文档文本内容
A
版
高
考
数
学
／
３２
３．６ 函数与方程及函数的综合应用
§
２．三种增长型函数模型的性质比较
函数 ｙ ＝ ａｘ ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ ｙ ＝ ｘα
性质
（ａ ） （ａ ） （α ）
考点一 函数的零点 在（ ， ） ＞１ ＞１ ＞０
０ ＋∞ 增函数 增函数 增函数
１．函数的零点 上的增减性 ① ②
函数零点的定义 对于函数ｙ ｆ ｘ 把使 ｆ（ｘ） 的 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
（１） ： ＝ （ ）， ① ＝０
实数ｘ叫做函数ｙ ｆ ｘ 的零点．
＝ （ ） 随ｘ值的增大图 随ｘ值的增大图
三个等价关系 方程ｆ ｘ 有实数根 函数ｙ ｆ ｘ 的图 图象的 随α值变
（２） ： （ ）＝０ ⇔ ＝ （ ） 象与 ｙ轴接近 象与ｘ轴接近于
象与 ② ｘ轴 有交点 ⇔ 函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 有 ③ 零点 ． 变化 ③ 于 平行 ④ 平行 化而不同
２．函数零点存在性定理
联系 存在一个ｘ 当ｘ ｘ 时 有 ｘ ｘα ａｘ
ｙ ＝ ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 上的图象是连续不间断 ０， ＞ ０ ， ｌｏｇａ ＜ ＜
（ ） ［ ， ］
→的一条曲线 ３．“对勾”函数的性质
条件 ａ
端点值满足ｆ ａ ｆ ｂ ＜ 函数ｆ ｘ ｘ ａ ．
→ （ ）·（ ） ０ （ ）＝ ＋ ｘ （ ＞０）
结论 存在ｘ ａ ｂ 使得ｆ ｘ ＝
→ ０ ∈（ ， ）， （ ０） ０ 该函数在 ａ 和 ａ 上单调递增 在
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在 （１） （－∞，－ ］ ［ ，＋∞） ，
ａ 和 ａ 上单调递减．
零点 并不能判断零点的个数 但如果函数在区间上是单调函 （－ ，０） （０， ）
， ，
当ｘ 时 ｘ ａ时取最小值 ａ
数 则该函数在区间上至多有一个零点． （２） ＞０ ， ＝ ２ ；
，
注 函数零点存在性定理在新教材中叫零点存在定理． 当ｘ 时 ｘ ａ时取最大值 ａ．
： ＜０ ， ＝－ －２
３．二分法 ４．解函数应用题的步骤（四步八字）
对于区间 ａ ｂ 上连续不断的 且ｆ ａ ｆ ｂ 的函 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步
（１） ［ ， ］ ， （ ）· （ ）＜０ （１） ： ， ， ，
数ｙ ｆ ｘ 通过不断地把函数 ｆ ｘ 的零点所在的区间一分为 选择数学模型
＝ （ ）， （ ） ；
二 使区间的两个端点逐步逼近零点 从而得到零点近似值的方 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为
， ， （２） ： ，
法 叫做二分法． 符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型
， ， ；
用二分法求函数ｆ ｘ 零点近似值的步骤 求模 求解数学模型 得出数学结论
（２） （ ） （３） ： ， ；
第一步 确定区间 ａ ｂ 验证 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ） 给定精确 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．
， ［ ， ］， ④ ＜０ ， （４） ：
度 以上过程用框图表示如下
ε； ：
第二步 求区间 ａ ｂ 的中点ｃ
， （ ， ） ；
第三步 计算ｆ ｃ
， （ ）：
若ｆ ｃ 则ｃ就是函数的零点
（ｉ） （ ）＝０， ；
若ｆ ａ ｆ ｃ 则令ｂ ｃ 此时零点ｘ ａ ｃ
（ｉｉ） （ ）·（ ）＜０， ＝ （ ０∈（ ， ））；
若ｆ ｃ ｆ ｂ 则令ａ ｃ 此时零点ｘ ｃ ｂ
（ｉｉｉ） （ ）·（ ）＜０， ＝ （ ０∈（ ， ））；
第四步 判断是否达到精确度 即若 ａ ｂ 则得到零点
， ε， ｜ － ｜＜ε，
近似值ａ 或ｂ 否则 重复第二 三 四步．
（ ）； ， 、 、
考点二 函数模型及函数的综合应用
１．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ｆ ｘ ａｘ ｂ ａ ｂ为常数 ａ
（ ）＝ ＋ （ ， ， ≠０）
二次函数模型 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ ｂ ｃ为常数 ａ
（ ）＝ ＋ ＋ （ ， ， ， ≠０）
ｆ ｘ ｂａｘ ｃ ａ ｂ ｃ为常数
指数函数模型 （ ）＝ ＋ （ ， ， ，
ａ 且ａ ｂ
＞０ ≠１， ≠０）
ｆ ｘ ｂ ｘ ｃ
对数函数模型 （ ）＝ ｌｏｇａ ＋
ａ ｂ ｃ为常数 ａ 且ａ ｂ
（ ， ， ， ＞０ ≠１， ≠０）
幂函数模型 ｆ ｘ ａｘｎ ｂ ａ ｂ为常数 ａ ｎ
（ ）＝ ＋ （ ， ， ≠０， ≠０）
ａ
“对勾”函数模型 ｆ ｘ ｘ ａ
（ ）＝ ＋ ｘ （ ＞０）
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
３３
答案 （ ）Ｂ （ ）（ ， ）
１ ２ １ ２
方法总结 确定函数零点所在区间的方法
解方程法 当对应方程ｆ ｘ 易解时 可先解方程 然
考法一 函数零点的个数及所在区间的判断方法 （１） ： （ ）＝０ ， ，
后看求得的根是否落在给定区间上．
例１ （２０２０ 江苏如皋中学第一学期检测，２）函数
（１） 利用函数零点存在性定理 首先看函数ｙ ｆ ｘ 在区间
（２） ： ＝ （ ）
ｆ ｘ ｘ ２ 的零点所在的大致区间是 ａ ｂ 上的图象是否连续 再看是否有ｆ ａ ｆ ｂ ．若有 则函
（ ）＝ｌｎ － ｘ ＋１ （ ） ［ ， ］ ， （ ）·（ ）＜０ ，
数ｙ ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 内必有零点．
＝ （ ） （ ， ）
Ａ．（２，ｅ） Ｂ．（１，２） 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与ｘ轴在给定
（３） ： ，
Ｃ．（ｅ，３） Ｄ．（３，＋∞） 区间上是否有交点来判断．
( )ｘ
－２
设函数ｙ ｘ３ 与ｙ １ 的图象的交点为 ｘ ｙ 若 例２ 已知函数ｙ ｆ ｘ 是周期为 的周期函数 且当
（２） ＝ ＝ （ ０， ０）， （１） ＝ （ ） ２ ，
２ ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则函数Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 的零点
ｘ ｎ ｎ ｎ Ｎ 则ｘ 所在的区间是 ． ∈［－１，１］ ， （ ）＝２｜ ｜－１， （ ）＝ （ ）－｜ｌｇ ｜
０∈（ ， ＋１）， ∈ ， ０ 个数是
解题导引 解法一 利用零点存在性定理进行判断 解 （ ）
（１） ： ；
法二 利用图象法． Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１８
： （多选题）（２０２１ 届湖南衡阳一中第二次月考，１０）某
( )ｘ （２）
（２）
分别画出函数ｙ
＝
ｘ３ 与ｙ
＝
１ －２ 的图象
，
利用函数零
同学在研究函数ｆ ｘ
ｘ
ｘ Ｒ 时 给出下面几个结论 其
２ （ ）＝ ｘ （ ∈ ） ， ，
点存在性定理进行判断． １＋｜ ｜
中正确的有
（ ）
解析 （ ）解法一：由于ｆ（ ） ，ｆ（ ） ｆ ｘ 的图象关于原点对称
１ １ ＝ｌｎ１－２＋１＝０－２＋１＝－１ ２ Ａ． （ ）
若ｘ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ
，函数ｆ（ｘ） ｘ ２ 在（ ， ）上为单调 Ｂ． １≠ ２， （ １）≠（ ２）
＝ｌｎ２－１＋１＝ｌｎ２＞０ ＝ｌｎ － ｘ ＋１ ０ ＋∞ ｆ ｘ 的值域为
Ｃ． （ ） （－１，１）
增函数，所以ｆ（ｘ）的零点所在区间为（ ， ），故选 ． 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ仅有一个零点
１ ２ Ｂ Ｄ． （ ）＝ （ ）－
{ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
函数ｆ ｘ ｌｎ － ＋２ ， ＞０，的零点个数是 ．
（３） （ ）＝ ｘ ｘ
４ ＋１， ≤０
解题导引 函数Ｆ ｘ 的零点个数就是函数ｙ ｆ ｘ 与
（１） （ ） ＝ （ ）
ｙ ｘ 图象交点的个数 作出函数图象 结合图象确定零点的
