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专题二 函数及其性质 １ １
专题二 函数及其性质
2.1 函数的概念和基本性质
学生用书P183
P+
5 +>2 2
+*=."? " A"="
5 =
.
A+ .0
∀Y, Y<B C>, YY,
+ 7 + Y, , Y @ % , G Y Y + Y *, K%⊆*, G Y Y Y G Y ⇔GY <B C>
+ P 5 + A A GY Z F Z G K Y G % Y G Y G Z Y G F Y K G Z % Y G Y G Y Y Y G Y ; ; ⇔GY <B C>
B 5 + A E 0Y G Y Y GY Y 0 Y G Y Y G Y Y Y Y < B C Y Y > G G Y Y G G Y Y ; ⇔ ⇔ G G Y Y
7 A+ 7 AK+ <B C>
U> U A'%
P 7 , @GY + *, ∀Y*,
5 + Z=f(Y)+ F Y*, G Y GY EGY ZD/
5 %/ 7 , @GY + *, ∀Y*, %/
F Y*, G Y GY , EGY
8GY , +0U
G Y
GY ⇔G Y GY ⇔G Y GY ⇔−−−−− ;
GY
G Y
GY ⇔G Y GY ⇔G Y GY ⇔−−−−−
GY
GY Y , E G
GY , EGY G\Y]
%/+K , +A; %/+K ,
+A
8Z GY B , G Y B GY B ;
8Z GY B , G Y B GY B
学生用书P184
题型 一 函数的单调性及应用 区间
（ ）；
性质法 在公共定义域内 增 增 增 减 减 减 增 减
1.判断函数单调性（单调区间）的常用方法 （５） ： ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， － ＝
增 减 增 减．
定义法 先求定义域 再通过取值 作差 变形 定号的步骤 ， － ＝
（１） ： ， 、 、 、 2.函数单调性的应用
得结论
； 比较大小 将自变量转化到同一个单调区间内 利用函数
图象法 若函数是以图象形式给出的 或者函数的图象可 （１） ： ，
（２） ： ， 的单调性比较大小
作出 可由图象的升 降判断它的单调性或写出单调区间 ；
， 、 ； 解不等式 可以依据函数单调性的定义和性质 将 ｆ 去
复合函数法 根据 同增异减 判断 即内外层函数的单调 （２） ： ， “ ”
（３） ： “ ” ， 掉 列出关于自变量的不等式 组 然后求解 此时需注意函
性相同时 为增函数 单调性不同时为减函数 ， （ ）， ，
， ， ； 数的定义域
导数法 先求导 再利用导数的正负 确定函数的单调性 ；
（４） ： ， ，
１ ２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
已知函数的单调性求参数范围 题型 二 奇偶性的判断及应用
（３） ：
将参数看成已知数 求函数的单调区间 再与已知的单调区
① ， ， 1.函数奇偶性的常用判断方法
间比较 求出参数的取值范围
， ； 定义法
运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式 组 解不 （１）
② （ ），
等式 组 求出参数的取值范围．
（ ） -
例1 （ 广东深圳统考， ）已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 若 %/
２０２３ ８ （ ） ，
ｘ Ｒ 都有ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｆ ｘ 在 上单调递减
∀ ∈ ， （３＋ ）＝ （１－ ）， （ ） ［２，＋∞） ，
则ｆ ｆ 与ｆ 的大小关系是 Ａ
（１）， （２） （４） （ ） @0G Y -G Y G Y +2 3@
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
Ａ． （４）＜（１）＜（２） Ｂ． （２）＜（１）＜（４） 图象法
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ （２）
Ｃ． （１）＜（２）＜（４） Ｄ． （４）＜（２）＜（１）
解析 因为 ｘ Ｒ，都有ｆ（ ｘ） ｆ（ ｘ）， G Y + %/ G Y
∀ ∈ ３＋ ＝ １－
所以ｆ（ｘ）图象的对称轴为直线ｘ ， A ZD/ G Y
＝２
所以ｆ（ ） ｆ（ ）．又因为ｆ（ｘ）在［ ， ）上单调递减，且
１ ＝ ３ ２ ＋∞ ２＜３＜ 性质法
，所以ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），即ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ）．故选 （３）
４ ４ ＜ ３ ＜ ２ ４ ＜ １ ＜ ２ Ａ． 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶
： ± ＝ ， ± ＝ ， × ＝ ， ×
例2 （ 安徽百校大联考， ）定义在 上的函数ｆ ｘ
２０２４ ７ （０，＋∞） （ ） 偶 奇 偶 奇．
＝ ， × ＝
满足 ｘ ｘ 且ｘ ｘ 都有 ｆ （ ｘ １）－ ｆ （ ｘ ２） ❷ 则 2.函数奇偶性的应用
