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专题二 不等式
2.1 不等式及其解法
基础篇
考点 一 不等式的概念与性质 ａ ｂ ａ ｂ
Ａ. ｃ >ｄ Ｂ. ｃ <ｄ
考向一 利用不等式性质比较大小
ａ ｂ ａ ｂ
１.(多选)( 届福建龙岩一中月考ꎬ )若１ Ｃ.ｄ> ｃ Ｄ.ｄ< ｃ
２０２３ ９ ａ
ｃ ｄ ｃｄ } ｃ ｄ
答案 Ｄ 解法一 < <０⇒ >０
１ 则下列结论中正确的是 : ｃ ｄ ⇒ｃｄ<ｃｄ<
<ｂ <０ꎬ ( ) < <０
ü
ａ２ ｂ２ ａｂ ｂ２ －１ －１ ï ï ａ ｂ ａ ｂ
Ａ. < Ｂ. < １ １ ⇒ ｄ > ｃ >０ý － － .
ａ ｂ ａ ｂ ａ３ ｂ３ ０⇒ｄ< ｃ <０ ï⇒ ｄ > ｃ ⇒ｄ< ｃ
Ｃ.｜ ｜＋｜ ｜>｜ ＋ ｜ Ｄ. > ａ ｂ þ ï
> >０
答案 ＡＢＤ 因为１ １ 所以 ｂ ａ . 解法二 依题意取 ａ ｂ ｃ ｄ
ａ<ｂ <０ꎬ < <０ : ＝２ꎬ ＝１ꎬ ＝－２ꎬ ＝－１ꎬ
代入验证得 均错 只有 正确.
对于 由于 ｙ ｘ２ 在 ｘ 上单调递 Ａ、Ｂ、Ｃ ꎬ Ｄ
Ａꎬ ＝ ∈(－∞ꎬ０)
４.(多选)( 广东汕头二模ꎬ )已知 ａ ｂ ｃ
减 所以当 ｂ ａ 时 ａ２ ｂ２ 故 正确 对于
２０２２ ９ ꎬ ꎬ
ꎬ < <０ ꎬ < ꎬ Ａ ꎬ
满足 ｃ ａ ｂ 且 ａｃ 那么下列各式中一定
ｂ ａ 不等式两边同乘负数 ｂ 得 ａｂ ｂ２ 故
< < ꎬ <０ꎬ
Ｂꎬ < ꎬ < ꎬ
成立的是
正 确 对 于 因 为 ｂ ａ 所 以
( )
Ｂ ꎬ Ｃꎬ < < ０ꎬ
ａｃ ａ ｃ ｃ ｂ ａ
ａ ｂ ａ ｂ 故 错误 对于 由于ｙ
｜ ｜＋｜ ｜ ＝ ｜ ＋ ｜ꎬ Ｃ ꎬ Ｄꎬ ＝ Ａ. ( － )>０ Ｂ. ( － )<０
ｘ３ 在 ｘ
∈(－∞ꎬ０)
上单调递增
ꎬ
所以当 ｂ
<
ａ
< Ｃ.
ｃｂ２
<
ａｂ２
Ｄ.
ａｂ
>
ａｃ
时 ａ３ ｂ３ 故 正确.故选 答案 ＢＣＤ 因为ａ
ꎬ
ｂ
ꎬ
ｃ 满足ｃ
<
ａ
<
ｂ
ꎬ
且ａｃ
<
０ ꎬ > ꎬ Ｄ ＡＢＤ.
２.( 山东日照二模ꎬ )若 ａ ｂ ｃ 为实数 且 所以 ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ａ 所以
０ꎬ <０ꎬ >０ꎬ >０ꎬ － >０ꎬ － >０ꎬ
２０２２ ４ ꎬ ꎬ ꎬ
ａ ｂ ｃ 则下列不等关系一定成立的是
ａｃ
(
ａ
－
ｃ
)<０ꎬ
ｃ
(
ｂ
－
ａ
)<０ꎬ
ｃｂ２
<
ａｂ２
ꎬ
ａｂ
>
ａｃ
ꎬ
故
< ꎬ >０ꎬ
选
ＢＣＤ.
( )
５.(多选)( 河北承德模拟ꎬ )若实数 ａ ｂ
２０２２ ９ ꎬ
ａ ｃ ｂ ｃ １ １
Ａ. ＋ < ＋ Ｂ.ａ<ｂ 满足 ａ４ ａ３ｂ 则下列选项中一定成立的有
< ꎬ
ａｃ ｂｃ ｂ ａ ｃ
Ｃ. > Ｄ. － > ( )
答案 Ａ 对于 由不等式的基本性质知 ａ２ ｂ２ ａ３ ｂ３
Ａꎬ ꎬ Ａ. < Ｂ. <
ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ 正确 对于 若 ａ ｂ ａ
5 < ⇒ ＋ < ＋ ꎬ ꎻ Ｂꎬ ＝－２ꎬ ＝－ ａ ｂ
－
年 Ｃ.ｅ <１ Ｄ.ｌｎ ｂ <０
高
则１ １ 错误
考
3
１ꎬ ａ>ｂꎬ ꎻ 答案 ＡＤ 因为 ａ４
<
ａ３ｂ
ꎬ
所以 ａ３
(
ａ
－
ｂ
)<０ꎬ
年
模
对于 由不等式的基本性质知 ｃ ａ ｂ {ａ３ {ａ３
拟 Ｃꎬ ꎬ >０ꎬ０< < 所以 <０ꎬ或 >０ꎬ 所以 ａ ｂ 或 ｂ ａ
ａｃ ｂｃ 错误 对于 ａ ｂ ｂ ａ 又 ｃ ａ ｂ ａ ｂ ０> > > >
A ⇒ < ꎬ ꎻ Ｄꎬ < ⇒ － >０ꎬ >０ꎬ － >０ － <０ꎬ
版 所以无法判断 ｂ ａ 与 ｃ 的大小 错误. 所以 ｂ２ ａ２ 故 正确
－ ꎬ ０ꎬ > ꎬ Ａ ꎻ
高
考
３.(
２０１４
四川ꎬ
４
ꎬ
５
分)若 ａ
>
ｂ
>０ꎬ
ｃ
<
ｄ
<０ꎬ
则一 若
０>
ａ
>
ｂ
ꎬ
则 ａ３
>
ｂ３
ꎬ
故
Ｂ
错误
ꎻ
数
学 定有 若 ａ ｂ 则 ａ ｂ 所以 ａ － ｂ 故 错误
( ) ０> > ꎬ － >０ꎬ ｅ >１ꎬ Ｃ ꎻ
２２
ａ 答案 Ｄ 对于 当 ａ ｂ 时 不等
因为 ａ ｂ 或 ｂ ａ 所以 Ａꎬ ＝－２ꎬ ＝－１ ꎬ
０> > > >０ꎬ ０<ｂ <１ꎬ
式不成立 故是假命题 对于 当 ｃ 时
ꎬ ꎻ Ｂꎬ ＝０ ꎬ
ａ
不满足 故为假命题 对于 当 ｃ ａ ｂ
所以 故 正确.故选 .