＝｜ｌｇ ｜ ， ，
个数．
（２）
画出函数的图象 结合图象确定零点的个数．
解法二：方程 ｘ ２ 的根为ｆ（ｘ） ｘ ２ 的零 （３） ，
ｌｎ － ｘ ＋１＝０ ＝ｌｎ － ｘ ＋１ 解析 （ ）由Ｆ（ｘ） 得ｆ（ｘ） ｘ ，所以函数 Ｆ（ｘ）
１ ＝ ０ ＝ ｜ｌｇ ｜ ＝
ｆ（ｘ） ｘ 的零点个数就是函数ｙ ｆ（ｘ）与ｙ ｘ 图象交点的
点，即函数ｆ（ｘ）的零点所在区间是函数ｙ ｘ 与ｙ ２ 的图 －｜ｌｇ ｜ ＝ ＝｜ｌｇ ｜
＝ｌｎ ＋１ ＝ ｘ 个数．作出函数图象，如图所示：
象交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示：
由图可知ｆ（ｘ） ｘ ２ 的零点所在区间为（ ， ），故
＝ ｌｎ － ｘ ＋１ １ ２
选 ．
Ｂ
( )ｘ －２
（ ）设ｆ（ｘ） ｘ３ １ ，则ｘ 是函数ｆ（ｘ）的零点，在同一 当 ｘ 时，有 个交点；当ｘ 时， ｘ ，所以此
２ ＝ － ０ ０＜ ≤１０ １０ ＞１０ ｜ｌｇ ｜＞１
２ 时函数ｙ ｆ（ｘ）与ｙ ｘ 的图象无交点．故函数Ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）
( )ｘ －２ ＝ ＝｜ｌｇ ｜ ＝ －
坐标系下画出函数ｙ ｘ３ 与ｙ １ 的图象如图所示． ｘ 的零点个数是 ．
＝ ＝ ｜ｌｇ ｜ １０
２ （ ）函数ｆ（ｘ）的定义域为全体实数，
２
ｘ ｘ
ｆ（ ｘ） － ｆ（ｘ），
－ ＝ ｘ ＝－ ｘ ＝－
１＋｜－ ｜ １＋｜ ｜
所以ｆ（ｘ）是奇函数，图象关于原点对称，故 正确；
Ａ
ｘ
选项 ，当ｘ 时，ｆ（ｘ） １ ，显然函数单调递增，
Ｂ ≥０ ＝ ｘ＝１－ ｘ
１＋ １＋
此时 ｆ（ｘ） ；
０≤ ＜１
ｘ 当ｘ 时， ｆ（ｘ） １ ，显然函数单调递增，此时
因为ｆ（ ） ( １ ) －１ ， ｆ（ ） ( １ ) ０ ， ＜０ ＝ １－ ｘ＝－１＋ １－ ｘ
１ ＝１－ ＝－１＜０ ２ ＝８－ ＝７＞０ ｆ（ｘ） ，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若ｘ
２ ２ －１＜ ＜０ １
所以ｆ（ ）ｆ（ ） ，所以ｘ （ ， ）． ｘ ，则ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）是正确的，本选项是正确的；
１ ２ ＜０ ０∈ １ ２ ≠ ２ １ ≠ ２
A
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选项 ，由选项 的分析可以知道本选项是正确的；
Ｃ Ｂ
ｘ ｘ ｘ
选项 ，ｇ（ｘ） ｆ（ｘ） ｘ ｆ（ｘ） ｘ ｘ － ｜ ｜
Ｄ ＝ － ＝０⇒ ＝ ⇒ ｘ ＝ ⇒ ｘ ＝０
１＋｜ ｜ １＋｜ ｜
ｘ ，只有一个零点， 正确．
⇒ ＝０ Ｄ
（ ）当ｘ 时，作函数ｙ ｘ和ｙ
３ ＞０ ＝ｌｎ
ｘ２ ｘ的图象，如图．由图知，当ｘ
＝ －２ ＞０
时， ｆ（ｘ）有 个零点；
２
答案 Ｂ
当ｘ 时，由ｆ（ｘ） 得ｘ １ ．
≤０ ＝０ ＝－ 解题关键 将ｘ ｘ 分别看成ｙ ｘ ｙ ｘ的图象与直线
４ １， ２ ＝２ ， ＝ｌｏｇ２
综上， ｆ（ｘ）有 个零点． ｙ ｘ的交点的横坐标 结合ｙ ｘ ｙ ｘ的图象关于直线ｙ
３ ＝２－ ， ＝２ ， ＝ｌｏｇ２
答案 （ ）Ｂ （ ）ＡＢＣＤ （ ） ｘ对称得到ｘ ｘ 是解题的关键．
１ ２ ３ ３ ＝ １＋ ２＝２
方法总结 判断函数零点个数的常用方法
例 （２０２０浙江杭州期末，１６）已知函数 ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
－９
ｘ
，
ｇ
ｘ ｘ２ ａ ａ Ｒ ．若方程 ｆ ｘ ｇ ｘ 有三个不同的实数解
解方程法 令ｆ ｘ 如果有解 则有几个不同的解就有几个 （ ）＝３ ＋ （ ∈ ） （ ）＝ （ ）
（１） ： （ ）＝０， ， ｘ ｘ ｘ 且它们可以构成等差数列 则ａ ．
零点． １， ２， ３， ， ＝
解析 本题考查方程的根与函数的零点的关系，根据根与
函数零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 ａ
（２） ： ［ ，
ｂ ］ 上的图象连续 ， 且ｆ （ ａ ）· ｆ （ ｂ ）＜０， 还必须结合函数的图象和 系数的关系设Ｆ（ｘ） ＝ （ｘ － ｘ １ ）（ｘ － ｘ ２ ）（ｘ － ｘ ３ ）是关键，考查了学生
性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少
的计算能力，属于中档题．
（ 、 、 、 ）
个零点． 令Ｆ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ） － ｇ（ｘ） ＝ ｘ３ －３ ｘ２ －９ ｘ － ａ，则Ｆ（ｘ） ＝０ 有三个不
（３） 数形结合法 ： 转化为两个函数图象的交点的个数问题 ， 同的实数解ｘ １ ，ｘ ２ ，ｘ ３ ，且ｘ １ ，ｘ ２ ，ｘ ３ 成等差数列，设ｘ １＝ ｘ ２－ ｄ，ｘ ３＝
有几个交点就有几个不同的零点． ｘ ｄ，则Ｆ（ｘ） ［ｘ （ｘ ｄ）］（ｘ ｘ ）［ｘ （ｘ ｄ）］ ｘ３ ｘ ｘ２
２＋ ＝ － ２－ － ２ － ２＋ ＝ －３ ２ ＋
经典例题教师用书 （ ｘ２ ｄ２）ｘ ｘ３ ｘ ｄ２．
３ ２－ － ２＋ ２
例 （２０２０云南大理、丽江、怒江一模，１１）设函数ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ ì ïï－３ ｘ ２＝－３ ，
＋
ｘ
－２，
ｇ
（
ｘ
）＝ｌｎ
ｘ
＋
ｘ２
－３
．若实数ａ
，
ｂ满足ｆ
（
ａ
）＝０，
ｇ
（
ｂ
）＝０，
则 对照ｘ各次方的系数，可知í
ïï３
ｘ２
２－
ｄ２
＝－９
， 得ａ
＝－１１
．
î ｘ３ ｘ ｄ２ ａ，
（ ） － ２＋ ２ ＝－
ｇ ａ ｆ ｂ ｆ ｂ ｇ ａ 答案
Ａ． （ ）＜０＜（ ） Ｂ． （ ）＜０＜ （ ） －１１
Ｃ．０＜ ｇ （ ａ ）＜ ｆ （ ｂ ） Ｄ． ｆ （ ｂ ）＜ ｇ （ ａ ）＜０ 一题多解 三次方程的韦达定理的应用 由题可知ｘ ｘ
（ ） １， ２，
解析 易知函数ｆ（ｘ）单调递增， ｆ（
０
）
＝－１＜０
， ｆ（
１
）
＝ｅ－１＞
ｘ
３
为方程ｘ３
－３
ｘ２
－９
ｘ
－
ａ
＝０
的三个不等实根
，
且满足ｘ
１＋
ｘ
３＝２
ｘ
２，
，由ｆ（ａ） 知 ａ ；函数ｇ（ｘ）在定义域内单调递增，ｇ（ ） 而ｘ ｘ ｘ 所以 ｘ 即ｘ 所以 ａ 即ａ
０ ＝０ ０＜ ＜１ １ ＝ １＋ ２＋ ３＝３， ３ ２＝３， ２＝１， １－３－９－ ＝０， ＝
，ｇ（ ） ，由ｇ（ｂ） 知ｂ ， ｇ（ａ） ｇ（ ） ， ．
－２＜０ ２ ＝ｌｎ２＋１＞０ ＝０ ＞１ ∴ ＜ １ ＜０ －１１
ｆ（ｂ） ｆ（ ） ．故ｇ（ａ） ｆ（ｂ）． 例 （２０２０重庆一中摸底）已知偶函数ｙ ｆ ｘ ｘ Ｒ满足
＞ １ ＞０ ＜０＜ ＝ （ ）， ∈
答案 Ａ { ｘ ｘ
ｌｏｇ２ ， ＞０，
例 （２０２０广西桂林七星模拟，１０）设三个函数ｙ ＝２ ｘ ＋ ｘ －
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－３
ｘ
（
ｘ
≥０）
．若函数ｇ
（
ｘ
）＝ － １ ｘ ， ｘ ＜０，
则ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）－
ｇ
（
ｘ
）
ｙ ｘ ｘ 和ｙ ｘ３ ｘ２ ｘ 的零点分别为ｘ ｘ 和ｘ 则
２， ＝ｌｏｇ２ ＋ －２ ＝ －３ ＋３ －１ １， ２ ３， 的零点个数为
有 （ ）
（ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ Ａ．１ Ｂ．３
Ａ． １ ２≥ ３， １＋ ２≥２ ３
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ Ｃ．２ Ｄ．４
Ｂ． １ ２＜ ３， １＋ ２＝２ ３ 解析 本题考查分段函数零点个数的判断．ｙ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）的
ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ ＝ －
Ｃ． １ ２＞ ３， １＋ ２≤２ ３ 零点个数即为方程ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）的根的个数，即函数ｙ ｆ（ｘ）和ｙ
ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ ＝ ＝
Ｄ． １ ２＝ ３， １＋ ２≥２ ３ ｇ（ｘ）图象的交点个数，作出两函数图象，如图所示，由图象可