：∀ １， ２∈（０，＋∞）， １≠ ２ ｘ １－ ｘ ２ ＞１ ， （１） 利用函数奇偶性求值
不等式ｆ
（２ｌｏｇ２
ｘ
）－
ｆ
（
ｘ
）＞ｌｏｇ２
ｘ２
－
ｘ❶的解集为
（
Ｂ
） 将待求值利用奇偶性转化到已知区间上求解．
Ａ．（１，２） Ｂ．（２，４） Ｃ．（４，８） Ｄ．（８，１６） 利用函数奇偶性求解析式
（２）
知识联想 ❶联想到由函数单调性去掉“ｆ ”；❷联想函数单
将待求区间上的自变量 转化到已知区间上 再利用奇偶性求
， ，
调性的等价形式．
出 或充分利用奇偶性构造关于ｆ ｘ 的方程 组 从而得到
， （ ） （ ），
ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）
解析 当ｘ １＞ ｘ ２ 时， １ ｘ － ｘ ２ ＞１⇒ ｆ（ｘ １ ） － ｆ（ｘ ２ ） ＞ ｘ １－ ｘ ２⇒ ｆ （ ｘ ） 的解析式．
１－ ２ 利用函数奇偶性求解不等式
ｆ（ｘ ） ｘ ｆ（ｘ ） ｘ ， （３）
１ － １＞ ２ － ２① 偶函数的常见示意图．
ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）
当ｘ ｘ 时， １ － ２ ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） ｘ ｘ ｆ（ｘ ） ｘ Z Z
１＜ ２ ｘ １－ ｘ ２ ＞１⇒ １ － ２ ＜ １－ ２⇒ １ － １＜ 0 0
ｆ（ｘ ） ｘ ， Y Y
２ － ２②
令ｈ（ｘ） ｆ（ｘ） ｘ，则由 可得ｈ（ｘ）在（ ， ）上单调递增．
＝ － ①② ０ ＋∞ 图 图
则由ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ得ｆ（ ｘ） ｘ２ ｆ（ｘ） ｘ，即 如图 由ｆ ｘ ｆ ｘ 可 １ 得 ｘ ｘ 如 ２ 图 由ｆ ｘ ｆ ｘ
２ｌｏｇ２ － ＞ｌｏｇ２ － ２ｌｏｇ２ －ｌｏｇ２ ＞ － １， （ １）＜（ ２） ｜ １｜＜｜ ２｜； ２， （ １）＜（ ２）
ｆ ｈ （ （ ２ ２ ｌ ｌ ｏ ｏ ｇ ｇ ２ ２ ｘ ｘ ） ） － ＞ ２ ｈ ｌ （ ｏｇ ｘ ２ ） ｘ ， ＞ 因 ｆ（ 为 ｘ） － ｈ（ ｘ， ｘ （ ） 构 在 造 （ ０ 出 ， ＋∞ ｈ（ ） ｘ） 上 的 单 形 调 式 递 是 增 解 ，所 题 以 关键 ２ｌｏ ） ｇ 即 ２ ｘ 可 （４ 得 ） 利 ｜ ｘ 用 １｜ 奇 ＞｜ 偶 ｘ ２ 性 ｜ ． 求参数
ｘ，即 ｘ ｘ （解含有指数或对数的不等式需数形结合求结 已知函数的奇偶性或对称性求参数的三种思路．
＞ ｌｏｇ２ ＞
２ 定义域的区间端点含参数 利用奇偶函数的定义域关于原
果）． ① ，
点对称 列出关于参数的方程求解．
ｘ ，
在同一坐标系中，画出ｙ ｘ与ｙ 的图象，如图， 一般化策略 对ｘ取定义域内的任意一个值 利用ｆ ｘ 与
＝ｌｏｇ２ ＝ ② ： ， （－ ）
２ ｆ ｘ 的关系恒成立来确定参数的值．
Z （ ）
特殊化策略 取定义域内关于原点对称的两个自变量 列出
③ ： ，
对应函数值的关系式 然后求解．这种方法求出的参数值要代
，
入解析式检验 看是否满足条件 不满足的要舍去．
， ，
0 Y 例3 （ 河北邯郸统考， ）已知函数 ｆ ｘ １ ｘ －２ 若
２０２３ ７ （ ）＝ ｘ －２ －ｅ ，
ｅ
ｆ ａ ｆ ａ２ 则实数ａ的取值范围是 Ｂ
（ －２）＋（２ ）＞０， （ ）
由图可知当 ｘ 时， ｘ ｘ ，则不等式的解集为（ ， ）．故 ( )
２＜ ＜４ ｌｏｇ２ ＞
２
２ ４
Ａ．（２，＋∞） Ｂ． －２，
３
选 ２
Ｂ． ( )
３
Ｃ． －∞，－ Ｄ．（－２，＋∞）
２
解析 令ｇ（ｘ） ｆ（ｘ ） １ ｘ，ｘ Ｒ，
＝ ＋２ ＝ ｘ－ｅ ∈
ｅ
æ ö
则ｇ（ ｘ） １ － ｘ ç １ ｘ ÷ ｇ（ｘ），所以ｇ（ｘ）为奇函数，则
－ ＝ － ｘ－ｅ ＝－è ｘ－ｅ ø＝－
ｅ ｅ
ｇ（ｘ）的图象关于原点对称，所以ｆ（ｘ）的图象关于点（ ， ）对称，
２ ０
专题二 函数及其性质 １ ３
则ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） ， 在［ ， ］上单调递增（奇函数在关于原点对称的区间上的单调
＋ ４－ ＝０ ０ １
性相同），
因为ｙ １ 在定义域Ｒ上单调递减，
＝ ｘ －２ 又ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ 对称，
ｅ ＝１
ｙ ＝ｅ ｘ －２在定义域Ｒ上单调递增， 所以ｆ（ｘ）在［ ， ］上单调递减， ｆ（ｘ）的图象关于点（ ， ）中心
１ ２ ２ ０
所以ｆ（ｘ）
＝ ｘ
１
－２ －ｅ
ｘ －２在定义域Ｒ上单调递减，（减
－
增
＝
减） 对称（可结合图象观察），故ｆ（
１
）
＋
ｆ（
３
）
＝０
．易知ｆ（
０
）
＝０
，则ｆ（
４
）
ｅ ，
则不等式ｆ（ａ ） ｆ（ ａ２） ， ＝０
－２ ＋ ２ ＞０ 由ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ）得ｆ（ ） ｆ（ ） ．
即ｆ（
２
ａ２）
＞－
ｆ（ａ
－２
），
故ｆ（ ）
＝
ｆ（
２
）
－
ｆ（ ）
２
ｆ（
＝
）
０
，
＝０
１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＝０
所以ｆ（ ａ２） ｆ（ ａ），
２ ＞ ６－ ２０２４
