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2.2 基本不等式及不等式的应用
基础篇
考点 一 基本不等式及其应用 ｘｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘｙ 当且仅当 ｘ ｙ
＝ ＋９ ≥２ ９ ＝６ ( ＝９
１.( 广东深圳外国语学校月考ꎬ )在下列 时取等号 即 ｘｙ ｘｙ 则 ｘｙ
２０２２ ６ )ꎬ ＋６ －７≤０ꎬ ( ＋７)
函数中 最小值为 的是 ｘｙ 所以 ｘｙ 又ｘ ｙ 所
ꎬ ２ ( ) ( －１)≤０ꎬ －７≤ ≤１ꎬ ꎬ >０ꎬ
以 ｘｙ 所以 ｘｙ的最大值为 .故选 .
ｙ ｘ １ ０< ≤１ꎬ ３ ３ Ｃ
Ａ. ＝ ＋ｘ ３.(多选)( 届山东潍坊五县联考ꎬ )设 ａ
２０２３ ９ >
ｂ ａ ｂ 则下列不等式中一定成立的是
ｙ ｘ １ ｘ
０ꎬ >０ꎬ ＋ ＝１ꎬ
Ｂ. ＝ｌｇ ＋ ｘ(１< <１０)
ｌｇ
( )
ｘ２ ｘ
ｙ －２ ＋２ ｘ
Ｃ. ＝ ｘ ( >１) ａｂ １ ａ ｂ
－１ Ａ. ≤ Ｂ. ＋ ≥ ２
４
æ ö
ｙ ｘ １ ç ｘ π÷ ｂ
Ｄ. ＝ｓｉｎ ＋ ｘè０< < ø ａ ｂ ４
ｓｉｎ ２ Ｃ.２ ＋２ ≥２ ２ Ｄ.ａ＋ｂ≥８
答案 Ｃ 对于 ｘ 时 ｙ 为负数 不符
Ａꎬ <０ ꎬ ꎬＡ æａ ｂö２
答案 ＡＣＤ 对于 ａｂ ç ＋ ÷ １ 当且
合题意. Ａꎬ ≤è ø ＝ ꎬ
２ ４
对于 ｘ 时 ｘ ｘ １ 仅当 ａ ｂ １时 等号成立 故 正确
Ｂꎬ１< <１０ ꎬ０<ｌｇ <１ꎬ∴ ｌｇ ＋ ｘ≥ ＝ ＝ ꎬ ꎬ Ａ ꎻ
ｌｇ
２
ｘ １ 但不存在 ｘ 使 ｘ １ 成 对于 Ｂꎬ( ａ ＋ ｂ ) ２ ＝ ａ ＋ ｂ ＋２ ａｂ ≤１＋ ａ ＋ ｂ ＝２ꎬ
２ ｌｇ ｘ ＝２ꎬ ｌｇ ＝ ｘ
ｌｇ ｌｇ
所以 ａ ｂ 当且仅当 ａ ｂ １时 等号
ｘ２ ｘ ＋ ≤ ２ꎬ ＝ ＝ ꎬ
立 不符合题意.对于 ｙ －２ ＋２ ２
ꎬＢ Ｃꎬ ＝ ｘ ＝
－１ 成立 故 错误
ꎬ Ｂ ꎻ
( ｘ －１) ２ ＋１ ｘ １ ｘ １ 对于 ａ ｂ ａ ＋ ｂ 当且仅当 ａ ｂ
ｘ ＝ －１＋ｘ ≥２ ( －１)ｘ ＝２ Ｃꎬ２ ＋２ ≥２ ２ ＝２ ２ꎬ ＝
－１ －１ －１
１时 等号成立 故 正确
ｘ 当且仅当 ｘ １ 即 ｘ 时等号 ＝ ꎬ ꎬ Ｃ ꎻ
( >１)ꎬ －１＝ｘ ꎬ ＝２ ２
－１ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ａ
对于 ４ ４( ＋ ) ４
成立 符合题意.对于 ｘ π时 ｘ Ｄꎬａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ ＋４≥２
ꎬＣ Ｄꎬ０< < ꎬ０<ｓｉｎ
２
ｂ ａ ｂ ａ
４ 当且仅当 ４ 即 ａ １ ｂ
ｘ １ ｘ １ 但不 ａ ｂ ＋４＝８ꎬ ａ ＝ ｂ ꎬ ＝ ꎬ
<１ꎬ∴ ｓｉｎ ＋ ｘ≥２ ｓｉｎ ｘ ＝２ꎬ ３
5 ｓｉｎ ｓｉｎ
年 ２时 等号成立 故 正确.故选
高 存在ｘ 使 ｘ １ 成立 不符合题意.故 ＝ ꎬ ꎬ Ｄ ＡＣＤ.
考 ꎬ ｓｉｎ ＝ ｘ ꎬＤ ３
3 ｓｉｎ ４.(多选)( 沈阳二中月考)已知 ａ ｂ
年 选 . ２０２２ >０ꎬ >
模 Ｃ 且 ａｂ 则
拟 ２.( 重庆西南大学附中月考)已知 ｘ ｙ ０ꎬ ＝４ꎬ ( )
A ２０２２ ꎬ >０ꎬ ａ２ ｂ２
ａ ｂ
版 ｘ ｙ ｘｙ 则 ｘｙ 的最大值为
Ａ. ＋ ≤２ ２ Ｂ. ｂ ＋ａ≥４
＋９ ＋ ＝７ꎬ ３ ( )
高
考
数 Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
ａ２
＋
ｂ２
ａ ( ａ － ｂ ) １
学 答案 Ｃ 因为 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘｙ 所以 Ｃ.ｌｏｇ２ ａ ｂ ≥１ Ｄ.２ >
ꎬ >０ꎬ ＋９ ＋ ＝７ꎬ ７－ ＋ ８
３０
答案 ＢＣ 对于 ａ ｂ ａｂ 解析 由 ｆ ｘ 为偶函数可得 ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａꎬ∵ >０ꎬ >０ꎬ ＝４ꎬ∴ ( ) (－ )＝ ( )ꎬ
ａ ｂ ａｂ 当且仅当 ａ ｂ 时 即１ １ ａｘ ｂｘ 所以 ａｘ ｂｘ ａｂ ｘ .
＋ ≥２ ＝２ ２( ＝ ＝２ ａｘ＋ｂｘ＝ ＋ ꎬ ( ＋ )[( ) －１]＝０
取等号 故 错误
)ꎬ Ａ ꎻ 因为 ｘ Ｒ 且 ａ ｂ ａ ｂ 所以 ａｂ
ａ２ ｂ２ ∈ ꎬ >０ꎬ >０ꎬ ≠１ꎬ ≠１ꎬ
对于 ａ ｂ ａｂ
Ｂꎬ∵ >０ꎬ >０ꎬ ＝ ４ꎬ∴ ｂ ＋ ａ ≥２
则１ ４ １ ４ 当且仅当１
＝１ꎬ ａ ＋ ｂ ≥２ ａｂ ＝４ꎬ ａ ＝
ａ２ ｂ２
ａｂ 当且仅当 ａ ｂ 时取
ｂａ ＝２ ＝４( ＝ ＝２ ４ 即 ａ １ ｂ 时 取等号.１ ４的最小值
ｂꎬ ＝ ꎬ ＝２ ꎬ ａ ＋ ｂ
２
等号 故 正确
)ꎬ Ｂ ꎻ 为 .
４
ａ２ ｂ２
对于 ａ ｂ ａｂ ＋ ７.( 天津ꎬ ꎬ 分)已知ａ ｂ Ｒ 且ａ ｂ
Ｃꎬ∵ > ０ꎬ > ０ꎬ ＝ ４ꎬ∴ ａ ｂ ≥ ２０１８ １３ ５ ꎬ ∈ ꎬ －３ ＋
＋
则 ａ １的最小值为 .
１ ａ ｂ ２ ６＝０ꎬ ２ ＋ ｂ
( ＋ ) ａ ｂ ８
２ ＋ ａｂ 当且仅当 ａ ｂ 时
ａ ｂ ＝ ≥ ＝２( ＝
＋ ２ 答案 １
ａ２ ｂ２ ４
等号成立 则 ＋ 故 正确 对
)ꎬ ｌｏｇ２ ａ ＋ ｂ ≥１ꎬ Ｃ ꎻ 解析 由已知 得 ａ １ ａ －３ ｂ
ꎬ ２ ＋ ｂ ＝ ２ ＋ ２ ≥２
８
于 ａ ( ａ － ｂ ) ａ２－４ －４ １ 故 错误.故
Ｄꎬ２ ＝ ２ >２ ＝ １６ ꎬ Ｄ ａ －３ ｂ ａ －３ ｂ －６ １ 当且仅当 ａ
２ ２ ＝２ ２ ＝２ ２ ＝ ꎬ ２
选 . ４
ＢＣ －３ ｂ时等号成立 由 ａ ｂ ａ ｂ 得
５.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若 ｘ ｙ 满 ＝２ ꎬ ＝－３ ꎬ －３ ＋６＝０ꎬ
２０２２ Ⅱ １２ ５ ꎬ
ａ ｂ 故当 ａ ｂ 时 ａ １取得
足 ｘ２ ｙ２ ｘｙ 则
＝－３ꎬ ＝１ꎬ ＝－３ꎬ ＝１ ꎬ２ ＋ ｂ
＋ － ＝１ꎬ ( )
８
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ. ＋ ≤１ Ｂ. ＋ ≥－２
最小值１.
