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专题二 函数及其性质 ２ ７
2.4 函数模型及应用
学生用书P193
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+
GY LY CL C L
GY BY CY DB C D B
GY BCY DB C D B C C
P5 GY NLOG B Y ON O B N B B
5 GY BYO CB C O B O
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KY+ E# KY+ E# KO+ 5
A+
=(ZD==(YD=
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B
学生用书P193
题型 利用函数模型解决实际问题 解析 因为Ｌ
＝
Ｌ
０
ＤＧ Ｇ ０，所以Ｌ
＝０
．
５×
Ｄ２ Ｇ ２，
1.利用给定函数模型解决实际问题的方法 ( ) Ｇ
依题意得 ． ． Ｄ２ ２ ２ ２ Ｄ ９ ，则Ｌ ． ９ ２２ ，
认清所给函数模型 弄清哪些量为待定系数． ０４５＝０５× ⇒ ＝ ＝０５×
（１） ， １０ １０
根据已知利用待定系数法 确定模型中的待定系数． ( ) Ｇ ( ) Ｇ
２２ ２２
（２） ， 由Ｌ ． ９ ． 得 ９ １ ，两边取常用对数得
利用该模型求解实际问题． ＝０ ５× ＜０ ０５ ＜
（３） １０ １０ １０
2.建立拟合函数模型解决实际问题的步骤 ( ) ２ Ｇ ２ Ｇ
９ １ ， ９ ，
审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选 ｌｇ ＜ｌｇ ｌｇ ＜－１
（１） ： ， ， ， １０ １０ ２２ １０
择数学模型． Ｇ·（ ） ，Ｇ·（ ） （不等式两边同乘
ｌｇ９－ｌｇ １０ ＜－２２ ｌｇ １０－ｌｇ ９ ＞２２
建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符
（２） ： ， ，不等号改变方向），Ｇ ２２ ２２ ２２
号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型． －１ ＞ ＝ ≈ ． ＝
， ，
ｌｇ１０－ｌｇ９ １－２ｌｇ３ １－２×０４７７１
解模 求解数学模型 得出数学结论．
（３） ： ， ２２ ． ，
． ≈４８０３５
还原 将数学问题还原为实际问题． ００４５８
（４） ： 所以所需的训练迭代轮数至少为 轮．
以上过程用框图表示为 ４８１
例2 （ 新高考名校协作体模拟， ）某公司为激励创新 计
KKM 5 / ２０２４ ４ ，
AD 划逐年加大研发资金投入．若该公司 年全年投入研发资金
２０２３
$ 万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长
E １６０ ， ，
K3 3 ％ 则该公司全年投入的研发资金开始超过 万元的年份
１０ ， ２００
例1 （ 福建安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中 是 参考数据 ． ． ． Ｃ
２０２４ （ ：ｌｇ１１≈００４，ｌｇ２≈０３０） （ ）
年 年 年 年
学返校联考， ）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现 Ａ．２０２４ Ｂ．２０２５ Ｃ．２０２６ Ｄ．２０２７
４ 解析 设ｘ年后，该公司全年投入的研发资金开始超过
方法 它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中 指数衰 ２００
， ， 万元，则 （ ％）ｘ （建立指数函数模型），
减 学 的 习 学 率 习 Ｌ 率 表 模 示 型 初 为 始 Ｌ 学 ＝ Ｌ 习 ０ Ｄ 率 Ｇ Ｇ ０ ， Ｄ 其 表 中 示 Ｌ 衰 表 减 示 系 每 数 一轮 Ｇ 优 表 化 示 时 训 使 练 用 迭 的 代 即 ． ｘ １ ５ ６０ ，取 １ 常 ＋１ 用 ０ 对数 ＞２ 得 ００ ｘ ． ，