则 ｆ（ｋ） ｆ（ ） ｆ（ ） … ｆ（ ） ｆ（ ） （ｆ（ ） ｆ（ ）
则 ａ２ ａ，解得 ａ ３ ，即实数ａ的取值范围是
(
，３
)
．
∑ｋ＝
０
＝ ０ ＋ １ ＋ ＋ ２０２４ ＝ ０ ＋５０６ １ ＋ ２ ＋
２ ＜６－ －２＜ ＜ －２ ｆ（ ） ｆ（ ）） ．
２ ２ ３ ＋ ４ ＝０
故选 综上， 、 正确， 、 错误．
Ｂ． Ｂ Ｃ Ａ Ｄ
例5 （ 安徽合肥一六八中学模拟， ）定义在Ｒ上的函数
２０２３ ８
题型 三 函数的对称性、周期性及应用
ｆ ｘ 满足ｆ ｘ １ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ
（ ） （ ＋１）＝ （ ）， ∈［０，１） ， （ ）＝１－｜２ －１
1.函数图象对称性的常用结论 ２
ｆ ａ ｘ ｆ ａ ｘ ｆ ｘ ｆ ａ ｘ ｆ ｘ ｆ ａ ｘ ．若当ｘ ｍ 时 ｆ ｘ ３ 则ｍ的最小值为 Ｂ
（１） （ － ）＝ （ ＋ ）⇔ （－ ）＝ （２ ＋ ）⇔ （ ）＝ （２ － ）⇔ ｜ ∈［ ，＋∞） ， （ ）≤ ， （ ）
３２
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ａ对称．
（ ） ＝
２７ ２９ １３ １５
ａ ｂ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ｆ ａ ｘ ｆ ｂ ｘ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ＋ 对称． ８ ８ ４ ４
（２） （ ＋ ）＝ （ － ）⇔（ ） ＝
２ 解析 由题意知，当ｘ ［ ， ）时， ｆ（ｘ） １ ｆ（ｘ ） １ （
(ａ ｂ ) ∈ １ ２ ＝ －１ ＝ １－
ｆ ａ ｘ ｆ ｂ ｘ ｆ ｘ 的图象关于点 ＋ 对称． ２ ２
（ ＋ ）＝－（ － ）⇔（ ） ，０ ｘ ）；
２ ｜２ －３｜
ｆ ａ ｘ ｆ ｘ ｂ ｆ ｘ 的图象关于点 ａ ｂ 对称．
（３） （２ － ）＝－（ ）＋２ ⇔（ ） （ ， ） 当ｘ ［ ， ）时， ｆ（ｘ） １ ｆ（ｘ ） １ （ ｘ ）；
∈ ２ ３ ＝ －１ ＝ １－｜２ －５｜
2.函数的对称性与周期性的关系 ２ ４
……
如果函数ｆ ｘ ｘ Ｄ 的图象有两条对称轴ｘ ａ ｘ ｂ ａ ｂ
（１） （ ）（ ∈ ） ＝ ， ＝ （ ＜ ），
则函数ｆ ｘ 是周期函数 且周期Ｔ ｂ ａ 不一定是最小正周 可得在区间［ｎ，ｎ ）（ｎ Ｚ）上， ｆ（ｘ） １ ［ ｘ （ ｎ ） ］．
（ ） ， ＝２（ － ）（ ＋１ ∈ ＝ ｎ １－｜２ － ２ ＋１ ｜
期 下同 ． ２
， ） （提示：根据在前两个区间上的解析式，总结在区间［ｎ，ｎ ）
＋１
如果函数ｆ ｘ ｘ Ｄ 的图象有两个对称中心 Ａ ａ
（２） （ ）（ ∈ ） （ ，０）， （ｎ∈Ｚ）上的解析式）
Ｂ ｂ ａ ｂ 那么函数ｆ ｘ 是周期函数 且周期Ｔ ｂ ａ ． 作函数ｙ ｆ（ｘ）的图象，如图所示，
（ ，０）（ ＜ ）， （ ） ， ＝２（ － ） ＝
如果函数ｆ ｘ ｘ Ｄ 的图象有一条对称轴ｘ ａ和一个 Z
（３） （ ）（ ∈ ） ＝
对称中心Ｂ ｂ ａ ｂ 那么函数ｆ ｘ 是周期函数 且周期
（ ，０）（ ≠ ）， （ ） ，
Ｔ ｂ ａ ．
＝４（ － ） 0 Y
记忆口诀 两次对称成周期 两轴两心二倍差 一轴一心四
： ， ，
( ) ( )
倍差． 当ｘ ７ 时， ｆ ７ １ ７ １ ３ ，当ｘ ９ 时，
＝ ＝ １－ ２× －７ ＝ ＞ ＝
例4 （多选）（ 江西上饶六校第一次联考， ）已知定义在 ２ ２ ８ ２ ８ ３２ ２
２０２４ １０ ( ) ( ) æ
Ｒ上的奇函数ｆ （ ｘ ） 满足ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （２－ ｘ ）， 且ｆ （ ｘ ） 在 ［－１，０］ 上单 ｆ ９ ＝ １ １－ ２× ９ －９ ＝ １ ＜ ３ ， è ç从［ ４ ， ５ ）这个区间开
２ １６ ２ １６ ３２
调递增 则 ＢＣ
， （ ） ö
ｆ ｘ 的图象关于 中心对称 始，后边所有区间上的最大值都比 ３ 小÷，
Ａ． （ ） （１，０） ø
３２
ｆ ｘ 是周期函数 [ )
Ｂ． （ ）
当ｘ ７ ， 时，由ｆ（ｘ） １ （ ｘ ） ３ ，得ｘ ２９，所以
ｆ ｘ 在 上单调递减 ∈ ４ ＝ １－｜２ －７｜ ＝ ＝
Ｃ． （ ） ［１，２］ ２ ８ ３２ ８
２０２４ ｆ ｋ 当ｍ ２９时， ｆ（ｘ） ３ 恒成立，
Ｄ．∑ｋ＝
０
（ ）＝１ ≥
８
≤
３２
解析 因为ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数，
所以ｍ的最小值为２９．故选
所以ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ）． Ｂ．
－ ＝－ ８
因为ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ），所以 ｆ（ ｘ） ｆ（ ｘ），
＝ ２－ － － ＝ ２－
则 ｆ（ｘ） ｆ（ｘ ），即 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ），
－ ＝ ＋２ － ＋２ ＝ ＋４
则ｆ（ｘ） ｆ（ｘ ），故ｆ（ｘ）是以 为周期的函数．
＝ ＋４ ４