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ. ＋ ≤２ Ｄ. ＋ ≥１ ４
答案 ＢＣ 因为 ｘ２ ｙ２ ｘｙ ｘ ｙ ２ ｘｙ ８.( 天津理ꎬ ꎬ 分)设 ｘ ｙ ｘ ｙ
＋ － ＝( ＋ ) －３ ＝ ２０１９ １３ ５ >０ꎬ >０ꎬ ＋２ ＝
ｘ ｙ ２ ｘ ｙ
且 ｘｙ ( ＋ ) 所以 ｘ ｙ ２ ｘｙ ｘ 则( ＋１)(２ ＋１)的最小值为 .
１ꎬ ≤ ꎬ ( ＋ ) －３ ≥( ＋ ５ꎬ
ｘｙ
４
答案
ｙ ２ ３ ｘ ｙ ２ １ ｘ ｙ ２ 故 ｘ ｙ ２ 当
) － ( ＋ ) ＝ ( ＋ ) ꎬ ( ＋ ) ≤４ꎬ ４ ３
４ ４ 解析 ｘ ｙ ｘ ｙ
且仅当 ｘ ｙ 时等号成立 即 ｘ ｙ 故 ∵ ＋２ ＝５ꎬ >０ꎬ >０ꎬ
＝ ꎬ －２≤ ＋ ≤２ꎬ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘｙ ｘｙ
( ＋１)(２ ＋１) ＋２ ＋２ ＋１ ２ ＋６
错误 正确.由 ｘｙ
ｘ２
＋
ｙ２
得 ｘ２ ｙ２ ｘｙ ∴ ｘｙ ＝ ｘｙ ＝ ｘｙ ＝
Ａ ꎬＢ ≤ １＝ ＋ －
２
ｘ２ ｙ２ ｘｙ ６ ｘｙ ６ 当且仅当
≥ ｘ２ ＋ ｙ２ － ＋ ꎬ 即 ｘ２ ＋ ｙ２ ≤２ꎬ 当且仅当 ｘ ＝ ｙ ２ ＋ ｘｙ ≥２ ２ ｘｙ ＝４ ３ꎬ
２
时等号成立.故 Ｃ 正确 ꎬＤ 错误 ꎬ 故选 ＢＣ . ì ï ï ｘ ＋２ ｙ ＝５ꎬ {ｘ ì ï ï ｘ ＝２ꎬ
í 即 ＝３ꎬ或í 时 原式取得
６.( 届湖北摸底联考ꎬ )若函数 ｆ ｘ ａｘ ï ｘｙ ６ ｙ ïｙ ３ ꎬ
２０２３ １４ ( )＝ î ï２ ＝ ｘｙꎬ ＝１ î ï ＝
２
ｂｘ ａ ｂ ａ ｂ 是偶函数 则１
＋ ( >０ꎬ >０ꎬ ≠１ꎬ ≠１) ꎬ ａ ＋ 最小值 .
４ ３ 专
题
９.( 浙江湖州中学月考)函数 ｙ ｘ
二
４的最小值为 . ２０２１ ＝ ２ －１＋
ｂ
æ ö 不
ｘç１ ｘ ５÷的最大值是 . 等
答案 ５－２ è < < ø 式
４ ２ ２
３１
答案 ａ２ ｂ２
２ ２ 且 ａ ｍ ｂ ｎ ｍ ｎ 所以
＝ －１ꎬ ＝ －１ꎬ ＋ ＝６ꎬ ａ ＋ｂ ＝
解析 ｙ２ ｘ ｘ ２ ｘ ＋１ ＋１
＝( ２ －１＋ ５－２ ) ＝ ４＋２ ２ －１ ｍ ２ ｎ ２
( －１) ( －１) ｍ ｎ １ １ ６
ｘ ｘ ｘ
ｍ ＋ ｎ ＝ ＋ ＋ｍ＋ｎ －４＝２＋ｍｎ≥２
５－２ ≤４＋(２ －１)＋(５－２ )＝ ８ꎬ
又 ｙ 所以 ｙ
>０ꎬ ０< ≤２ ２ꎬ ６ ８ 当且仅当 ｍ ｎ 时取等号.
＋æｍ ｎö２ ＝ ꎬ ＝ ＝３
当且仅当 ｘ ｘ 即 ｘ ３时等号成立 ç ＋ ÷ ３
２ －１＝５－２ ꎬ ＝ ꎬ è ø
２ ２
æ ö 故选 .
所以函数 ｙ ｘ ｘ ç１ ｘ ５÷的最 Ｄ
＝ ２ －１＋ ５－２ è < < ø ３.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )已知正实数
２ ２ ２０２３ １５
大值为 . ａ ｂ 满足 ａｂ ａ ｂ 则 ａ ｂ 的最小值为
２ ２ ꎬ ＋ ＋ ＝３ꎬ ２ ＋
.
考点 二 应用基本不等式求解最值
答案
４ ２－３
考向一 配凑法求最值
解析 由 ａｂ ａ ｂ 得 ａ ｂ 又
＋ ＋ ＝３ ( ＋１)( ＋１)＝ ４ꎬ
１.( 届辽宁鞍山质量监测ꎬ )权方和不等
ａ ｂ 为正实数 所以 ａ ｂ ａ ｂ
２０２３ ８
ꎬ ꎬ ２ ＋ ＝２( ＋１)＋( ＋１)－
式作为基本不等式的一个变化 经常应用于
ꎬ ａ ｂ 当且仅当
３≥２ ２( ＋１)( ＋１)－３＝４ ２－３ꎬ
高中数学竞赛 主要用来处理分式不等式.其
ꎬ ａ ｂ 即 ａ ｂ 时取等
ａ２ ｂ２ ａ ｂ ２ ２( ＋１)＝ ＋１ꎬ ＝ ２－１ꎬ ＝２ ２－１
表述如下 设 ａ ｂ ｘ ｙ 则 ( ＋ )
号.则 ａ ｂ 的最小值为 .
: ꎬ ꎬ ꎬ >０ꎬ ｘ ＋ｙ ≥ ｘ ｙ ꎬ
２ ＋ ４ ２－３
＋
ａ ｂ ４.( 天津南开中学模拟ꎬ )若实数 ｘ ｙ 满
当且仅当 时等号成立.根据权方和不等 ２０２２ １３ ꎬ
ｘ ＝ ｙ ｘ ｙ
足 ｘ ｙ 且 ｘｙ 则 － 的最大值为
> >０ꎬ ＝ ４ꎬ ｘ ｙ ２
式可以比较容易得出 函数 ｆ ｘ ２ ９ ( ＋ )
ꎬ ( )＝ ｘ ＋ ｘ
.
１－２
æ ö
ç ｘ １÷的最小值为 答案 １
è０< < ø ( )
２
８
ｘ ｙ
Ａ.１６ Ｂ.２５ Ｃ.３６ Ｄ.４９ 解析 令 ｘ ｙ ｔ 则 ｔ －
－ ＝ ꎬ > ０ꎬ ｘ ｙ ２ ＝
答案 Ｂ 因为 ｘ １ 所以 ｘ 于 ( ＋ )
０< < ꎬ ０<１－２ <１ꎬ
ｔ ｔ
２
１ １ １
２ ２ ２ ｘ ｙ ２ ｘｙ＝ｔ２ ＝ ≤ ＝ ꎬ
是得 ｆ ｘ ２ ３ (２＋３) 当且 ( － ) ＋４ ＋１６ ｔ １６ ｔ １６ ８
( )＝ ｘ＋ ｘ≥ ｘ ｘ ＝ ２５ꎬ ＋ ｔ ２ ｔ
２ １－２ ２ ＋(１－２ )
仅当２ ３ 即 ｘ １时取 所以函数 ｆ 当且仅当 ｔ １６ 即 ｔ 时 等号成立 所以
ｘ＝ ｘꎬ ＝ “＝”ꎬ ＝ ｔ ꎬ ＝４ ꎬ ꎬ
２ １－２ ５
æ ö
ｘ ｙ
ｘ ２ ９ ç ｘ １÷的最小值为 .故 － 的最大值为１.