＝
解析 本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，考
知共有 个交点，故选Ｂ．
３
查了数学运算和直观想象的核心素养．
易知ｘ ．
３＝１
画出函数ｙ ｘ，ｙ ｘ与ｙ ｘ的图象如图，
＝２ ＝ｌｏｇ２ ＝２－
其中Ａ（ｘ ，ｙ ），Ｂ（ｘ ，ｙ ）分别是函数ｙ ｘ 与ｙ ｘ的图
１ １ ２ ２ ＝２ ＝ｌｏｇ２
象与直线ｙ ｘ的交点， 答案 Ｂ
＝２－
由于指数函数ｙ ａｘ 与ｙ ｘ（ａ 且ａ ）的图象关于
＝ ＝ｌｏｇａ ＞０ ≠１ 方法总结 研究函数的零点个数问题时 若解方程不易求
直线ｙ ｘ对称，且直线ｙ ｘ也关于直线ｙ ｘ对称， ，
＝ ＝２－ ＝ 解或者遇到超越方程时 应优先考虑数形结合．
所以交点Ａ、Ｂ关于直线ｙ
＝
ｘ对称，
例 （２０２０天津第
，
二十五中学模拟，９）已知函数 ｆ ｘ
（ ）＝
所以 ｘ １＋ ｘ ２ ｙ １＋ ｙ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ， { ２ ｘ ＋１， ｘ ≤０，则方程ｆ ｆ ｘ 的实数根的个数是
＝ ⇒２－ １＋２－ ２＝ １＋ ２ ｘ ｘ ［ （ ）］＝３ （ ） ２ ２
｜ｌｎ ｜， ＞０，
所以ｘ ｘ ．
１＋ ２＝２ Ａ．６ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
æｘ ｘ ö２ { ｘ ，ｘ ，
由基本不等式得ｘ ｘ ç １＋ ２÷ （ ｘ ｘ ），故选Ｂ． 解析 画出函数ｆ（ｘ） ２ ＋１ ≤０ 的图象，令ｔ ｆ（ｘ），易 １ ２＜è ø ＝１ ０＜ １＜ ２ ＝ ｘ ，ｘ ＝
２ ｜ｌｎ ｜ ＞０
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
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知ｆ（ｔ） 有两解ｔ （ ， ），ｔ （ ， ），则ｔ ｆ（ｘ）， ｔ ｆ
＝ ３ １∈ ０ １ ２∈ １ ＋∞ １＝ ２＝
（ｘ）分别有 个解， 个解，故方程ｆ［ｆ（ｘ）］ 的实数根的个数
３ ２ ＝３
是 ．故选 ．
３＋２＝５ Ｄ
（ ）若ａ ，当ｘ ， ｆ（ｘ） ｘ ａ恰有一个零点 ａ时，有
{ａ ，
３ ＞０ ＜１ ＝２ － ｌｏｇ２
＜２
答案 Ｄ ａ ， 解得 １ ａ ；
＜１ ≤ ＜１
ａ ， ２
２ ≥１
考法二 函数零点性质的应用 {ａ ，
当ｘ ， ｆ（ｘ） ｘ ａ无零点时，有 ≥２ 解得ａ ．
例３ （１） 已知函数ｆ （ ｘ ）＝２ ｘ ＋ ｘ ， ｇ （ ｘ ）＝ ｘ －ｌｏｇ１ ２ ｘ ， ｈ （ ｘ ）＝ 若ａ ＜１ ，当ｘ ＝２ 时 － ， ｆ（ｘ）无零点； １≤ ａ ＜２ ａ， ≥２
系 ｌｏｇ 是 ２ ｘ － ｘ （０＜ ｘ ＜１０） 的零点分别为ｘ １， ｘ ２， ｘ ３， 则ｘ １， ｘ ２， ｘ ３ 的大小关 当ｘ ≤０ 时，由 ＜ 题 １ 意知应恰有两个零点，所以 {ａ ≥１ ， 无解．
（ ） ≥１ ａ ，
２ ≥１
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ． １＞ ２＞ ３ Ｂ． ２＞ １＞ ３ 综上，１ ａ 或ａ ．
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ≤ ＜１ ≥２
Ｃ． １＞ ３＞ ２ Ｄ． ３＞ ２＞ １ ２
{ ｘ ｘ
已知函数ｆ ｘ ２－｜ ｜， ≤２，函数ｇ ｘ ｂ ｆ ｘ 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｄ （ ） １ ａ 或ａ
（２） （ ）＝ ｘ ２ ｘ （ ）＝ － （２－ ）， １ ２ ３ ≤ ＜１ ≥２
（ －２） ， ＞２， ２
其中ｂ Ｒ．若函数ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 恰有 个零点 则ｂ的取值范围 方法总结 零点性质的应用
∈ ＝ （ ）－ （ ） ４ ，
是 已知函数有零点 方程有根 求参数的值或取值范围常用的
（ ） （ ）
( ) ( ) ( ) ( ) 方法和思路
７ ７ ７ ７ ：
Ａ． ，＋∞ Ｂ． －∞， Ｃ． ０， Ｄ． ，２ 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式
４ ４ ４ ４ （１） ：
{ ｘ ａ ｘ 组 再通过解不等式 组 确定参数范围
设函数ｆ ｘ ２ － ， ＜１， 若ｆ ｘ 恰有 个 （ ）， （ ） ；
（３） （ ）＝ ｘ ａ ｘ ａ ｘ ． （ ） ２ 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数最值问题加
４（ － ）（ －２ ）， ≥１ （２） ： ，
零点 则实数ａ的取值范围是 ． 以解决
， ；
解题导引 分别作出函数ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系
（１） ＝２ ， ＝－ ， ＝ ， ＝ｌｏｇ１ ２ ， （３） ： ，
中画出函数的图象 然后数形结合进行求解．
ｙ ｘ ｙ ｘ的图象 结合图象确定ｘ ｘ ｘ 的大小关系． ，
＝ｌｏｇ２ ， ＝ ， １， ２， ３ 经典例题教师用书
例 （２０２０ 天津南开一模，９） 已知函数 ｆ ｘ
（ ） ＝
（２） { ｘ２
ｘ
ｘ ， ≤０， 若方程ｆ ｘ ａｘ有 个不同的实数根
根据题意 对ａ进行分类讨论 根据零点个数确定实数 －１ （ ）＝ ４ ，
（３） ， ， ｘ３ ａ ｘ２ ａｘ ｘ
ａ的取值范围． －（ ＋１） ＋２ ， ＞０，
则实数ａ的取值范围是
解析 （ ）由ｆ（ｘ） ｘ ｘ ，ｇ（ｘ） ｘ ｘ ， （ ）
１ ＝２ ＋ ＝０ ＝ －ｌｏｇ１ ２ ＝０ Ａ．（－１，０） Ｂ．（０，１） Ｃ．（０，１］ Ｄ．（１，＋∞）
ｈ（ｘ） ＝ｌｏｇ２ ｘ － ｘ ＝０ 得 ２ ｘ ＝－ ｘ，ｘ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ， ｌｏｇ２ ｘ ＝ ｘ． 解析 由题意知ｘ ＝０ 满足方程ｆ（ｘ） ＝ ａｘ，当ｘ ＜０ 时，只需
在坐标系中分别作出ｙ ＝２ ｘ，ｙ ＝－ ｘ，ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ｌｏｇ１ ２ ｘ，ｙ ＝ｌｏｇ２ ｘ，ｙ ｘ ａ有一个负根，即ｘ ａ ，解得 ａ ，
ｘ的图象，如图． ｘ ＝ ＝ａ ＜０ ０＜ ＜１
＝ －１ －１
当ｘ 时，只需ｘ２ （ａ ）ｘ ａ 有两个正根，方程可化为
＞０ － ＋１ ＋ ＝０
（ｘ ）（ｘ ａ） ，故两根为 ，ａ， ａ 且ａ ．综上可知，当 ａ
－１ － ＝０ １ ∴ ＞０ ≠１ ０＜
时，方程ｆ（ｘ） ａｘ有 个不同的实数根．故选 ．
＜１ ＝ ４ Ｂ
答案 Ｂ
思路分析 显然ｘ 满足方程ｆ ｘ ａｘ 然后当ｘ 时
＝０ （ ）＝ ， ≠０ ，
{ ｘ
ｆ ｘ ｘ
确定ａ （ ） ｘ ， ＜０， 有 个实根 显然在 ｘ
＝ ｘ ＝ －１ ３ ， ＜０
由图可知ｘ
１＜
ｘ
２＜
ｘ
３
． ｘ２
－（
ａ
＋１）
ｘ
＋２
ａ
，
ｘ
＞０
（ ）ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ，即ｂ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ），函数ｙ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ｘ
有 个 ２ 零点，可 － 转化 ＝ 为 ０ 直线ｙ ＝ ｂ与 ＋ ｙ ２ ｆ － （ｘ） ｆ（ ｘ ＝ ）的图象 － 有 时 ，ｘ ＝ ａ有一个负根 ， 在ｘ ＞０ 时 ， ｘ２ －（ ａ ＋１） ｘ ＋２ ａ ＝ ａ有两个正
４ ＝ ＝ ＋ ２－ ４ －１
{ｘ２ ｘ （ｘ ）， 根 进一步求解即可．
＋ ＋２ ＜０ ，
个不同的交点．又ｙ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） （ ｘ ）， 例 （２０２０ 陕西商洛模拟，１１） 已知函数 ｆ ｘ
＝ ＋ ２－ ＝ ２ ０≤ ≤２ （ ） ＝
ｘ２ －５ ｘ ＋８ （ｘ ＞２ ）． { － ｘ２ －４ ｘ ＋１， ｘ ≤０，若关于ｘ的方程 ｆ ２ ｘ ｍ ｆ ｘ ｍ
在同一直角坐标系中分别画出直线ｙ ｂ与ｙ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） － ｘ ｘ ． ２ （ ）－（２ ＋１） （ ）＋ ＝０
＝ ＝ ＋ ２－ ２－２ ， ＞０
恰有 个不同的实根 则ｍ的取值范围为
的图象（如图），可得 ７ ｂ ，故选 ． ３ ， （ ）