ꎬ ꎻ Ｃꎬ ＝３ꎬ ＝２ꎬ
ｌｎ ｂ <０ꎬ Ｄ ＡＤ
ａ ｂ
时 ２ １ 不满足 故为假命
考向二 作差（商）法比较大小问题 ＝１ ꎬｃ ａ＝ >ｃ ｂ＝ ꎬ ꎬ
－ ３－２ － ２
１.( 届安徽十校联考ꎬ )已知实数 ａ ｂ ｃ ａ ａ ｃ
２０２３ ５ > > ꎬ 题 对于 因为 ａ ｂ ｃ 所以 ＋
ａｂｃ 则下列结论一定正确的是 ꎻ Ｄꎬ > > >０ꎬ ｂ －ｂ ｃ ＝
＋
≠０ꎬ ( )
ａ ａ ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ａｃ ｂｃ ａ ｂ ｃ ａ
ａｂ ｂｃ ( ＋ )－ ( ＋ ) － ( － ) 即
Ａ. ｂ > ｃ Ｂ. > ｂ ｂ ｃ ＝ ｂ ｂ ｃ ＝ ｂ ｂ ｃ >０ꎬ ｂ
( ＋ ) ( ＋ ) ( ＋ )
ａ ｃ
１ １ ａｂ ｂｃ ａｃ ｂ２ ＋ 故为真命题.故选 .
Ｃ.ａ< ｃ Ｄ. ＋ > ＋ >ｂ ｃꎬ Ｄ
＋
答案 Ｄ 由已知条件可得 ａ ｂ ｃ ４.(多选)( 福建宁德一中期中ꎬ )下列
≠０ꎬ ≠０ꎬ ２０２２ １０
. 四个命题中 真命题是
≠０ ꎬ ( )
ａ ａ
对于 若 ａ ｂ ｃ 则１ １ 则 故 若１ １ 则 ｘ ｙ
Ａꎬ > > >０ꎬ ｂ < ｃ ꎬ ｂ < ｃ ꎬ Ａ Ａ. ｘ >ｙꎬ <
错误 对于 若 ａ ｂ ｃ 则 ａｂ ｂｃ 故
ｘ ｙ
ꎻ Ｂꎬ >０> > ꎬ <０ꎬ >０ꎬ
若 ｘｙ 则
Ｂ. >０ꎬ ｙ ＋ｘ≥２
ａｂ ｂｃ 故 错误 对于 若 ａ ｂ ｃ 则１
< ꎬ Ｂ ꎻ Ｃꎬ >０> > ꎬ ａ>
ｙ ｙ ｃ
若 ｘ ｙ ｃ 则 ＋
Ｃ. > >０ꎬ >０ꎬ ｘ <ｘ ｃ
１ 故 错误 对于 因为 ａ ｂ ｃ ａｂｃ ＋
ｃ ꎬ Ｃ ꎻ Ｄꎬ > > ꎬ ≠０ꎬ
若 ｘｙ ｘ ｙ 则 ｘ ｙ
Ｄ. ＋１> ＋ ꎬ >１ꎬ >１
所以ａ ｂ 且ｂ ｃ 因此ａｂ ｂｃ ａｃ ｂ２ ａ
－ >０ － >０ꎬ ＋ － － ＝(
答案 ＢＣ 取 ｘ ｙ 则１ １成立
ｂ ｂ ｃ 因此 正确.故选 Ａ. ＝１ꎬ ＝－１ꎬ ｘ > ｙ ꎬ
－ )( － )>０ꎬ Ｄ Ｄ.
２.( 重庆育才中学开学练ꎬ )若 Ｍ ｘ２ ｙ２ 但ｘ ｙ 不成立 故 中命题是假命题. 因为
２０２２ ９ ＝ ＋ < ꎬ Ａ Ｂ.
Ｎ ｘ ｙ 则 Ｍ 与 Ｎ 的大小关系为 ｘ ｙ ｘ ｙ
＋１ꎬ ＝２( ＋ －１)ꎬ ｘｙ 所以 因此有
>０ꎬ ｙ >０ꎬ ｘ >０ꎬ ｙ ＋ ｘ ≥
( )
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ. < Ｂ. > 当且仅当 时取等号 故
Ｍ Ｎ 不能确定 ２ ｙｘ ＝２ꎬ ｙ ＝ ｘ ꎬ
Ｃ. ＝ Ｄ.