5 ( )＝ ｘ ＋ １－２ ｘè０< < ２ ø ２５ ｘ ｙ ２
年 ( ＋ ) ８
高 选 ５.( 湖南湘潭三模ꎬ )已知正数 ａ ｂ 满足
考 Ｂ.
２０２２ １４ ꎬ
3 ２.( 山东平邑一中开学考ꎬ )实数ａ ｂ 满足ａ
年 ２０２２ ６ ꎬ
ａ ｂ 则 ２ １的最小值为 .
模
拟 ｂ ａ ｂ 则
ａ２ ｂ２
的最小值是
＋ ＝５ꎬ ａ
＋１
＋
２
ｂ
>０ꎬ >０ꎬ ＋ ＝４ꎬ ａ ＋ｂ ( )
A
版
＋１ ＋１
答案 ３
３ ８ ４
高
Ａ.４ Ｂ.６ Ｃ. Ｄ.
考
数 ２ ３ 解析 因为 ａ ｂ 所以 ２ １ １ ａ
学 答案 Ｄ 令 ａ ｍ ｂ ｎ 则 ｍ ｎ ＋ ＝５ꎬ ａ ＋ ｂ＝ ( ＋１＋
＋１＝ ꎬ ＋１＝ ꎬ >１ꎬ >１ꎬ ＋１ ２ ６
３２
æ ö æ ａ ｂ ö ì ï ａ ｂ
ｂ ç ２ １ ÷ １ ç ＋１ ２ １ ÷ １ ï ＋２ ＝５ꎬ
)èａ ＋ ｂø ＝ è２＋ ｂ ＋ａ ＋ ø≥ í ａ ｂ 即 ａ ５ ｂ ５ 时
＋１ ２ ６ ２ ＋１ ２ ６ ï３ ４ ＝ ( ３－１)ꎬ ＝ (３－ ３)
î ï ｂ＝ ａꎬ ２ ４
æ ａ ｂ ö ５ ５
ç ＋１ ２ １ ÷ ３ 当且仅当 ａ
è２＋２ ｂ ａ ＋ ø＝ ꎬ ＋１＝ 取 故选 .
２ ＋１ ２ ４ “＝”ꎬ Ｂ
３.(多选)( 山东潍坊四中检测ꎬ )已知 ａ
ｂ 即 ａ ｂ 时 等号成立.故 ２ １ 的 ２０２１ １０
２ ꎬ ＝３ꎬ ＝２ ꎬ ａ ＋ ｂ
＋１ ２
ｂ 且 １ ４ 则下列命题正确的是
>１ꎬ >０ꎬ ａ ＋ｂ ＝１ꎬ
最小值为３. －１
４
( )
考向二 常数代换法求最值 ａ
Ａ. >２
１.( 河北邢台入学考ꎬ )已知 ａ ｂ 且 ａｂ ｂ 的最小值为
２０２２ ７ >０ꎬ >０ꎬ Ｂ. － １６
ａ ｂ 的最小值为
Ｃ. ＋ ９
ａ ｂ 则２ １的最小值是
＋ ＝２ꎬ ａ＋ ｂ ( )
２ １ ９的最小值为
Ｄ.ａ ＋ｂ ２
－２
９ ９
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ. Ｄ.
４ ２ 答案 ＡＢＤ 项 由已知得 ４ １
Ａ ꎬ ｂ ＝１－ａ ＝
æ ö －１
答案 Ｃ ２ １ １ ａ ｂ ç２ １ ÷ １
ａ ＋ ｂ ＝ ( ＋ ) èａ＋ ｂø ＝ ａ ａ
２ ２ ２ ２ －２ 由于 ｂ 所以４ －２ 解得 ａ 或
ａ ꎬ >０ꎬ ｂ ＝ａ >０ꎬ <１
æ ｂ ａ ö æ ö ｂ －１ －１
ç２ ５÷ １ ç ５÷ ９ 当且仅当２
è ａ ＋ ｂ＋ ø≥ ×è２＋ ø ＝ ꎬ ａ ＝ ａ 又 ａ 所以 ａ 故该项正确. 项 由
２ ２ ２ ２ ４ >２ꎬ >１ꎬ >２ꎬ Ｂ ꎬ
ａ
即 ａ ４ ｂ ２时 等号成立.故２ １的最 于 ａ ｂ 所以 １ ４
ｂꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ａ＋ ｂ － １ > ０ꎬ > ０ꎬ １ ＝ ａ ＋ ｂ ≥
－１
２ ３ ３ ２
æ
小值为９. １ ４ １ ç当且仅当 １
２ ａ ｂ ＝ ４ ａ ｂ è ａ ＝
４ －１ ( －１) －１
２.( 辽宁六校联考ꎬ )已知定义在 Ｒ 上的 ö
２０２２ ７ ４ 即 ａ ｂ 时等号成立 ÷. 所 以
ｂꎬ ＝ ３ꎬ ＝ ８ ø
偶函数 ｆ ｘ ｘ ｍ 若正实数 ａ ｂ 满
( )＝ ｜ － ＋１｜－２ꎬ 、
１ １ 即 ａ ｂ .所以 ａ ｂ
足 ｆ ａ ｆ ｂ ｍ 则２ ３的最小值为 ａ ｂ≤ ꎬ ( －１) ≥１６ ( －１)
( )＋ (２ )＝ ꎬ ａ＋ｂ ( －１) ４
ａｂ ｂ 的最小值为 故该项正确. 项 ａ
＝ － １６ꎬ Ｃ ꎬ ＋
( )
æ ö
ｂ ａ ｂ ａ ｂ ç １ ４÷
８ ８＋４ ３ ８ ３ ２ １０ ＝( －１)＋ ＋１＝[( －１)＋ ]èａ ＋ｂ ø＋１＝５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. －１
５ ５ ５ ５
ｂ ａ ｂ ａ
答案 Ｂ 函数 ｆ ｘ ｘ ｍ 是偶函 ４( －１) ４( －１)
( )＝ ｜ － ＋１｜－２ ＋ａ ＋ ｂ ＋１≥６＋ ２ ａ ｂ ＝
数 则 ｍ －１ －１
ꎬ ＝１ꎬ
ｂ ａ
ｆ ｘ ｘ 又 ａ ｂ 且 ｆ ａ ｆ ｂ 当且仅当 ４( －１) 即 ａ ｂ 时
∴ ( )＝ ｜ ｜－２ꎬ >０ꎬ >０ꎬ ( )＋ (２ ) １０ꎬ ａ ＝ ｂ ꎬ ＝４ꎬ ＝６
－１
ｍ
＝ ꎬ
等号成立 故该项不正确. 项 由已知得 １
ａ ｂ ａ ｂ
ꎬ Ｄ ꎬ ａ
∴ ｜ ｜－２＋｜２ ｜－２＝１ꎬ∴ ＋２ ＝５ꎬ －１
æ öæａ ｂö ａ ｂ
ｂ ｂ
２ ３ ç ２ ３÷ç ２ ÷ ２ ６ ３ ４ ４ －４ 又ａ 所以 １ 即 －４ 又ｂ 专
∴ ａ＋ ｂ ＝èａ＋ｂ øè ＋ ø ＝ ＋ ＋ ｂ＋ ａ≥ ＝１－ｂ ＝ ｂ ꎬ >１ꎬ ａ >０ꎬ ｂ >０ꎬ 题
５ ５ ５ ５ ５ ５ －１ 二
ａ ｂ ｂ ｂ 不
８ ３ ４ ８＋４ ３ 当 且 仅 当 所以ｂ .又ａ 所以ａ 等
＋ ２ ｂ ａ ＝ ꎬ >０ꎬ >４ －１＝ｂ ꎬ －２＝ｂ －１＝ 式
５ ５ ５ ５ －４ －４
３３
ｂ ｂ
４ 所以 １ ９ －４ ９ ９ Ａ.２ ２ Ｂ.２ ３ Ｃ.４ Ｄ.３ ２
ｂ >０ꎬ ａ ＋ ｂ ＝ ＋ ｂ ＝ ＋ ｂ －１≥
－４ －２ ４ ４ ｘ
答案 Ｃ 因为 ｘ １ ４ ｘ 当且
ｂ
９ 当且仅当ｂ 时等号成立 ４ ＋ ｘ≥２ ｘ ＝２× ２ ꎬ
２ ｂ －１＝２( ＝６ )ꎬ ２ ２
４
故该项正确. 仅当 ｘ １ 即 ｘ 时等号成立 所以 ｆ ｘ
４ ＝ ｘꎬ ＝０ ꎬ ( )
２
４.( 天津二模ꎬ )已知正实数 ｘ ｙ 满足 ｘ
２０２１ １４ ꎬ
ｘ １ ２ ｘ ２ 当
＝ ４ ＋ ｘ＋ ｘ≥２ ２ ＋ ｘ≥２ ４ ＝４ꎬ
ｙ １ ９ 则 ｘ ｙ 的最小值是 .
