北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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专题二 函数及其性质
2.1 函数的概念和基本性质
考点1 函数的有关概念
{1,x>0,
1.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgn x= 0,x=0, 则( )
−1,x<0.
A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x
{
x,x>0,
{
x,x>0,
答案 D 由已知可知xsgn x= 0,x=0, 而|x|= 0,x=0, 所以|x|=xsgn x,故选D.
−x,x<0, −x,x<0,
2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
答案 A 由已知条件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.
评析 本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.
3.(2017山东理,1,5分)设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
√4−x2
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
答案 D 由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故选D.
4.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log(x2+2x-3)的定义域是( )
2
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
答案 D 由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.
x2−5x+6
5.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=√4−|x|+lg 的定义域为( )
x−3
A.(2,3) B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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{
4−|x|≥0,
答案 C 要使函数f(x)有意义,需满足 x2−5x+6
>0,
x−3
{
|x|≤4,
即 解之得2<x<3或3<x≤4,故选C.
(x−3)(x−2)
>0,
x−3
1
6.(2014山东理,3,5分)函数f(x)= 的定义域为( )
√(log x) 2−1
2
A.( 1) B.(2,+∞)
0,
2
C.( 1)∪(2,+∞) D.( 1]∪[2,+∞)
0, 0,
2 2
1
答案 C 要使函数f(x)有意义,需使(logx)2-1>0,即(logx)2>1,∴logx>1或logx<-1.解之得x>2或0<x< .
2 2 2 2
2
故f(x)的定义域为( 1)∪(2,+∞).
0,
2
7.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
1
A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=
√x
答案 D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为
R,排除B,故选D.
易错警示 利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
评析 本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.
1
8.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)= ,则对任意实数x,有 ( )
1+2x
A. f(-x)+f(x)=0 B. f(-x)-f(x)=0
1
C. f(-x)+f(x)=1 D. f(-x)-f(x)=
3
答案 C ∵f(x)= 1 ,∴f(-x)= 1 2x ,∴f(x)+f(-x)= 1 2x =1.故选C.
= +
1+2x 1+2−x 2x+1 1+2x 2x+1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时, f(0)+f(0)=
1 1 1 1
+ =1, f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时, f(-1)-f(1)= − ≠0,故B选项错误.根据
2 2 1+2−1 1+21
排除法可知选C.
9.(2015陕西文,4,5分)设f(x)={1−√x,x≥0, 则f(f(-2))=( )
2x,x<0,
1 1 3
A.-1 B. C. D.
4 2 2
答案 C ∵f(-2)=2-2=1,∴f(f(-2))=f (1)=1-√1=1,选C.
4 4 4 2
10.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)={3x−b,x<1, 若f ( (5))=4,则b=( )
f
2x,x≥1. 6
7 3 1
A.1 B. C. D.
8 4 2
答案 D f(5)=3×5-b=5-b,
6 6 2
当5-b≥1,即b≤3时,f(5 )= 5 ,
−b −b
2 2 2
22
5 5 1
即 22 −b=4=22,得到
2
-b=2,即b=
2
;
当5-b<1,即b>3时,f(5 )=15-3b-b=15-4b,
−b
2 2 2 2 2
15 7 3
即 -4b=4,得到b= < ,舍去.
2 8 2
1
综上,b= ,故选D.
2
11.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)={a·2x,x≥0,(a∈R),若f
[f(-1)]=1,则a=( )
2−x,x<0
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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1
答案 A 由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a= ,故选A.
4
1
12.(2022北京,11,5分)函数f(x)= +√1−x的定义域是 .
x
答案 (-∞,0)∪(0,1]
{ x≠0,
解析 由题意得 解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
1−x≥0,
13.(2015课标Ⅱ文,13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a= .
答案 -2
解析 因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.
14.(2016江苏,5,5分)函数y= 的定义域是 .
√3−2x−x2
答案 [-3,1]
解析 若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
{−x2+2,x≤1,
15.(2022浙江,14,6分)已知函数f(x)= 则f( (1))= ;若当x∈[a,b]时,
1 f
x+ −1,x>1, 2
x
1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .
37
答案 ;3+√3
28
解析 ∵f(1) (1) 2 7,
=− +2=
2 2 4
∴f( f (1)) =f (7) = 7 + 4 −1= 37 .
2 4 4 7 28
f(x)的大致图象如图.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,
1
∴由图可得b>1且b+ -1=3,∴b=2+√3,
b
∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,
∴(b-a) =2+√3-(-1)=3+√3.
max
一题多解:第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2,
1
∴f(x)=3 x+ -1=3(x>1),故x=2+√3,
x
⇒
令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,
1
令x+ -1=1(x>1),无解,
x
∴a =-1,b=2+√3,
min
∴(b-a) =2+√3-(-1)=3+√3.
max
{ex−1,x<1,
17.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)= 1 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 .
x3,x≥1,
答案 (-∞,8]
{ x<1,
{x≥1,
{ x<1, {x≥1,
解析 f(x)≤2⇒ 或 1 ⇒ 或 ⇒x<1或1≤x≤8⇒x≤8,故填(-∞,8].
ex−1≤2
x3≤2
x≤ln2+1 x≤8
2.(2022北京,14,5分)设函数f(x)={−ax+1,x<a,若f(x)存在最小值,则a的一个取值为
;a
(x−2) 2,x≥a.
的最大值为 .
1
答案 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1
2
解析 当a<0时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值为0,所
以f(x)不存在最小值.当a=0时, f(x)={ 1,x<0, 此时f(x)存在最小值,最小值为0.当0<a≤1时,
(x−2) 2,x≥0,
f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.因为a∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而
f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最小值.当a>1时, f(x)=-ax+1在(-∞,
a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R
上不存在最小值.综上,a的取值范围为[0,1],a的最大值为1.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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考点2 函数的单调性与最值
1.（2023课标I，4）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
2.（2023全国甲文，11） 已知函数 ．记 ，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所 以 ， 即 由 二 次 函 数 性 质 知
，因为 ，而北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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，
即 ，所以 ，综上， ，
又 为增函数，故 ，即 ，故选：A.
3.(2023北京,4,4分,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
1
A. f(x)=-ln x B. f(x)=
2x
1
C. f(x)=- D. f(x)=3|x-1|
x
答案 C 对于A, f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
1
对于B, f(x)= 在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
2x
1
对于C, f(x)=- 在(0,+∞)上单调递增,符合题意;
x
{3x−1,x≥1,
对于D, f(x)=3|x-1|= 在(0,+∞)上不单调.故选C.
1
,x<1,
3x−1
4.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 ( )
A. f(x)=-x B. f(x)=(2) x
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
答案 D 解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.
解析 对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意;
对于f(x)=(2) x ,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意;
3
对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;
对于f(x)= 1,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.
√3 x=x3
方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调
递减.