答案 Ｂ 因为 Ｍ Ｎ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｙ ｙ ｃ
－ ＝ ＋ ＋１－２( ＋ －１) 中 命 题 是 真 命 题. ＋
Ｂ Ｃ. ｘ － ｘ ｃ ＝
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｘ ２ ｙ ２ ＋
＝ ＋ ＋１－２ －２ ＋２＝( －１) ＋( －１) ＋１>
ｙ ｘ ｃ ｘ ｙ ｃ ｃ ｙ ｘ
所以 Ｍ Ｎ 故选 ( ＋ )－ ( ＋ ) ( － ) 因为 ｘ ｙ ｃ
０ꎬ > ꎬ Ｂ. ｘ ｘ ｃ ＝ ｘ ｘ ｃ ꎬ > >０ꎬ >０ꎬ
３.( 江苏滨海中学月考ꎬ )下列命题为真 ( ＋ ) ( ＋ )
２０２１ ６
ｃ ｙ ｘ ｙ ｙ ｃ ｙ ｙ ｃ
命题的是 所以 ( － ) 则 ＋ 即 ＋ 因此
( ) ｘ ｘ ｃ <０ꎬ ｘ －ｘ ｃ<０ꎬ ｘ <ｘ ｃꎬ
( ＋ ) ＋ ＋
若 ａ ｂ 则１ １ 中命题是真命题. .由 ｘｙ ｘ ｙ ｘｙ ｘ
Ａ. < <０ꎬ ａ<ｂ Ｃ Ｄ ＋１> ＋ ⇒ ＋１－
ｙ ｘ ｙ ｙ ｙ ｘ
若 ａ ｂ 则 ａｃ２ ｂｃ２ － >０⇒ ( －１)－( －１)>０⇒( －１)( －１)>
Ｂ. > >０ꎬ > {ｙ {ｙ {ｘ
ａ ｂ 于是有 －１>０ꎬ或 －１<０ꎬ即 >１ꎬ或 专
若 ｃ ａ ｂ 则 ０ꎬ ｘ ｘ ｙ 题
Ｃ. > > >０ꎬ ｃ ａ<ｃ ｂ －１>０ －１<０ꎬ >１ 二
－ －
{ｘ
ａ ａ ｃ 不
若 ａ ｂ ｃ 则 ＋ <１ꎬ因此 中命题是假命题.故选 . 等
Ｄ. > > >０ꎬ ｂ >ｂ ｃ ｙ Ｄ ＢＣ 式
＋ <１ꎬ
２３
考点 二 不等式的解法
５.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)已知 ａ ３１ ｂ
２０２２ １２ ５ ＝ ꎬ ＝
３２ 考向一 解一元二次不等式
１ ｃ １ 则 １.( 届山东潍坊临朐实验中学月考ꎬ )若
ｃｏｓ ꎬ ＝４ｓｉｎ ꎬ ( )
２０２３ ６
４ ４
ｃ ｂ ａ ｂ ａ ｃ
关于 ｘ 的不等式 ａ２ ｘ２ ａ ｘ 的
( －４) ＋( ＋２) －１≥０
Ａ. > > Ｂ. > >
解集不为空集 则实数 ａ 的取值范围为
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ
ꎬ
Ｃ. > > Ｄ. > >
æ ö
答案 Ａ 解法一 当ｘ ç π÷时 ｘ ｘ ( )
: ∈è０ꎬ ø ꎬｓｉｎ < < æ ù
２ ç ６ ú
ú
æ ö ｃ Ａ.è－２ꎬ û
ｘ 又 １ ç π÷ 所以 １ １.由 ５
ｔａｎ ꎬ ∈è０ꎬ øꎬ ｔａｎ > ｂ ＝ é ù
４ ２ ４ ４ ê ６ ú
ê ú
Ｂ.ë－２ꎬ û
１ １ 可得 ｃ ｂ.当 ｘ Ｒ 时 ｘ ５
４ｔａｎ >４× ＝１ꎬ > ∈ ꎬ｜ ｜ é ö
４ ４ ê ６ ÷
æ ｘ ö２ ｘ
Ｃ.(－∞ꎬ－２)∪ë ê ꎬ＋∞ø
ｘ 即 ｘ２ ２ｘ 所以ç ÷ ２ ５
≥｜ｓｉｎ ｜ꎬ ≥ｓｉｎ ꎬ è ø ≥ｓｉｎ ꎬ é ö
２ ２ ê ６ ÷
ｘ２ ｘ ｘ２ Ｄ.(－∞ꎬ－２]∪ë ê ꎬ＋∞ø
所以 ２ ｘ 即 ｘ ５
≥２ｓｉｎ ＝１－ｃｏｓ ꎬ ｃｏｓ ≥１－ ꎬ 答案 Ｃ 分情况讨论 当 ａ２ 即 ａ
２ ２ ２ :(１) －４＝０ꎬ
或 ａ 时.
当且仅当 ｘ 时等号成立 所以 １ ＝２ ＝－２
＝０ ꎬ ｃｏｓ >１－
４
若 ａ 则 ｘ ｘ １ 解集不为空集
æ ö２ ＝２ꎬ ４ －１≥０ꎬ ≥ ꎬ ꎬ
ç １÷ ４
è ø
４ １ ３１ 即 ｂ ａ.综上可知 ｃ ｂ ａ 符合题意
＝１－ ＝ ꎬ > ꎬ > > ꎬ ꎻ
２ ３２ ３２ 若 ａ 则 ｘ 不等式无解 不符
故选 . ＝－２ꎬ ０ －１≥０ꎬ ꎬ
Ａ 合题意 舍去.
æ ö ꎬ
解法二 当 ｘ ç π÷时 ｘ ｘ ｘ. 当ａ２ 即ａ 或ａ 时 不等式解
: ∈è０ꎬ ø ꎬｓｉｎ < <ｔａｎ (２) －４>０ꎬ >２ <－２ ꎬ
２
集必不为空集 符合题意
比较 ａ 与 ｂ. ꎬ ꎻ
①
当 ａ２ 时 若使不等式解集不为空
æ ö (３) －４<０ ꎬ
ｂ １ ç １÷ ２ １ 故 ｂ ａ １
＝ｃｏｓ ＝ｃｏｓè２× ø ＝１－２ｓｉｎ ꎬ － ＝ 集 则 应 满 足 条 件
４ ８ ８ ３２ ꎬ
２ １ æ ç １ ２ １ ö ÷ é ê ê æ ç１ ö ÷ ２ ２ １ ù ú ú
{ａ２
－４<０ꎬ 解得６ ａ .
－２ｓｉｎ ８ ＝２è ６４ －ｓｉｎ ８ ø ＝２ ëè ８ ø －ｓｉｎ ８ û Δ ＝( ａ ＋２) ２ ＋４( ａ２ －４)≥０ꎬ ５ ≤ <２
ｂ ａ. 综上 可得实数 ａ 的取值范围为
>０ꎬ∴ > ꎬ (－∞ꎬ－２)
比较 ｂ 与 ｃ.
