曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.6 函数模型及综合应用
三年模拟
一、选择题
1.(2022安徽滁州二模,9)我国古代发明了求函数近似值的内插法,当时称为招差术.如公
元前一世纪的《九章算术》中所说的“盈不足术”,即相当于一次差内插法,后来经过不
断完善和改进,相继发明了二次差和三次差内插法.此方法广泛应用于现代建设工程费用
估算.某工程费用利用一次差内插法近似计算公式如下:f(x)≈f(x
1
)+f (x
2
)-f (x
1
) ·(x-x
1
),
x -x
2 1
其中[x ,x ]为计费额的区间,f(x ),f(x )为对应于x ,x 的收费基价,x为某区间内的插入
1 2 1 2 1 2
值,f(x)为对应于x的收费基价.若计费额处于区间500万元(收费基价为16万元)与1 000
万元(收费基价为30万元)之间,则对应于600万元计费额的收费基价估计为( )
A.16.8万元 B.17.8万元
C.18.8万元 D.19.8万元
f (1 000)-f (500)
答案 C f(600)≈f(500)+ ×(600-500)
1 000-500
30-16 14
=16+ ×100=16+ =18.8故选C.
500 5
2.(2022西安二模,9)按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等
于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的
浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ - t (λ∈R)描述,则该
e 10
教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据ln 3≈1.1)( )
A.8.8分钟 B.11分钟 C.13.2分钟 D.22分钟
答案 B 当t=0时,y=0.05+λ=0.2,解得λ=0.15,
所以y=0.05+0.15 - t ,令0.05+0.15 - t ≤0.1,解得t≥10ln 3≈10×1.1=11,所以至少需要11分
e 10 e 10
钟.故选B.
3.(2022通州一模,8)太阳高度角是太阳光线与地面所成的角(即太阳在当地的仰角).设地
球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射点纬度,φ为当地纬度值,那么这三个
量满足θ=90°-|φ-δ|.通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值(φ取正值),选择
春分当日(δ=0°)测算正午太阳高度角.他们将长度为1米的木杆垂直立于地面,测量木杆
的影长.甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地同时进行,测量结果如下:
组别 甲组 乙组 丙组 丁组
木杆的影长(米) 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是( )
A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组
答案 D 因为δ=0°,且φ取正值,θ=90°-|φ-δ|,所以φ=90°-θ,又知木杆的影长越长,太阳高
度角θ越小,所以甲、乙、丙、丁四个小组中丁组的太阳高度角θ最小,所以四组中对通
州区当地纬度估测值最大的一组是丁组,故选D.
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4.(2022西城二模,10)如图为某商铺A、B两种商品在2022年前3个月的销售情况统计
图,已知卖出一件A商品盈利20元,卖出一件B商品盈利10元.图中点A 、A 、A 的纵
1 2 3
坐标分别表示A商品2022年前3个月的销售量,点B 、B 、B 的纵坐标分别表示B商
1 2 3
品2022年前3个月的销售量.根据图中信息,下列四个结论中正确的是( )
①2月A、B两种商品的总销售量最多;
②3月A、B两种商品的总销售量最多;
③1月A、B两种商品的总利润最多;
④2月A、B两种商品的总利润最多.
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
答案 C 根据统计图可得,B ,A 的纵坐标之和最大,故3月A、B两种商品的总销售量
3 3
最多,故①错误,②正确;
设点A 、A 、A ,B 、B 、B 的纵坐标分别为a 、a 、a 、b 、b 、b .根据卖出一件A商
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
品盈利20元,卖出一件B商品盈利10元可知,只需比较20a +10b 、20a +10b 、
1 1 2 2
20a +10b 的大小,即2a +b 、2a +b 、2a +b 的大小,即可得出总利润最多的月份.借助尺
3 3 1 1 2 2 3 3
规易得20a +10b >20a +10b >20a +10b ,故③正确,④错误.故选C.
1 1 3 3 2 2
5.(2022门头沟一模,10)新型冠状病毒肺炎(COVID-19)严重影响了人类正常的经济与社
会发展.我国政府对此给予了高度重视,采取了各种防范与控制措施,举国上下团结一心,
疫情得到了有效控制.人类与病毒的斗争将是长期的,有必要研究它们的传播规律,做到有
效预防与控制,防患于未然.已知某地区爆发某种传染病,当地卫生部门于4月20日起开
2 500
始监控每日感染人数,若该传染病在当地的传播模型为i(t)= (i(t)表示自4月20
1+9e-0.2t
日开始t(单位:天)时刻累计感染人数,i(t)的导数i'(t)表示t时刻的新增病例数,ln 9≈2.197
2),根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为( )
A.4月30日~5月2日
B.5月3日~5月5日
C.5月6日~5月8日
D.5月9日~5月11日
答案 A 对i(t)=
2 500 4 500e-0.2t 4 500 4 500
求导得i'(t)= = ,根据基本不等式得:i'(t)=
1+9e-0.2t (1+9e-0.2t)2
81e-0.2t+18+
1
81e-0.2t+18+
1
e-0.2t e-0.2t
4 500 4 500
=
≤ =125,
√ 1 36
2 81e-0.2t· +18
e-0.2t
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1 1
当且仅当81e-0.2t=
,即81(e-0.2t)2=1,即e-0.2t=
,即0.2t=ln 9,即t≈11时,i'(t)取
e-0.2t 9
得最大值.故选A.
