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命题点2 函数及其性质 ２ ８３
命题点 2 函数及其性质
M"A
函数部分是高中数学的核心知识，其应用性与创新性是当前高考考查的热点，高考命题主要围绕函数的概念与性质、基本初
等函数、函数与方程、函数模型的应用等核心知识展开，应注重数形结合、转化与化归等数学思想以及构造函数、解方程的训练．
命题方向：多以几类基本初等函数的图象为基础，结合函数性质考查函数零点和不等式等问题，也常与导数相结合进行考
查，综合性较强．新高考命题加重了对函数性质的考查，对学生的数学抽象和逻辑推理素养提出了更高的要求，同时新题型考题
模式下以函数新定义为载体设置的题目体现了层次更为丰富、角度更为多元的命题特征，更能考查学生辩证思维和深度思考的
能力．
预测探究
识透高频考点 薄率都为 ． 轧面的过程中 面带宽度不变 且不考虑损耗 ．
０２（ ， ， ）
有一台擀面机共有 对轧辊 所有轧辊的横截面面积均为
æ ａ ö １０ ，
１．（ 广东湛江一模， ）已知函数ｆ ｘ ç ｘ ÷ ｘ是偶函
２０２４ １ （ ）＝è２ － ｘ øｃｏｓ
２ ６４００００ ２ 若第ｋ对轧辊有缺陷 每滚动一周在面带上压出
ｍｍ ， ，
数 则实数ａ Ｂ π
， ＝ （ ） 一个疵点 在擀面机输出的面带上 疵点的间距为Ｌ 则
， ， ｋ，
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２
Ｄ
２．（ 皖豫名校联盟 月联考， ） 已知函数 ｆ ｘ （ ）
２０２４ ５ ６ （ ） ＝
ì l
ï ï ｍ １ｅ ２ ｘ －３ ＋４ ｘ ， ｘ ≥ ３ ，
í ï ２ 的图象关于直线ｘ ＝ ３ 对称 ， 则ｍ １＋ ｍ ２＋ Ａ． Ｌ ｋ＝１６００×０ ． ２ １０－ ｋ ｍｍ Ｂ． Ｌ ｋ＝１６００×０ ． ２ ｋ －１０ ｍｍ
î ï ２ｅ ３－２ ｘ ＋ ｍ ２ ｘ ＋ ｍ ３， ｘ ＜ ２ ３ ２ Ｃ． Ｌ ｋ＝１６００×０ ． ８ １０－ ｋ ｍｍ Ｄ． Ｌ ｋ＝１６００×０ ． ８ ｋ －１０ ｍｍ
ｍ Ｂ ７．（ 广东茂名二模， ）若ｆ ｘ 为Ｒ上的偶函数 且ｆ ｘ
３＝ （ ） ２０２４ ７ （ ） ， （ ）＝
ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则函数ｇ ｘ
Ａ．８ Ｂ．１０ Ｃ．１２ Ｄ．１４ （４－ ）， ∈［０，２］ ， （ ）＝ ２ －１， （ ）＝
３．（ ２０２４ 江苏南京师大附中 ５ 月模拟， ６ ）已知定义在区间 （－ ｍ ， ３｜ｓｉｎ（π ｘ ）｜－ ｆ （ ｘ ） 在区间 ［－１，５］ 上的所有零点的和是 （ Ａ ）
ｍ ｍ 上 值域为 Ｒ 的函数 ｆ ｘ 满足 当 ｘ ｍ 时
Ａ．２０ Ｂ．１８
）（ ＞０） ， （ ） ：① ０＜ ＜ ，
ｆ （ ｘ ）＞０；② 对于定义域内任意的实数ａ 、 ｂ均满足 ： ｆ （ ａ ＋ ｂ ）＝ Ｃ．１６ Ｄ．１４
８．（ 江苏徐州适应性测试， ）若定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满
ｆ ａ ｆ ｂ ２０２４ ８ （ ）
（ ）＋（ ） ．则 Ｄ
ｆ ａ ｆ ｂ （ ） ( )
１－（ ） （ ） 足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｘ 是奇函数 ｆ １ １ 则
（ ＋２）＋（ ）＝ （４）， （２ ＋１） ， ＝ ，
ｆ ２ ２
Ａ． （０）＝１
Ｄ
ｘ ｘ ｍ ｘ ｘ ｍ ｆ ｘ ｆ ｘ （ ）
Ｂ．∀ １， ２，－ ＜ １＜ ２＜ ， （ １）＞（ ２） ( ) ( )
函数ｆ ｘ 在区间 ｍ 上单调递减 １７ ｆ ｋ １ １ １７ ｆ ｋ １