＋ ＝ ｘ ＋ｙ ＋６ꎬ ＋ ２ ( ２) ( ２)
答案 且仅当 ｘ ２ 即 ｘ 时等号成立
８ ２ ２ ＝ ｘꎬ ＝０ ꎬ
( ２)
解析 ｘ ｙ １ ９ ｘ ｙ ｘ ｙ 故 ｆ ｘ 的最小值为 .
∵ ＋ ＝ ｘ ＋ ｙ ＋６ꎬ >０ꎬ >０ꎬ∴ ＋ －６ ( ) ４
２.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知 ａ
２０２０ Ⅰ １１ ５ >０ꎬ
１ ９
＝ ｘ ＋ｙꎬ ｂ 且 ａ ｂ 则
>０ꎬ ＋ ＝１ꎬ ( )
æ ö ｙ
ｘ ｙ ｘ ｙ ç １ ９÷ ｘ ｙ ａ２ ｂ２ １ ａ － ｂ １
∴ ( ＋ －６)( ＋ )＝ è ｘ ＋ｙ ø( ＋ )＝ １＋９＋ ｘ Ａ. ＋ ≥ Ｂ.２ >
２ ２
ｘ ｘ ｙ ｘ ｙ ａ ｂ ａ ｂ
９ ９ ９ 当且 Ｃ.ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ≥－２ Ｄ. ＋ ≤ ２
＋ ｙ ＝１０＋ ｙ ＋ ｘ ≥１０＋２ ｙ ｘ ＝１６ꎬ
答案 ＡＢＤ ａ ｂ ａ ｂ ａ
∵ >０ꎬ >０ꎬ ＋ ＝１ꎬ∴ ０< <
ｘ ｙ
仅当９ 即 ｙ ｘ 时等号成立 即 ｘ ｙ æａ ｂö２
ｙ ＝ ｘꎬ ＝３ ꎬ ( ＋ － ｂ ｂ ａ ａｂ ç ＋ ÷ １.对于 选
１ꎬ０< <１ꎬ ＝１－ ꎬ ≤è ø ＝ Ａ
２ ４
ｘ ｙ 整 理 得 ｘ ｙ ２
６) ( ＋ ) ≥ １６ꎬ ( ＋ ) － 项 ａ２ ｂ２ ａ２ ａ ２ ａ２ ａ
ꎬ ＋ ＝ ＋(１－ ) ＝ ２ －２ ＋ １ ＝ ２
ｘ ｙ 解得ｘ ｙ 或ｘ ｙ 舍
６( ＋ )－１６≥０ꎬ ＋ ≥８ ＋ ≤－２( æ ö２
çａ １÷ １ １ 当且仅当 ａ ｂ １时 取等
去 )ꎬ 故 ｘ ＋ ｙ 的最小值为 ８ . è － ø ＋ ≥ ꎬ ＝ ＝ ꎬ
２ ２ ２ ２
５.( 天津ꎬ ꎬ 分)已知 ａ ｂ 且 ａｂ 号 正确 对于 选项 ａ ｂ ａ ａ ａ
２０２０ １４ ５ >０ꎬ >０ꎬ ＝ ꎬＡ ꎻ Ｂ ꎬ － ＝ －(１－ )＝ ２
１ꎬ 则 １ ａ＋ １ ｂ＋ａ ８ ｂ 的最小值为 . －１ꎬ∵ ０< ａ <１ꎬ∴ －１<２ ａ －１<１ꎬ∴ １ <２ ２ ａ －１ <２ꎬ
２ ２ ＋ ２
答案
４ ａ － ｂ １成立 正确 对于 选项 ａｂ
ａ ｂ ａ ｂ ∴ ２ > ꎬＢ ꎻ Ｃ ꎬ∵ ０<
解析 １ １ ８ ＋ ８ ＋ ８ ２
ａ＋ ｂ＋ａ ｂ＝ ａｂ＋ａ ｂ＝ ＋ａ ｂ≥
２ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋
１ ａ ｂ ａ ｂ ａｂ
ａ ｂ ａ ｂ ≤ ꎬ >０ꎬ >０ꎬ∴ ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ＝ ｌｏｇ２( )≤
＋ ８ 当且仅当 ＋ ８ 即 ａ ４
２ ×ａ ｂ ＝４ꎬ ＝ａ ｂꎬ ( ＋
２ ＋ ２ ＋ １ 不正确 对于 选项 ａ
ｂ ２ 也即 ａ ｂ 时取等号.又 ａｂ ｌｏｇ２ ＝－２ꎬＣ ꎻ Ｄ ꎬ∵ ( ＋
) ＝１６ꎬ ＋ ＝４ ∵ ＝１ꎬ ４
{ {
ａ ａ ｂ ２ ａ ｂ ａｂ ａｂ ａ ｂ
5 ＝２＋ ３ꎬ或 ＝２－ ３ꎬ时取等号 １ ) ＝ ＋ ＋２ ＝１＋２ ≤１＋ ＋ ＝２ꎬ∴
年 ∴ ｂ ｂ ꎬ∴ ａ＋ ａ ｂ 成立 正确.
高 ＝２－ ３ ＝２＋ ３ ２ ＋ ≤ ２ ꎬＤ
考
ａ
3
１ ８ 的最小值为 . ３.( 天津ꎬ ꎬ 分)若 ａ ｂ 则１
年
模 ２
ｂ＋ａ
＋
ｂ ４ ２０２１ １３ ５ >０ꎬ >０ꎬ ａ ＋ｂ２ ＋
拟
考向三 两次及以上使用基本不等式求最值 ｂ 的最小值为 .
A
版 １.( 河北邢台“五岳联盟” 月联考ꎬ )函 答案
２０２２ １０ ７ ２ ２
高
考 数 数 ｆ ｘ ｘ １ ２ 的最小值为 解析 因为 ａ ｂ 所以 １ ａ ｂ
学 ( )＝ ４ ＋ ｘ＋ ｘ ( ) >０ꎬ >０ꎬ ａ ＋ｂ２ ＋ ≥
２ ( ２)
３４
ａ ｂ 的最小值为 .
１ ｂ ２ ｂ ２ ｂ .当且仅 ＋ ２ ２
２ ａｂ２ ＋ ＝ ｂ ＋ ≥２ ｂ ＝２ ２
ì ａ
ï
１
ï ïａ ＝ｂ２ ꎬ ａ
当í 即 ａ ｂ 时等号成立 故１
ï ＝ ＝ ２ ꎬ ａ ＋ｂ２
ï２ ｂ
ï
îｂ ＝ ꎬ
专
题
二
不
等
式
３５
综合篇
子集
考法 不等式的恒成立、能成立、恰成立等
ꎬ
问题的解题策略 ｆ ｘ 的值域是 ｇ ｔ 的值域是
∵ ( ) [－３ꎬ１]ꎬ ( ) [－
错误.故选
考向一 恒成立与能成立共存问题 １ꎬ３]ꎬ∴ Ｄ ＡＢＣ.
２.( 重庆巴南月考ꎬ )已知函数 ｆ ｘ ｘ
１.(多选)( 湖南衡阳八中模拟ꎬ )已知 ２０２２ １４ ( )＝ ＋
２０２２ １１ é ù
函数ｆ ( ｘ )＝ － ｘ －１ꎬ ｘ ∈[－２ꎬ２]ꎬ ｇ ( ｘ )＝ ｘ２ －２ ｘ ꎬ ４ ｘꎬ ｇ ( ｘ )＝ ２ ｘ ＋ ａ ꎬ 若 ∀ ｘ １∈ë ê ê １ ꎬ１û ú ú ꎬ∃ ｘ ２∈[２ꎬ
２
ｘ 下列结论正确的是
∈[－１ꎬ２]ꎬ ( ) 使得 ｆ ｘ ｇ ｘ 则实数 ａ 的取值范
３]ꎬ ( １)≤ ( ２)ꎬ
ｘ ｆ ｘ ａ 恒成立 则实数 ａ
围是 .
Ａ.∀ ∈[－２ꎬ２]ꎬ ( )> ꎬ
的取值范围是 ａ
é ö
<－３ 答案 ê １ ÷
ê
ｘ ｆ ｘ ａ 则实数 ａ 的取值 ë ꎬ＋∞ø
Ｂ.∃ ∈[－２ꎬ２]ꎬ ( )> ꎬ ２
范围是 ａ é ù
<１ 解析 ｘ ê １ ú ｘ 使得 ｆ
ê ú
ｘ ｇ ｘ ａ 则实数 ａ 的取值
∀ １∈ë ꎬ１ûꎬ∃ ２∈[２ꎬ３]ꎬ
２
Ｃ.∃ ∈[－１ꎬ２]ꎬ ( )＝ ꎬ
é ù
范围是 ａ ｘ ｇ ｘ ｘ ê １ ú ｘ
－１≤ ≤３ ( １)≤ ( ２)⇔∀ １∈ë ê ꎬ１û ú ꎬ∃ ２∈[２ꎬ３]ꎬ
ｘ ｔ ｆ ｘ ｇ ｔ ２
Ｄ.∀ ∈[－２ꎬ２]ꎬ∃ ∈[－１ꎬ２]ꎬ ( )＝ ( ) 使得 ｆ ｘ ｇ ｘ .