é ö
② ê ６ ÷.
ê
æ ö ∪ë ꎬ＋∞ø
当 ｘ ç π÷时 由 ｘ ｘ 可知 １ １ ５
∈è０ꎬ ø ꎬ <ｔａｎ <ｔａｎ ２.(多选)( 届山西长治质量检测ꎬ )已
２ ４ ４
5 ２０２３ １０
年 高 ｓｉｎ １ 知函数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ ( ａ >０) 有且只有一个零
考
４ 点 则
3 ＝ ꎬ ꎬ ( )
年 １
模 ｃｏｓ ａ２ ｂ２
拟 ４ Ａ. － ≤４
A １ １ 即 ｂ ｃ.综上可知 ｃ ｂ ａ.故 ａ２ １
版 ∴ ｃｏｓ <４ｓｉｎ ꎬ < ꎬ > > Ｂ. ＋ｂ≥４
４ ４
高 选 . 若不等式 ｘ２ ａｘ ｂ 的解集为 ｘ ｘ 则
考 Ａ Ｃ. ＋ － <０ ( １ꎬ ２)ꎬ
数
ｘ ｘ
学
１ ２>０
２４
若不等式 ｘ２ ａｘ ｂ ｃ 的解集为 ｘ ｘ 且 漏”ꎬ一般从如下三个方面进行考虑:
Ｄ. ＋ ＋ < ( １ꎬ ２)ꎬ
ｘ ｘ 则 ｃ ( )关于不等式类型的讨论:二次项的系数 ａ
｜ １ － ２｜ ＝４ꎬ ＝４ １ >
答案 ＡＢＤ 因为函数ｙ ｘ２ ａｘ ｂ ａ 有 ꎬａ ꎬａ ꎻ
＝ ＋ ＋ ( >０) ０ ＝０ <０
且只有一个零点 所以必有 ａ２ ｂ 即 ａ２ ( )关于不等式对应的方程的根的讨论:两根
ꎬ －４ ＝０ꎬ ２
ｂ ｂ .ａ２ ｂ２ ｂ ｂ２ ｂ２ ｂ (Δ )ꎬ无根(Δ )ꎻ
＝４ ( >０) － －４＝４ － －４＝－( －４ ＋ ≥０ <０
ｂ ２ ｂ 时 等号成立 即有 ａ２ ( )关于不等式对应的方程根的大小的讨论:
４)＝ －( －２) ≤０ꎬ ＝２ ꎬ ꎬ ３
ｂ２ 故 正确 ｘ ｘ ꎬｘ ｘ ꎬｘ ｘ .
－ ≤４ꎬ Ａ ꎻ １> ２ １ ＝ ２ １< ２
ａ２ １ ｂ １ ｂ １ 当且仅当 ｂ
＋ｂ ＝４ ＋ ｂ ≥２ ４ ｂ ＝４ꎬ ＝
４.( 天津文ꎬ ꎬ 分)设 ｘ Ｒ 使不等式
２０１９ １０ ５ ∈ ꎬ
１时 取得等号 故 正确 ｘ２ ｘ 成立的 ｘ 的取值 范 围 为
ꎬ ꎬ Ｂ ꎻ ３ ＋ － ２ < ０
２
.
由不等式 ｘ２ ａｘ ｂ 的解集为 ｘ ｘ 知
＋ － <０ ( １ꎬ ２)ꎬ
æ ö
ｘ ｘ 为方程ｘ２ ａｘ ｂ 的两根 可得ｘ ｘ 答案 ç ２ ÷
１ꎬ ２ ＋ － ＝０ ꎬ １ ２ ＝ è－１ꎬ ø
３
ｂ 故 错误
－ <０ꎬ Ｃ ꎻ 解析 ｘ２ ｘ ｘ ｘ 所以
由不等式 ｘ２ ａｘ ｂ ｃ 的解集为 ｘ ｘ 知 ３ ＋ －２<０⇔( ＋１)(３ －２)<０ꎬ
＋ ＋ < ( １ꎬ ２)ꎬ
ｘ ｘ 为方程 ｘ２ ａｘ ｂ ｃ 的两根 可得 ｘ ｘ ２.
１ꎬ ２ ＋ ＋ － ＝０ ꎬ １ ＋ －１< <
３
ｘ ａ ｘ ｘ ｂ ｃ
２ ＝－ ꎬ １ ２ ＝ － ꎬ 考向二 三个“二次”之间的关系应用
则 ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ａ２ ｂ ｃ
｜ １ － ２｜ ＝( １ ＋ ２) －４ １ ２ ＝ －４( － )＝ １.( 山东师范大学附中一模ꎬ )若不等式
ａ２ ｂ ｃ ｃ 解得 ｃ 故 正确.故 ２０２１ ４
－４ ＋４ ＝４ ＝１６ꎬ ＝４ꎬ Ｄ
ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ ｘ 则不等
选 ＋ ＋ >０ { ｜－１< <２}ꎬ
ＡＢＤ.
式 ａ ｘ２ ｂ ｘ ｃ ａｘ 的解集为
３.(多选)( 南京一中阶段练ꎬ )对于给 ( ＋１)＋ ( －１)＋ <２
２０２１ １０
定实数ａ 关于ｘ 的一元二次不等式 ａｘ ( )
ꎬ ( －１)
ｘ ｘ ｘ ｘ 或 ｘ
ｘ 的解集可能是 Ａ.{ ｜－２< <１} Ｂ.{ ｜ <－２ >１}
( ＋１)<０ ( )
ｘ ｘ 或 ｘ ｘ ｘ
{ }
Ｃ.{ ｜ <０ >３} Ｄ.{ ｜０< <３}
ｘ ｘ １ ｘ ｘ
Ａ. －１< <ａ Ｂ.{ ｜ ≠－１} 答案 Ｃ 由不等式 ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集为
＋ ＋ >０
{ } ｘ ｘ 得 ｘ 与 ｘ 是方程 ａｘ２
ｘ １ ｘ Ｒ { ｜－１< <２}ꎬ ＝－１ ＝２ ＋
Ｃ. ａ< <－１ Ｄ.