6.(2022吉林白山模拟,8)有这样一种说法:一张矩形纸经过一定次数对折之后的厚度能超
过地月距离,但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当厚度超过
纸张的长边长时,便不能继续对折了.将一张长边为a,厚度为x的矩形纸沿两个方向不断
1
对折,经过两次对折,长边变为 a,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n满足关系:n≤log
8
2
(a) 2.根据以上信息,一张长为40 cm,厚度为0.1 mm的矩形纸经过对折后的厚度的最大
x
值约为(lg 2≈0.3)( )
A.1.28 cm B.2.56 cm C.12.8 cm D.25.6 cm
答案 B 因为对折次数n≤log
8
( 40 ) 2 2lg4 000 2(lg4+lg1 000) 2(2lg2+3)≈8,所以这
=2log84 000= = =
0.01 lg8 lg8 3lg2
张纸最多能对折8次.因为对折n次后,纸张的厚度为2nx,所以对折8次后这张纸的厚度
为28 ×0.01=2.56 cm.
7.(2022山西晋中模拟,8)某班同学在一次化学实验中发现,某化学固体溶于水时,水中未
溶解固体的质量M(单位:克)与放入水中的时间t(单位:分钟)满足以下关系:M=e-0.22t+a(a为
常数),若把9克的该化学固体放入水中,t分钟后变成3克,则t约为(取ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)(
)
A.6分钟 B.5分钟 C.4分钟 D.3分钟
答案 B 由题意得,当t=0时,M=ea=9,
因为e-0.22t+a=9e-0.22t=3,
1 ln3 1.1
所以-0.22t=ln =-ln 3,t= ≈ =5.故选B.
3 0.22 0.22
8.(2022天一顶尖计划联考,5)盈亏平衡点又称零利润点,通常是指全部销售收入等于全部
成本时(销售收入线与总成本线的交点)的销售量,其计算公式为BEP(Q)= C (其
F
P-C -T
U U
中BEP(Q)为盈亏平衡点,C 为单位产品变动成本,T 为单位产品税金及附加,P为产品单
U U
价,C 为总固定成本).某企业某种产品的年固定成本为1 800万元,单位产品变动成本为
F
600元,单位产品税金及附加为200元,若该企业这种产品每年的盈亏平衡点为75 000台,
则该产品的单价为( )
A.1 000元 B.1 020元
C.1 040元 D.1 060元
18 000 000
答案 C =75 000,解得P=1 040.
P-600-200
故选C.
二、填空题
9.(2022西城一模,14)调查显示,垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激
励居民垃圾分类,某市准备给每个家庭发放一张积分卡,每分类投放1 kg积分1分,若一
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个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg,则额外奖励x分(x为正整数).月底积
分会按照0.1元/分进行自动兑换.
①当x=10时,若某家庭某月产生120 kg生活垃圾,该家庭该月积分卡能兑换 元;
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的
40%,则x的最大值为 .
答案 ①13 ②36
解析 ①若某家庭某月产生120 kg生活垃圾,则该家庭月底的积分为120+10=130分,
故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1=13元.
②设每个家庭每月产生的垃圾为t kg,每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元.
当0≤t<100时,f(t)=0.1t,此时f(t)<0.34t×0.4=0.136t恒成立;
当t≥100时,f(t)=0.1t+0.1x,令f(t)≤0.34t×0.4,解得x≤(0.36t) =36.故x的最大值为36.
min
10.(2022东城二模,15)某公司通过统计分析发现,工人工作效率E与工作年限r(r>0),劳累
程度T(0<T<1),劳动动机b(1<b<5)相关,并建立了数学模型E=10-10T·b-0.14r.已知甲、乙为
该公司的员工,给出下列四个结论:
①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高;
②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高;
③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强;
④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
解析 设甲与乙的工作效率分别为E ,E ,工作年限分别为r ,r ,劳累程度分别为T ,T ,劳
1 2 1 2 1 2
动动机分别为b ,b .
1 2
对于①,b 1 =b 2 ,r 1 >r 2 ,0<T 1 <T 2 ,∵1<b<5,∴0<b-0.14<1, ∴b -0.14r 2 > b -0.14r 1 ,则E 1 -E 2 =10-10T 1 ·
2 1
b -0.14r 1 -(10-10T 2 · b -0.14r 2 )=10(T 2 · b -0.14r 2 -T 1 · b -0.14r 1 )>0,∴E 1 >E 2 ,即甲比乙工作效率高,
1 2 2 1
①正确.
