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2025新教材数学高考第一轮复习
3.9 函数模型及应用
五年高考
考点 函数模型及应用
1.(2019北京,文7,理6,5分,易)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两
颗星的星等与亮度满足m -m =5 E ,其中星等为m 的星的亮度为E (k=1,2).已知太阳的
2 1 lg 1 k k
2 E
2
星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
2.(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分,中)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的
p
强弱,定义声压级L =20×lg ,其中常数p (p >0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不
p p 0 0
0
同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽
10 50~60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p ,p ,p ,则
1 2 3
( )
A.p ≥p B.p >10p
1 2 2 3
C.p =100p D.p ≤100p
3 0 1 2
3.(2019北京,14,5分,中)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京
白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对
这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网
上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最
大值为 .
4.(2020北京,15,5分,中)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水
治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)−f(a)
的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、
b−a
乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t ,t ]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
1 2
②在t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
2
③在t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
3
④甲企业在[0,t ],[t ,t ],[t ,t ]这三段时间中,在[0,t ]的污水治理能力最强.
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是 .
三年模拟
综合基础练
1.(2023北京景山学校开学测试,8)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现
1 Q
鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v= log3 ,其中Q表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以1.5
2 100
m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A.2 600 B.2 700 C.26 D.27
2.(2024届北京东直门中学开学测试,10)李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户,
经过t天后,用户人数A(t)=A(0)ekt,其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2 000名
用户,则用户超过50 000名至少经过的天数为(本题取lg 2=0.30) ( )
A.31 B.32 C.33 D.34
3.(2023河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系
y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时,在常温
20 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是 ( )
A.16小时 B.18小时 C.20小时 D.24小时
4.(2024届山东济南历城二中开学摸底检测,20)春运是中国在农历春节前后发生的一种大
规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅,候车人数与时
间t相关,时间t(单位:时)满足00,x=1,2,3,…,50),且f(2)=2, f(8)=3,则该住房装修完成后要达到安全
a
入住的标准,至少需要通风 ( )A.17周 B.24周 C.28周 D.26周
2.(2024届广东普宁二中第一次月考,8)为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污
染防治攻坚战的意见》,某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺,使排放的废
水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为
2.25 g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 2.21 g/m3,第n次改良工艺
后排放的废水中含有的污染物数量 r 满足函数模型r =r +(r -r )·30.25n+t(t∈R,n∈N*),其中r
n n 0 1 0 0
为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,r 为首次改良工艺后所排放的废水中含
1
有的污染物数量,n为改良工艺的次数,假设废水中含有的污染物数量不超过 0.25 g/m3时
符合废水排放标准,若该企业排放的废水符合排放标准,则改良工艺的次数最少要(参考数
据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) ( )
A.15次 B.16次 C.17次 D.18次
3.(多选)(2024届广东七校联合体第一次联考,10)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科
学家经过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震
级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,则下列说法正确的是 ( )
A.地震释放的能量为1015.3焦耳时,地震里氏震级为七级
B.里氏八级地震释放的能量为里氏七级地震释放的能量的6.3倍
C.里氏八级地震释放的能量为里氏六级地震释放的能量的1 000倍
f(n+1)
D.记地震里氏震级为n(n=1,2,…,9),地震释放的能量为f(n),则 =101.5
f(n)
4.(多选)(2024届山东部分学校开学联考,11)某同学根据著名物理学家、数学家牛顿的物
体冷却模型:若物体原来的温度为θ (单位:℃),环境温度为θ (θ <θ ,单位:℃),物体的温度冷
0 1 1 0
1
却到θ(θ>θ ,单位:℃)需用时t(单位:分钟),推导出函数关系为 t=f(θ)= [ln(θ -θ )-ln(θ-θ )],k
1 0 1 1
k
为正的常数.现有一壶开水(100 ℃)放在室温为20 ℃的房间里,根据该同学推出的函数关
系研究这壶开水冷却的情况,则(参考数据:ln 2≈0.7) ( )
A.函数关系θ=θ +(θ -θ )ekt也可作为这壶开水的冷却模型
1 0 1
1
B.当k= 时,这壶开水冷却到40 ℃大约需要28分钟
20
C.若f(60)=10,则f(30)=30
D.这壶开水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从70 ℃冷却到40 ℃所需时间短3.9 函数模型及应用
五年高考
考点 函数模型及应用
1.(2019北京,文7,理6,5分,易)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两
颗星的星等与亮度满足m -m =5 E ,其中星等为m 的星的亮度为E (k=1,2).已知太阳的
2 1 lg 1 k k
2 E
2
星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
答案 A
2.(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分,中)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的
p
强弱,定义声压级L =20×lg ,其中常数p (p >0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不
p p 0 0
0
同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽
10 50~60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p ,p ,p ,则
1 2 3
( )
A.p ≥p B.p >10p
1 2 2 3
C.p =100p D.p ≤100p
3 0 1 2
答案 ACD
3.(2019北京,14,5分,中)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京
白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对
这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网
上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最
大值为 .答案 ①130;②15
4.(2020北京,15,5分,中)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水
治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-
f(b)−f(a)
的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、
b−a
乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t ,t ]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
1 2
②在t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
2
③在t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
3
④甲企业在[0,t ],[t ,t ],[t ,t ]这三段时间中,在[0,t ]的污水治理能力最强.