ｂｘ ｃ 的两根 且 ａ 由根与系数的关系
＋ ＝０ ꎬ <０ꎬ
答案 ＡＢ 当 ａ 时 ｘ １ 当 ｂ ｃ
(１) >０ ꎬ－１< <ａꎻ(２) 知 即 ｂ ａ ｃ
－ａ ＝－１＋２＝１ꎬａ ＝－１×２＝－２ꎬ ＝－ ꎬ
ａ 时 ｘ １或 ｘ 当 ａ 时 ｘ ａ 则不等式 ａ ｘ２ ｂ ｘ ｃ ａｘ
－１< <０ ꎬ <ａ >－１ꎻ(３) ＝－１ ꎬ ＝－２ ꎬ ( ＋１)＋ ( －１)＋ <２
为 ａ ｘ２ ａ ｘ ａ ａｘ 整理得 ａｘ２
( ＋１)－ ( －１)－２ <２ ꎬ －
当 ａ 时 ｘ 或 ｘ １.故
≠－１ꎻ(４) <－１ ꎬ <－１ > ａ ａｘ 即 ａｘ ｘ 由 ａ 得 ｘ 或 ｘ
３ <０ꎬ ( －３)<０ꎬ <０ <０ >
选 故选 .
ＡＢ. ３ꎬ Ｃ
名师点睛 ２.( 山东新泰一中月考)若不等式 ａｘ２ ｘ
２０２２ － － 专
含参数的一元二次不等式的解法 { } 题
ｃ 的解集为 ｘ ｘ １ 则函数 ｙ ｃｘ２ ｘ 二
在解含有参数的一元二次不等式时ꎬ往往要对 >０ －１< < ꎬ ＝ －
２ 不
等
参数进行分类讨论ꎬ为了做到分类“不重不 ａ 的图象可以为 式
－ ( )
２５
{ｂ ａ
对于 由 的分析过程可知 ＝－ ꎬ 所以
Ｃꎬ Ｂ ｃ ａ
＝－１２ ꎬ
ｃｘ２ ｂｘ ａ ａｘ２ ａｘ ａ ｘ２ ｘ
－ ＋ <０⇔－１２ ＋ ＋ <０⇔１２ － －１>０
ｘ １或 ｘ １ 所以不等式 ｃｘ２ ｂｘ ａ 的
⇔ <－ > ꎬ － ＋ <０
Ａ Ｂ ４ ３
{ }
解集为 ｘ ｘ １或 ｘ １ 故 正确
<－ > ꎬ Ｃ ꎻ
４ ３
对于 ａ ｂ ｃ ａ ａ ａ ａ 故 不
Ｄꎬ ＋ ＋ ＝ － －１２ ＝－１２ <０ꎬ Ｄ
正确.故选
ＡＣ.
４.(多选)( 江苏盐城 月练习ꎬ )已知
Ｃ Ｄ ２０２１ １１ １０
不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ ｍ ｘ ｎ 其
答案 Ｃ 由题意可得 和１是方程 ａｘ２ ｘ ＋ ＋ >０ { ｜ < < }ꎬ
－１ －
中 ｍ 则以下选项正确的有
２
>０ꎬ ( )
ì ï ａ
１ １ Ａ. <０
ï ï－１＋ ＝ ａꎬ
ｃ 的两个根 且 ａ í ２ 解 Ｂ. ｃ >０
－ ＝０ ꎬ <０ꎬ∴ ï ｃ
{ }
ï １
î ï －１× ＝－ａꎬ ｃｘ２ ｂｘ ａ 的解集为 ｘ １ ｘ １
２ Ｃ. ＋ ＋ >０ ｎ< <ｍ
得 ａ ｃ 则 ｙ ｃｘ２ ｘ ａ ｘ２ ｘ { }
＝－２ꎬ ＝－１ꎬ ＝ － － ＝－ － ＋２＝－
ｃｘ２ ｂｘ ａ 的解集为 ｘ ｘ １或 ｘ １
ｘ ｘ 其图象开口向下 与 ｘ 轴交于 Ｄ. ＋ ＋ >０ <ｎ >ｍ
( ＋２)( －１)ꎬ ꎬ
.故选 . 答案 ＡＣ 因为不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集
(－２ꎬ０)ꎬ(１ꎬ０) Ｃ ＋ ＋ >０
３.(多选)( 广东东莞中学检测ꎬ )已知 为 ｘ ｍ ｘ ｎ 其中 ｍ 所以 ａ ｍ ｎ 是
２０２１ １０ { ｜ < < }ꎬ >０ꎬ <０ꎬ ꎬ
关于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ ｘ
方程 ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝ ０
的 两 个 根
ꎬ
所 以
＋ ＋ ≥０ { ｜
ì ｂ
或 ｘ 则下列说法正确的是 ï ｍ ｎ
≤－３ ≥４}ꎬ ( ) ï ï ＋ ＝－ａꎬ {ｂ ｍ ｎ ａ
ａ í 解得 ＝－( ＋ ) ꎬ因为 ｍ ｍ
Ａ. >０ ï ｃ ｃ ｍｎａ >０ꎬ
不等式 ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ ｘ ï ï ｍｎ ＝ ꎬ
Ｂ. ＋ >０ { ｜ <－４} î ＝ ａꎬ
Ｃ.
