文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海专用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果。
1．集合 ， ， ， ， ，若 ，则 ．
【答案】3
【解析】： ，且 ， ， ，故答案为：3．
【说明】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
2．不等式 的解集为 ．
【提示】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．
【答案】
【解析】由 得 ，则 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集是 ，故答案为： ．
【说明】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题．
3．函数 的最小正周期为 ．
【提示】根据函数 的周期为 ，求出函数 的最小正周期．
【答案】 ；
【解析】函数 的最小正周期为 ，故答案为： ．
【说明】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．
4．已知复数 满足 ，则 的实部为 ．
【提示】设 ， ．根据复数 满足 ，利用复数的运算法则、复数相等即可得
出；
【答案】2；
【解析】设 ， ． 复数 满足 ， ，
可得： ， ，解得 ， ．则 的实部为2．故答案为：2；
【说明】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题；5．已知 ， ，则 ．
【提示】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．
【答案】 ；
【解析】由 ， ，
因为， ， ， ，故 ．故答案为： ．
【说明】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式是解决本题的关键．
6．若函数 为偶函数，则 ．
【提示】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 ，变形分析可得答案．
【答案】1
【解析】根据题意，函数 为偶函数，则 ，
即 ，变形可得： ，必有 ；故答案为：1．
【说明】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义；
7．已知直线 ， ，若 ∥ ，则 与 的距离为 ．
【提示】由 ∥ 求得 的值，再根据两平行线间的距离计算即可；
【答案】
【解析】直线 ， ，
当 ∥ 时， ，解得 ；
当 时 与 重合，不满足题意；
当 时 ∥ ，此时 ， ；
则 与 的距离为 ．故答案为： ．
【说明】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．
8．已知二项式 ，则展开式中 的系数为 ．
【提示】用好二项展开式的通项；
【答案】10；
【解析】 ，令 ， ，代入通项得 ，所以
展开式中 的系数为10．故答案为：10；【说明】本题考查利用二项式定理求特定项的系数；
9．三角形 中， 是 中点， ， ， ，则 ．
【提示】根据余弦定理即可求出 ，并得出 ，然后进行数量积的运
算即可．
【答案】 ；
【解析】：因为，在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
，且 是 的中点，
．故答案为： ．
【说明】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及
计算公式，考查了计算能力；
10．已知 ， ， ， ， ， ， ， 、 ，则 的情况有 种．
【提示】先分类讨论 的取值，得到对应 的值，再整体求和即可；
【答案】18
【解析】当 ，有0种，当 ，有2种，当 ，有4种；
当 ，有6种，当 ，有4种；当 ，有2种，当 ，有0种，
故共有： ．故答案为：18．
【说明】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用；属于对教材的理解与应用；
11．已知 、 、 、 、 五个点，满足 , , ，
, , ，则 的最小值为 ．
【提示】可设 ，从而据题意可得出 ， ， ，并设 ，因为是
求 的最小值，从而可得出 ，从而可求出 ，从而根据基本不等式即可求
出 的最小值．
【答案】
【解析】：设 ，则 ， ， ，设 ，如图，求 的最小值，则：
， ， ， ，
， 当 且 仅 当 ，
即 时取等号，
的最小值为 ．故答案为： ．
【说明】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，
考查了计算能力；
12、已知 ，其反函数为 ，若 有实数根，则 的取值范围为 ．
【提示】因为 与 互为反函数，又 有实数根 与
有交点 方程 有根．进而得出答案；
【答案】 ， ；
【解析】因为 与 互为反函数，
又方程 有实数根，
则函数 的图象与直线 有交点，
所以 有根，即 ，故答案为： ， ．
【说明】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系；
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一
个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项和为15,4a,2a，a 成等差数列，则a 等于( )
n 1 3 5 1
A．5－5 B．5＋5 C．5 D．5
【提示】注意理解等差、等比数列的定义；
【答案】A；【解析】设各项均为正数的等比数列{a }的公比为q，q>0，
n
由前4项和为15,4a,2a，a 成等差数列，
1 3 5
可得a＋aq＋aq2＋aq3＝15，
1 1 1 1
4a＝4a＋a，即4a＋aq4＝4aq2，即q2－2＝0，解得q＝，a＝5－5.