Ｃ．
函数ｆ
（
ｘ
）
在区间
（０，
ｍ
）
ｍ 上单调递增
Ａ．∑ｋ＝
１
－
２
＝－
２
Ｂ．∑ｋ＝
１
－
２
＝０
Ｄ． （ ） （－ ， ） ( ) ( )
１７ １７
４．（ 湖南长沙雅礼中学二模， ）已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ ｋｆ ｋ １ １７ ｋｆ ｋ １ １７
２０２４ ４ （ ） Ｃ．∑ｋ＝
１
－
２
＝－
２
Ｄ．∑ｋ＝
１
－
２
＝
２
是奇函数 对任意ｘ Ｒ都有ｆ ｘ ｆ ｘ 若ｆ
， ∈ （ ＋１）＝ （１－ ）， （－３）＝－２， ９．（多选）（ 湖南岳阳教学质量监测（二）， ）已知函数
２０２４ １０
则ｆ
（２０２３）
等于
（
Ａ
）
(ｘ ｙ) (ｘ ｙ)
ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 对任意 ｘ ｙ Ｒ 都有 ｆ ＋ ｆ －
（ ） ， ， ∈ ２ ＝
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．０ Ｄ．－４ ２ ２
５．（ 湖北黄冈中学二模， ）已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ ｆ ｘ ｆ ｙ 且ｆ 则下列说法正确的是 ＢＣＤ
２０２４ ６ （ ） ， （ ）＋（ ）， （１）＝－１， （ ）
ｆ ｘ ｇ ｘ 若函数ｇ ｘ 为奇函数 ｇ ｘ 为偶函数 且 ｆ
（ ）＝ （ －１）＋２， （ ） ， （ ＋１） ， Ａ． （－１）＝１
( )
ｆ 则 ２３ ｇ ｋ Ｂ ｆ ｘ １ 为奇函数
（２）＝１， ∑ｋ＝
１
（ ）＝ （ ） Ｂ． ＋
２
ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ Ｃ． （ ）－（２－ ）＝０
６．（ 江苏南京金陵中学、海安中学、南京外国语学校三模， ｆ ｆ ｆ ｆ
２０２４ Ｄ． （１）＋（２）＋（３）＋…＋（２０２５）＝－１
） 定 义 一 对 轧 辊 的 减 薄 率 １０．（多选）（ 福建福州 月质检， ）已知函数ｆ ｘ ａｘ ｘ
６ ： ＝ ２０２４ ４ １１ （ ）＝ （ｅ
输入该对的面带厚度 － 输出该对的面带厚度 ．如图所示 为一 ＋ｅ － ｘ ）－ｅ ｘ ＋ｅ － ｘ恰有三个零点ｘ １， ｘ ２， ｘ ３， 且ｘ １＜ ｘ ２＜ ｘ ３， 则 （ ＡＣＤ ）
输入该对的面带厚度 ， ｘ ｘ ｘ
Ａ． １＋ ２＋ ３＝０
台擀面机的示意图 擀面机由若干对轧辊组成 面带从一端输 实数ａ的取值范围为
， ， Ｂ． （０，１］
入 经过各对轧辊逐步减薄后输出．已知擀面机每对轧辊的减 ａｘ
， Ｃ． １＋１＞０
２ ８４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ａｘ ａ 试在Ｒ Ｒ上给出一个非单射的映射
Ｄ． ３＋ ＞１ （１） → ；
１１．（ 江苏南通适应性考试， ） 已知函数 ｆ ｘ 证明 ｆ是单射的充分必要条件是 给定任意其他集合Ｚ
２０２４ １２ （ ） ＝ （２） ： ：
{ ｘ ｘ 与映射ｇ ｈ Ｚ Ｘ 若对任意ｚ Ｚ 有ｆ ｇ ｚ ｆ ｈ ｚ 则ｇ
２ ， ＜０， ( ( )) ， ： → ， ∈ ， （ （ ））＝ （ （ ）），
( ) 则ｆ ｆ π ２ ． ｈ
ｘ π ｘ ＝ ＝ ；
ｓｉｎ ２ ＋ ６ ， ≥０， ２ ２ 证明 ｆ是单射的充分必要条件是 存在映射φ Ｙ Ｘ 使
（３） ： ： ： → ，
１２．（ ２０２４ 湖南长沙一中二模， １４ ）设ｆ （ ｘ ）＝ ｜ｌｏｇ２ ｘ ＋ ａｘ ＋ ｂ ｜， 记函 对任意ｘ ∈ Ｘ ， 有φ （ ｆ （ ｘ ））＝ ｘ．
