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专题 07 预备知识七：基本不等式
1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号
的条件是：当且仅当这两个数相等
2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力
3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题
知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式: , ,（当且仅当a=b时，取“ ”号）其中 叫做正数 ，
=
的几何平均数； 叫做正数 ， 的算数平均数．
如果 a,b∈R，有a2 +b2 ≥2ab（当且仅当a=b时，取“ ”号）
=
特别的，如果 ,用 分别代替 ,代入a2 +b2 ≥2ab，可得： ，当且仅
当a=b时，“ ”号成立.
=
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知 ， 是正数，如果积 等于定值 ，那么当且仅当 时，和 有最小值 ；
②已知 ， 是正数，如果和 等于定值 ，那么当且仅当 时，积 有最大值 ；
知识点三：基本不等式链
（其中 ， 当且仅当 时，取“ ”号）
a=b
=
知识点四：三个正数的基本不等式
如果 ， ， ，那么 （当且仅当 时，取“ ”号）
=
对点特训一：对基本不等式的理解
典型例题
例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）两个不等式 与 成立的条件是相同的.( )
（2）当 时， .( )
（3）当 时， .( )
（4）函数 的最小值是2.( )
例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是 ．
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 .
精练
1．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
A．不等式 恒成立
B．存在实数 ,使得不等式 成立
C．若 , ,则
D．若 , 且 ,则
2．（23-24高一上·上海松江·期末）“ ”是“ ”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、
“充分必要”、“既不充分也不必要”）
对点特训二：利用基本不等式求最值
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司角度1：和为定值求积的最值
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若 ， ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
例题2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．3
例题3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
精练
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）已知 ， ， ，则xy的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知 ，则 的最大值为 ．
角度2：积为定值求和的最值
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
例题2．（2024·甘肃定西·一模） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一上·上海·期末）函数 （ ）的最小值是 .
精练
1．（23-24高一上·重庆·期末）函数 的最小值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．4 B．5 C． D．
2．（23-24高一上·广东·期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．50 B．40 C．20 D．10
3．（23-24高一上·新疆·期末） 的最小值为 .
角度3：常数代换法
典型例题
例题1．（2024高三上·全国·专题练习）若 ， ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题2．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．10 C．9 D．
精练
1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若 ， ，则的 最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数， ，且 ，则 的最小值为
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，若 ，则 的最小值为 .
角度4：凑配法
典型例题
例题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知 ，则 的最小值是 .
精练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）若 ，则 的最小值为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．
2．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知 ，则 的最小值为 ．
3．（23-24高一上·北京·期中）已知 ，则当 时， 取最小值为 ．
角度5：二次与二次（或一次）商式
典型例题
例题1．（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
例题2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函数 的值域是 .
例题3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数 在 上的最大值为 ．
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）已知 ，则 的最小值为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
3．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最小值为 ．
对点特训三：基本不等式在实际中的应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全
系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（
）
A． B．
C． D．
例题2．（22-23高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出
行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加 升的燃油；第二种
方案，每次加 元的燃油．
(1)分别用 表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价；
(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．
例题3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费
用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，
成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产 件产品的总费用为y元.
当 时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
精练
1．（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g
黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码
放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾
客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 ，其中 ， 分别为左右盘中物体质量， ， 分别
为左右横梁臂长.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（22-23高二上·广西南宁·开学考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到
下列信息：每月土地占地费 （单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位： ）成反比，每月库存货物
费 （单位：万元）与x成正比；若在距离车站 处建仓库，则 和 分别为2万元和8万元，这家
公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．
3．（23-24高一·全国·课后作业）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这
种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示， 为长方形薄板，沿 折叠后， 交
于点 .当 的面积最大时最节能．
（1）设 米，用 表示图中 的长度，并写出 的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
对点特训四：与基本不等式有关的恒成立问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）“对所有 ，不等式 恒成立”的充
分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意 ， 恒成立，则实数
的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设 ， ，若 ，且不等式 恒
成立，则 的取值范围是 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式 对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值
范围为（ ）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}
2．（2024高三·全国·专题练习）当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若对 有 恒成立，则 的取值范围是
一、单选题
1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（20-21高一下·内蒙古赤峰·期末）若 ， 且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬
起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的
天平称黄金，一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码放在天平左盘中，取出 黄金放在天
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，取 黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称
得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项都有可能
7．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．8 C． D．
8．（2023·河南信阳·模拟预测）若 ，则函数 有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）【多选题】下列命题中，为真命题的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024·云南·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最小值．
12．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、
右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别
为x，y.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
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