答案 ＡＢＣ 对于 ｆ ｘ ｘ ｘ ( １)ｍａｘ≤ ( ２)ｍａｘ
Ａꎬ∵ ( )＝ － －１ꎬ ∈[－ é ù
２ꎬ２] 是单调递减函数 ꎬ∴ ｆ ( ｘ )ｍｉｎ ＝ ｆ (２)＝ 对函数 ｆ ( ｘ )＝ ｘ ＋ ４ ｘꎬ ｘ ∈ë ê ê １ ꎬ１û ú ú 求导得
２
－３ꎬ ｘ ｘ
ｆ ′ ｘ ４ ( ＋２)( －２) 则 ｆ ′ ｘ
∵
ｘ
∈[－２ꎬ２]ꎬ
ｆ
(
ｘ
)>
ａ 恒成立
ꎬ∴
ａ
<
ｆ
(
ｘ
)ｍｉｎ
( )＝ １－ｘ２ ＝ ｘ２ ꎬ ( )<０ꎬ∴
故 正确 é ù
＝－３ꎬ Ａ ꎻ 函数 ｆ ｘ 在 ｘ ê １ ú上单调递减 可得 ｆ
ê ú
对于 ｆ ｘ ｘ ｘ 是单调递 ( ) ∈ë ꎬ１û ꎬ
Ｂꎬ∵ ( )＝ － －１ꎬ ∈[－２ꎬ２] ２
减函数 æ ö
ꎬ ｘ ｆç１ ÷ １７.ｇ ｘ ｘ ａ 在 ｘ
( )ｍａｘ ＝ è ø ＝ ( )＝ ２ ＋ ∈[２ꎬ３]
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ２ ２
∴ ( )ｍａｘ ＝ (－２)＝ １ꎬ∵ ∃ ∈[－２ꎬ２]ꎬ ( )
ａ ａ ｆ ｘ 故 正确 上单调递增 ｇ ｘ ３ ａ ａ １７
> ꎬ∴ < ( )ｍａｘ ＝１ꎬ Ｂ ꎻ ꎬ∴ ( )ｍａｘ ＝２ ＋ ＝８＋ ꎬ∴ ≤
２
对于 函数 ｇ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ２ ｘ
Ｃꎬ ( )＝ －２ ＝( －１) －１ꎬ ∈
ａ 解得 ａ １. 实数 ａ 的取值范围
８＋ ꎬ ≥ ∴
[－１ꎬ２]ꎬ ２
ｇ ｘ ｇ ｇ ｘ ｇ é ö
∴ ( )ｍｉｎ ＝ (１)＝ －１ꎬ ( )ｍａｘ ＝ (－１)＝ ３ꎬ 是ê ê １ ÷.
ｇ ｘ 的值域为 ｘ ｇ ë ꎬ＋∞ø
２
∴ ( ) [－１ꎬ３]ꎬ∵ ∃ ∈[－１ꎬ２]ꎬ
ｘ ａ ａ 故 正确 考向二 函数最值与不等式结合问题
( )＝ ꎬ∴ －１≤ ≤３ꎬ Ｃ ꎻ
对于 等价于 ｆ ｘ 的值域是 ｇ ｔ 的值域的 １.( 重庆名校联盟联考ꎬ )已知 ｘ ｙ
Ｄꎬ ( ) ( ) ２０２２ ５ >０、 >０ꎬ
且２ １ 若 ｘ ｙ ｍ２ ｍ 恒成立 则实数 Ｃ.(－２ꎬ１)
ｘ ＋ｙ ＝１ꎬ ２ ＋ > ＋８ ꎬ
æ ö
ç ３÷
ｍ 的取值范围为 Ｄ.è－∞ꎬ－ ø∪(１ꎬ＋∞)
( ) ２
答案 Ａ 因为 ｘ ｙ 且 ｘ ｙ
Ａ.(－１ꎬ９) Ｂ.(－９ꎬ１) ꎬ ∈(０ꎬ＋∞)ꎬ ＋ ＝１ꎬ
所以 ｘ２ ｙ２ ｘｙ ｘ ｙ ２ ｘｙ ｘｙ
Ｃ.[－９ꎬ１] Ｄ.(－∞ꎬ－１)∪(９ꎬ＋∞) ＋ ＋ ＝ ( ＋ ) － ＝ １－ ≥１－
答案 Ｂ 由题设 ꎬ 知 ２ ｘ ＋ ｙ ＝ (２ ｘ ＋ ｙ ) æ ç ｘ ＋ ｙö ÷ ２ ３ 当且仅当 ｘ ｙ １时 等号成立.
æ ö ｙ ｘ ｙ ｘ è ø ＝ ꎬ ＝ ＝ ꎬ
２ ４ ２
ç２ １÷ ２ ２ ２ ２ 当且
è ｘ ＋ｙ ø ＝５＋ ｘ ＋ ｙ ≥５＋２ ｘ ｙ ＝９ꎬ
又不等式 ｘ２ ｙ２ ｘｙ １ｍ２ １ｍ 恒成立 所以
仅当 ｘ
＝
ｙ 时等号成立
ꎬ∴
要使
２
ｘ
＋
ｙ
>
ｍ２
＋８
ｍ ＋ ＋ >
２
＋
４
ꎬ
恒成立 只需 ｍ２ ｍ 故 ｍ ｍ
ꎬ ＋８ <９ꎬ ( ＋９)( －１)< ３ １ｍ２ １ｍ 即 ｍ２ ｍ 解得 ３ ｍ
> ＋ ꎬ ２ ＋ －３<０ꎬ － <
ｍ .故选 ４ ２ ４ ２
０ꎬ∴ －９< <１ Ｂ.
.
２.(多选)( 届重庆南开中学质检ꎬ )已知 <１
２０２３ １０
４.( 浙江绍兴模拟ꎬ )若关于 ｘ 的不等式
正数ｘ ｙ 满足ｘ ｙ 若存在正数 ｘ ｙ 使得 ２０２１ ４
ꎬ ＋２ ＝４ꎬ ꎬ
ｘ２ ａｘ 在区间 上有解 则实数 ａ
１ ｘ ｔ ｙ １成立 则实数ｔ 的可能取值是 ＋ －２>０ [１ꎬ５] ꎬ
ｘ＋ ≤ －２ －ｙ ꎬ 的取值范围为
２ ( )
æ ö é ù
( ) ç ２３ ÷ ê ２３ ú
ê ú
Ａ.è－ ꎬ＋∞ø Ｂ.ë－ ꎬ１û
Ａ.２ Ｂ.４ Ｃ.６ Ｄ.８ ５ ５
æ ö
答案 ＣＤ 由题可知存在正数 ｘ ｙ 使得 １ ç ２３÷
ꎬ ｘ Ｃ.(１ꎬ＋∞) Ｄ.è－∞ꎬ－ ø
２ ５
答案 Ａ 关于 ｘ 的不等式 ｘ２ ａｘ 在区
ｘ ｙ １ ｔ 成 立 所 以 ｔ ＋ －２>０
＋ ＋ ２ ＋ ｙ ≤ ꎬ
间 上有解
[１ꎬ５] ꎬ
æ ö
ç １ ｘ ｙ １÷ .
≥è ｘ＋ ＋２ ＋ｙ ø ∴ ａｘ >２－ ｘ２ 在 ｘ ∈[１ꎬ５] 上有解 ꎬ 即 ａ > ２ ｘ － ｘ
２ ｍｉｎ
因为正数 ｘ ｙ 满足 ｘ ｙ 所以 １ ｘ ｙ
ꎬ ＋２ ＝４ꎬ ｘ＋ ＋２ ＋ 在 ｘ 上成立.设函数 ｆ ｘ ２ ｘ ｘ
２ ∈[１ꎬ５] ( )＝ ｘ － ꎬ ∈
æ ö
１ １ç １ １÷ ｘ ｙ １ 易知 ｆ ｘ 在 ｘ 上单调递减
ｙ ＝ ４ ＋ è ｘ＋ｙ ø ( ＋ ２ ) ＝ ４ ＋ [１ꎬ５]ꎬ ( ) ∈[１ꎬ５] ꎬ
４ ２ ４
æ ｘ ｙ ö æ ｘ ｙ ö 又 ｆ ｆ ２ ２３ 所以 ｆ
ç５ ÷ １çç５ ÷÷ ４１ 当 (１)＝ ２－１＝１ꎬ (５)＝ －５＝－ ꎬ
è ＋ｙ ＋ｘ ø≥４＋ è ＋２ ｙｘ ø ＝ ꎬ ５ ５
２ ４ ２ ８ é ù
ｘ 的值域为ê ２３ ú 要使 ａ ２ ｘ 在 ｘ
且仅当 ｘ ｙ 时 取等号 ｔ ４１.故选 ( ) ë ê － ꎬ１û ú ꎬ > ｘ － ∈
＝ ꎬ ꎬ∴ ≥ ＣＤ. ５
８
３.( 广东佛山南海石门中学模拟ꎬ )已知 上有解 则 ａ ２３ 即实数 ａ 的取值范
２０２１ ５ [１ꎬ５] ꎬ >－ ꎬ
5 ５
年
ｘ
ꎬ
ｙ
∈(０ꎬ＋∞)ꎬ
且ｘ
＋
ｙ
＝１ꎬ
若不等式 ｘ２
＋
ｙ２
＋
ｘｙ
æ ö
高 围为ç ２３ ÷.