＜ ＜２ Ｄ
４
A
版
高
考
数
学
／
３６
求利润函数Ｐ ｘ 及边际利润函数ＭＰ ｘ
Ａ．（１，２） Ｂ．［２，５）∪｛１｝ （１） （ ） （ ）；
此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润
Ｃ．｛１，５｝ Ｄ．（２，５）∪｛１｝ （２）
本题考查函数与方程的应用 考查数形结合以及转化思想 最大 最大值为多少 精确到 ．
， ， ？ （ ０１）
的应用 考查了直观想象和数学运算的核心素养． 求ｘ为何值时利润函数Ｐ ｘ 取得最大值 并解释边际
， （３） （ ） ，
由 ｆ ２ ｘ ｍ ｆ ｘ ｍ ｆ ｘ ｆ ｘ ｍ 得ｆ ｘ 利润函数ＭＰ ｘ 的实际意义．
２ （ ）－（２ ＋１） （ ）＋ ＝［２（ ）－１］［ （ ）－ ］＝０， （ ）＝ （ ）
１ 或ｆ ｘ ｍ．作出ｙ ｆ ｘ 的图象 如图所示．
解析 （
１
）由题意知，ｘ
∈
［
１
，
１００
］且ｘ
∈
Ｎ∗，
（ ）＝ ＝ （ ） ，
２ Ｐ（ｘ） Ｒ（ｘ） Ｃ（ｘ） ｘ ｘ２ （ ｘ ） ｘ２
＝ － ＝３ ０００ －２０ － ５００ ＋４ ０００ ＝－２０ ＋
ｘ ，
２５００ －４０００
ＭＰ（ｘ） Ｐ（ｘ ） Ｐ（ｘ） （ｘ ）２ （ｘ ）
＝ ＋１ － ＝－２０ ＋１ ＋２ ５００ ＋１ －４ ０００－
（ ｘ２ ｘ ） ｘ．
－２０ ＋２５００ －４０００ ＝２４８０－４０
Ｐ（ｘ） ( )
（ ）每台医疗器材的平均利润为 ｘ ４０００
２ ｘ ＝－ ２０ ＋ ｘ ＋
，
２５００≤－４００ ２＋２５００
当且仅当ｘ 时等号成立．
＝１０ ２
因为ｘ Ｎ∗，
∈
由图可知，方程ｆ（ｘ） １ 有 个实根，故方程ｆ（ｘ） ｍ有 所以当每月生产 台机器时，每台的平均利润约为 ．
＝ １ ＝ ２ １４ １９３４３
２ 万元，每月生产 台时，每台的平均利润约为 ． 万元，
个实根，故ｍ的取值范围为［ ， ） ｛ ｝．故选Ｂ． １５ １９３３３
２ ５ ∪ １ 故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大，为
解后反思 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以 １４ １
． 万元．
及转化思想的应用，是中档题． ９３４３
（ ）Ｐ（ｘ） ｘ２ ｘ （ｘ ． ）２ ，
例 （２０１８ 江西新余二模，１６） 已知函数 ｆ ｘ ３ ＝－２０ ＋２５００ －４０００＝－２０ －６２５ ＋７４１２５
（ ） ＝ 由ＭＰ（ｘ） ｘ ，得ｘ ，此时Ｐ（ｘ）随ｘ的增大
{ｘ ｘ ａ ＝２４８０－４０ ≥０ ≤６２
， ≥ ， 若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ａｘ恰有 个不同的零点 则实 而增大，
ｘ３ －３ ｘ ， ｘ ＜ ａ． （ ）＝２（ ）－ ２ ， 由ＭＰ（ｘ） ｘ ，得ｘ ，此时Ｐ（ｘ）随ｘ的增大
＝２４８０－４０ ≤０ ≥６２
数ａ的取值范围是 ． 而减小，
解析 ｇ（ｘ） ＝ { ２ （ ｘ ２ ３ － － ａ （ ） ６ ｘ ＋ ， ａ ｘ ） ≥ ｘ， ａ ｘ ， ＜ ａ． Ｍ ∴ Ｐ ｘ （ ＝ ｘ ６ ） ２ 反 或 映 ６ 了 ３ 时 产 ， 量 Ｐ 与 （ｘ 利 ）取 润 得 增 最 量 大 的 值 关 ． 系，从第二台开始，每多
显然，当ａ
＝２
时，ｇ（ｘ）有无穷多个零点，不符合题意； 生产一台医疗器材利润增量在减少．
当ｘ ａ时，令ｇ（ｘ） ，得ｘ ，
≥ ＝０ ＝０ 方法总结 一次函数 二次函数模型问题的常见类型及解
ａ 、
当ｘ ａ时，令ｇ（ｘ） ，得ｘ 或ｘ２ ６＋ ． 题策略
＜ ＝０ ＝０ ＝
２ 单一考查一次函数或二次函数模型．解决此类问题应注意
（ ）若ａ 且ａ ，则ｇ（ｘ）在［ａ， ）上无零点，在（ ，
１ ＞０ ≠２ ＋∞ －∞ 三点
ａ ：
ａ）上存在零点ｘ 和ｘ ６＋ ， 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决
＝０ ＝－ （１） ，
２ 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错
， ；
ａ
６＋ ａ，解得 ａ ， 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用
∴ ≥ ０＜ ＜２ （２） ， ，
２ 待定系数法
（ ）若ａ ，则ｇ（ｘ）在［ ， ）上存在零点ｘ ，在（ ， ；
２ ＝０ ０ ＋∞ ＝０ －∞ 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题．
（３） ，
０ ）上存在零点ｘ ＝－ ３ ，符合题意．（ ３ ）若 ａ ＜０ ，则 ｇ（ｘ）在［ａ， ＋ 例２ （２０２１届山东枣庄三中第一次月考，２１） 年某
）上存在零点ｘ ， ２０２０
∞ ＝０ 开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备
ｇ（ｘ）在（ ，ａ）上只有 个零点， （ ，ａ）， ，
∴ －∞ １ ∵０∉ －∞ 通过市场分析全年需投入固定成本 万元 生产ｘ 百辆
５ ０００ ， （ ），
ｇ（ｘ）在（ ，ａ）上的零点为ｘ ６＋ ａ ， 需 另 投 入 成 本 Ｃ （ ｘ ） 万 元 ， 且 Ｃ （ ｘ ） ＝
∴ －∞ ＝－ ２ { ｘ２ ｘ ｘ
１０ ＋２００ ，０＜ ＜５０，
ａ 由市场调研知 每辆车售价 万元
６＋ ａ，解得 ３ ａ ． ｘ １００００ ｘ ． ， ８ ，
∴ － ＜ － ＜ ＜０ ８０１ ＋ ｘ －９０００， ≥５０
２ ２
( ) 且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
综上，ａ的取值范围是 ３ ， ．
－ ２ 求出 年的利润Ｌ ｘ 万元 关于年产量ｘ 百辆
( ) ２ （１） ２０２０ （ ）（ ） （ ）
的函数关系式
答案 ３ ， ；
－ ２
年产量为多少百辆时 企业所获利润最大 并求
２ （２）２０２０ ， ？
出最大利润．
考法三 解函数应用题的方法
{ ｘ２ ｘ ， ｘ ，
例１ （２０２０山东潍坊期中）在经济学中
，
函数ｆ
（
ｘ
）
的边 解析 （
１
）由题意，知Ｌ（ｘ）
＝
－１０ ＋ ( ６
ｘ
００
１０
－５
００
０
０
０ ) ０
，
０
ｘ
＜ ＜５
．
０
际函数Ｍｆ ｘ 定义为Ｍｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ．某医疗设备公司生 ４０００－ ＋ ｘ ≥５０ （ ） （ ）＝ （ ＋１）－ （ ）
产某医疗器材
，
已知每月生产ｘ台
（
ｘ
∈
Ｎ∗
）
的收益函数为Ｒ
（
ｘ
）
（
２
）当
０＜
ｘ
＜５０
时，Ｌ（ｘ）
＝－１０
（ｘ
－３０
）２
＋４０００
，
ｘ ｘ２ 单位 万元 成本函数 Ｃ ｘ ｘ 单 当ｘ 时，Ｌ（ｘ） Ｌ（ ） ；
＝３０００ －２０ （ ： ）， （ ）＝ ５００ ＋４ ０００（ ＝３０ ｍａｘ＝ ３０ ＝４０００
位 万元 该公司每月最多生产 台该医疗器材 利润函数 ( )
： ）， １００ （ ＝ 当ｘ 时，Ｌ（ｘ） ｘ １００００ ，
收益函数 成本函数 ． ≥５０ ＝－ ＋ ｘ ＋４０００
－ ）
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
３７
型 再将已知有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型．
ｘ １００００ ｘ·１００００ ， ， ， ，
∵ ＋ ｘ ≥２ ｘ ＝２００ ｙ ａ ｘ ｎ 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
（３） ＝ （１＋ ）
例４ 某店销售进价为 元／件的产品Ａ 该店产品Ａ每日
当且仅当ｘ １００００， ２ ，
＝ ｘ 的销售量ｙ 单位 千件 与销售价格ｘ 单位 元／件 满足关系式
（ ： ） （ ： ）
即ｘ 时等号成立，
Ｌ（ ＝ ｘ １ ） ００ Ｌ（ ） ． ｙ ＝ｘ １０ ＋４（ ｘ －６） ２ ， 其中 ２＜ ｘ ＜６ ．
∴ ｍａｘ＝ １００ ＝３８００ －２
综上， 年产量为 百辆时，企业所获利润最大，且最大利润 若产品Ａ销售价格为 元／件 求该店每日销售产品Ａ
２０２０ ３０ （１） ４ ，
为 万元． 所获得的利润
４０００ ；
方法总结 １．解决分段函数模型问题应关注以下三点 试确定产品Ａ的销售价格 使该店每日销售产品Ａ所获
： （２） ，
实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给 得的利润最大． 保留 位小数
（１） （ １ ）
