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第二章 函数与基本初等函数
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·贵州·高三校联考期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 为减函数，
所以 ，即 .
因为 ,所以 为增函数，
所以 ，即 .
因为 ,所以 为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 有且只有一个零点的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 恒过点 ，所以函数 有且只有一个零点 函数 没有零点
函数 的图像与直线 无交点，数形结合可得， 或
即函数 有且只有一个零点的充要条件是 或 ,
只有选项 是函数有且只有一个零点的充分条件,
故选：A3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 且 ，所以， 且 ，所以， 且 ，
且有 ， ，所以， ， ，
所以， ，则 ，
又因为 且 ，解得 .
故选：B.
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再
生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： （其中 是自然对数的底数）描述累计感染病例数 随时间
（单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 .有学者基于已有数据估计出
， ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间约为（ ）（参
考数据： ， ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
【答案】B
【解析】把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，两边取对数得 ，解得 ．
故选：B.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由图像可知 ，而D选项中 ，∴排除D选项；
又图像不关于原点对称，∴ 不是奇函数，
若 ，函数定义域为R， ， 为奇函数，排除A
选项；
，是奇函数，∴排除C选项.
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 且 ，若函数 的值域是
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，函数在 上单调递增，
在 上单调递减，所以 ，即 ；
若函数 的值域是 ，则需当 时， ．
当 时， 在 上单调递增，
此时 ，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，
此时 ，即 ，则 ，
所以 ，显然 ，解得 ，又 ，所以 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：B
7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 是奇函数，
是偶函数，设函数 ．若对任意 恒成立，则实数 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，解得 ，
由 ，
当 时，则 ，所以 ，
同理：当 时， ，
以此类推，可以得到 的图象如下：
由此可得，当 时， ，
由 ，得 ，解得 或 ，
又因为对任意的 ， 恒成立，
所以 ，所以实数 的最大值为 .
故选：B.
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，
则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，
于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
由 ，得 ， ，， ，
所以 .
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
x
1 2 3 4
A． B． 的值域是
C． 的值域是 D． 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【解析】由表知 ，则 ，A错误；
的值域为 ，B正确，C错误；
当 时， ，当 时， ，因此 在 上不是单调递增的，D错误．
故选：ACD.
10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知 ，函数 ，存在常数 ，使得
为偶函数，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】根据图像变换法则可求得 的解析式，利用其为偶函数求出 ，又由三角函数的性质可
求得 ，对 进行赋值，与选项对比即可得出答案.由 ，
得 ，
因 为偶函数，则 ，
所以 ，即
当 时， ；当 时， .
故选：AD.
11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 是定义在R上的奇函数，当时， ，则（ ）
A．当 时， B． ，都有
C． 的解集为 D． 的单调递增区间是 ，
【答案】BD
【解析】对于A，当 时， ，则 ，
函数 在其定义域上是奇函数，则 ，故A错误；
对于B，当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故 ，
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ，
综上，当 时， ，
因为函数 是奇函数，所以 ，
当 时， ，故B正确；
对于C，由B可知，当 时， ， ，
则 ；
当 时， ， ，则 ，
因为函数 是奇函数，所以当 时， ；当 时， ，
因为函数 是奇函数，所以 ，
综上，不等式 ，其解集为 ，故C错误；
对于D，由B可知，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
因为函数 是奇函数，所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，故D正确.
故选：BD.
12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 函数
，则下列结论不正确的是（ ）A．若 ，则 恰有2个零点
B．若 ，则 恰有4个零点
C．若 恰有3个零点，则 的取值范围是
D．若 恰有2个零点，则 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】令 ，
则 ，解得 或 .
当 时， .由 ，得 ；由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增， .
，当 时， 取最小值，最小值为 ，
故 的大致图象如图所示.由图可知， 有且仅有1个实根.