考
3
１ｍ２ １ｍ恒成立 则实数ｍ的取值范围是
è－
５
ꎬ＋∞ø
> ＋ ꎬ
年 ２ ４ 故选
模 Ａ.
拟
( ) ５.( 湖南师大附中月考ꎬ )已知函数ｆ ｘ
A æ ö ２０２１ １３ ( )
版
Ａ.
ç
è－
３
ꎬ１ø
÷
＝
ｘ２
＋４ꎬ
ｇ
(
ｘ
)＝
ａｘ
ꎬ
当 ｘ
∈[１ꎬ４]
时
ꎬ
ｆ
(
ｘ
)
的图
２
高
象总在 ｇ ｘ 图象的上方 则 ａ 的取值范围为
考 é ù
ê ú ( ) ꎬ
数 ３
ê ú
学 Ｂ.ë－ ꎬ１û .
２
３６
答案 解析 由于 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 在区间 上
(－∞ꎬ４) ( )＝ －２ ＋４ [１ꎬ２]
解析 由题意可得 ｘ ｘ２ ａｘ 从 是增函数 所以 ｆ ｘ ｆ .
∀ ∈[１ꎬ４]ꎬ ＋４> ꎬ ꎬ ( )ｍａｘ ＝ (２)＝ ４
当 ａ 时 ｇ ｘ ａｘ 在区间 上
而有 ａ ｘ ４ 由基本不等式可得 ｘ ４ (１) ０< <１ ꎬ ( )＝ [－１ꎬ２]
< ＋ ｘꎬ ＋ ｘ ≥２ 是减函数 则 ｇ ｘ ａｘ 的最大值为 ｇ
ꎬ ( )＝ (－１)＝
ｘ ４ 当且仅当 ｘ 时 等号成立 所 １ 由已知得 ｇ ｘ ｆ ｘ １ 可得
ｘ ＝４ꎬ ＝２ ꎬ ꎬ ａꎬ ( )ｍａｘ> ( )ｍａｘꎬ∴ ａ >４ꎬ
以 ａ .
<４ ａ １
６.(
２０２１
广东云浮月考ꎬ
１５
)已知 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
－２
ｘ
＋
０< <
４
ꎻ
ｇ ｘ ａｘ ａ 且 ａ 若对任意的 ｘ 当 ａ 时 ｇ ｘ ａｘ 在区间 上是
(２) >１ ꎬ ( )＝ [－１ꎬ２]
４ꎬ ( )＝ ( >０ ≠１)ꎬ １∈
都存在 ｘ 使得 ｆ ｘ
增函数 则 ｇ ｘ ａｘ 的最大值为 ｇ ａ２
ꎬ ( )＝ (２)＝ ꎬ
[１ꎬ２]ꎬ ２∈[－１ꎬ２]ꎬ ( １)<
ｇ ｘ 成 立 则 实 数 ａ 的 取 值 范 围 是
由已知得 ｇ ｘ ｆ ｘ ａ２ 可得 ａ
( ２) ꎬ
( )ｍａｘ> ( )ｍａｘꎬ∴ >４ꎬ >
.综合 可得 实数 ａ 的取值范围是
.
２ (１)(２) ꎬ
æ ö
æ ö
答案 è ç ０ꎬ １ ø ÷ ∪(２ꎬ＋∞) è ç ０ꎬ １ ４ ø ÷ ∪(２ꎬ＋∞) .
４
专
题
二
不
等
式
３７
专题综合检测
一、单项选择题
Ｃ.２ Ｄ.４
１.( 石家庄二中月考ꎬ )下列命题为真命 ｘ ｘ
２０２２ ９ 答案 Ｂ ｆ ｘ ｘ
( )＝ ｌｏｇ２ ｌｏｇ２ ＝(ｌｏｇ２ －
题的是 ２ ８
( )
若 ａ ｂ 则 ａｃ２ ｂｃ２ １)(ｌｏｇ２ ｘ －３)＝ ｌｏｇ ２ ２ ｘ －４ｌｏｇ２ ｘ ＋３ . ∵ ｆ ( ｘ １)＝ ｆ
Ａ. > >０ꎬ >
ｘ ｘ ｘ
若 ａ ｂ 则 ａ２ ｂ２ ( ２)ꎬ∴ ｌｏｇ２ １ ＋ｌｏｇ２ ２ ＝４ꎬ
Ｂ. > ꎬ >
若 ａ ｂ 则 ａ２ ａｂ ｂ２ 即 ｘ ｘ 又 ｘ ｘ １ ９
Ｃ. < <０ꎬ < < １ ２ ＝ １６ꎬ １ >０ꎬ ２ >０ꎬ∴ ｘ ＋ｘ ≥２
１ ２
若 ａ ｂ 则１ １
Ｄ. < <０ꎬ ａ>ｂ
９ ３ ３ 当且仅当１ ９ 即 ｘ ４
ｘ ｘ ＝２× ＝ ꎬ ｘ ＝ｘ ꎬ １ ＝ ꎬ
答案 Ｄ 对于 当 ｃ 时 ａｃ２ ｂｃ２ 所以 １ ２ ４ ２ １ ２ ３
Ａꎬ ＝０ ꎬ ＝ ꎬ
ｘ 时等号成立
中命题是假命题 对于 当 ａ ｂ ２ ＝１２ ꎬ
Ａ ꎻ Ｂꎬ ＝０ꎬ ＝－２
时 ａ ｂ 但 ａ２ ｂ２ 所以 中命题是假命题 １ ９的最小值为３.故选
ꎬ > ꎬ < ꎬ Ｂ ꎻ ∴ ｘ ＋ｘ Ｂ.
对于 当 ａ ｂ 时 ａ ｂ 但 ａ２ ａｂ １ ２ ２
Ｃꎬ ＝－４ꎬ ＝－１ ꎬ < <０ꎬ > ４.( 石家庄二中月考ꎬ )若正数ｘ ｙ 满足ｘ
ｂ２ 所以 中命题是假命题 对于 若 ａ ｂ ２０２２ ６ ꎬ
> ꎬ Ｃ ꎻ Ｄꎬ <
ｙ ｘｙ 当 ｘ ｙ 取得最小值时 ｘ ｙ 的
＋３ ＝５ ꎬ ３ ＋４ ꎬ ＋４
则 １ １ 所以 中命题是真命题.故
值为
<０ꎬ ａ > ｂꎬ Ｄ
( )
选
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
Ｄ.
答案 Ｂ 因为正数 ｘ ｙ 满足 ｘ ｙ ｘｙ 所
ꎬ ＋３ ＝５ ꎬ
２.( 辽宁丹东五校联考ꎬ )设１ １ 则
２０２２ ９ ａ<ｂ <０ꎬ
以１ ３
ｙ ＋ｘ ＝５ꎬ
( )
æ ö
ａ２ ｂ２ ａｂ ｂ２
所以 ｘ ｙ １ ｘ ｙ ç１ ３÷ １
Ａ. > Ｂ. >
３ ＋ ４ ＝ (３ ＋ ４ ) è ｙ ＋ｘ ø ＝
ａ ｂ ａｂ ａ ｂ ａ ｂ ５ ５
Ｃ. ＋ ≥２ Ｄ.２ ＋２ >２ ２ ２ æ ｘ ｙö æ ｘ ｙö
ç３ １２ ÷ １ çç ３ １２ ÷÷ 当
答案 Ｄ １ １ ａ ｂ 取 ａ ｂ è ｙ ＋９＋４＋ ｘ ø≥ è１３＋２ ｙ ｘ ø ＝５ꎬ
∵ ａ<ｂ <０ꎬ∴ ０> > ꎬ ＝－１ꎬ ５
ｘ ｙ
则 ａ２ ｂ２ ａｂ ｂ２ ａ ｂ 且仅当３ １２ 即 ｘ ｙ 时取等号 又 ｘ ｙ
＝－２ꎬ ＝１< ＝４ꎬ ＝２< ＝４ꎬ ＋ ＝－３< ｙ ＝ ｘ ꎬ ＝２ ꎬ ＋３
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ
２ ２ꎬ∵ ２ >０ꎬ２ >０ꎬ∴ ２ ＋２ ≥２ ２ ２ ꎬ∵
ｘｙ 所以 ｘ ｙ １ 所以当 ｘ ｙ 取得
ｂ 等号取不到 故 ａ ｂ ａ ｂ 故 ＝５ ꎬ ＝１ꎬ ＝ ꎬ ３ ＋４
２
≠ ꎬ∴ ꎬ ２ ＋２ >２ ２ ２ ꎬ
5 正确.故选 最小值时 ｘ ｙ １ 故选
年 Ｄ Ｄ. ꎬ ＋４ ＝１＋４× ＝３ꎬ Ｂ.