轮数 Ｇ ， 表 ０ 示衰减速度．已知 ， 某个指数衰减的 ， 学习率模型的初 １１ ＞ ４ ｌｇ１１＞ｌｇ５－２ｌｇ２
， ０ １０
始学习率为 ． 衰减速度为 且当训练迭代轮数为 时 学 ｌｇ －２ｌｇ２ ．
０５， ２２， ２２ ， ｘ ｌｇ５－２ｌｇ２ ２ １－３ｌｇ２ １－３×０３ ． ，
习率衰减到 ． 则学习率衰减到 ． 以下所需的训练迭代轮 ＞ ． ＝ ． ＝ ． ≈ ． ＝２５
０４５， ００５ ｌｇ１１ ｌｇ１１ ｌｇ１１ ００４
数至少为 参考数据 ． ． Ｄ 故该公司全年投入的研发资金开始超过 万元的年份是
（ ：ｌｇ２≈０３０１０，ｌｇ３≈０４７７１） （ ） ２００
年．故选
Ａ．１１ Ｂ．４４ Ｃ．２２７ Ｄ．４８１ ２０２６ Ｃ．
２ ８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
考点 函数模型及应用 学生用书P20 当Ｔ Ｐ 时 二氧化碳处于液态
Ａ． ＝２２０， ＝１０２６ ，
当Ｔ Ｐ 时 二氧化碳处于气态
１．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，易）青少年视力是社会普遍关 Ｂ． ＝２７０， ＝１２８ ，
２０２１ ６ ４ ５ 当Ｔ Ｐ 时 二氧化碳处于超临界状态
注的问题 视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小 Ｃ． ＝３００， ＝９９８７ ，
， 当Ｔ Ｐ 时 二氧化碳处于超临界状态
数记录法记录视力数据 五分记录法的数据Ｌ和小数记录法的 Ｄ． ＝３６０， ＝７２９ ，
， ３．（多选）（ 新课标 ， ， 分，中）噪声污染问题越来越受
数据Ｖ满足Ｌ Ｖ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 ２０２３ Ⅰ １０ ５
＝５＋ｌｇ 到重视．用声压级来度量声音的强弱 定义声压级 Ｌ
． 则其视力的小数记录法的数据约为 １０ ． Ｃ ， ｐ＝２０×
４９， （ １０≈１２５９） （ ） ｐ
． ． ． ． 其中常数ｐ ｐ 是听觉下限阈值 ｐ是实际声压．下
Ａ．１５ Ｂ．１２ Ｃ．０８ Ｄ．０６ ｌｇ ｐ ， ０（ ０＞０） ，
２．（ 北京， ， 分，中）在北京冬奥会上 国家速滑馆 冰丝 ０
２０２２ ７ ４ ， “ 表为不同声源的声压级
带 使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术 为实现绿 ：
” ，
声源 与声源的距离／ 声压级／
色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的 ｍ ｄＢ
状态与Ｔ和 Ｐ的关系 其中Ｔ表示温度 单位是 Ｐ表示 燃油汽车
ｌｇ ， ， Ｋ； １０ ６０～９０
压强 单位是 ．下列结论中正确的是 Ｄ
， ｂａｒ （ ） 混合动力汽车
１０ ５０～６０
电动汽车
１０ ４０
已知在距离燃油汽车 混合动力汽车 电动汽车 处测得
、 、 １０ ｍ
实际声压分别为ｐ ｐ ｐ 则 ＡＣＤ
１， ２， ３， （ ）
ｐ ｐ ｐ ｐ
Ａ． １≥ ２ Ｂ． ２＞１０ ３
ｐ ｐ ｐ ｐ
Ｃ． ３＝１００ ０ Ｄ． １≤１００ ２
学生用书P21 ５１２ ５１２
Ｂ．２＋Ｔ ＝ Ｔ
１．（ 江苏南京、盐城一模， ）德国天文学家约翰尼斯 开普 １ ２
２０２４ ４ ·
勒根据丹麦天文学家第谷 布拉赫等人的观测资料和星表 ５１２ ５１２
· ， Ｃ．－２＋ｌｏｇ２ Ｔ ＝ｌｏｇ２ Ｔ
通过本人的观测和分析后 于 年在 宇宙和谐论 中提出 １ ２
， １６１８ 《 》
了行星运动第三定律 绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的 ５１２ ５１２
——— Ｄ．２＋ｌｏｇ２ Ｔ ＝ｌｏｇ２ Ｔ