因为ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ），所以ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ 对称．（若函
＝ ２－ ＝１
数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ） ｆ（ ａ ｘ），则ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ａ对称）
＝ ２ － ＝
因为ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数，且在［ ， ］上单调递增，所以ｆ（ｘ）
－１ ０
１ ４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
知识拓展 类周期函数 ｆ Ａ Ｂ ｘ ｆ ｙ ｆ Ｂ Ａ ｘ ｆ ｙ
Ｃ． ： → ， ＝ （ ） Ｄ． ： → ， ＝ （ ）
若ｙ ｆ（ｘ）满足：ｆ（ｘ ｍ） ｋｆ（ｘ）或 ｆ（ｘ） ｋｆ（ｘ ｍ），则 ｙ 解析 对于ｙ ｆ（ｘ） ｘ， ｘ Ａ，均有唯一确定的 ｆ（ｘ），且
＝ ＋ ＝ ＝ － ＝ ＝ ＝ ２ ∀ ∈
ｆ（ｘ）的横坐标每增加ｍ个单位，函数值为之前的ｋ倍，称此 ｆ（ｘ） （ ， ） Ｂ 与之对应，符合函数定义，故选项 符合
∈ ０ ＋∞ ＝ Ａ
函数是周期为ｍ的类周期函数．当ｋ ，ｍ 时的大致图象 题意；
＞１ ＞０
如图． 对于ｙ ｆ（ｘ） ｘ， ｘ Ｂ，均有唯一确定的ｆ（ｘ），且ｆ（ｘ） （ ，
＝ ＝２ ∀ ∈ ∈ １
Z ） Ａ，符合函数定义，故选项 符合题意；
LZ ＋∞ ⊆ Ｂ
对于ｘ ｆ（ｙ） ｙ，取ｙ Ａ，但ｘ Ｂ，不符合函数定义，
LZ ＝ ＝ｌｏｇ２ ＝１∈ ＝０∉
Z 故选项 不符合题意；
Ｃ
N 0 N N NY 对于ｘ ｆ（ｙ） ｙ， ｙ Ｂ，均有唯一确定的ｆ（ｙ），且ｆ（ｙ） Ｒ
＝ ＝ｌｏｇ２ ∀ ∈ ∈
Ａ，符合函数定义，故选项 符合题意．
＝ Ｄ
概念深度理解 风向解读
例 （多选）（ 广东六校联考， ）给定数集 Ａ Ｒ Ｂ 本题考查函数的定义，需要学生对函数定义中的几个关键点
２０２４ ９ ＝ ， ＝（０，
ｘ ｙ满足方程 ｘ ｙ 下列对应关系ｆ为函数的是 深刻理解，才能将正确选项全部选出，如： Ｃ 选项考查Ａ中的
＋∞）， ， ２ － ＝０，
每一个元素在Ｂ中都有唯一确定元素与之对应，体现新高考
ＡＢＤ
（ ）
对基础概念深入考查的特点和趋势．
ｆ Ａ Ｂ ｙ ｆ ｘ ｆ Ｂ Ａ ｙ ｆ ｘ
Ａ． ： → ， ＝ （ ） Ｂ． ： → ， ＝ （ ）
单调递减 则ａ的取值范围是 Ｄ
学生用书P8 ， （ ）
１． 概念深度理解 （ 新课标 ， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ Ａ．（－∞，－２］ Ｂ．［－２，０）
２０２４ Ⅰ ６ ５ （ ）
{ － ｘ２ －２ ａｘ － ａ ， ｘ ＜０，在Ｒ上单调递增 则ａ的取值范围是 ３． Ｃ （ ２ ．（ ０ ０ ２ ， ０ ２ 新 ］ 高考 Ⅱ ， ７ ， ５ 分，中）已知函 Ｄ．［ 数 ２， ｆ ＋ （ ∞ ｘ ） ） ＝ｌｇ（ ｘ２ －４ ｘ －５） 在
＝ ｘ ｘ ｘ ， ａ 单调递增 则ａ的取值范围是 Ｄ
ｅ ＋ｌｎ（ ＋１）， ≥０ （ ，＋∞） ， （ ）
Ｂ
（ ） Ａ．（－∞，－１］ Ｂ．（－∞，２］
Ａ．（－∞，０］ Ｂ．［－１，０］ Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．［５，＋∞）
４．（ 全国甲文， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ －（ ｘ －１）２．记 ａ
Ｃ．［－１，１］ Ｄ．［０，＋∞） ２０２３ １１ ５ （ ）＝ｅ ＝
２． 创新考法 （ 新课标 ， ， 分，中）设函数ｆ ｘ ｘ ａ æ ö æ ö æ ö
２０２４ Ⅱ ８ ５ （ ）＝（ ＋ ）· ｆ ç ２ ÷ ｂ ｆ ç ３ ÷ ｃ ｆ ç ６ ÷ 则 Ａ
è ø， ＝ è ø， ＝ è ø， （ ）
ｘ ｂ ．若ｆ ｘ 则ａ２ ｂ２ 的最小值为 Ｃ ２ ２ ２
ｌｎ（ ＋ ） （ ）≥０， ＋ （ ）
．ｂ ｃ ａ ．ｂ ａ ｃ
Ａ ＞ ＞ Ｂ ＞ ＞
１ １ ．ｃ ｂ ａ ．ｃ ａ ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ ＞ ＞ Ｄ ＞ ＞
８ ４
５．（ 新高考 ， ， 分，难）若定义在 Ｒ 的奇函数 ｆ ｘ 在
２０２０ Ⅰ ８ ５ （ ）
１ 单调递减 且ｆ 则满足ｘｆ ｘ 的ｘ的取
Ｃ．
２
Ｄ．１ （－∞，０） ， （２）＝０， （ －１）≥０
值范围是 Ｄ
３． 创新考法 （ 新课标 ， ， 分，中）设函数ｆ ｘ ａ ｘ （ ）
２０２４ Ⅱ ６ ５ （ ）＝ （ ＋
２ ｇ ｘ ｘ ａｘ．当ｘ 时 曲线ｙ ｆ ｘ 与ｙ Ａ．［－１，１］∪［３，＋∞） Ｂ．［－３，－１］∪［０，１］
１） －１， （ ）＝ｃｏｓ ＋２ ∈（－１，１） ， ＝ （ ） ＝
ｇ ｘ 恰有一个交点．则ａ Ｄ
Ｃ．［－１，０］∪［１，＋∞） Ｄ．［－１，０］∪［１，３］
（ ） ＝ （ ）
考点 2 函数的奇偶性 学生用书P8
１
Ａ．－１ Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
２ ｘ ｘ