高 ３.( 河北曲阳一中月考ꎬ )已知函数 ｆ ｘ ２
考 ２０２２ ４ ( )
５.( 重庆涪陵实验中学期中ꎬ )已知 ｘ
3
ｘ ｘ ２０２２ ６ >０ꎬ
年
若ｆ ｘ ｆ ｘ 其中ｘ
模
拟
＝ ｌｏｇ２
２
ｌｏｇ２
８
ꎬ ( １)＝ ( ２)( １≠
ｙ 且 ４ １ 则 ｘ ｙ 的最小值为
>－１ꎬ ｘ ＋ｙ ＝３ꎬ ＋
A ＋１
ｘ 则１ ９的最小值为
版
２)ꎬ ｘ ＋ｘ ( )
( )
高 １ ２
考
Ａ.４ Ｂ.３ Ｃ.２ Ｄ.１
数 ３ ３
学 Ａ. Ｂ. 答案 Ｃ ｙ ｙ 又 ｘ ｘ ｙ
４ ２ ∵ >－１ꎬ∴ ＋１>０ꎬ >０ꎬ∴ ＋
３８
ｘ ｙ ｘ ｙ
æ
ç４ １
ö
÷ １ １
ｘ２
２
＝ ＋ ＋１－１＝( ＋ ＋１)è ｘ ＋ｙ
＋１
ø×
３
－１＝
３
Ｃ.ｘ４
＋２
≤
４
é ｘ ｙ ù
ê ４( ＋１) ú ａ ｂ
ë ê ４＋１＋ｙ ＋ ｘ û ú － １ ≥ 若 ａ ｂ １ 则２ (ｌｏｇ２ )[ｌｏｇ２(２ )]
＋１ Ｄ. >１ꎬ > ꎬ ａｂ
é ê ｘ ｙ ù ú ２ １＋ｌｏｇ２( )
１ ４( ＋１) １
ë êê ５＋２ ｙ ｘ û úú－１＝ ×(５＋４)－１＝ ≤１
３ ＋１ ３ ｘ２ ｘ２
ｘ ｙ 答案 ＡＣＤ ｘ ｘ２ ＋１－ １ 当
当且仅当 ４( ＋１) 即 ｘ ｙ 时 Ａ. １－ ≤ ＝ ꎬ
２ꎬ ｙ ＝ ｘ ꎬ ＝２ꎬ ＝０ ꎬ ２ ２
＋１
等号成立.所以 ｘ ｙ 的最小值为 .故选 且仅当 ｘ ｘ２ ｘ ２ 时等号成
＋ ２ Ｃ. ＝ １－ ⇒ ＝ ∈(０ꎬ１)
二、多项选择题 ２
６.( 广州执信中学月考ꎬ )设 ａ ｂ Ｒ 则 立 正确 . ２ｘ ２ 当且仅当 ２ｘ
２０２２ １１ ꎬ ∈ ꎬ ꎬ ꎻＢ ｓｉｎ ＋ ２ｘ≥２ ２ꎬ ｓｉｎ
ｓｉｎ
下列结论正确的是
( )
２ ２ｘ 所以最小值取
Ａ.
若 ａ
<
ｂ
<０ꎬ
则
(
ａ
－１)
２
<(
ｂ
－１)
２ ＝ ２ｘ⇒ｓｉｎ ＝ ２∉(０ꎬ１]ꎬ
ｓｉｎ
若 ａ ｂ 则 ａ ｂ
Ｂ. ＋ ＝２ꎬ ２ ＋２ ≥４ 不到 不正确 .当 ｘ 时
ｘ２
当 ｘ
若 ａ ｂ － ａ － ｂ 则 ａ ｂ ꎬ ꎻＣ ＝０ ꎬｘ４ ＝０ꎬ ≠０
Ｃ. ２ －２ >２ －２ ꎬ > ＋２
若 ａ ｂ 且 ａ ｂ 则 ａｂ ｂａ
Ｄ. > >０ꎬ ＋ ＝１ꎬ >
ｘ２
时 １ １ ２ 当且仅当 ｘ２ ２
答案 ＢＣＤ 对于 因为 ａ ｂ 所以 ａ ꎬｘ４ ＝ ≤ ＝ ꎬ ＝ｘ２
Ａꎬ < <０ꎬ －１ ＋２ ｘ２ ２ ２ ２ ４
ｂ 因为 ｙ ｘ２ 在 上单调递减
＋ｘ２
< －１<０ꎬ ＝ (－∞ꎬ０) ꎬ
所以 ａ ２ ｂ ２.故 错误. ｘ２ 时等号成立 正确 .因为 ａ ｂ
( －１) >( －１) Ａ ⇒ ＝ ２ ꎬ ꎻＤ >１ꎬ >
对于 因为 ａ ｂ 所以 ａ ｂ ａ ｂ
Ｂꎬ ＋ ＝２ꎬ ２ ＋２ ≥２ ２ ２ １ 所以 ａｂ
ꎬ １＋ｌｏｇ２( )>０ꎬ
ａ ＋ ｂ ２ 当且仅当 ａ ｂ 时等号成 ２
＝２ ２ ＝２ ＝４( ＝
ａ ｂ
立 .故 正确. 所 以 ２ (ｌｏｇ２ )[ｌｏｇ２(２ )]
) Ｂ
ａｂ ≤
对于 因为 ａ ｂ － ａ － ｂ 所以 ａ － ａ ｂ １＋ｌｏｇ２( )
Ｃꎬ ２ －２ >２ －２ ꎬ ２ －２ >２
ａ ｂ ａｂ
－ ｂ.记函数 ｆ ｘ ｘ － ｘ. ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２(２ ) １＋ｌｏｇ２( ) 当且仅当 ａ
－２ ( )＝ ２ －２ ａｂ ＝ ａｂ ＝ １ꎬ
因为 ｙ ｘ 为增函数 ｙ － ｘ为减函数 所以 ｆ １＋ｌｏｇ２( ) １＋ｌｏｇ２( )
＝２ ꎬ ＝２ ꎬ ｂ 时等号成立 故选
ｘ ｘ － ｘ为增函数 所以 ａ ｂ.故 正确. ＝２ ꎬ ＡＣＤ.
( )＝ ２ －２ ꎬ > Ｃ ８.( 辽宁省部分中学期末ꎬ )三元均值不
２０２２ １１
对于 因为ａ ｂ 且ａ ｂ 所以１ ａ .
Ｄꎬ > >０ꎬ ＋ ＝１ꎬ < <１ ａ ｂ ｃ
等式 当 ａ ｂ ｃ 均为正实数时 ＋ ＋
２
:“ 、 、 ꎬ ≥
æ ö ３
因为 ｙ ａｘç１ ａ ÷单调递减 所以 ａｂ ａａ
＝ è < <１ø ꎬ > ꎬ ３ａｂｃ 即三个正数的算术平均数不小于它们
２ ꎬ
æ ö 的几何平均数 当且仅当 ａ ｂ ｃ 时等号成
因为 ｙ ｘａç１ ａ ÷单调递增 所以 ａａ ｂａ ꎬ ＝ ＝
＝ è < <１ø ꎬ > ꎬ 立. 利用上面结论 判断下列不等式成立的有
２
” ꎬ
所以 ａｂ ｂａ 故 正确.故选
> ꎬ Ｄ ＢＣＤ.
( )
７.( 辽宁六校协作体期中ꎬ )下列说法正
２０２２ １０
若 ｘ 则 ｘ２ ２
确的是 Ａ. >０ꎬ ＋ｘ≥３
( )
专
当 ｘ Î 时 ｘ ｘ２ １ 若 ｘ 则 ｘ２ ｘ １
题
Ａ. (０ꎬ１) ꎬ １－ ≤ Ｂ. ０< <１ꎬ (１－ )≤
二
２ ９
不
２ｘ ２ 的最小值为 若 ｘ 则 ｘ １ 等
Ｂ.ｓｉｎ ＋ ２ｘ ２ ２ Ｃ. >０ꎬ ２ ＋ｘ２ ≥３ 式
ｓｉｎ
３９
ｍ 恒成立 所以 ｍ 则实数 ｍ 的最大值
若 ｘ 则 ｘ ｘ ２ １ ꎬ ≤１６ꎬ
Ｄ. ０< <１ꎬ (１－ ) ≤
是 .
