曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.6 函数模型及综合应用
考点 函数模型及应用
1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a,a,…,a ,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称
1 2 12
a,a,a 为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称a,a,a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦
i j k i j k
与原位小三和弦的个数之和为( )
A.5 B.8 C.10 D.15
答案 C 根据已知条件可知原位大三和弦有a,a,a;a,a,a;a,a,a ;a,a,a ;a,a,a ,共5个.原位小三和弦有
1 5 8 2 6 9 3 7 10 4 8 11 5 9 12
a,a,a;a,a,a;a,a,a ;a,a,a ;a,a,a ,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的
1 4 8 2 5 9 3 6 10 4 7 11 5 8 12
个数之和为10,故选C.
2.(2013课标Ⅰ理,11,5分)已知函数f(x)={−x2+2x,x≤0,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(
)
ln(x+1),x>0.
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
答案 D 由题意作出y=|f(x)|=
{x2−2x(x≤0),
的图象:
ln(x+1)(x>0)
由题意结合图象知,当a>0时,y=ax与y=ln(x+1)在x>0时必有交点,所以a≤0.当x≥0时,|f(x)|≥ax显然成立;当
x<0时,|f(x)|=x2-2x≥ax,则a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2≤a≤0,故选D.
评析 本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力.借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解
题关键.
1
3.(2012课标理,12,5分)设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )
2
A.1-ln 2 B.√2(1-ln 2)
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C.1+ln 2 D.√2(1+ln 2)
1 1 1
答案 B 由y= ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y= ex的反函数为y=ln(2x),所以y= ex与y=ln(2x)的图象
2 2 2
关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令
[ln(2x)]'=1=1,解得x
1
=1,令(1 ex)'=1,解得x
2
=ln 2,所以两切点分别为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=
√2
(1-ln 2),故
x 2
选B.
评析 本题考查了导数的应用,互为反函数的两函数图象的性质,考查了数形结合的思想.
1
4.(2011课标理,12,5分)函数y= 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(
1−x
)
A.2 B.4 C.6 D.8
1 −1
答案 D 函数y= = 和y=2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知
1−x x−1
1
y= 与y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x,x,x,x,x,x,x,x,且
1 2 3 4 5 6 7 8
1−x
x<x<x<x<x<x<x<x,由对称性得x+x=x+x=x+x=x+x=2,∴x+x+x+x+x+x+x+x=8,故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 2 7 3 6 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8
5.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg
x|的图象的交点共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
答案 A 在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lg x|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A.
评析 本题考查函数的图象、周期等相关知识,考查学生作图、用图能力,体现了数形结合思想.
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6.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振
0
幅,A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为
0
0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.
答案 6;10 000
解析 A=1 000=103,A=0.001=10-3,
0
M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.
A A
设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A
1
,A
2
,则lg A
1
-9=lg A
2
-5,得lg A
1
-lg A
2
=4,即lg 1=4,∴ 1=10
A A
2 2
000.
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