北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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命题点 8 平面解析几何
预测说明
直线与圆是解析几何的基础,考查重点是直线及其位置关系、直线与圆、圆与圆的
位置关系,一般以选择题、填空题的形式呈现,有时也可能在解答题中与圆锥曲线相结合
考查直线方程的求解、直线与圆锥曲线的综合、圆与圆锥曲线的综合.
圆锥曲线是平面解析几何的重要内容,也是高考考查的重点,主要是应用方程思想求
解直线与圆锥曲线的综合问题,考查在代数运算中,灵活运用设而不求的方法解决问题的
能力.
命题方向:
1.以直线与圆的几何度量(弦长和距离)、圆与圆的几何度量(公共弦与公切线方程
等)为考查重点,同时也可以与其他知识(如不等式、圆锥曲线、函数等)综合,以小题为主,
难度中等.
2.以圆锥曲线为载体,针对圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质及其应用,
考查圆锥曲线方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等问题,各种题型都可能出现,解
答题一般与函数、不等式、平面向量等知识构成综合问题,在知识的交汇处命题,注重对
数学思想方法和逻辑推理、数学运算等核心素养的考查,难度较大.
预测探究
识透高频考点
1.(多选)(2024湖南衡阳第二次联考,10)已知圆C:x2+y2=4,P是直线l:x+y-6=0上一动点,过
点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则 (BCD)
A.圆C上恰有一个点到l的距离为2√2
(2 2)
B.直线AB恒过点 ,
3 3
4√7
C.|AB|的最小值是
3
D.四边形ACBP面积的最小值为2√14
x2 y2
2.(多选)(2024湖南长沙长郡中学测试,11)设F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P(x ,y )
1 2 0 0
25 16
为C上一点且在第一象限,I(x ,y )为△F PF 的内心,且△F PF 内切圆半径为1,则(ABD)
1 1 1 2 1 2
5√5
A.|IP|=√5 B.x =
0 3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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1
C.x =2 D.k ·k =-
1 IF 1 IF 2 4
x2 y2
3.(2024江苏南京、盐城二模,13)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过F作一
a2 b2
条渐近线的垂线,垂足为E.若线段EF的中点在C上,则C的离心率为 √2 .
4.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,18)已知抛物线E:y2=4x,点A,B,C在抛物线E上,且A
在x轴上方,B和C在x轴下方(B在C左侧),A,C关于x轴对称,直线AB交x轴于点M,延
长线段CB交x轴于点Q,连接QA.
|OM|
(1)证明: 为定值(O为坐标原点);
|OQ|
8
(2)若点Q的横坐标为-1,且⃗MB·⃗MC= ,求△AQB的内切圆的方程.
9
综合能力考查 以抛物线为载体,考查圆锥曲线中的定值问题;利用内切圆的性质及相关
知识,求圆的方程;考查运算求解、逻辑推理等能力
解析 (1)证明:设直线AB的方程为x=my+t(m>0),A(x ,y ),B(x ,y ),则C(x ,-y ),M(t,0),
1 1 2 2 1 1
{x=my+t,
联立 消去x得y2-4my-4t=0,
y2=4x,
由Δ=16(m2+t)>0,得m2+t>0,
由根与系数的关系得y +y =4m,y y =-4t.
1 2 1 2
y + y 4x y y
直线BC的方程为y+y = 2 1 (x-x ),化简得y= - 1 2 ,
1 x −x 1 y −y y −y
2 1 2 1 2 1
y y
令y=0,得x = 1 2=-t,所以Q(-t,0),
Q
4
|OM| |t|
因此 = =1.
|OQ| |−t|
(2)因为点Q的横坐标为-1,所以由(1)可知Q(-1,0),M(1,0),
因为A,C关于x轴对称,所以x轴是∠AQB的平分线所在直线,所以△AQB的内切圆圆心
在x轴上,故设圆心为T(s,0)(-1<s<1),北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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y2 y2
由(1)知y y =-4,x +x =my +1+my +1=m(y +y )+2=4m2+2,x x = 1· 2=1,又⃗MB=(x -1,y ),⃗MC
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
4 4
=(x -1,-y ),
1 1
则⃗MB·⃗MC=(x -1)(x -1)-y y =x x -(x +x )+1+4=4-4m2,
2 1 1 2 1 2 1 2
8 √7
故4-4m2= ,结合m>0,得m= .
9 3
所以直线AB的方程为3x-√7y-3=0,
{3x=√7 y+3,
联立 消去x,整理得,3y2-4√7y-12=0,
y2=4x,
(23+8√7 2√7+8)
解得A , ,又Q(-1,0),
9 3
2√7+8
3
所以直线AQ的方程为y= (x+1),化简整理得3x-4y+3=0,
23+8√7
+1
9
因为圆心T到直线AB和直线AQ的距离相等,
|3s+3| |3s−3| 1
所以 = ,因为-1<s<1,解得s= ,
5 4 9
3s+3 2
故圆T的半径r= = ,
5 3
( 1) 2 4
因此圆T的方程为 x− +y2= .
