北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
专题二 不等式
2.1 不等式的性质与解法
考点1 不等式的性质
31 1 1
1.(2022全国甲理,12,5分)已知a= ,b=cos ,c=4sin ,则 ( )
32 4 4
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案 A 解法一:当x∈( π)时,sin x<x<tan x,又1 ( π),所以tan1 1.由
0, ∈ 0, >
2 4 2 4 4
c 1 1=1,可得c>b.当x∈R时,|x|≥|sin x|,即x2≥sin2x,所以(x) 2 x,所以
=4tan >4× ≥sin2
b 4 4 2 2
x2 x x2
≥2sin2 =1-cos x,即cos x≥1- ,当且仅当x=0时等号成立,所以cos
2 2 2
(1) 2
1 4 1 31,即b>a.综上可知,c>b>a,故选A.
>1− =1− =
4 2 32 32
解法二:当x∈( π)时,sin x<x<tan x.
0,
2
①比较a与b.
b=cos 1 =cos ( 2× 1) =1−2sin2 1 ,故b-a= 1 −2sin2 1 =2 ( 1 −sin2 1) =2
4 8 8 32 8 64 8
(1) 2 1
−sin2 >0,∴b>a.
8 8
②比较b与c.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1
sin
( π) 1 1 4
当x∈ 0, 时,由x<tan x可知 <tan = ,
2 4 4 1
cos
4
1 1
∴cos <4sin ,即b<c.
4 4
综上可知,c>b>a.故选A.
2.(2019课标Ⅰ理,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
√5−1 √5−1 ≈0.618,称为黄金分割比例 ,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽
2 2
√5−1
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶
2
至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
答案 B 本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思想;考查的核心
素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.
26
由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于 ≈42
0.618
26+42
cm,可得到此人的身高应小于26+42+ ≈178 cm;
0.618
同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,结合选项可知,只
有B选项符合题意,故选B.
一题多解 用线段代替人,如图.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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a c √5−1 { b>105,
已知 = = ≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h cm,则a+b=h,由 ⇒a>64.89,
b d 2 a≈0.618b
{ c<26,
由 ⇒d<42.07,
c≈0.618d
所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,
{a<68.07,
由 ⇒b<110.15,
a≈0.618b
整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,
即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B.
3.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.
已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,
且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
A.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
答案 B 用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这
样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.
4.(2015北京文,10,5分)2-3, 1 ,log5三个数中最大的数是 .
32 2
答案 log5
2
1 1
解析 ∵2-3=
8
<1,1< 32 <2,log 2 5 >2,
∴这三个数中最大的数为log5.
2
考点2 不等式的解法
1.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组{x(x+2)>0,的解集为( )
|x|<1
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
答案 C 由x(x+2)>0得x>0或x<-2;
由|x|<1得-1<x<1,
所以不等式组的解集为{x|0<x<1},
故选C.
2.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( )
A.c≤3 B.3<c≤6
C.6<c≤9 D.c>9
答案 C 由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得
0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,
由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,
由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,
由①②,解得a=6,b=11,
∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C.
3(2015江苏,7,5分)不等式 <4的解集为 .
2x2−x
答案 {x|-1<x<2}
解析 不等式 <4可转化为 <22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为
2x2−x 2x2−x
{x|-1<x<2}.
4.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示)
答案 (-4,1)
解析 不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.
5 1
5.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为 x - <x< ,则a= .
3 3
答案 -3
解析 依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为( 1 5),
− ,
a a北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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5 1 5 5
{ = , { =− ,
从而有 a 3 此方程组无解.当a<0时,不等式的解集为(5 1),从而有 a 3 解得a=-3.
,−
1 5 a a 1 1
− =− , − = ,
a 3 a 3
6.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为 .
答案 {x|-2<x<1}
解析 x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.