９
１６
答案 ＡＣ 对于
Ａꎬ
因为 ｘ
>０ꎬ
所以 ｘ２
＋
２
ｘ ＝
１０.(
２０２２
沈阳三十一中月考ꎬ
１５
)已知 ａ
>
ｂ
ꎬ
关
于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ｘ ｂ 对于一切实数
＋２ ＋ ≥０
３
ｘ２ １ １ ｘ２ １ １ 当且仅当 ｘ２ ｘ 恒成立 又存在实数 ｘ 使得 ａｘ２ ｘ ｂ
＋ｘ ＋ｘ ≥３ ｘｘ ＝３ꎬ ＝ ꎬ ０ꎬ ０ ＋２ ０ ＋ ＝
ａ２ ｂ２
成立 则 ＋ 的最小值为 .
１ 即 ｘ 时 等号成立 正确 ０ ꎬ ａ ｂ
ｘꎬ ＝１ ꎬ ꎬＡ ꎻ －
答案
２ ２
对于 因为 ｘ 则 ｘ２ ｘ １ｘ ｘ
Ｂꎬ ０< <１ꎬ (１－ )＝ 解析 因为ａｘ２ ｘ ｂ 对于一切实数ｘ 恒
２ ＋２ ＋ ≥０
æｘ ｘ ｘö３ 成立 所以 ａ 且 Δ ａｂ 所以 ａｂ
ｘ １ ç ＋ ＋２－２ ÷ ４ 当且仅当 ｘ ꎬ >０ꎬ ＝４－４ ≤０ꎬ ≥
(２－２ )≤
２
è
３
ø ＝
２７
ꎬ .由存在实数 ｘ 使得 ａｘ２ ｘ ｂ 成立
１ ０ꎬ ０ ＋２ ０ ＋ ＝０ ꎬ
可得 Δ ａｂ 所以 ａｂ
ｘ 即 ｘ ２时 等号成立 错误
＝４－４ ≥０ꎬ ≤１ꎬ
＝２－２ ꎬ ＝ ꎬ ꎬＢ ꎻ
３ ａ２ ｂ２
所以ａｂ 因为ａ ｂ 即ａ ｂ 所以 ＋
＝１ꎬ > ꎬ － >０ꎬ ａ ｂ ＝
对于 因为 ｘ 则 ｘ １ ｘ ｘ １
－
Ｃꎬ >０ꎬ ２ ＋ｘ２ ＝ ＋ ＋ｘ２ ≥３
ａ ｂ ２ ａｂ
( － ) ＋２ ａ ｂ ２ 当且仅当ａ
３ ａ ｂ ＝( － )＋ａ ｂ≥２ ２ꎬ
ｘ ｘ １ 当且仅当 ｘ １ 即 ｘ 时 － －
ｘ２ ＝３ꎬ ＝ｘ２ ꎬ ＝１ ꎬ
ｂ ２ 即 ａ ｂ 时 等号成立 所以
等号成立 正确 － ＝ ａ ｂꎬ － ＝ ２ ꎬ ꎬ
ꎬＣ ꎻ －
ａ２ ｂ２
对于 因为 ｘ 则ｘ ｘ ２ １ ｘ ＋ 的最小值为 .
Ｄꎬ ０< <１ꎬ (１－ ) ＝ ２ (１－ ａ ｂ ２ ２
２ －
æ ｘ ｘ ｘö３ １１.( 广东深圳实验学校月考ꎬ )已知
ｘ ｘ １ ç２ ＋１－ ＋１－ ÷ ４ 当且仅 ２０２２ １４
)(１－ )≤ è ø ＝ ꎬ
２ ３ ２７ ａ ｂ ａｂ 则 ａ ｂ 的最小
ｌｏｇ２( ＋４ )＝ ２ｌｏｇ２(２ )ꎬ ＋
当 ｘ ｘ 即 ｘ １时 等号成立 错误.故 值是 .
２ ＝１－ ꎬ ＝ ꎬ ꎬＤ
３
选 答案 ９
ＡＣ.
三、填空题 ４
解析 由题意知 ａ ｂ .
>０ꎬ >０
９.( 重庆七中期中ꎬ )正数 ａ ｂ 满足１
２０２２ １３ ꎬ ａ ＋ 因为 ａｂ ａｂ ２
２ｌｏｇ２ (２ ) ＝ ｌｏｇ２ (２ ) ＝ ｌｏｇ２
ａｂ
(４ )ꎬ
９ 若不等式 ａ ｂ ｍ 对任意实数 ｍ 恒成
ｂ ＝１ꎬ ＋ ≥ 所以 ａ ｂ ａｂ
ｌｏｇ２( ＋４ )＝ ｌｏｇ２(４ )ꎬ
立 则实数 ｍ 的最大值是 .
ꎬ 所以 ａ ｂ ａｂ 所以４ １ 所以 ａ ｂ １
5 答案 ＋４ ＝４ ꎬ ａ＋ｂ ＝４ꎬ ＋ ＝
４
年 １６
高 æ ö æａ ｂ ö
考 解析 因为正数 ａ ｂ 满足１ ９ ａ ｂ ç４ １÷ １ ç ４ ÷ １
3 ꎬ ａ＋ｂ ＝１ꎬ ( ＋ ) èａ＋ｂ ø ＝ è ｂ ＋ ａ ＋５ø ≥
４ ４
年
模 æ ö ｂ ａ æ ａ ｂ ö ａ ｂ
拟 所以 ａ ｂ ａ ｂ ç１ ９÷ ９ çç ４ ÷÷ ９ 当且仅当 ４ 即ａ ｂ
＋ ＝( ＋ )èａ＋ｂ ø ＝１０＋ａ＋ ｂ ≥１０＋２ è２ ｂａ ＋５ø ＝ ꎬ ｂ ＝ ａꎬ ＝２
A ４
版
ｂ ａ ｂ ａ
９ 当且仅当 ９ 即 ａ ｂ 时取等号.故ａ ｂ的最小值为９.
高 ａ ｂ ＝１６ꎬ ａ ＝ ｂ ꎬ ＝４ꎬ ＝ ＋
考 ４
数
学 时取等号 又不等式 ａ ｂ ｍ 对任意实数 １２.( 广东阳春一中月考ꎬ )已知不等式ａｘ２
１２ ꎬ ＋ ≥ ２０２２ １６
４０
ｂ
ｂｘ ｃ 的解集为 ｘ ｘ 则 时取等号 故ｂ ｃ ２５ 的最小值为 .
＋ ＋ <０ { ｜ ２< <３}ꎬ ｃ ＝ ＝３ ꎬ ＋ ＋ａ ８
＋２
１３.( 河北曲阳一中月考ꎬ )已知ａ ｂ Ｒ 且
ｂ ｃ ２５ 的最小值为 . ２０２２ １４ ꎬ ∈ ꎬ
ꎬ ＋ ＋ａ
＋２ ｂ
ａ 则ａ２ １ 的最小值是 .
> >０ꎬ ＋ ａ ｂ ｂ
答案 ５ ２ (２ － )
－ ８
答案
６
２
解析 由题意知ａ 是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ
>０ꎬ２ꎬ３ ＋ ＋ ＝０ ｂ
解析 ａ ａ２ １ ａ２
ｂ ｃ ∵ > > ０ꎬ∴ ＋ ａ ｂ ｂ ≥ ＋
的两根 由根与系数的关系得 ２ (２ － )
ꎬ －ａ ＝２＋３＝５ꎬａ ＝
１ ａ２ １ 当且仅当 ａ ｂ 时取
则ｂ ａ ｃ ａ 则 ｂ ５ æ ç２ ａ － ｂ ＋ ｂö ÷ ２ ＝ ＋ａ２ ≥２ꎬ ＝ ＝１
２×３＝６ꎬ ＝－５ ꎬ ＝６ ꎬ ｃ ＝－ ꎬ
è ø
６
２
等号 所求最小值是 .
ｂ ｃ ２５ ａ ２５ ａ ２５
ꎬ ２
＋ ＋ａ ＝ ＋ａ ＝ ( ＋２) ＋ａ －２≥２
＋２ ＋２ ＋２
ａ ２５ 当且仅当ａ ２５ 即ａ
( ＋２)ａ －２＝８ꎬ ＋２＝ａ ꎬ
＋２ ＋２
专
题
二
不
等
式
４１