出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车车费与路程之间的 解题导引
， ，
关系 应构建分段函数模型求解
， ；
构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理不重不漏
（２） ， 、 ， ；
分段函数的最值是各段的最大 或最小 值中的最大 （１）
（３） （ ）
或最小 值．
（ ）
ｂ （２）
２．函数ｙ ａｘ 模型的应用
＝ ＋ ｘ 解析 （ ）当ｘ 时，ｙ １０ （ ）２ ，此时该店每日
１ ＝４ ＝ ＋４× ４－６ ＝２１
明确对勾函数是由正比例函数ｆ ｘ ａｘ与反比例函数 ２
（１） （ ）＝ 销售产品Ａ所获得的利润为（ ） 千元．
ｂ ４－２ ×２１＝４２
ｆ ｘ 叠加而成的 （ ）设该店每日销售产品Ａ所获得的利润为ｆ（ｘ）千元，
（ ）＝ ｘ ； ２
[ ]
ｂ 则ｆ（ｘ） （ｘ ）· １０ （ｘ ）２ （ｘ ）２（ｘ ）
解决实际问题时一般可以直接建立ｆ ｘ ａｘ 的模 ＝ －２ ｘ ＋４ －６ ＝１０＋４ －６ －２ ＝
（２） （ ）＝ ＋ ｘ －２
ｘ３ ｘ２ ｘ （ ｘ ），
ｂ ４ －５６ ＋２４０ －２７８ ２＜ ＜６
型
，
有时将所列函数解析式转化为ｆ
（
ｘ
）＝
ａｘ
＋ ｘ
的形式
；
从而ｆ ′（ｘ）
＝１２
ｘ２
－１１２
ｘ
＋２４０＝４
（
３
ｘ
－１０
）（ｘ
－６
）（
２＜
ｘ
＜６
）．
关注函数的定义域 取得最值时等号成立的条件． 令ｆ ′（ｘ） ，得ｘ １０，
（３） ， ＝０ ＝
例３ （２０２１ 届山东枣庄三中第一次月考（９ 月）） ３
２０１９ ( )
年 月 中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录 标志着中华 易知在 ，１０ 上， ｆ ′（ｘ） ，函数ｆ（ｘ）单调递增；在
７ ， ， ２ ＞０
五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市 ( ) ３
文明的范例 实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址 １０， 上， ｆ ′（ｘ） ，函数ｆ（ｘ）单调递减．
６ ＜０
，
３
年龄的过程中利用了 放射性物质因衰变而减少 这一规律．已
“ ” 所以ｆ（ｘ）在ｘ １０处取得极大值，即最大值．
知样本中碳 的质量Ｎ随时间ｔ 单位 年 的衰变规律满足Ｎ ＝
＝ Ｎ ０·２ －５７ ｔ ３０ （ Ｎ １ ０ ４ 表示碳 １４ 原有的质 （ 量 ）， 则 ： 经 ） 过 ５７３０ 年后 ， 碳 １４ 所以当ｘ １０ ３ ． 时，函数ｆ（ｘ）取得最大值．
的质量变为原来的 经过测定 良渚古城遗址文物样本 ＝ ≈３３
； ， ３
故当销售价格为 ． 元／件时，利润最大．
中碳 的质量是原来的 １ 至 ３ 据此推测良渚古城存在的时期 ３３
１４ ， 方法总结 解决函数模型的实际应用题 首先应考虑该题
２ ５
，
距今约在 年到 年之间． 参考数据 ．
５７３０ （ ：ｌｏｇ２３≈１５８５， 考查的是何种函数 并要注意定义域 然后结合所给模型 列出
． ， ， ，
ｌｏｇ２５≈２３２２） 函数关系式 最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解
，
解析 当ｔ 时，Ｎ Ｎ · －１ １ Ｎ ， 题步骤是解题的必要基础
＝５７３０ ＝ ０ ２ ＝ ０ ：
２
经过 年后，碳 的质量变为原来的 １ ．
∴ ５７３０ １４
２
经典例题教师用书
令Ｎ ３ Ｎ ，
＝ ０ 例 （２０２０海南天一大联考一模，８）如图 矩形花园ＡＢＣＤ ５ ，
ｔ 的边ＡＢ靠在墙ＰＱ上 另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园
则 － ３ ，
２ ５７３０＝ ， 的面积为 平方米 墙ＰＱ足够长 则围成该花园所需要篱笆的
５ ４ ， ，
ｔ
３ ． ． ． （ ）
∴ － ＝ｌｏｇ２ ＝ｌｏｇ２３－ｌｏｇ２５≈１５８５－２３２２＝－０７３７，
５７３０ ５
ｔ ．
∴ ＝０７３７×５７３０≈４２２３，
良渚古城存在的时期距今约在 年到 年之间．
∴ ４２２３ ５７３０
答案 １ ；
４２２３
２
方法总结 应用指数函数模型的关注点
：
指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考
（１） 最大长度为 米 最大长度为 米
查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题 Ａ． ８ Ｂ． ４ ２
， 、 、
可以利用指数函数模型来解决． 最小长度为 米 最小长度为 米
Ｃ． ８ Ｄ． ４ ２
应用指数函数模型的关键是对模型的判断 先设定模 解析 设ＢＣ ａ米，ＣＤ ｂ米，则ａｂ ，
（２） ， ＝ ＝ ＝４
A
版
高
考
数
学
／
３８
当ｘ 时，ｙ ［ （ｘ ）］ｘ ｘ２ ｘ ．
所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为 ａ ｂ ａ ４ ＞６ ＝ ５０－３ －６ －１１５＝－３ ＋６８ －１１５
２ ＋ ＝２ ＋ ａ ≥ 令 ｘ２ ｘ ，有 ｘ２ ｘ ．
－３ ＋６８ －１１５＞０ ３ －６８ ＋１１５＜０
解不等式得 ｘ （ｘ Ｎ∗），
ａ· ４ ， ２≤ ≤２０ ∈
２ ２ ａ ＝４ ２ ｘ （ｘ Ｎ∗），
∴６＜ ≤２０ ∈
当且仅当 ２ ａ ＝ ａ ４ ，即ａ ＝ ２ 时取等号． 故ｙ ＝ { ５０ ｘ ｘ － ２ １１５ （ ｘ ３≤ ｘ ≤ （ ６ ， ｘ ｘ ∈ Ｎ ， ∗ ｘ ）， Ｎ∗）， 定义域为｛ｘ ｜３≤ ｘ
故选 －３ ＋６８ －１１５ ６＜ ≤２０ ∈
Ｄ． ，ｘ Ｎ∗｝．
≤２０ ∈
答案 Ｄ
（ ）对于ｙ ｘ （ ｘ ，ｘ Ｎ∗），显然当 ｘ 时，
２ ＝５０ －１１５ ３≤ ≤６ ∈ ＝６
例 某企业生产Ａ Ｂ两种产品 根据市场调查与预测 Ａ产品的
ｙ ．
利 润与投资成正比
，
其关系如图
，
Ｂ产品的利润与投
，
资的算术
ｍａｘ＝１８５
( )
， ①； ２
平方根成正比 其关系如图 注 利润和投资单位 万元 ． 对于ｙ ＝－３ ｘ２ ＋６８ ｘ －１１５＝－３ ｘ － ３４ ＋ ８１１（ ６＜ ｘ ≤２０ ，ｘ ∈
， ②（ ： ： ）
３ ３
分别将Ａ Ｂ两种产品的利润表示为投资的函数关系式
（１） ， ； Ｎ∗），
已知该企业已筹集到 万元资金 并将全部资金投入
（２） １８ ， 当ｘ 时，ｙ ．
Ａ Ｂ两种产品的生产中． ＝１１ ｍａｘ＝２７０
， 又 ，
若平均投入生产两种产品 可获得多少利润 ∵２７０＞１８５
① ， ？ 当每辆自行车的日租金定为 元时，才能使一日的净收
如果你是厂长 怎样分配这 万元投资 才能使该企业 ∴ １１
② ， １８ ， 入最多．
获得最大利润 其最大利润为多少万元
？ ？ 例 稿酬所得以个人每次取得的收入 定额或定率减除规
，
定费用后的余额为应纳税所得额 每次收入不超过 元 定
， ４ ０００ ，
额减除费用 元 每次收入在 元以上的 定率减除 ％
８００ ； ４ ０００ ， ２０
的费用．适用 ％的比例税率 并按规定对应纳税额减征 ％
２０ ， ３０ ，
计算公式为
：
每次收入不超过 元的 应纳税额 每次收入额
（１） ４０００ ： ＝（ －
解析 （ ）设Ａ，Ｂ两种产品都投资ｘ万元（ｘ ）， ％ ％
１ ≥０ ８００）×２０ ×（１－３０ ）；
所获利润分别为ｆ（ｘ）万元、ｇ（ｘ）万元， 每次收入在 元以上的 应纳税额 每次收入额
（２） ４ ０００ ： ＝ ×
％ ％ ％ ．
由题意可设ｆ（ｘ） ｋ ｘ，ｇ（ｘ） ｋ ｘ， （１－２０ ）×２０ ×（１－３０ ）
＝ １ ＝ ２ 已知某人出版一份书稿 共纳税 元 这个人应得稿费
根据题图可得ｆ（ｘ） ． ｘ（ｘ ），ｇ（ｘ） ｘ（ｘ ）． ， ２８０ ，
＝０２５ ≥０ ＝２ ≥０ 扣税前 为 元．
（ ） 由（ ）得ｆ（ ） ． ，ｇ（ ） ， （ ）
２ ① １ ９ ＝２２５ ９ ＝２ ９＝６ 解析 设这个人应得稿费（扣税前）为ｘ元．
故总利润ｙ ． （万元）．
＝８２５ 当ｘ 时，（ｘ ） ％ （ ％） ，
设Ｂ产品投入ｘ万元，Ａ产品投入（ ｘ）万元，该企业可 ① ≤４０００ －８００ ×２０ × １－３０ ＝２８０
② １８－ 解得ｘ ．
获总利润为ｙ万元， ＝２８００
当ｘ 时，ｘ（ ％） （ ％） ％ ，
② ＞４０００ １－２０ × １－３０ ×２０ ＝２８０
则ｙ
＝
４
１ （
１８－
ｘ）
＋２
ｘ，
０≤
ｘ
≤１８
． 解得ｘ
＝２５００
（舍去）．
综上，ｘ ．
令 ｘ ｔ，ｔ ［ ， ］， ＝２８００
＝ ∈ ０ ３ ２ 故这个人应得稿费（扣税前）为 元．
２８００
则ｙ
＝
１ （
－
ｔ２
＋８
ｔ
＋１８
）
＝－
１ （ｔ
－４
）２
＋
１７．
答案
４ ４ ２ ２８００