１．（ 全国乙，文 ，理 ， 分，中）已知 ｆ ｘ ｅ 是偶函
４． 创新考法 （ 新课标 ， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ 的定 ２０２３ ５ ４ ５ （ ）＝ ａｘ
２０２４ Ⅰ ８ ５ （ ） ｅ －１
义域为Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则下 数 则ａ Ｄ
， （ ）＞（ －１）＋（ －２）， ＜３ ， （ ）＝ ， ， ＝ （ ）
列结论中一定正确的是 Ｂ
（ ） Ａ．－２ Ｂ．－１
ｆ ｆ
Ａ． （１０）＞１００ Ｂ． （２０）＞１０００ Ｃ．１ Ｄ．２
ｘ
ｆ ｆ ２．（ 新课标 ， ， 分，易）若ｆ ｘ ｘ ａ ２ －１为偶函
Ｃ． （１０）＜１０００ Ｄ． （２０）＜１００００ ２０２３ Ⅱ ４ ５ （ ）＝（ ＋ ）·ｌｎ ｘ
２ ＋１
考点 1 函数的单调性与最值 学生用书P8 数 则ａ Ｂ
， ＝ （ ）
１．（ 全国甲文， ， 分，易）下列函数中是增函数的为 Ｄ Ａ．－１ Ｂ．０
２０２１ ４ ５ （ ）
( )ｘ １
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ２ Ｃ． Ｄ．１
Ａ． （ ）＝－ Ｂ． （ ）＝ ２
３ ｘ
３．（ 全国乙理， ， 分，中）设函数ｆ ｘ １－ 则下列函数中
ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ３ｘ ２０２１ ４ ５ （ ）＝ ｘ，
Ｃ． （ ）＝ Ｄ． （ ）＝ １＋
２．（ 新课标 ， ， 分，易）设函数ｆ ｘ ｘ （ ｘ － ａ ）在区间 为奇函数的是 Ｂ
２０２３ Ⅰ ４ ５ （ ）＝２ （０，１） （ ）
专题二 函数及其性质 １ ５
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 为偶函数 ｆ ｘ 为奇函数 则 Ｂ
Ａ． （ －１）－１ Ｂ． （ －１）＋１ （ ＋２） ， （２ ＋１） ， （ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ ( )
Ｃ． （ ＋１）－１ Ｄ． （ ＋１）＋１ ｆ １ ｆ
Ａ． － ＝０ Ｂ． （－１）＝０
４．（ 课标 文， ， 分，中）设函数ｆ ｘ ｘ３ １ 则ｆ ｘ ２
２０２０ Ⅱ １０ ５ （ ）＝ －ｘ３， （ ）
Ｃ．
ｆ
（２）＝０ Ｄ．
ｆ
（４）＝０
Ａ ２．（ 全国甲理， ， 分，难）设函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ ｆ ｘ
（ ） ２０２１ １２ ５ （ ） ， （
是奇函数 且在 单调递增 为奇函数 ｆ ｘ 为偶函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ａｘ２
Ａ． ， （０，＋∞） ＋１） ， （ ＋２） ， ∈［１，２］ ， （ ）＝ ＋
是奇函数 且在 单调递减 ( )
Ｂ． ， （０，＋∞） ｂ．若ｆ ｆ 则ｆ ９ Ｄ
是偶函数 且在 单调递增 （０）＋（３）＝６， ＝ （ ）
Ｃ． ， （０，＋∞） ２
是偶函数 且在 单调递减
Ｄ． ， （０，＋∞） Ａ．－ ９ Ｂ．－ ３ Ｃ． ７ Ｄ． ５
５．（ 课标 理， ， 分，中）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ ４ ２ ４ ２
２０２０ Ⅱ ９ ５ （ ）＝ｌｎ｜２ ＋１｜－ｌｎ｜２ － ３．（ 新高考 ， ， 分，难）已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 且
则ｆ ｘ Ｄ ２０２２ Ⅱ ８ ５ （ ） ，
１｜， （ ） （ ）
( ) ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ ｆ 则 ２２ ｆ ｋ Ａ
Ａ．
是偶函数
，
且在 １
，＋∞
单调递增 （ ＋ ）＋（ － ）＝ （ ） （ ）， （１）＝１， ∑ｋ＝
１
（ ）＝ （ ）
２
( ) Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．０ Ｄ．１
Ｂ． 是奇函数 ， 且在 － １ ， １ 单调递减 ４．（ 全国乙理， ， 分，难）已知函数ｆ ｘ ｇ ｘ 的定义域
２ ２ ２０２２ １２ ５ （ ）， （ ）
( ) 均为Ｒ 且ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ．若ｙ ｇ ｘ 的
是偶函数 且在 １ 单调递增 ， （ ）＋ （２－ ）＝５， （ ）－ （ －４）＝ ７ ＝ （ ）
Ｃ． ， －∞，－ ２２
２ 图象关于直线ｘ 对称 ｇ 则 ｆ ｋ Ｄ
( ) ＝２ ， （２）＝４， ∑ｋ＝ （ ）＝ （ ）
是奇函数 且在 １ 单调递减 １
Ｄ． ， －∞，－
２ Ａ．－２１ Ｂ．－２２ Ｃ．－２３ Ｄ．－２４
６．（ ２０２３ 全国甲，文 １４ ，理 １３ ， ５ 分，易）若 ｆ （ ｘ ）＝ （ ｘ －１） ２ ＋ ａｘ ＋ ５．（多选）（ ２０２３ 新课标 Ⅰ ， １１ ， ５ 分，中）已知函数ｆ （ ｘ ） 的定义域
( ) 为Ｒ ｆ ｘｙ ｙ２ｆ ｘ ｘ２ｆ ｙ 则 ＡＢＣ
ｘ π 为偶函数 则ａ ． ， （ ）＝ （ ）＋ （ ）， （ ）