数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在区间 ［ ｔ ， ｔ ＋１］（ ｔ ＞０） 上的最大值为Ｍ ｔ（ ａ ， ｂ ）， 若 新定义理解 以新定义为载体，考查充分必要条件的证明
ａ
对任意ａ ｂ Ｒ 都有Ｍ ａ ｂ 则实数ｔ的最大值 解析 由题意不妨设ｆ ｘ ｘ２ 当ｘ ｘ ｘ ｘ 不为
＞０， ∈ ， ｔ（ ， ）≥ ＋１， （１） （ ）＝ ， １， ２（ １， ２ ０）
２ 互为相反数时 ｆ ｘ ｆ ｘ 满足题意．
， （ １）＝ （ ２）
为 １ ． 证明 一方面若ｆ是单射 且ｆ ｇ ｚ ｆ ｈ ｚ 则ｇ ｚ
（２） ： ， （ （ ））＝ （ （ ））， （ ）＝
３
ｈ ｚ 即ｇ ｈ 否则若ｇ ｚ ｈ ｚ 有ｆ ｇ ｚ ｆ ｈ ｚ 矛
（ ）， ＝ （ （ ）≠ （ ）， （ （ ））≠ （ （ ）），
参透创新情境
盾
），
ì ïï－１， ｘ ＜０， 另一方面 ， 若对任意ｚ ∈ Ｚ ， 由ｆ （ ｇ （ ｚ ））＝ ｆ （ ｈ （ ｚ ）） 可以得到 ｇ
１．（ 湖南长沙一中三模， ）已知函数 ｘ í ｘ 关 ｈ
２０２４ １４ ｓｇｎ（ ）＝ïï０， ＝０， ＝ ，
î ｘ 我们用反证法证明ｆ是单射 假设ｆ不是单射 即存在ｇ ｚ
１， ＞０， ， ， （ ）≠
于函数ｆ ｘ ｘ ｘ有如下四个命题 ｈ ｚ 有ｆ ｇ ｚ ｆ ｈ ｚ
（ ）＝ｓｇｎ（ －π）ｓｉｎ ： （ ）， （ （ ））＝ （ （ ）），
[ ] ( )
又由ｆ ｇ ｚ ｆ ｈ ｚ 可以得到ｇ ｈ 即ｇ ｚ ｈ ｚ 这就产
ｆ ｘ 在 π 上单调递减 ｆ ｆ １ （ （ ））＝ （ （ ）） ＝ ， （ ）＝ （ ），
①（ ） ，π ；②（ｌｇ２）＝－ ｌｇ ；
２ ２ 生了矛盾
，
ｆ ｘ 的值域为 ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称．
③（ ） ［－１，１］；④（ ） ＝π 所以ｆ是单射 综上所述 命题得证．
， ，
其中所有真命题的序号是 ．
②③④ 证明 一方面若ｆ是单射 则由ｘ ｘ 可得ｆ ｘ ｆ ｘ
２．（ 湖北武汉部分重点中学第二次联考， ）欧拉函数 φ （３） ： ， １≠ ２ （ １）≠（ ２），
２０２４ １４ 同理存在单射 φ 使得 ｆ ｘ ｆ ｘ Ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ 有
（
ｎ
）（
ｎ
∈
Ｎ
）
的函数值等于所有不超过正整数ｎ
，
且与ｎ互质
φ ｆ ｘ ｘ ｘ
，
φ ｆ
（
ｘ
１）， （ ２）∈ ， （ １）≠ （ ２），
的正整数的个数 公约数只有 的两个正整数称为互质整
（ （ １））＝ １≠ ２＝ （ （ ２）），
（ １ 另一方面 若存在映射φ Ｙ Ｘ 使对任意ｘ Ｘ
， ： → ， ∈ ，
数 例如 φ φ 则φ 若ｂ
ｎ２
则 有φ ｆ ｘ ｘ
）， ： （３）＝２， （４）＝２， （８）＝ ４ ； ｎ＝φ ｎ ， （ （ ））＝ ，
（２ ） 我们用反证法来证明ｆ是单射
，
ｂ 的最大值为 ９ ． 若ｆ不是单射 即存在ｘ ｘ 有ｆ ｘ ｆ ｘ
ｎ ， １≠ ２， （ １）＝ （ ２），
４
又若ｆ ｘ ｆ ｘ 则由题意φ ｆ ｘ ｘ ｘ φ ｆ ｘ
３．（ 广东五粤名校联盟第一次联考， ）设 Ｘ Ｙ 为任意集 （ １）≠ （ ２）， （ （ １））＝ １＝ ２＝ （ （ ２）），
２０２４ １９ ，
这与ｘ ｘ 产生矛盾
合 映射ｆ Ｘ Ｙ．定义 对任意ｘ ｘ Ｘ 若ｘ ｘ 则ｆ ｘ １≠ ２ ，
， ： → ： １， ２∈ ， １≠ ２， （ １）≠
所以此时ｆ是单射 综上所述 命题得证．
ｆ ｘ 此时的ｆ为单射． ， ，
（ ２），