例 （２０１９湖北荆州质量检查（一），２０）为响应国家提出
故当ｔ 时，ｙ １７ ． ，
＝４ ｍａｘ＝ ＝８５ 的 大众创业 万众创新 的号召 小李大学毕业后 决定利用所
２ “ ， ” ， ，
此时ｘ ， ｘ ．所以当Ａ，Ｂ两种产品分别投入 万元、 学专业进行自主创业．经过市场调查 生产某小型电子产品需投
＝１６ １８－ ＝２ ２ ，
万元时，可使该企业获得最大利润 ． 万元． 入年固定成本为 万元 每年生产ｘ万件 需另投入流动成本为
１６ ８５ ５ ， ，
例 为了迎接世博会 某旅游区提倡低碳生活 在景区提供 ì
自行车 出租．该景区有 辆
，
自行车供游客租赁使用
，
管理这些自
ï
ï
１ ｘ２
＋４
ｘ
，０＜
ｘ
＜８，
５０ ， Ｃ ｘ 万元 且Ｃ ｘ í２ 每件产品售价为 元．
行车的费用是每日 元．根据经验 若每辆自行车的日租金不 （ ） ， （ ）＝ï １０
１１５ ， ï ｘ ４９ ｘ
超过 元 则自行车可以全部租出 若超过 元 则每超出 元 î１１ ＋ ｘ －３５， ≥８，
６ ， ； ６ ， １ ，
租不出的自行车就增加 辆．为了便于结算 每辆自行车的日租 经市场分析 生产的产品当年能全部售完．
３ ， ，
金ｘ 元 只取整数 并且要求出租自行车一日的总收入必须高 写出年利润Ｐ ｘ 万元 关于年产量ｘ 万件 的函数解
（ ） ， （１） （ ）（ ） （ ）
于这一日的管理费用 用ｙ 元 表示出租自行车的日净收入 即 析式 注 年利润 年销售收入 固定成本 流动成本
， （ ） （ ；（ ： ＝ － － ）
一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得 ． 当年产量为多少万件时 小李在这一产品的生产中所获
） （２） ，
求函数ｙ ｆ ｘ 的解析式及其定义域 利润最大 最大利润是多少
（１） ＝ （ ） ； ？ ？
试问当每辆自行车的日租金定为多少元时 才能使一日 解析 （ ）因为每件产品售价为 元，
（２） ， １ １０
的净收入最多
？ 所以ｘ万件产品的销售收入为 ｘ万元，
１０
解析 （ ）当ｘ 时，ｙ ｘ ． ( )
令 ｘ
１
，
≤
解
６
得ｘ
＝
．
５
．
０ －１１５ 依题意得，当
０＜
ｘ
＜８
时，Ｐ（ｘ）
＝ １０
ｘ
－
１ ｘ２
＋４
ｘ
－５＝－
１ ｘ２
５０ －１１５＞０ ＞２３ ２ ２
ｘ Ｎ∗， ( ) ( )
∵ ∈ ｘ ，当ｘ 时，Ｐ（ｘ） ｘ ｘ ４９ ｘ ４９ ，
ｘ ，ｘ Ｎ∗． ＋６ －５ ≥８ ＝１０ － １１ ＋ ｘ －３５ －５＝３０－ ＋ ｘ
∴３≤ ≤６ ∈
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
３９
ì
ï
ï－
１ ｘ２
＋６
ｘ
－５
，
０＜
ｘ
＜８
， 污垢的 ３
，
要使存留的污垢不超过
１
％
，
则至少要洗的次数是
所以Ｐ（ｘ） í ２ ４
＝ï ( ) 参考数据 ．
ï ｘ ４９ ，ｘ ． （ ：ｌｇ２≈０３０１） （ ）
î３０－ ＋ ｘ ≥８
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
( )ｘ
（ ）当 ｘ 时，Ｐ（ｘ） １ （ｘ ）２ ， 解析 设洗衣次数为 ｘ，则 ３ １ ， ｘ １
２ ０＜ ＜８ ＝－ －６ ＋１３ １－ ≤ ∴ ≥ ≈
２ ４ １００ ｌｇ２
当ｘ 时，Ｐ（ｘ）取得最大值Ｐ（ ） ， ． ，因此至少需要洗 次，故选 ．
＝６ ６ ＝１３ ３３２２ ４ Ｂ
答案 Ｂ
当ｘ 时，Ｐ′（ｘ） ４９ ，
≥８ ＝－１＋ｘ２＜０ 例 我们处在一个有声世界里 不同场合 人们对声音的音
， ，
所以Ｐ（ｘ）为减函数，
量会有不同要求．音量大小的单位是分贝 对于一个强度为
（ｄＢ），
Ｉ
所以当ｘ 时，Ｐ（ｘ）取得最大值Ｐ（ ） １２７，因为 １２７， Ｉ的声波 其音量的大小η可由如下公式计算 η 其中
＝８ ８ ＝ １３＜ ， ： ＝１０ｌｇ Ｉ （
８ ８
故当年产量为 万件时，小李在这一产品的生产中所获利 Ｉ 是人耳能听到声音的最低声波强度 则 的声音 ０ 的声波
８ ０ ）， ７０ ｄＢ
强度Ｉ 是 的声音的声波强度Ｉ 的
润最大，最大利润为１２７ 万元． １ ６０ ｄＢ ２ （ ）
例 （２０１７江苏
８
常州教育学会学业水平检测）某辆汽车以 Ａ．
７ 倍
Ｂ．１０
７ ６倍
６
ｘ千米／时的速度在高速公路上匀速行驶 考虑到高速公路行车
（ 倍 ７
安全要求 ｘ 时 每小时的耗油量 所需要的汽油量 Ｃ．１０ Ｄ．ｌｎ
６０≤ ≤１２０） ， （ ） ６
为 １ ( ｘ ｋ ４５００ ) 升 其中ｋ为常数 且 ｋ ． 解析 由η Ｉ 得Ｉ Ｉ １ η ０，
－ ＋ ｘ ， ， ６０≤ ≤１００ ＝１０ｌｇ Ｉ ＝ ０１０
５ ０
若汽车以 千米／时的速度行驶时 每小时的耗油量 所以Ｉ Ｉ ７，Ｉ Ｉ ６，
（１） １２０ ， １＝ ０１０ ２＝ ０１０
为 ． 升 欲使每小时的耗油量不超过 升 求ｘ的取值范围 Ｉ
１１５ ， ９ ， ； 所以 １ ，
求该汽车行驶 千米的耗油量的最小值． Ｉ ＝１０
（２） １００ ２
( ) 所以 的声音的声波强度Ｉ 是 的声音的声波强
解析 （ ）由题意知，当ｘ 时， １ ｘ ｋ ４５００ ． ， ７０ ｄＢ １ ６０ ｄＢ
１ ＝１２０ － ＋ ｘ ＝１１ ５ 度Ｉ 的 倍，故选 ．
５ ２ １０ Ｃ
ｋ ， 答案 Ｃ
∴ ＝１００
( ) 例 （２０１８全国名校第三次大联考）某市垃圾处理站每月
由 １ ｘ ４５００ ，
－１００＋ ｘ ≤９ 的垃圾处理量最少为 吨 最多为 吨 月处理成本ｙ 元
５ ４００ ， ６００ ， （ ）
得ｘ２ ｘ ， ｘ ．
－１４５ ＋４５００≤０ ∴４５≤ ≤１００ 与月垃圾处理量ｘ 吨 之间的函数关系可近似地表示为ｙ １
又 ｘ ， ｘ ． （ ） ＝
６０≤ ≤１２０ ∴６０≤ ≤１００ ２
故ｘ的取值范围为 ｘ ． ｘ２ ｘ 且每处理一吨垃圾得到的可利用的资源值为
６０≤ ≤１００ －２００ ＋８００００，
（ ）设该汽车行驶 千米的耗油量为ｙ升，则 元．
２ １００ １００
( ) ｋ 该站每月垃圾处理量为多少吨时 才能使每吨垃圾的平
ｙ １００· １ ｘ ｋ ４５００ ２０ ９００００（ ｘ ）． （１） ，
＝ ｘ － ＋ ｘ ＝２０－ ｘ ＋ ｘ２ ６０≤ ≤１２０ 均处理成本最低
５ ？
[ ] 该站每月能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不
令ｔ １ ，则ｔ １ ，１ ， （２） ？ ， ；
＝ ｘ ∈ 获利 则需要市财政补贴 至少补贴多少元才能使该站不亏损
１２０ ６０ ， ， ？
( ｋ ) ２ ｋ２ ｙ
ｙ ｔ２ ｋｔ ｔ ， 解析 （ ）由题意可知，每吨垃圾的平均处理成本为
∴ ＝９００００ －２０ ＋２０＝９００００ － ＋２０－ １ ｘ ＝
９０００ ９００
ｋ
该函数图象的对称轴为直线ｔ ． １ ｘ ８００００ １ ｘ·８００００ ．
∴ ＝ ＋ ｘ －２００≥２ ｘ －２００＝２００
９０００ ２ ２
ｋ [ ]
ｋ ， １ ，１ ． 当且仅当 １ ｘ ８００００，
∵６０≤ ≤１００ ∴ ∈ ＝ ｘ
９０００ １５０ ９０ ２
ｋ 即ｘ 时等号成立，
若 １ ，即 ｋ ， ＝４００
① ≥ ７５≤ ≤１００ 故该站垃圾月处理量为 吨时，才能使每吨垃圾的平均
９０００ １２０ ４００
ｋ ｋ２ 处理成本最低，最低成本为 元．
则当ｔ ，即ｘ ９０００时，ｙ ； ２００
＝ ＝ ｋ ｍｉｎ＝２０－ （ ）不获利．设该站每月获利Ｓ元，
９０００ ９００ ２
ｋ ( )
若 １ ，即 ｋ ， 则Ｓ ｘ １ ｘ２ ｘ １ ｘ２ ｘ ，
② ＜ ６０≤ ＜７５ ＝１００ － －２００ ＋８００００ ＝－ ＋３００ －８００００
９０００ １２０ ２ ２
ｋ 因为ｘ ［ ， ］，所以Ｓ ［ ， ］．
则当ｔ １ ，即ｘ 时，ｙ １０５ ． ∈ ４００ ６００ ∈ －８００００ －４００００
＝ ＝１２０ ｍｉｎ＝ － 故该站每月不获利，需要市财政每月至少补贴 元才
１２０ ４ ６ ４０ ０００
答：当 ｋ 时，该汽车行驶 千米的耗油量的最小 能不亏损．
７５≤ ≤１００ １００
( ｋ２ ) 例 为了降低能源损耗 某体育馆的外墙需要建造隔热层 值为 升；当 ｋ 时，该汽车行驶 千米的耗油 ， ，
２０－ ６０≤ ＜７５ １００ 体育馆要建造可使用 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成
９００ ２０ ，
( ｋ ) 本为 万元．该建筑物每年的能源消耗费用Ｃ 单位 万元 与隔
量的最小值为 １０５ 升． ６ （ ： ）
－ ｋ
４ ６ 热层厚度ｘ 单位 满足关系 Ｃ ｘ ｘ ｋ为常 例 （２０１８福建三明联考，６）用清水洗衣服 每次能洗去 （ ：ｃｍ） ： （ ）＝ ｘ （０≤ ≤１０，