ｓｉｎ ＋ ， ＝ ２ ｆ
２ Ａ． （０）＝０
７．（ 新高考 ， ， 分，易）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ａ ｘ － ｘ ｆ
２０２１ Ⅰ １３ ５ （ ）＝ （ ·２ －２ ） Ｂ． （１）＝０
是偶函数 则ａ ． ｆ ｘ 是偶函数
， ＝ １ Ｃ． （ ）
ｘ 为ｆ ｘ 的极小值点
８．（ 全国乙文， ， 分，中）若ｆ ｘ ａ １ ｂ是奇函 Ｄ． ＝０ （ ）
２０２２ １６ ５ （ ）＝ ｌｎ ＋ ｘ ＋ ６．（多选）（ 新高考 ， ， 分，难）已知函数ｆ ｘ 及其导函
１－ ２０２２ Ⅰ １２ ５ （ ）
( )
数 则ａ １ ｂ ． 数ｆ ′ ｘ 的定义域均为 Ｒ 记ｇ ｘ ｆ ′ ｘ ．若 ｆ ３ ｘ
， ＝ － ， ＝ ｌｎ２ （ ） ， （ ）＝ （ ） －２ ，
２ ２
９．（ 新高考 ， ， 分，中）写出一个同时具有下列性质 ｇ ｘ 均为偶函数 则 ＢＣ
２０２１ Ⅱ１４ ５ ①②③ （２＋ ） ， （ ）
的函数ｆ ｘ ｆ（ｘ） ｘ４（ｘ Ｒ）（答案不唯一） ． ( )
（ ）： ＝ ∈ ｆ ｇ １
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ′ ｘ Ａ． （０）＝０ Ｂ． － ＝０
①（ １ ２）＝ （ １） （ ２）；② ∈（０，＋∞） ， （ ）＞０； ２
ｆ ′ ｘ 是奇函数． ｆ ｆ ｇ ｇ
③ （ ） Ｃ． （－１）＝ （４） Ｄ． （－１）＝ （２）
考点 3 函数的周期性和对称性 学生用书P9
１．（ 新高考 ， ， 分，中）设函数 ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 且
２０２１ Ⅱ ８ ５ （ ） ，
学生用书P10 ８ １０ ８０ ８２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１．（ 东北三省三校第一次联合模拟， ）已知函数ｙ ｆ ｘ 是 ３ ３ ９ ９
２０２４ ３ ＝ （ ） ４．（ 浙江金丽衢十二校第二次联考， ）若函数ｆ ｘ ｘ
ａ ２０２４ ３ （ ）＝ｌｎ（ｅ ＋１）＋
定义在Ｒ上的奇函数 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 若ｆ ａｘ为偶函数 则实数ａ的值为 Ａ
， ＜０ ， （ ）＝ ＋ ｘ ， （３）＝ ， （ ）
则ａ Ｂ １ １
－８， ＝ （ ） Ａ．－ Ｂ．０ Ｃ． Ｄ．１
２ ２
１ １ ｘ ｂ
Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．－ ５．（ 湖北 联盟模拟， ）已知函数ｆ ｘ ｘ ＋ ａ ｂ 为
３ ３ ２０２４ Ｔ８ ６ （ ）＝ ｌｇ ｘ ａ（ ≠ ）
ｘ ＋
２．（ ２０２４ 河北唐山一模， ４ ）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ ， 则ｆ （ ｘ ） 的最 偶函数 ， 若ｂ ＞１， 则ａ不可能为 （ Ｄ ）
－２
小值为 Ｃ
（ ） Ａ．－２０２４ Ｂ．－２ Ｃ．－ ２ Ｄ．－１
６．（ 福建福州质检， ）若函数ｆ ｘ ｜ ａ －２ ｘ ｜在区间 上
２０２４ ５ （ ）＝ ３ （１，２）
Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．２ ２ Ｄ．３
３．（ 江苏南通第二次调研， ） 已知函数 ｆ ｘ 单调递减 则ａ的取值范围是 Ｄ
２０２４ ４ （ ） ＝ ， （ ）
{ ２ ｘ ＋２ － ｘ ， ｘ ≤３， Ａ．（－∞，２］ Ｂ．（－∞，４］
ｆ ( ｘ ) ｘ 则ｆ （ｌｏｇ２９）＝ （ Ｂ ） Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．［４，＋∞）
， ＞３， ７．（ 江苏宿迁调研测试， ）已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ ｘ
２ ２０２４ ７ （ ）
１ ６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
满足ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ 且对于任意不相等的ｘ ｙ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｆ ｙ ｘ ｙ ．若函
（２－ ）＝ （ ）， ０≤ ≤１ ， （ ）＝２ －１， （ｌｏｇ２１２）＝ ， ∈ ， ｜ （ ）－ （ ）｜＜｜ － ｜
Ａ 数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ 则不等式ｇ ｘ ｘ２ ｇ ｘ 的解集是
（ ） （ ）－（ ）＝ ， （２ － ）＋ （ －２）＜０
Ｄ
１ １ １ １ （ ）
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
３ ４ ３ ２ Ａ．（－１，２）
８．（ 湖南常德模拟， ）已知奇函数ｙ ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的
２０２４ ３ ＝ （ ） Ｂ．（１，２）
连续函数 且在区间 上单调递增 则下列说法正确的