9 9
悟透新型考法
y|y|
1.(2024安徽皖北五校联考,8)已知实数x,y满足x|x|+ =1,则|√3x+y-4|的取值范围是
3
( B )
A.[4-√6,2) B.[4-√6,4)
[ √6 ) [ √6 )
C. 2− ,2 D. 2− ,4
2 2
2.(2024浙江温州第三次适应性考试,14)过抛物线y2=2px(0<p<2)焦点F的直线l交抛物线
于A,B两点,点M(1,0),沿x轴将坐标系翻折成直二面角,当三棱锥A-FMB体积最大时,p=
4
.
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x2 y2 1 ( 3)
3.(2024福建漳州四检,17)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,点A 1, ,B
a2 b2 2 2
( 3)
1,− ,C(-1,2)中恰有两个点在E上.
2
(1)求E的方程;
c +a
(2)设n∈N*,△A B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b +c =2a ,a =a ,b = n n
n n n n n n n n n 1 1 1 n+1 n n+1
2
b +a
,c = n n.若点B ,C 在x轴上且关于原点对称,问:是否存在a ,使得点A 都在E上,若存
n+1 n n 1 n
2
在,请求出a ,若不存在,请说明理由.
1
新型考法 利用椭圆的定义探究存在性问题
( 3) ( 3)
解析 (1)因为A 1, 与B 1,− 关于x轴对称,E也关于x轴对称,A,B,C中恰有两个
2 2
9
1
点在E上,所以A,B在E上,C不在E上,所以 + 4 =1,
a2
b2
c 1
又因为e= = ,c=√a2−b2,a>b>0,
a 2
x2 y2
所以a=2,b=√3,c=1,所以E的方程为 + =1.
4 3
(2)存在a =2,使得点A 都在E上.理由如下:
1 n
c +a b +a
因为a =a ,所以a =a ,因为b = n n,c = n n,
n+1 n n 1 n+1 n+1
2 2
1 1 1
所以b +c = (b +c )+a ,即b +c = (b +c )+a ,所以b +c -2a = (b +c -2a ),
n+1 n+1 2 n n n n+1 n+1 2 n n 1 n+1 n+1 1 2 n n 1
又因为b +c =2a ,所以b +c -2a =0,所以b +c -2a =0,即b +c =2a ,所以
1 1 1 1 1 1 n n 1 n n 1
A C +A B =2a >a =B C ,
n n n n 1 1 n n
所以点A 在以B ,C 为焦点,2a 为长轴长的椭圆上,
n n n 1
又因为E的焦点为(±1,0),长轴长为4,点B ,C 在x轴上且关于原点对称,
n n
{ 2a =4,
所以点A 都在椭圆E上⇔ 1 ⇔a =2,
n B C =a =2 1
n n 1
所以存在a =2,使得点A 都在E上.
1 n
参透创新情境
(2024江苏苏锡常镇5月调研,18)三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一,如今
数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题,如果不局限于尺规,三等分任意角
是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法:已知角α(0<α<π)的顶点为A,北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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在α的两边上截取|AB|=|AC|,连接BC,在线段BC上取一点O,使得|BO|=2|CO|,记BO的中
点为D,以O为中心,C,D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心,AB为半径作圆,与
1
双曲线M左支交于点E(射线AE在∠BAC内部),则∠BAE= ∠BAC.在上述作法中,以O
3
为原点,直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,若B(-2,0),点A在x轴的上方.
(1)求双曲线M的方程.
(2)若过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G,点E到直线AG的距离为d.
|BE|
证明:① 为定值;
d
1
②∠BAE= ∠BAC.
3
创新情境 以三等分角为背景,以双曲线为载体,考查圆锥曲线的综合问题
x2 y2
解析 (1)设双曲线M的方程为 - =1(a>0,b>0),
a2 b2
由|BO|=2|CO|及B(-2,0),可得C(1,0),所以a=1,
a2+b2 1+b2
因为双曲线M的离心率为2,所以 = =4,解得b2=3,
a2 1
y2
所以双曲线M的方程为x2- =1.
3
(2)证明:①因为|AB|=|AC|,B(-2,0),C(1,0),
1
所以直线AG的方程为x=- ,
2
y2
设E(x ,y )(x ≤-1),则x2- 0=1,y2=3x2-3,
0 0 0 0 3 0 0
| 1 | 1
所以d= − −x =-x - ,
2 0 0 2
|BE|
又|BE|=√(x +2) 2+ y2=√(x +2) 2+3x2−3=√(2x +1) 2=-2x -1,所以 =2,为定值.
0 0 0 0 0 0 d
②连接BE,因为|AB|=|AE|,北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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1
1 |BE| d
所以sin ∠BAE=2 ,sin∠EAG= ,
2 |AE|
|AE|
|BE| 1
因为 =2,所以sin ∠BAE=sin∠EAG,
d 2
1
又∠BAE,∠EAG都是锐角,所以 ∠BAE=∠EAG,
2
所以∠BAC=2∠BAG=2(∠BAE+∠EAG)=3∠BAE,
1
所以∠BAE= ∠BAC.
3