不 等 式 ｃｘ２
－
ｂｘ
＋
ａ
< ０
的 解 集
ｎ 所以 ｎ 又 ａ 所以 ｃ ｍｎａ
< ꎬ >０ꎬ <０ꎬ ＝ <０ꎬ
{ }
为 ｘ ｘ １或 ｘ １
ｃｘ２
＋
ｂｘ
＋
ａ
>０
可化为 ｍｎａｘ２
－(
ｍ
＋
ｎ
)
ａｘ
＋
ａ
>０ꎬ
<－ >
４ ３ 即 ｍｎｘ２ ｍ ｎ ｘ 即 ｍｘ ｎｘ
－( ＋ ) ＋１<０ꎬ ( －１)( －１)<
ａ ｂ ｃ
Ｄ. ＋ ＋ >０
答案 ＡＣ 由已知条件可知 二次函数 ｙ ０ꎬ
因为 ｎ
>
ｍ
>０ꎬ
所以１
ｎ<ｍ
１
ꎬ
所以不等式 ｃｘ２
＋
ꎬ ＝
ａｘ２ ｂｘ ｃ 图象的开口向上 即 ａ 故 正 { }
＋ ＋ ꎬ >０ꎬ Ａ ｂｘ ａ 的解集为 ｘ １ ｘ １ .综上 正
5
确 对于 由已知得 方程 ａｘ２ ｂｘ ｃ 的 ＋ >０ ｎ< <ｍ ꎬＡＣ
ꎻ Ｂꎬ ꎬ ＋ ＋ ＝０
年
确 错误.故选 .
高 两根 为 由 根 与 系 数 的 关 系 得
ꎬＢＤ ＡＣ
考 － ３、 ４ꎬ
3 ì ｂ
５.( 届山东潍坊临朐实验中学月考ꎬ )若
ï ２０２３ １３
年
模 ï ï－ａ ＝－３＋４ꎬ {ｂ ａ 关于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ
拟 í 解得 ＝－ ꎬ 因此 ｂｘ ｃ ＋ ＋ >０ { ｜
A
ï
ï
ｃ ｃ
＝－１２
ａ
ꎬ
＋ >０⇔－
－１<
ｘ
<３}ꎬ
则关于 ｘ 的不等式 ｃｘ２
＋
ｂｘ
＋
ａ
>０
的
ï
版 îａ ＝－３×４ꎬ
解集为 .
高
ａｘ ａ 由于 ａ 所以 ｘ 则不等式 { }
考 －１２ >０ꎬ >０ꎬ <－１２ꎬ
数 答案 ｘ ｘ 或 ｘ １
学 ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ ｘ 故 不正确 <－１ >
＋ >０ { ｜ <－１２}ꎬ Ｂ ꎻ ３
２６
ｂ 所以 ｍ 或 ｍ
解析 由已知可得 ａ 且 １１ꎬ ２－ １１ ≤ ≤－１ ５≤ ≤２＋
<０ꎬ －１＋３＝－ａꎬ(－１)
故实数 ｍ 的最大值为 最小值
ｃ １１ꎬ ２＋ １１ꎬ
即 ｂ ａ ｃ ａ 则关于 ｘ 的
为 它们的和为 .
×３＝ ａꎬ ＝－２ >０ꎬ ＝－３ >０ꎬ
２－ １１ꎬ ２－ １１＋２＋ １１ ＝４
不等式 ｃｘ２
＋
ｂｘ
＋
ａ
>０
即为
－３
ａｘ２
－２
ａｘ
＋
ａ
>０ꎬ
即 ７.(
２０２２
山东潍坊安丘等三县测试ꎬ
１７
)已知函
ｘ２ ｘ 所以 ｘ ｘ 解得 ｘ 数 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ 关于 ｘ 的不等式 ｆ ｘ
３ ＋２ －１>０ꎬ (３ －１)( ＋１)>０ꎬ < ( )＝ ＋ ＋２ꎬ ( )>０
的解集为 ｘ ｘ .
或 ｘ １ 则 所 求 不 等 式 的 解 集 { ｜－２< <１}
－ １ > ꎬ 求实数 ａ ｂ 的值
３ (１) ꎬ ꎻ
{ }
为 ｘ ｘ 或 ｘ １ . (２)
若关于 ｘ 的不等式 ａｘ２
＋２
ｘ
－３
ｂ
>０
的解集
<－１ >
３ 为 Ａ 关于 ｘ 的不等式 ａｘ ｂｍ 的解集为
ꎬ ３ ＋ <０
６.( 届山东潍坊五县联考ꎬ )关于 ｘ 的方
Ｂ 且 Ａ Ｂ 求实数 ｍ 的取值范围.
２０２３ １４
ꎬ ⊆ ꎬ
程 ｘ２ ｍ ｘ ｍ２ 的两根之差的绝 解析 由题意知 是关于 ｘ 的方程
２ －４( －１) ＋ ＋７＝０
(１) ꎬ－２ꎬ１
对值不大于 则实数 ｍ 的最大值与最小值
２ꎬ
ａｘ２ ｂｘ 的 两 个 根 且 ａ 所
＋ ＋ ２ ＝ ０ ꎬ < ０ꎬ
的和为 .
ì ｂ
ï
答案 ï ï－２＋１＝－ａꎬ
４ 以í
解析 由题意知 Δ ｍ ２ ｍ２ ï
＝１６( －１) －８( ＋７)≥ ï ２
ï
即 ｍ２ ｍ 解得 ｍ 或 ｍ .
î(－２)×１＝ ａꎬ
０ꎬ －４ －５≥０ꎬ ≥５ ≤－１
所以 ａ ｂ .
设两根分别为ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｍ ｘ ｘ
＝－１ꎬ ＝－１
１ꎬ ２ꎬ １ ＋ ２ ＝２( －１)ꎬ １ ２
ｍ２ (２)
不等式
－
ｘ２
＋２
ｘ
＋３>０
的解集为 Ａ
＝{
ｘ
｜－１
＋７
＝ ꎬ ｘ 不等式 ｘ ｍ 的解集为 Ｂ
２ < <３}ꎬ －３ － <０ ＝
{ ｍ} ｍ
所以 ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ 因为 Ａ Ｂ 所以 解得
｜ １ － ２｜ ＝ ( １ ＋ ２) －４ １ ２ >－ ꎬ ⊆ ꎬ － ≤－１ꎬ
３ ３
ｍ ２ ｍ２
＝ ４( －１) －２( ＋７)≤２ꎬ ｍ .故 ｍ 的取值范围为 ｍ ｍ .