， ３ ＋５
A
版
高
考
数
学
／
４０
数 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 万元．设ｆ ｘ 为隔热 空气中出现污染 需喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算 每喷
）， ， ８ （ ） ， ，
层建造费用与 年的能源消耗费用之和． 洒 个单位的去污剂 空气中释放的浓度ｙ 单位 毫克／立方米
２０ １ ， （ ： ）
求ｋ的值及ｆ ｘ 的表达式 随着时间 ｘ 单位 天 变化的函数关系式近似为 ｙ
（１） （ ） ； （ ： ） ＝
隔热层修建多厚时 总费用ｆ ｘ 达到最小 并求出最 ì ｘ
（２） ， （ ） ？ ï ｘ
小值． ï８－ ，０＜ ≤４，
í ２ 若多次喷洒 则某一时刻空气中的去污剂浓度
解析 （ １ ）当ｘ ＝０ 时，Ｃ ＝８ ， ∴ ｋ ＝４０ ， î ï ï ｘ ３６ ，４＜ ｘ ≤１０ ． ，
＋２
Ｃ（ｘ） ４０ （ ｘ ）， 为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知
∴ ＝ ｘ ０≤ ≤１０ ，
３ ＋５ 当空气中去污剂的浓度不低于 毫克／立方米 时 它才能起到
４（ ） ，
ｆ（ｘ） ｘ ２０×４０ ｘ ８００（ ｘ ）． 去污作用．
∴ ＝６ ＋ ｘ ＝６ ＋ ｘ ０≤ ≤１０
３ ＋５ ３ ＋５ 若一次喷洒 个单位的去污剂 则去污时间可达几天
（１） １ ， ？
（
２
）ｆ（ｘ）
＝２
（
３
ｘ
＋５
）
＋ ３
８
ｘ
０
＋
０
５ －１０
，
（２）
若第一次喷洒
１
个单位的去污剂
，６
天后再喷洒ａ个单
令 ｘ ｔ，ｔ ［ ， ］，
位的去污剂
，
要使接下来的
４
天中能够持续有效去污
，
试求ａ的
３ ＋５＝ ∈ ５ ３５
最小值． 精确到 ．
则ｙ ＝２ ｔ ＋ ８０ ｔ ０ －１０ ， （ ０１） { ｘ ， { ｘ ，
０＜ ≤４ ４＜ ≤１０
解析 （ ）依题意，令ｙ ，则 ｘ 或
∴ ｙ′ ＝２－ ８ ｔ ０ ２ ０， １ ≥４ ８－ ２ ≥４ ｘ ３ ＋ ６ ２ ≥４ ，
解得 ｘ 或 ｘ ， ｘ ，
０＜ ≤４ ４＜ ≤７ ∴０＜ ≤７
当
５≤
ｔ
＜２０
时，ｙ′
＜０
，ｙ
＝２
ｔ
＋
８０
ｔ
０
－１０
为减函数； 一次喷洒 个单位的去污剂，去污时间可达 天．
∴ １ ７
（ ）设从第一次喷洒起，经ｘ（ ｘ ）天空气中的去污剂
当 ｔ 时，ｙ′ ，ｙ ｔ ８００ 为增函数． ２ ６＜ ≤１０
２０＜≤３５ ＞０ ＝２ ＋ ｔ －１０ 浓度为ｆ（ｘ），
( ｘ ) ａ
函数ｙ ｔ ８００ 在ｔ 时取得极小值，即最小值，此 则ｆ（ｘ） ３６ ａ －６ ３６ ｘ ａ（ ｘ ），
∴ ＝２ ＋ ｔ －１０ ＝２０ ＝ｘ ＋ ８－ ＝ｘ － ＋１１ ６＜ ≤１０
＋２ ２ ＋２ ２
时ｘ ，因此ｆ（ｘ）的最小值为 ． 依题意ｆ（ｘ） 对一切ｘ （ ， ］恒成立， ｆ（ｘ） ．
＝５ ７０ ≥４ ∈ ６ １０ ∴ ｍｉｎ≥４
∴
隔热层修建
５ ｃｍ
厚时，总费用ｆ（ｘ）达到最小，最小值为 易知ｆ（ｘ）在（
６
，
１０
］上单调递减，
∴
ｆ（ｘ）
ｍｉｎ＝
ｆ（
１０
）
＝３＋６
ａ，
万元． ａ ， ａ １ ． ，故ａ的最小值为 ． ．
７０ ∴３＋６ ≥４ ∴ ≥ ≈０２ ０２
例 （２０１９福建福鼎三校联考，２０）某中学高二年级组织 ６
外出参加学业水平考试 出行方式为 乘坐学校定制公交或自行
， ： 考法四 函数的综合应用
打车前往 大数据分析显示 当ｘ％ ｘ 的学生选择自行
， ， （０＜ ＜１００） 例５ （２０２１ 届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学 ９ 月月
打 车 时 自 行 打 车 的 平 均 时 间 为 ｆ ｘ
{ ｘ ， （ ） ＝ 考）已知函数ｆ （ ｘ ）＝４ ｘ － ａ ·２ ｘ ＋１ ＋１ ．
３０，０＜ ≤３０， 若函数ｆ ｘ 在ｘ 上有最大值 求实数ａ的值
单位 分钟 而乘坐定制公交的平均 （１） （ ） ∈［０，２］ －８， ；
ｘ １８００ ｘ （ ： ）， 若方程ｆ ｘ 在ｘ 上有解 求实数ａ的取值
２ ＋ ｘ －９０，３０＜ ＜１００ （２） （ ）＝０ ∈［－１，２］ ，
范围．
时间不受ｘ影响 恒为 分钟 试根据上述分析结果回答下列
问题 ， ４０ ， 解析 （ ）因为 ｘ ［ ， ］，所以 ｘ ［ ， ］，令 ｔ ｘ，ｔ
１ ∈ ０ ２ ２ ∈ １ ４ ＝２ ∈
：
当ｘ在什么范围内时 乘坐定制公交的平均时间少于自 ［ ， ］，所以得到函数ｆ（ｔ） ｔ２ ａｔ ，图象为抛物线，开口向上，
（１） ， １ ４ ＝ －２ ＋１
行打车的平均时间
？ 对称轴为ｔ ａ，当 ａ ５ 时，则在 ｔ 处， ｆ（ｔ）取最大值，即
求该校学生参加考试出行平均时间ｇ ｘ 的表达式 讨 ＝ ≤ ２ ＝４
（２） （ ） ；
论ｇ ｘ 的单调性 并说明其实际意义． ｆ（ｔ） ｆ（ ） ，所以 ａ ，解得ａ ２５，不满足ａ
（ ） ， ｍａｘ＝ ４ ＝－８ １６－８ ＋１＝－８ ＝ ≤
８
解析 （ ）由题意知，当 ｘ 时， ｆ（ｘ） ｘ １８００
１ ３０＜ ＜１００ ＝２ ＋ ｘ －９０ ５ ，所以舍去．当ａ ５ 时，则在ｔ 处， ｆ（ｔ）取最大值，即ｆ（ｔ）
，即ｘ２ ｘ ，解得ｘ 或ｘ ， ｘ （ ， ）时， ２ ＞ ２ ＝１ ｍａｘ
＞４０ －６５ ＋９００＞０ ＜２０ ＞４５ ∴ ∈ ４５ １００
乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间． ｆ（ ） ，所以 ａ ，解得ａ ，满足ａ ５ ．
＝ １ ＝－８ １－２ ＋１＝－８ ＝５ ＞
ｘ ２
（ ）当 ｘ 时，ｇ（ｘ） ·ｘ％ （ ｘ％） ； 综上，ａ的值为 ．
２ ０＜ ≤３０ ＝３０ ＋４０ １－ ＝４０－ ５
１０ [ ]
( ) （ ）因为 ｘ ［ ， ］，所以 ｘ １ ， ，令 ｍ ｘ，ｍ
当 ｘ 时，ｇ（ｘ） ｘ １８００ ·ｘ％ （ ｘ％） ２ ∈ －１ ２ ２ ∈ ４ ＝２ ∈
３０＜ ＜１００ ＝ ２ ＋ ｘ －９０ ＋４０ １－ ２
[ ]
ì ｘ １ ， ，所以得到函数ｆ（ｍ） ｍ２ ａｍ ，
ï ， ｘ ， ４ ＝ －２ ＋１
ｘ２ ï４０－ ０＜ ≤３０ ２
１３ｘ ． ｇ（ｘ） í １０ ＝
５０
－
１０
＋５８∴ ＝ï
ï
ｘ２
１３ｘ ， ｘ ，
令ｆ（ｍ）
＝０
，得ｍ２
－２
ａｍ
＋１＝０
，即
２
ａ
＝
ｍ
＋ｍ
１ ，
î － ＋５８ ３０＜ ＜１００
５０ １０
当 ０＜ ｘ ＜３２ ． ５ 时，ｇ（ｘ）单调递减； 所以要使ｆ（ｍ） ＝０ 有解，则直线ｙ ＝２ ａ与函数ｙ ＝ ｍ ＋ｍ １ 的图
当 ． ｘ 时，ｇ（ｘ）单调递增． [ ]
３２５＜ ＜１００ 象有交点，而函数ｙ ｍ １ 在 １ ， 上单调递减，在（ ， ］上单
说明当 ． ％以上的人自行打车时，人均通勤时间开始 ＝ ＋ｍ １ １ ４
３２ ５ ２
增加．
调递增，故在ｍ 时，有ｙ ，在ｍ 时，有ｙ １７， 例 （２０１９齐鲁名校教科研协作体第一次联考，２０）某地 ＝１ ｍｉｎ＝２ ＝４ ｍａｘ＝
４
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
４１
所以可得 ａ １７，所以 ａ １７．
２≤２ ≤ １≤ ≤
４ ８
{ }
即ａ的取值范围是 ａ ａ １７ ．
１≤ ≤
８
方法总结 函数的综合应用基本思路
：
首先确定函数的定义域
（１） ； 由图象可得，当ｘ ［ ， ］时，方程ｆ（ｘ） １ 有 个根，故
拆分或化简解析式 ∈ －２ ２ ＝ ２
（２） ； ２
（３） 确定函数的单调性 、 奇偶性 、 周期性 ； 当ｘ ［ ， ］时，方程ｆ（ｘ） １ 有 个
∈ －２０１８ ２０１８ ＝ ２０１８÷２×２＝２０１８
引入导数 不等式等工具 运用数形结合 分类讨论 化 ２
（４） 、 ， 、 、 根，故 正确；画出ｙ ｘ 的图象如图所示，与函数ｆ（ｘ）的图
归与转化等数学思想解决问题． ③ ＝ｌｏｇ５｜ ｜
经典例题教师用书 象有 ５ 个交点，即方程ｆ（ｘ） ＝ｌｏｇ５｜ ｘ ｜ 有 ５ 个根，故 ④ 正确．故选 Ｃ．
例 （２０１９ 福建八校一模，１２） 已知函数 ｆ ｘ 答案 Ｃ
（ ） ＝
{ ｘ ｘ 例 （２０１９天一中学检测，１８）对于函数ｆ ｘ 若在定义域
｜ｌｎ ｜，０＜ ＜ｅ， （ ），
若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｍ有三个不同的零点ｘ ｘ 内存在实数ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ 称为 局部奇函数 ．
ｅ ｘ （ ）＝ （ ）－ １， ２， ， （－ ）＝－（ ）， （ ） “ ”