所有行星 其椭圆轨道的长半轴长ａ与公转周期Ｔ有如下关 １ ２
， ４．（ 广东韶关综合测试（二）， ）在工程中估算平整一块矩
２０２４ ５
系 ： Ｔ ＝ ２ Ｇ π Ｍ· ａ３ ２ ， 其中Ｍ为太阳质量 ， Ｇ为引力常量．已知火 形场地的工程量Ｗ （ 单位 ： 平方米 ） 的计算公式是Ｗ ＝（ 长 ＋４）
宽 在不测量长和宽的情况下 若只知道这块矩形场地
×（ ＋４）， ，
星的公转周期约为水星的 倍 则火星的椭圆轨道的长半轴
８ ， 的面积是 平方米 每平方米收费 元 则估算平整完这
长约为水星的 Ｂ １００００ ， １ ，
（ ） 块场地所需的最少费用 单位 元 是 Ｃ
倍 倍 倍 倍 （ ： ） （ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
２．（ 重庆南开中学第七次质量检测， ）输血是救治外伤人 Ａ．１００００ Ｂ．１０４８０ Ｃ．１０８１６ Ｄ．１０８１８
２０２４ ４ ５．（ 安徽江南十校 月联考， ）酒驾严重危害交通安全．为
员的重要手段 血液质量对提高救治成功率极为关键．血液质 ２０２４ ３ ５
， 了保障交通安全 交通法规定 机动车驾驶人每 血液
量的主要评判指标是血液中 含量．已知血液中 浓度 ， ： １００ ｍＬ
ＡＴＰ ＡＴＰ 中酒精含量达到 为酒后驾车 及以上为醉酒
Ｓ 单位 随温度λ 单位 时间ｔ 单位 天 及 ２０～７９ ｍｇ ，８０ ｍｇ
（ ：μｍｏｌ／ｇＨｂ） （ ：℃）、 （ ： ） 驾车．若某机动车驾驶员饮酒后 其血液中酒精含量上升到了
起始浓度Ｓ 变化的近似函数关系式为Ｓ Ｓ ｔ１ ． ０８ λ －１ ． ３０ λ 为自 ，
０ ＝ ０ ｅ （ｅ ． ．假设他停止饮酒后 其血液中酒精含量以每小时
然对数的底数 ． ．由此可知 当血液在 恒温 １２ ｍｇ／ｍＬ ，
，ｅ≈２ ７１８ ２８） ， ２０ ℃ ％的速度减少 则到他能驾驶需要的时间至少为 精确到
条件下 保存 天后的 浓度 大约相当于血液在 恒温 ２０ ， （
， ５ ＡＴＰ ， ４℃ ． ．参考数据 ． ． Ｃ
条件下保存 天后的 浓度． 参考数据 ． ０００１ ：ｌｇ２≈０３０１０，ｌｇ３≈０４７７１） （ ）
ＡＴＰ （ ：ｌｎ５≈１６） ． 小时 ． 小时
Ｃ Ａ．７９６３ Ｂ．８００５
（ ）
． 小时 ． 小时
Ｃ．８０２２ Ｄ．８１０５
Ａ．１６ Ｂ．２０ Ｃ．２５ Ｄ．３０
３．（ 安徽合肥第二次质检， ）常用放射性物质质量衰减一
６．（
２０２４
广东一模，
５
）假设甲和乙刚开始的
“
日能力值
”
相同
，
之
２０２４ ５
后甲通过学习 日能力值 都在前一天的基础上进步 ％ 而乙
半所用的时间来描述其衰减情况 这个时间被叫做半衰期 记 ，“ ” ２ ，
， ，
为Ｔ 单位 天 ．铅制容器中有甲 乙两种放射性物质 其半衰
疏于学习
，“
日能力值
”
都在前一天的基础上退步
１
％．那么
，
大
（ ： ） 、 ，
期分别为Ｔ Ｔ ．开始记录时 这两种物质的质量相等 天
约需要经过 天
，
甲的
“
日能力值
”
是乙的
２０
倍．
（
参考
１， ２ ， ，５１２ 数据 ． ． ． Ｂ
后测量发现乙的质量为甲的质量的 １ 则Ｔ Ｔ 满足的关系 ：ｌｇ１０２≈２００８６，ｌｇ９９≈１９９５６，ｌｇ２≈０３０１０） （ ）
， １， ２
４ Ａ．２３ Ｂ．１００ Ｃ．１５０ Ｄ．２３２
式为 Ｂ ７．（ 北京西城一模， ）德国心理学家艾 宾浩斯研究发
（ ） ２０２４ １０ ·
现 人类大脑对事物的遗忘是有规律的 他依据实验数据绘制
５１２ ５１２ ， ，
Ａ．－２＋Ｔ ＝ Ｔ 出 遗忘曲线 ． 遗忘曲线 中记忆率ｙ随时间ｔ 小时 变化
１ ２ “ ” “ ” （ ）
专题二 函数及其性质 ２ ９
的趋势可由函数ｙ ． ｔ０ ． ２７近似描述 则记忆率为 ％时经 的结论是 Ｃ
＝１－０６ ， ５０ （ ）
过的时间约为 参考数据 ． ． Ｃ 该生物群的数量不超过
（ ：ｌｇ２≈０３０，ｌｇ３≈０４８） （ ） Ａ． １０