≥３ { ｜ ≥３}
化简得 ｍ２ ｍ 解得 ｍ
－４ －７≤０ꎬ ２－ １１≤ ≤２＋
专
题
二
不
等
式
２７
综合篇
{ }
考法 一元二次不等式恒成立问题
ｍ ｍ ５
Ｄ. <
考向一 直接转化为函数求最值 ７
答案 Ｄ 若对于任意的 ｘ ｘ ｘ ｆ
∈{ ｜１≤ ≤３}ꎬ
１.( 湖北恩施高中、荆州中学等四校联考ꎬ
２０２２ ｘ ｍ 恒成立 则 ｍｘ２ ｍｘ ｍ 在 ｘ
( )<－ ＋４ ꎬ － ＋ －５<０
６
)设函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｍｘ２
－
ｍｘ
－１ꎬ
若对于任意的 ｘ
ｘ ｘ 上恒成立.令 ｇ ｘ ｍｘ２ ｍｘ
∈{ ｜１≤ ≤３} ( )＝ －
ｘ ｘ ｆ ｘ ｍ 恒成立 则实数 ｍ 当 ｍ 时 恒成立
∈{ ｜１≤ ≤３}ꎬ ( )<－ ＋４ ꎬ ＋ －５ꎬ ＝０ ꎬ－５<０ ꎬ
ｍ 的取值范围为 当 ｍ 时 ｇ ｘ 图象的开口向下 且在
( ) <０ ꎬ ( ) ꎬ [１ꎬ
ｍ ｍ 上单调递减 在 上 ｇ ｘ ｇ
Ａ.{ ｜ ≤０} ３] ꎬ∴ [１ꎬ３] ( )ｍａｘ ＝ (１)
{ }
ｍ 解得 ｍ 故有 ｍ 当 ｍ 时 ｇ
ｍ ｍ ５ ＝ －５<０ꎬ <５ꎬ <０ꎬ >０ ꎬ
Ｂ. ０≤ <
ｘ 图象的开口向上 且在 上单调递
７
( ) ꎬ [１ꎬ３]
{ }
增 在 上 ｇ ｘ ｇ ｍ
Ｃ.
ｍ ｍ
<０
或
０<
ｍ
<
５ ꎬ∴ [１ꎬ３] ( )ｍａｘ ＝ (３)＝ ７ －５<０ꎬ
７
解得 ｍ ５.综上 实数 ｍ 的取值范围为
０< < ꎬ
７
{ } 取值范围是
ｍ ｍ ５ . ( )
<
７
Ａ.[４ꎬ＋∞) Ｂ.[２ꎬ＋∞)
２.( 福建龙岩模拟ꎬ ) ｘ 一元
２０２２ ４ ∀ ∈(１ꎬ３]ꎬ Ｃ.(－∞ꎬ４] Ｄ.(－∞ꎬ２]
二次不等式 ｘ２
－(
ｍ
＋２)
ｘ
＋
ｍ
＋２≥０
恒成立
ꎬ
则 答案 Ａ 对任意的 ｘ
∈[－１ꎬ０]ꎬ－２
ｘ２
＋４
ｘ
＋
ｍ 的取值范围是 ｍ 恒成立可转化为对任意的 ｘ
( ) ２＋ ≥０ ∈[－１ꎬ
æ ù
Ａ.(－２ꎬ２) Ｂ.è ç －∞ꎬ ５ û
ú
ú ０]ꎬ
ｍ
≥２
ｘ２
－４
ｘ
－２
恒成立
ꎬ
记 ｙ
＝２
ｘ２
－４
ｘ
－２ꎬ
２ 又因为当 ｘ 时 ｙ ｘ ２
∈[－１ꎬ０] ꎬ ＝２( －１) －４∈[－
Ｃ.[－２ꎬ２] Ｄ.(－∞ꎬ２] 所以ｍ ｘ２ ｘ 即ｍ 的取
答案 Ｄ 设 ｆ ｘ ｘ２ ｍ ｘ ｍ 其图 ２ꎬ４]ꎬ ≥(２ －４ －２)ｍａｘ ＝４ꎬ
( )＝ －( ＋２) ＋ ＋２ꎬ 值范围是 .故选 .
ｍ [４ꎬ＋∞) Ａ
象的对称轴为直线 ｘ ＋２. ２.( 河北唐山模拟ꎬ )若 ｘ ｘ ｘ
＝
２０２１ ６ ∀ ∈{ ｜１≤ ≤
２
ｍ
不等式 ｘ２ ａｘ 恒成立 则 ａ 的取值
当 ＋２ 即 ｍ 时 要使原不等式恒 ５}ꎬ ＋ －２≤０ ꎬ
(１) ≥３ꎬ ≥４ ꎬ 范围是
２ ( )
成立 则只需ｆ 即 ｍ ｍ { } { }
ꎬ (３)≥０ꎬ ９－３ －６＋ ＋２≥０ꎬ ａ ａ ２３ ａ ２３ ａ
Ａ. >－ Ｂ. － ≤ ≤１
解得 ｍ ５ 此时 ｍ 不存在. ５ ５
≤ ꎬ { }
２ ａ ａ ａ ａ ２３
ｍ Ｃ.{ ｜ >１} Ｄ. ≤－
当 ＋２ 即 ｍ 时 要使原不等式恒 ５
(２) ≤１ꎬ ≤０ ꎬ 答案 Ｄ 由于 ｘ ｘ ｘ 不等式
２
∀ ∈{ ｜１≤ ≤５}ꎬ
成立
ꎬ
ｘ２ ａｘ 恒成立 所以 ｘ ｘ ｘ
＋ －２≤０ ꎬ ∀ ∈{ ｜１≤ ≤
只需 ｆ 即 ｍ ｍ 即
(１)≥０ꎬ １－ －２＋ ＋２≥０ꎬ １≥０ꎬ æ ö
ａ ２ ｘ 恒成立 即ａ ç２ ｘ÷ 恒成立
此时 ｍ . ５}ꎬ ≤ｘ － ꎬ ≤è ｘ － ø ꎬ
≤０
ｍｉｎ
ｍ
当 ＋２ 即 ｍ 时 要使原不等 令 ｆ ｘ ２ ｘ ｘ 显然 ｆ ｘ 在
(３) １< <３ꎬ ０< <４ ꎬ ( )＝ ｘ － ꎬ１≤ ≤５ꎬ ꎬ ( ) [１ꎬ５]
２
æｍ ö æｍ ö２
式恒成立 只需 ｆç ＋２÷ 即ç ＋２÷ ｍ 上单调递减 则 ｆ ｘ ｆ ２ ２３.