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②③
三年模拟
综合基础练
1.(2023北京景山学校开学测试,8)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现
1 Q
鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v= log3 ,其中Q表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以1.5
2 100
m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A.2 600 B.2 700 C.26 D.27
答案 D
2.(2024届北京东直门中学开学测试,10)李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户,
经过t天后,用户人数A(t)=A(0)ekt,其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2 000名
用户,则用户超过50 000名至少经过的天数为(本题取lg 2=0.30) ( )
A.31 B.32 C.33 D.34
答案 D
3.(2023河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数关系y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时,在常温
20 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是 ( )
A.16小时 B.18小时 C.20小时 D.24小时
答案 A
4.(2024届山东济南历城二中开学摸底检测,20)春运是中国在农历春节前后发生的一种大
规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅,候车人数与时
间t相关,时间t(单位:时)满足0400,所以t=10时,需要提供的矿泉水瓶数最少.
24
综合拔高练
1.(2023河北邯郸联考,8)住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气
味的气体,对人体健康有着极大的危害.新房入住时,空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3,
否则,该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后,通风x(x=1,2,3,…,50)周与室 内 甲 醛 浓 度 y( 单 位 :mg/m3) 之 间 近 似 满 足 函 数 关 系 式 y=0.48-0.1f(x), 其 中
f(x)=log [k(x2+2x+1)](k>0,x=1,2,3,…,50),且f(2)=2, f(8)=3,则该住房装修完成后要达到安全
a
入住的标准,至少需要通风 ( )
A.17周 B.24周 C.28周 D.26周
答案 D
2.(2024届广东普宁二中第一次月考,8)为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污
染防治攻坚战的意见》,某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺,使排放的废
水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为
2.25 g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 2.21 g/m3,第n次改良工艺
后排放的废水中含有的污染物数量 r 满足函数模型r =r +(r -r )·30.25n+t(t∈R,n∈N*),其中r
n n 0 1 0 0
为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,r 为首次改良工艺后所排放的废水中含
1
有的污染物数量,n为改良工艺的次数,假设废水中含有的污染物数量不超过 0.25 g/m3时
符合废水排放标准,若该企业排放的废水符合排放标准,则改良工艺的次数最少要(参考数
据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) ( )
A.15次 B.16次 C.17次 D.18次
答案 B
3.(多选)(2024届广东七校联合体第一次联考,10)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科
学家经过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震
级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,则下列说法正确的是 ( )
A.地震释放的能量为1015.3焦耳时,地震里氏震级为七级
B.里氏八级地震释放的能量为里氏七级地震释放的能量的6.3倍
C.里氏八级地震释放的能量为里氏六级地震释放的能量的1 000倍
f(n+1)
D.记地震里氏震级为n(n=1,2,…,9),地震释放的能量为f(n),则 =101.5
f(n)
答案 ACD
4.(多选)(2024届山东部分学校开学联考,11)某同学根据著名物理学家、数学家牛顿的物
体冷却模型:若物体原来的温度为θ (单位:℃),环境温度为θ (θ <θ ,单位:℃),物体的温度冷
0 1 1 0
1
却到θ(θ>θ ,单位:℃)需用时t(单位:分钟),推导出函数关系为 t=f(θ)= [ln(θ -θ )-ln(θ-θ )],k
1 0 1 1
k
为正的常数.现有一壶开水(100 ℃)放在室温为20 ℃的房间里,根据该同学推出的函数关
系研究这壶开水冷却的情况,则(参考数据:ln 2≈0.7) ( )
A.函数关系θ=θ +(θ -θ )ekt也可作为这壶开水的冷却模型
1 0 11
B.当k= 时,这壶开水冷却到40 ℃大约需要28分钟
20
C.若f(60)=10,则f(30)=30
D.这壶开水从100 ℃冷却到70 ℃所需时间比从70 ℃冷却到40 ℃所需时间短
答案 BCD