， （０，＋∞） ， Ｃ．（－∞，－１）∪（２，＋∞）
是 Ｃ
（ ） Ｄ．（－∞，１）∪（２，＋∞）
函数ｙ ｆ ｘ ｘ２ 在Ｒ上单调递增 ２．（ 安徽 联盟质量检测， ）若定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ
Ａ． ＝ （ ）＋ ２０２４ Ａ１０ ８ （ ），
函数ｙ ｆ ｘ ｘ２ 在 上单调递增 满足 ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ 且 ｆ 则ｆ
Ｂ． ＝ （ ）－ （０，＋∞） ２（ ＋ ） （ － ）＝ （２ ）＋ （２ ）， （１）＝ －１， （０）＋
函数ｙ ｘ２ｆ ｘ 在Ｒ上单调递增 ｆ ｆ ｆ Ｄ
Ｃ． ＝ （ ） （１）＋（２）＋…＋（２０２４）＝ （ ）
ｆ ｘ
函数ｙ （ ）在 上单调递增 Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．１
Ｄ． ＝ ｘ２ （０，＋∞） ３．（ 浙江温州二模， ）
２０２４ ８
９．（ 广东茂名一模， ）函数ｙ ｆ ｘ 和ｙ ｆ ｘ 均为Ｒ上的奇
２０２４ ６ ＝ （ ） ＝ （ －２） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 ｆ ｘ
（ ０， １ ） （ ） ＝
函数 ， 若ｆ （１）＝２， 则ｆ （２０２３）＝ （ Ａ ） { ｍ
１ ｘ是有理数 ｍ ｎ是互质的正整数
ｎ ， ｎ （ ， ），则下列结论正确
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．２
１０．（ 山东菏泽一模， ）已知ｆ ｘ ｘｈ ｘ 其中ｈ ｘ 是奇 ｘ是无理数
２０２４ ６ （ ）＝ （ ）， （ ） １， ，
函数且在Ｒ上为增函数 则 Ｃ 的是 Ａ
， （ ） （ ）
( )
ｆ １ ｆ －２ ３ ｆ －３ ２ ｆ ｘ 的图象关于ｘ １ 对称
Ａ． ｌｏｇ２ ＞（２ ）＞（２ ） Ａ． （ ） ＝
３ ２
( ) ( )
ｆ －２ ３ ｆ －３ ２ ｆ １ ｆ ｘ 的图象关于 １ １ 对称
Ｂ． （２ ）＞（２ ）＞ ｌｏｇ２ Ｂ． （ ） ，
３ ２ ２
( )
ｆ １ ｆ －３ ２ ｆ －２ ３ Ｃ． ｆ （ ｘ ） 在 （０，１） 单调递增
Ｃ． ｌｏｇ２
３
＞（２ ）＞（２ ）
ｆ ｘ 有最小值
( ) Ｄ． （ ）
ｆ －３ ２ ｆ －２ ３ ｆ １ ４．（多选）（ 广东一模， ）已知偶函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ
Ｄ． （２ ）＞（２ ）＞ ｌｏｇ２ ２０２４ １０ （ ） ，
３ ( )
１１．（ 辽宁沈阳育才中学模拟， ）函数ｙ ｘｆ ｘ 是定义在Ｒ ｆ １ ｘ 为奇函数 且ｆ ｘ 在 上单调递增 则下列结
２０２４ ７ ＝ （ ） ＋１ ， （ ） ［０，１］ ，
上的奇函数 且ｆ ｘ 在区间 上单调递增 若关于实 ２
， （ ） ［０，＋∞） ， 论正确的是 ＢＤ
数ｔ的不等式ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ 恒成立 则ｔ的取值范 （ ）
（ｌｏｇ３ ）＋（ｌｏｇ１ ３ ）＞２（２） ， ( ) ( )
围是 Ｄ ｆ ３ ｆ ４
（ ） Ａ． － ＜０ Ｂ． ＞０
( ) ( ) ２ ３
( )
１ １
Ａ． ０， ∪（３，＋∞） Ｂ． ０， ｆ ｆ ２０２４
３ ３ Ｃ． （３）＜０ Ｄ． ＞０
( ) ３
１ ５．（多选）（ 山东齐鲁名校联盟联考， ）已知函数ｆ ｘ 的定
Ｃ．（９，＋∞） Ｄ． ０， ∪（９，＋∞） ２０２４ ９ （ ）
９ 义域为Ｒ ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ 且
１２．（ 安徽皖江名校联盟二模， ）已知函数ｙ ｆ ｘ ｘ ， （２ ＋１） ， （４－ ）＝ （ ）， （０）＝ ２，
２０２４ ８ ＝ （ ）（ ≠０） ｆ ｘ 在 上单调递减 则 ＡＢＤ
满足ｆ ｘｙ ｆ ｘ ｆ ｙ 当ｘ 时 ｆ ｘ 则 Ｃ （ ） ［０，２］ ， （ ）
（ ）＝ （ ）＋（ ）－１， ＞１ ， （ ）＜１， （ ） ｆ
ｆ ｘ 为奇函数 Ａ． （１）＝０
Ａ． （ ） ｆ
若ｆ ｘ 则 ｘ Ｂ． （８）＝２
Ｂ． （２ ＋１）＞１， －１＜ ＜０ ｆ ｘ 在 上单调递减
Ｃ． （ ） ［６，８］
若ｆ １ 则ｆ ｆ ｘ 在 上有 个零点
Ｃ． （２）＝ ， （１０２４）＝－４ Ｄ． （ ） ［０，１００］ ５０
２ ６．（多选）（ 湖北新高考联考协作体模拟（五）， ）已知函
( ) ( ) ２０２４ １０
Ｄ． 若ｆ １ ２ ＝２， 则ｆ １０ １ ２４ ＝１０ 数ｆ （ ｘ ） 在Ｒ上可导 ， 且ｆ （ ｘ ） 的导函数为ｇ （ ｘ ） ．若ｆ （１）＝ １，
１３．（ ２０２４ 贵州黔东南二模， １４ ）若ｆ （ ｘ ） 为定义在Ｒ上的偶函数 ， ｆ （ ｘ ）＋ ｆ （４－ ｘ ）＝０， ｇ （２ ｘ ＋１） 为奇函数 ， 则下列说法正确的有
且ｆ ｘ 为奇函数 ｆ 则ｆ ｆ ． ＡＤ
（２ －３） ， （２）＝１， （３）＋（８）＝ －１ （ ）
１４．（ 湖北十一校第二次联考， ） 已知函数ｆ ｘ ｆ ｘ 是奇函数
２０２４ １２ （ ） ＝ Ａ． （ ）
{ｘ ｘ ( )