当 时， 恰有1个零点，故A错误；
当 时， 有3个实根，则 恰有4个零点，故B正确；
由 恰有3个零点，得 恰有2个实根，则 或 或 ，则 错误；
由 恰有2个零点，得 恰有1个实根，且 ，
则 或 或 ，则D错误.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
______.【答案】
【解析】因为函数 ，所以 ，即函数 为奇函数，
且 ，则函数 为增函数，
则不等式 等价于 ，
即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）偶函数 满足 ，且 时，
，则 _____________.
【答案】
【解析】因为 为偶函数，且 时， ，
所以 ，
解得 ，所以
因为 ，所以函数 的周期为2，
所以 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）函数 ； ，对
有 ，则 的范围为______.
【答案】
【解析】由题意，
有 ，
∴ ，
在 中，函数单调递增， ，
在 中，对称轴 ，函数开口向上，
∴在 处取最大值， ，∴ 即 ，
解得 ，
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在
上是单调的；②当 的定义域是 时， 的值域是 ，则称 是该函数的“倍值
区间”．若函数 存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数 单调递增，且函数 存在“倍值区间”，
知存在 ，使得 ，
设
则 ，且 ，
所以 ，
因此二次函数 在 上有两个零点 ， 且 ，
则
解得 ，
故答案为： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)画出 的图像，并直接写出 的值域；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
的图象如图：
由图可知，函数 的值域是 .
（2）若不等式 恒成立，则 ，
则 ，即 ，
解得 或 .
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 的解析式．
(1)已知 ，则 的解析式为__________．
(2)已知 满足 ，求 的解析式．
(3)已知 ，对任意的实数x，y都有 ，求 的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令 ，则 ， ．
所以 ，
所以函数 的解析式为 ．
方法二（配凑法）： ．
因为 ，所以函数 的解析式为 ．
（2）将 代入 ，得 ，因此 ，解得 ．
（3）令 ，得 ，
所以 ，即 ．
19．（12分）
（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数.当
时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
【解析】（1）设 ，则
∴
∵ 为偶函数
∴
综上，有
（2）由（1）作出 的图像如图：
因为函数 在区间 上具有单调性，
由图可得 或 ，解得 或 ；
故实数 的取值范围是 或 .
（3）由（1）作出 的图像如图：由图像可知：
当 时， 有两个零点；
当 时， 有四个零点；
当 时， 有六个零点；
当 时， 有三个零点；
当 时， 没有零点.
20．（12分）
（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生
产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万
元．两者满足关系：
(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最
大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）
(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调
整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业
各自的产量和利润分别是多少．
【解析】（1）设利润为
当 时
所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．
（2）设乙企业产量为x万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为
所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．
（3）假设达到动态平衡时，甲企业产量a万台，乙企业产量b万台．
甲企业：
当 时利润最大
乙企业当 时利润最大．
联立，解得 时达到动态平衡．
此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．
21．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 （
）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得
最小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
【解析】（1）证明：∵f (x)是以 为周期的周期函数，∴ ，
又∵ 是奇函数，∴ ，∴
（2）当 时，由题意可设 ，
由 ，得 ，∴ ，
∴ .
（3）根据（2）中所求，可知 ；又 在 上是奇函数，故 ，
故当 时，设 ，则 ，解得 .
故当 时， .
又 在 上是奇函数，故当 时， .
综上，则 时， .
因为 时， .
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
综上所述， .
22．（12分）
（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）设 ， 满足 ．
(1)求a的值，并讨论函数 的奇偶性；(2)若函数 在区间 严格减，求b的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数 有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无
穷正整数列 ，使得 成立．
【解析】（1）∵函数 （常数 ）满足 ．
∴ ，解得： ；
当 时，函数为偶函数，当 时，函数为非奇非偶函数；
（2）由（1）得： 则 ，
若 在区间 上单调递减，
则 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
当 时， ，为 的最小值，
所以 ；
（3）由(2)可知， ，所以 ，
当 时， 恒成立，无零点，
当 时， 单调递增，
且 ，
所以函数 在 有唯一零点 ，
所以 即 ，
所以 ，
又因为 ，所以存在唯一的递增的无穷正整数列 ，
使得 成立，且 .
