11.（多选）已知圆锥曲线�1: ��2 + ��2 = 1(�> �> 0)与�2: ��2 −��2 = 1(�> 0, �> 0)的公共焦点为�1，
�2．点�为�1，�2的一个公共点，且满足∠�1��2 = 90°，若圆锥曲线�1的离心率为
3
4，则下列说法正确的
是（
）
A．�2的离心率为
9
2
B．�2的离心率为
3 2
2
C．�2的渐近线方程为�=±
14
2 �
D．�2的渐近线方程为�=±
3 2
2 �
12.（多选）已知双曲线�过点3, 2 ，且渐近线方程为�=±
3
3 �，则下列结论正确的是（
）
A．双曲线�的方程为
�2
3 −�2 = 1
B．左焦点到渐近线的距离为1
C．直线�−
2�−1 = 0 双曲线�有两个公共点
D．过右焦点截双曲线�所得弦长为2 3的直线只有三条
283
三．填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．双曲线
2
2
2
1(
0)
36
x
y
a
a
的渐近线方程为
2
y
x
，则
a
．
14．已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
的焦点为F，过点F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点A 在第一象限，
线段AB 的中点为M，其中点A 的横坐标为3，
4
AF
，则点M 到y 轴的距离为
.
15．已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，过
2
F 的直线l 交椭圆C 于A，B 两点.若
1
ABF
的
内切圆的半径为3 2
7
，则直线l 的方程为
.
16．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点
2
F 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向
延长线经过左焦点
1F . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线
灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
1
2
,
F F 为其左右焦点，若从右焦点
2
F 发出的
光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足DA
AB
，
1
tan
2
ABC
，则该双曲线的离心率
为
.
四．解答题（本题共6 小题，17 题10 分，剩下每题12 分。共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17.若M 是抛物线�2 = 2�上一动点，点�3,
10
3 ，设�是点M 到准线的距离，要使�+ ��最小，求点M
的坐标．
18.分别求解以下两个小题：
(1)设椭圆的离心率为
1
2，短轴长为2 3，求椭圆的标准方程；
(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹
为曲线C．求曲线C 的方程．
284
19.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)经过点�(2，1) ，离心率为
2
2 ，过点�(3，0)的直线l 与椭圆C 交于不
同的两点M，N.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为���和���，求证：���+ ���为定值
20.已知椭圆�：
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 过点1,
3
2 ，离心率为
1
2.
(1)求椭圆�的方程；
(2)若点�在椭圆�上且横坐标为3，不过原点�的直线�交椭圆�于�，�两点，与直线��相交于点�，且�
是线段��的中点，求△���面积的最大值.
21.已知抛物线�2 = 4�的焦点为F，直线l 交抛物线于不同的A、B 两点.
(1)若直线l 的方程为�= �−1，求线段AB 的长；
(2)若直线l 经过点P(-1，0)，点A 关于x 轴的对称点为A'，求证：A'、F、B 三点共线.
22.设双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 的右焦点为�
5, 0 ，其中一条渐近线的方程为�=
1
2 �．
(1)求双曲线�的方程；
(2)过点�1,0 的直线与双曲线的右支交于�，�两点，过点�，�分别作直线�: �= 4 的垂线（点�，�在直线
�的两侧），垂足分别为�，�，记△���，△���，△���的面积分别为�1，�2，�3，试问：是否存在常
数�，使得��3
2 = �1�2?若存在，求出�的值；若不存在，请说明理由．