＋１， ≤０， 则关于ｘ的不等式ｆ ｘ 的解集为 （ ， Ｂ． ｇ （ ｘ ） 的图象关于点 － １ ，０ 对称
ｘ ｘ （ ）≤１ －∞ ２
ｌｎ（ ＋１）， ＞０，
ｆ ｘ ｆ ｘ
］ ． Ｃ． （２ ＋１）＋（１－２ ）＝０
ｅ－１
{ ａ ｘ ｘ ２０２４ ｆ ｋ
１５．（
２０２４
山东聊城一模，
１３
）若函数ｆ
（
ｘ
）＝
６ －
ｘ
，
ｘ
≤４，的值域 Ｄ．∑ｋ＝
１
（ ）＝０
ｌｏｇ２ ， ＞４ ７．（多选）（ 福建厦门第三次质量检测， ）定义在 Ｒ上的
为 则实数ａ的取值范围为 （ ， ） ． ２０２４ １０
（２，＋∞）， １ ＋∞ 函数ｆ ｘ 的值域为 且ｆ ｘ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ 则
（ ） （－∞，０）， （２ ）＋（ ＋ ） （ － ）＝０，
学生用书P11 ＡＣＤ
（ ）
１．（ 广西柳州三模， ）设函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 ｆ ｆ ｆ２
２０２４ ８ （ ） ， Ａ． （０）＝－１ Ｂ． （４）＋ （１）＝０
专题二 函数及其性质 １ ７
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ２０２４ ( ｋ )
Ｃ． （ ） （－ ）＝１ Ｄ． （ ）＋（－ ）≤－２ ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ
８．（多选）（
２０２４
浙江杭州二模，
１０
）已知函数ｆ
（
ｘ
）
对任意实数ｘ Ｃ． （ ）＝ （ ＋４） Ｄ．∑ｋ＝
１ ２
＝０
均满足
２
ｆ
（
ｘ
）＋
ｆ
（
ｘ２
－１）＝１，
则
（
ＡＣＤ
）
１２．（多选）（
２０２４
江苏南通二调，
１１
）已知函数ｆ
（
ｘ
），
ｇ
（
ｘ
）
的定义
ｆ ｘ ｆ ｘ 域均为Ｒ ｆ ｘ 的图象关于点 对称 ｇ ｇ
Ａ． （－ ）＝ （ ） ， （ ） （２，０） ， （０）＝ （２）＝ １，
ｇ ｘ ｙ ｇ ｘ ｙ ｇ ｘ ｆ ｙ 则 ＡＣＤ
ｆ （ ＋ ）＋ （ － ）＝ （ ） （ ）， （ ）
Ｂ． （ ２）＝１
ｆ ｘ 为偶函数
Ａ． （ ）
ｆ １
Ｃ． （－１）＝ ｇ ｘ 为偶函数
３ Ｂ． （ ）
ｇ ｘ ｇ ｘ
函数ｆ ｘ 在区间 上不单调 Ｃ． （－１－ ）＝－ （－１＋ ）
Ｄ． （ ） （ ２， ３）
９．（多选）（ 浙江丽水、湖州、衢州二模， ）已知函数 ｆ ｘ Ｄ． ｇ （１－ ｘ ）＝ ｇ （１＋ ｘ ）
２０２４ １１ （ ）
的定义域为Ｒ
，
且ｆ
（
ｘ
＋
ｙ
）
ｆ
（
ｘ
－
ｙ
）＝
ｆ２
（
ｘ
）－
ｆ２
（
ｙ
），
ｆ
（１）＝２，
ｆ
（
ｘ
＋ 学生用书P12
为偶函数 则 ＢＣＤ
１） ， （ ） 概念深度理解 （多选）（ 湖北七市州 月联考， ）我们
ｆ ｆ ｘ 为奇函数 ２０２４ ３ １１
Ａ． （３）＝２ Ｂ． （ ） 知道 函数ｙ ｆ ｘ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要
， ＝ （ ）
２０２４
ｆ ｆ ｋ 条件是函数ｙ ｆ ｘ 为奇函数．有同学发现可以将其推广为函数
Ｃ． （２）＝０ Ｄ．∑ｋ＝ （ ）＝０ ＝ （ ）
１ ｙ ｆ ｘ 的图象关于点Ｐ ａ ｂ 成中心对称图形的充要条件是函
１０．（多选）（ 福建莆田第二次教学质量检测， ）已知定义 ＝ （ ） （ ， ）
２０２４ １１
在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ ｘｙ ｘ ｙ 则 数ｙ ｆ ｘ ａ ｂ为奇函数．已知函数ｆ ｘ ４ 则下列结论正
（ ） ：（ ＋ ）＝ （ ）＋（ ）－３ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ）－ （ ）＝ ｘ ，
ＡＢＤ ２ ＋２
（ ） 确的有 ＢＣＤ
ｙ ｆ ｘ 是奇函数 （ ）
Ａ． ＝ （ ） 函数ｆ ｘ 的值域为
若ｆ 则ｆ Ａ． （ ） （０，２］
Ｂ． （１）＝１， （－２）＝４ 函数ｆ ｘ 的图象关于点 成中心对称图形
若ｆ 则ｙ ｆ ｘ ｘ３ 为增函数 Ｂ． （ ） （１，１）
Ｃ． （１）＝－１， ＝ （ ）＋ 函数ｆ ｘ 的导函数ｆ ′ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称
若 ｘ ｆ ｘ ｘ３ 则ｙ ｆ ｘ ｘ３ 为增函数 Ｃ． （ ） （ ） ＝１
Ｄ． ∀ ＞０， （ ）＋ ＞０， ＝ （ ）＋ 若函数ｇ ｘ 满足ｙ ｇ ｘ 为奇函数 且其图象与函数
１１．（多选）（ 安徽黄山第一次质量检测， ）已知函数ｆ ｘ Ｄ． （ ） ＝ （ ＋１）－１ ，
２０２４ １１ （ ） ｆ ｘ 的图象有 个交点 记为 Ａ ｘ ｙ ｉ
及其导函数ｆ ′ ｘ 的定义域均为Ｒ 记ｇ ｘ ｆ ′ ｘ ．若ｆ ｘ （ ） ２ ０２４ ， ｉ（ ｉ， ｉ）（ ＝１，２，…，
（ ） ， （ ）＝ （ ） （ ）
２０２４
满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 则 ｘ ｙ
（２＋３ ）＝ （－３ ）， （ －２） ＝２ ， ２０２４）， ∑ｉ＝ （ ｉ＋ ｉ）＝４０４８
且ｇ 则 ＢＣＤ １
（０）＝１， （ ）
ｆ ｘ 是奇函数 ｇ
Ａ． （ ） Ｂ． （１）＝０