ｘ ， ≥ｅ， 已知二次函数ｆ ｘ ａｘ２ ｘ ａ 试判断ｆ ｘ 是不是 局
（１） （ ）＝ ＋ －４ ， （ ） “
ｘ ｘ 部奇函数 并说明理由
ｘ 且ｘ ｘ ｘ 则 １ ２ 的取值范围为 ”， ；
３， １＜ ２＜ ３， ｆ ｘ （ ） 若ｆ ｘ ｘ ｍ是定义在区间 上的 局部奇函
（ ３） （２） （ ）＝ ２ ＋ ［－１，１］ “
数 求实数ｍ的取值范围
Ａ．（０，１］ Ｂ．（０，１） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．［１，＋∞） ”， ；
解析 作出直线ｙ ｍ及ｆ（ｘ）的图象如图，由ｇ（ｘ） ｆ（ｘ） 若ｆ ｘ ｘ ｍ ｘ ＋１ ｍ２ 为定义域Ｒ上的 局部奇函
＝ ＝ － （３） （ ）＝ ４ － ２ ＋ －３ “
ｍ 得ｆ（ｘ） ｍ， ｘ ｘ ｘ ， ｘ ， ｘ ，ｘ ，则由 ｆ 数 求实数ｍ的取值范围．
＝０ ＝ ∵ １＜ ２＜ ３ ∴ ０＜ １＜１ １＜ ２＜３ ３＞ｅ ”，
（ｘ ） ｆ（ｘ ），得 ｘ ｘ ，即 ｘ ｘ ，得 ｘ ｘ 解析 ｆ（ｘ）为“局部奇函数”等价于关于 ｘ 的方程 ｆ（ｘ）
１ ＝ ２ ｜ｌｎ １｜＝｜ｌｎ ２｜ －ｌｎ １＝ｌｎ ２ ｌｎ １＋ｌｎ ２＝ ＋
ｘ ｘ ｘ ｆ（ ｘ） 在定义域内有解．
（ｘ ｘ ） ，即ｘ ｘ ，ｆ（ｘ ） ｅ ，则 １ ２ １ ３ ｅ ，即 － ＝０
ｌｎ １ ２ ＝０ １ ２＝１ ３ ＝ ｘ ｆ（ｘ ）＝ ＝ ＞ ＝１ （ ）对于ｆ（ｘ） ａｘ２ ｘ ａ（ａ Ｒ），方程ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） ，即
３ ３ ｅ ｅ ｅ １ ＝ ＋ －４ ∈ ＋ － ＝０
ｘ ａ（ｘ２ ） ，由题意得ａ ，则ｘ ，
３ ２ －４ ＝０ ≠０ ＝±２
ｘ ｘ 所以ｆ（ｘ）为“局部奇函数”．
１ ２ 的取值范围是（ ， ），故选
ｆ（ｘ ） １ ＋∞ Ｃ． （ ）对于ｆ（ｘ） ｘ ｍ， ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） 即 ｘ － ｘ ｍ ，
３ ２ ＝２ ＋ ＋ － ＝０ ２ ＋２ ＋２ ＝０
因为ｆ（ｘ）的定义域为［ ， ］，所以方程 ｘ － ｘ ｍ 在
－１ １ ２ ＋２ ＋２ ＝０
［ ， ］上有解．
－１ １
[ ]
令ｔ ｘ，ｔ １ ， ，则 ｍ ｔ １ ，设ｇ（ｔ） ｔ １ ，
＝２ ∈ ２ －２ ＝ ＋ ｔ ＝ ＋ ｔ
２
ｔ２
则ｇ′（ｔ） １ －１，
＝１－ｔ２ ＝ ｔ２
答案 Ｃ
当ｔ （ ， ）时，ｇ′（ｔ） ，故ｇ（ｔ）在（ ， ）上为减函数；
思路分析 作出 ｆ ｘ 的图象 根据函数与方程之间的关 ∈ ０ １ ＜０ ０ １
（ ） ， 当ｔ （ ， ）时，ｇ′（ｔ） ，故ｇ（ｔ）在（ ， ）上为增函数．
系 确定ｘ ｘ ｘ 的取值范围 结合对数的运算法则进行化简求 ∈ [ １ ＋ ] ∞ [ ＞０ ] １ ＋∞
解即 ， 可． １， ２， ３ ， 所以ｔ １ ， 时，ｇ（ｔ） ，５ ．
∈ ２ ∈ ２
２ ２
例 （２０１８江西吉安八所重点中学４月联考，１２）定义在 [ ] [ ]
所以 ｍ ，５ ，故ｍ ５ ， ．
实数集Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ －２ ∈ ２ ∈ － －１
（ ） （ ＋２）＝－ （ ）， ∈［－１， ２ ４
１］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ， 则下列四个命题 ： （ ３ ）对于ｆ（ｘ） ＝４ ｘ － ｍ ２ ｘ ＋１ ＋ ｍ２ －３ ， ｆ（ｘ） ＋ ｆ（ － ｘ） ＝０ 可化为
① ｆ （２０１８）＝０；② 函数ｆ （ ｘ ） 的最小正周期为 ２； ４ ｘ ＋４ － ｘ －２ ｍ（ ２ ｘ ＋２ － ｘ） ＋２ ｍ２ －６＝０ ．
当ｘ 时 方程ｆ ｘ １ 有 个根 令ｔ ＝２ ｘ ＋２ － ｘ，ｔ ∈ ［ ２ ， ＋∞ ），则 ４ ｘ ＋４ － ｘ ＝ ｔ２ －２ ，
③ ∈［－２０１８，２０１８］ ， （ ）＝ ２ ２０１８ ； 从而ｔ２ －２ ｍｔ ＋２ ｍ２ －８＝０ 在［ ２ ， ＋∞ ）有解即可保证 ｆ（ｘ）为
④
方程ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇ５｜
ｘ
｜
有
５
个根． “局部奇函数”．
其中真命题的个数为 （ ） 令Ｆ（ｔ） ＝ ｔ２ －２ ｍｔ ＋２ ｍ２ －８ ，
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ① 当Ｆ（ ２ ） ≤０ 时，ｔ２ －２ ｍｔ ＋２ ｍ２ －８＝０ 在［ ２ ， ＋∞ ）有解，
解析
∵
ｆ（ｘ
＋２
）
＝－
ｆ（ｘ），
∴
ｆ（ｘ
＋４
）
＝－
ｆ（ｘ
＋２
）
＝
ｆ（ｘ）， 由Ｆ（
２
）
≤０
，即
２
ｍ２
－４
ｍ
－４≤０
，
函数ｆ（ｘ）的最小正周期为 ，故 错误． 解得 ｍ ； ∴ ４ ② １－ ３≤ ≤１＋ ３
∴
ｆ（
２０１８
）
＝
ｆ（
４×５０４＋２
）
＝
ｆ（
２
）
＝－
ｆ（
０
），
②
当Ｆ（
２
）
＞０
时，ｔ２
－２
ｍｔ
＋２
ｍ２
－８＝０
在［
２
，
＋∞
）有解等价于
∵
当ｘ
∈
［
－１
，
１
］时， ｆ（ｘ）
＝
ｘ， {Δ
＝４
ｍ２
－４
（
２
ｍ２
－８
）
≥０
，
ｆ（ ） ，即ｆ（ ） ，故 正确． ｍ ， 解得 ｍ ．
∴ ０ ＝０ ２０１８ ＝０ ① ＞２ １＋ ３＜ ≤２ ２ 函数ｆ（ｘ）在实数集Ｒ上为奇函数， ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ）， Ｆ（ ） ，
∵ ∴ － ＝ － ２ ＞０
ｆ（ｘ ） ｆ（ ｘ），即函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ 对称．
∴ ＋２ ＝ － ＝１ 综上，所求实数ｍ的取值范围为｛ｍ ｍ ｝． 画出函数ｆ（ｘ）的图象如图所示： ｜１－ ３≤ ≤２ ２
思路分析 （ ）由“局部奇函数”的定义，知ｆ（ｘ）为“局部奇
１
函数”等价于关于ｘ的方程ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） 在定义域有解，结合
＋ － ＝０
函数ｆ（ｘ） ａｘ２ ｘ ａ，解方程即可得结论；（ ）若ｆ（ｘ） ｘ ｍ是
＝ ＋ －４ ２ ＝２ ＋
A
版
高
考
数
学
／
４２
定义在［ ， ］上的“局部奇函数”，则 ｘ － ｘ ｍ 在［ ， ］ 笆围成长方形的场地 以墙为一边 并用平行于一边的篱笆隔开．
－１ １ ２ ＋２ ＋２ ＝０ －１ １ ， ，
有解，分离参数，利用导数求函数的最值，进而可得实数ｍ的取
值范围；（ ）若ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的“局部奇函数”，则ｆ（ｘ） ｆ
３ ＋
（ ｘ） 有解，根据分类讨论思想，结合一元二次方程根的分
－ ＝０
布，列不等式（组）求出满足条件的ｍ的取值范围可得结果． 设场地面积为ｙ 垂直于墙的边长为ｘ 试用解析式将ｙ
（１） ， ，
例 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 研究燕子的 表示成ｘ的函数 并确定这个函数的定义域
， ， ；
Ｑ 怎样围才能使得场地的面积最大 最大面积是多少
科学家发现 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数ｖ （２） ？ ？
， ＝５ｌｏｇ２ ， 解析 （ ）设平行于墙的边长为ａ，
１０ １
单位是
ｍ／ｓ，
其中Ｑ表示燕子的耗氧量．
则篱笆总长ｌ ｘ ａ，
＝３ ＋
试计算 燕子静止时的耗氧量是多少个单位
（１） ： ； 即ａ ｌ ｘ，
＝ －３
（２） 当一只燕子的耗氧量是 ８０ 个单位时 ， 它的飞行速度是 场地面积ｙ ｘ（ｌ ｘ），ｘ ( ， ｌ ) ．
多少 ∴ ＝ －３ ∈ ０
？ ３
解析 （ ）由题意知，当燕子静止时，它的速度为 ，代入题 ( ｌ ) ２ ｌ２ ( ｌ )
１ ０ （ ）ｙ ｘ（ｌ ｘ） ｘ２ ｌｘ ｘ ，ｘ ， ，
Ｑ ２ ＝ －３ ＝－３ ＋ ＝－３ － ＋ ∈ ０
目所给关系式可得 ，解得Ｑ ， ６ １２ ３
０＝５ｌｏｇ２
１０
＝１０
当ｘ
ｌ
时，ｙ
ｌ２
，
即燕子静止时的耗氧量为 个单位． ∴ ＝ ｍａｘ＝
１０ ６ １２
ｌ
（ ）将耗氧量 Ｑ 代入关系式得 ｖ ８０ 故当场地垂直于墙的边长为 时，面积最大，最大面积
２ ＝８０ ＝５ｌｏｇ２
１０
＝５ｌｏｇ２８＝
６
（ ），即当一个燕子的耗氧量为 个单位时，它的飞行速度 ｌ２
１５ ｍ／ｓ ８０ 为 ．
为 ．
１５ ｍ／ｓ １２
例 （２０１８上海杨浦一模）如图所示 用总长为定值ｌ的篱
，