小时 ． 小时 该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
Ａ．２ Ｂ．０８ Ｂ．
． 小时 ． 小时 该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
Ｃ．０５ Ｄ．０２ Ｃ．
８．（ 江苏、浙江部分学校大联考， ）要测定古物的年代 可 该生物群的数量的增长速度最大的时间ｔ
２０２４ ５ ， Ｄ． ０∈（２，３）
以用放射性碳法 在动植物的体内都含有微量的放射性１４ ．动 １１．（多选）（ 安徽蚌埠第三次教学质量检查， ）科学研究
： Ｃ ２０２４ １０
植物死亡后 停止了新陈代谢 １４ 不再产生 且原来的１４ 会 表明 物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体
， ， Ｃ ， Ｃ ，
自动衰变．经过 年 它的残余量只有原始量的一半．现用 的初始温度为θ 空气温度θ 保持不变 则ｔ分钟后物
５７３０ ， １℃， ０℃ ，
体的温度θ 单位 满足 θ θ θ θ －０ ． ０５ ｔ．若空气温
放射性碳法测得某古物中１４ 含量占原来的 １ 推算该古物 （ ：℃） ： ＝ ０＋（ １－ ０）·ｅ
Ｃ ， 度为 该物体温度从θ θ 下降到
５
１０ ℃， １℃（９０≤ １≤１００） ３０ ℃，
约是ｍ年前的遗物 参考数据 －１ ． 则ｍ的值 大约所需的时间为 ｔ 若该物体温度从 下降到
（ ：（ｌｇ２） ≈３３２１９），
１， ７０ ℃，５０ ℃
为 Ｂ
大约所需的时间分别为 ｔ ｔ 则 参考数据
（ ）
３０ ℃， ２， ３， （ ：ｌｎ ２≈
． ． ＢＣ
Ａ．１２３０２ Ｂ．１３３０４ Ｃ．２３００４ Ｄ．２４０３４
０７，ｌｎ３≈１１） （ ）
９．（ 湖南衡阳二模， ）某种用保温材料制成的管道在单位长
ｔ ｔ
２０２４ ７ Ａ． ２＝２０ Ｂ．２８≤１≤３０
λ ｔ ｔ
度上的热损失Φ （ 单位 ：Ｗ／ｍ） 满足Φ ＝ ２ ｌ π ｎ ｒ ２ （ － １ ｌｎ － ｒ ２ １ ） ， 其中ｒ １， ｒ ２ １２．（ Ｃ 多 ． ｔ １ 选 ≥２ ） ｔ （ ３ ２０２４ 重庆八中等多校适 Ｄ 应 ． ｔ １ 性 － ｔ ２ 考 ≤ 试 ６ ， １０ ）吸光度是指
分别为管道的内外半径 单位 ｔ ｔ 分别为管道内外表面
（ ：ｍｍ），１，２ 物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例．
的温度 单位 λ 为保温材料的导热系数 单位
（ ：℃）， （ ：Ｗ／（ｍ 透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际
．某工厂准备用这种管道传输 的高温蒸汽 根据
·℃）） ２５０ ℃ ， 应用中 通常用吸光度Ａ和透光率Ｔ来衡量物体的透光性能
， ，
安全操作规定 管道外表面温度应控制为 ．已知管道内半
， ５０ ℃
它们之间的换算公式为Ｔ １ 下表为不同玻璃材料的透
径为 当管道壁的厚度为 时 Φ 则当 ＝ Ａ，
６０ｍｍ， ７５ ｍｍ ， ＝１５０ Ｗ／ｍ， １０
管道壁的厚度为 Φ约为 参考数据 ． 光率
１２０ｍｍ， （ ：ｌｏｇ３２＝０６３） ：
Ｂ
（ ） 玻璃材料 材料 材料 材料
１ ２ ３
Ａ．９８ Ｗ／ｍ Ｂ．１１１ Ｗ／ｍ Ｔ ． ． ．
０６ ０７ ０８
Ｃ．１１８ Ｗ／ｍ Ｄ．１２６ Ｗ／ｍ
１０．（ 陕西师大附中模考， ）某种生物群的数量Ｑ与时间ｔ 设材料 材料 材料 的吸光度分别为Ａ Ａ Ａ 则
２０２４ ４ １、 ２、 ３ １、 ２、 ３，
ｔ ＢＣＤ
的关系近似符合 Ｑ ｔ １０ｅ 其中 为自然对数的底数 （ ）
： （ ）＝ ｔ （ ｅ ，ｅ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ
ｅ＋９ Ａ． １＞２ ２ Ｂ． ２＋ ３＞ １
≈２
．
７１８２８…），
给出下列四个结论
，
根据上述关系
，
其中错误
Ｃ．
Ａ
１＋
Ａ
３＞２
Ａ
２ Ｄ．
Ａ
１
Ａ
３＜
Ａ２
２