对于②,T
1
=T
2
,r
1
>r
2
,b
1
>b
2
,∴1>
b -0.14
>
b -0.14
>0,
b -0.14r 2
>
b -0.14r 2
>
b -0.14r 1
,则E
1
-E
2
=10-
2 1 2 1 1
10T 1 · b -0.14r 1 -(10-10T 2 · b -0.14r 2 )=10T 1 ·( b -0.14r 2 - b -0.14r 1 )>0,∴E 1 >E 2 ,即甲比乙工作效率
1 2 2 1
高,②正确.
对于③,r 1 =r 2 ,E 1 >E 2 ,b 1 <b 2 ,∴0<b 1 <1,∴E 1 -E 2 =10(T 2 · b -0.14r 2 -T 1 · b -0.14r 1 )>0,即T 2 · b -0.14r 2
b 2 1 2
2
>T 1 ·b -0.14r 1,∴ T 2> b 1 -0.14r 1=( b 1 ) -0.14r 1>1,∴T 2 >T 1 ,即甲比乙劳累程度弱,③错误.
1 T b -0.14r 2 b
1 2 2
对于④,b 1 =b 2 ,E 1 >E 2 ,r 1 <r 2 ,∴E 1 -E 2 =10(T 2 · b -0.14r 2 -T 1 · b -0.14r 1 )>0,即T 2 · b -0.14r 2 >T 1 ·
2 1 2
b -0.14r 1,∴ T 2> b 1 -0.14r 1= b -0.14(r 1 -r 2 )>1,∴T 2 >T 1 ,即甲比乙劳累程度弱,④正确.
1 T b -0.14r 2 1
1 2
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综上,所有正确结论的序号是①②④.
11.(2022丰台二模,15)如图,某荷塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)满足关系式:
y=atln a(t≥0,a为常数),记y=f(t)(t≥0).给出下列四个结论:
①设a
n
=f(n)(n∈N*),则数列{a
n
}是等比数列;
②存在唯一的实数t 0∈(1,2),使得f(2)-f(1)=f '(t
0
)成立,其中f '(t)是f(t)的导函数;
③常数a∈(1,2);
④记浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t ,t ,t ,则t +t >t .
1 2 3 1 2 3
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
解析 因为f(0)=a0ln a<1,所以0<a<e且a≠1,又f(3)=a3ln a=6,所以ln a>0,所以1<a<e,即
a∈(1,e),
令h(a)=a3ln a,a∈(1,e),则h'(a)=3a2ln a+a2>0,
所以h(a)=a3ln a在(1,e)上单调递增,
又h(2)=23ln 2<6,所以a∈(2,e),故③错误.
由已知可得a
n
=f(n)=anln a(n∈N*),
则a =f(n+1)=an+1ln a,a =f(1)=aln a,
n+1 1
所以 a n+1= an+1lna=a,所以{a n }是以aln a为首项,a为公比的等比数列,故①正确.
a anlna
n
由f(t)=atln a,得f '(t)=at(ln a)2,f(2)=a2ln a,f(1)=aln a,令g(t
0
)=at 0(ln a)2-a2ln a+aln a,
则g'(t
0
)=at 0(ln a)3,t 0∈(1,2),
因为a∈(2,e),所以g'(t
0
)=at 0(ln a)3>0,即g(t
0
)=at 0·(ln a)2-a2ln a+aln a在(1,2)上单调递增,
因为a∈(2,e),所以ln a-a<0,ln a-1<0,aln a>0,
1 1-a
令φ(a)=ln a-a+1,a∈(2,e),则φ'(a)= -1= <0,所以φ(a)=ln a-a+1在(2,e)上单调递减,
a a
且φ(2)=ln 2-2+1=ln 2-1<0,即φ(a)=ln a-a+1<0,
令H(a)=aln a-a+1,a∈(2,e),则H'(a)=ln a>0,所以H(a)=aln a-a+1在(2,e)上单调递增,
又H(2)=2ln 2-2+1=2ln 2-1>0,所以H(a)=aln a-a+1>0,
所以g(1)=a(ln a)2-a2ln a+aln a=aln a(ln a-a)+aln a=aln a(ln a-a+1)<0,
g(2)=a2(ln a)2-a2ln a+aln a=a2ln a(ln a-1)+aln a=aln a·(aln a-a+1)>0,
故存在t 0∈(1,2),使得g(t
0
)=0,故②正确.
依题意得2=at 1ln a、3=at 2ln a、6=at 3ln a,
所以2×3=at 1ln a×at 2ln a=at 1 +t 2(ln a)2,
所以 at 1 +t 2(ln a)2=6,则
at
1
+t 2(lna)2
=1,即 at 1 +t 2 -t 3 ln a=1,
at 3lna
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( 1 )
ln
所以t +t -t = lna ,
1 2 3
lna
( 1 )
ln
因为a∈(2,e),所以ln 2<ln a<1,所以1< 1
<
1
<2<a,所以0<
lna <1,所以t
1
+t
2
-
lna ln2 lna
t >0,即t +t >t ,故④正确.
3 1 2 3
综上,所有正确结论的序号是①②④.
第 6 页 共 6 页