ꎬ è ø≥０ꎬ è ø －( ＋ ꎬ ( )ｍｉｎ ＝ (５)＝ －５＝－
２ ２ ５ ５
ｍ { }
＋２ ｍ 解得 ｍ 此时
所以实数 ａ 的取值范围是 ａ ａ ２３ 故
２) ＋ ＋２≥０ꎬ －２≤ ≤２ꎬ ０<
≤－ ꎬ
２
５
ｍ .综上 ｍ .故选
选 .
≤２ ꎬ ∈(－∞ꎬ２] Ｄ.
Ｄ
３.( 重庆涪陵高级中学冲刺卷二ꎬ )当 ｘ
３.( 北京师大附中模拟ꎬ )关于 ｘ 的不等
２０２２ ５
２０２２ ４
∈(１ꎬ２)
时
ꎬ
ｘ２
＋
ｍｘ
＋４<０
恒成立
ꎬ
则 ｍ 的取
式 ｘ２ ｘ ａ ｘ 对任意 ｘ Ｒ 恒成立 则
＋｜ ｜≥ ｜ ｜－１ ∈ ꎬ
值范围是
( ) 实数 ａ 的取值范围是
( )
ｍ ｍ ｍ ｍ
Ａ. ≤－４ Ｂ. <－４ Ｃ. <－５ Ｄ. ≤－５
5 Ａ.[－１ꎬ３]
年 答案 Ｄ 设 ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ 因为当 ｘ
高 ( )＝ ＋ ＋４ꎬ ∈
Ｂ.(－∞ꎬ３]
考 时 ｘ２ ｍｘ 恒成立 所以只需
3 (１ꎬ２) ꎬ ＋ ＋４<０ ꎬ
年 {ｆ { ｍ Ｃ.(－∞ꎬ１]
模 (１)≤０ꎬ即 ５＋ ≤０ꎬ 解得 ｍ .故选
拟 ｆ ｍ ≤－５ Ｄ. Ｄ.(－∞ꎬ１]∪[３ꎬ＋∞)
(２)≤０ꎬ ８＋２ ≤０ꎬ 答案 Ｂ 当 ｘ 时 不等式为 恒成
A
＝０ ꎬ ０≥－１
版 考向二 分离出参数后求最值
立 ａ Ｒ
ꎬ∴ ∈ ꎻ
高 １.( 湖南岳阳模考ꎬ )若对任意的 ｘ
考
２０２２ ３ ∈
数 当 ｘ 时 不等式可化为 ａ ｘ １
学 ｘ２ ｘ ｍ 恒成立 则 ｍ 的 ≠０ ꎬ ≤｜ ｜＋ ｘ ＋１ꎬ
[－１ꎬ０]ꎬ－２ ＋４ ＋２＋ ≥０ ꎬ ｜ ｜
２８
æ ５.( 重庆南开中学模拟ꎬ )当 ｘ
ｘ ｘ １ ç当且仅当 ｘ ２０２２ １３ ∈[０ꎬ３]
∵ ｜ ｜ >０ꎬ∴ ｜ ｜ ＋ ｘ ≥２ è ｜ ｜ ＝
｜ ｜ 时 不等式 ｘ２ ａ ｘ 恒成立 则 ａ 的
ꎬ ＋( －４) ＋４>０ ꎬ
ö
１ 即 ｘ 时取等号 ÷ ａ . 取值范围为 .
ｘ ꎬ ＝±１ øꎬ∴ ≤３
｜ ｜ 答案
综上所述 实数 ａ 的取值范围为 .故 (０ꎬ＋∞)
ꎬ (－∞ꎬ３] 解析 由题意得 ｘ２ ａｘ ｘ ａｘ ｘ２
选 ＋ －４ ＋４>０ꎬ∴ >－ ＋
Ｂ. ｘ
４.( 天津滨海新区塘沽一中阶段练ꎬ )已 ４ －４ꎬ
２０２２ ５ 当 ｘ 时 恒成立 ａ Ｒ 当 ｘ
＝０ ꎬ０>－４ ꎬ ∈ ꎻ ∈(０ꎬ３]
知 ｘ Ｒ 使得不等式ｘ２ ｘ ａ 不成
“∃ ∈ ꎬ －４ － －１<０” ｘ２ ｘ æ ö
时 ａ － ＋４ －４ çｘ ４÷ 因为 ｘ
立 则 ａ 的取值范围为
ꎬ ( )
ꎬ > ｘ ＝－è ＋ｘ ø＋４ꎬ ∈(０ꎬ
Ａ.(－∞ꎬ－５] Ｂ.(－∞ꎬ－２]
所 以 ｘ ４
３ ]ꎬ ＋ ｘ ≥
Ｃ.(－５ꎬ＋∞) Ｄ.[－５ꎬ＋∞)
答案 Ａ 因为 ｘ Ｒ 使得不等式 ｘ２ ｘ
“∃ ∈ ꎬ －４ ｘ ４ 当且仅当 ｘ 时等号成立 .
ａ 不成立 所以不等式ｘ２ ｘ ａ ２ ｘ ＝４( ＝２ )
－ －１<０” ꎬ －４ － －１≥０
对任意 ｘ Ｒ 恒成立 等价于 ｘ Ｒ 时 ａ æ ö
∈ ꎬ ∈ ꎬ ≤ 所以 çｘ ４÷ 所以 ａ .综上
ｘ２ ｘ 恒成立 因为 ｘ２ ｘ
－è ＋ｘ ø＋４≤－４＋４＝０ꎬ >０ ꎬ
( －４ －１)ｍｉｎ ꎬ ( －４ －１)ｍｉｎ ＝－
ａ 的取值范围为 .
ａ .故选 (０ꎬ＋∞)
５ꎬ∴ ≤－５ Ａ.
专
题
二
不
等
式
２９