3 1 5 1 1 1 1
14．“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【提示】容易看出，由 可得出 ，而反之显然不成立，从而可得出“ ”是“
”的充分不必要条件．
【答案】A；
【解析】：（1）若 ，则 ，
“ “是“ “的充分条件；
（2）若 ，则 ，得不出 ，
“ ”不是“ ”的必要条件，
“ ”是“ ”的充分非必要条件．故选：A．
【说明】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义， ，正弦函数的图象，
考查了推理能力；
15．已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、
两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【提示】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．
【答案】B；
【解析】 ， ，判断轨迹为上下两部分，即选双曲线；
设 ， ，所以 ，因为 ， ，消去 可得： ，故选：B
【提示】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查；16．数列 各项均为实数，对任意 满足 ，定义: 行列式 且行
列式 为定值，则下列选项中不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【提示】化简行列式，由已知条件，作差化简得．
【答案】B；
【解析】行列式 ，
对任意 满足 ，
，作差整理得： （常数列， ，或 ，
当 ，则 及 ，
方程 有两根 ， ，
∆ ，因为 错，故选：B；
【说明】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1.
又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形．
又BC＝OB＝1，
所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PD⊥BD，
又AD∩PD＝D，AD，PD 平面ADP，所以BD⊥平面ADP.
⊂
因为PA 平面ADP，所以BD⊥PA.
⊂
（2）由（1）知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°，
⊂
所以三角形ADO为正三角形．
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)．
则AB＝(0,2,0)，AP＝，DP＝(0,0，)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒
令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)．
设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，DP〉|＝＝＝，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在 中，角 所对的边为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 面积的最大值．
【提示】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公
式，结合基本不等式进行求解即可；
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设该三角形外接圆的半径为 ，
，
，
． ，
， ， ；
（2）由余弦定理得 ，
，即 ， ，当 时等号成立，，
的面积 ，
当 时， 面积的最大值为
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场， 米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，
为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双
人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线
CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角
，总造价为W元．
（1）试将W表示为 的函数 ，并写出 的取值范围；
（2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小．
【提示】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得 ，而切线长 需构造直角三
角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得 的取值范围；
（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可
得答案；
【答案】（1） ， ；（2） 米
【解析】（1）过N作AB的垂线，垂足为F，过M作NF的垂线，垂足为G，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
由题意易得 ，所以 ，
；
（2）解： ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以当 时，总造价W最小，最小值为 ，此时 ， ， ，
所以当 米时，能使总造价W最小．
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知抛物线 上的动点 ， ，过 分别作两条直线交抛物线于 、 两点，交直线
于 、 两点．
（1）若点 纵坐标为 ，求 与焦点的距离；
（2）若 ， ， ，求证： 为常数；
（3）是否存在 ，使得 且 为常数？若存在，求出 的所有可能值，若不存在，请说明理由．
【提示】（1）点 的横坐标 ，由 ，得 ，由此能求出 与焦点的距离．
（2）设 ，直线 ，当 时， ，同理求出 ，由
此能证明 为常数；
（3）解设 ， ，直线 ，联立 ，
得 ，求出 ，同理得 ，
由此能求出存在 ，使得 且 为常数1；【解析】：（1）解： 抛物线 上的动点 ， ，
过 分别作两条直线交抛物线于 、 两点，交直线 于 、 两点； 点 纵坐标为 ，
点 的横坐标 ，
， ，
与焦点的距离为 ．
（2）证明：设 ，直线 ，
当 时， ，
直线 ， 时， ， ，
为常数 ．
（3）解：设 ， ，直线 ，
联立 ，得 ，
，即 ，
同理得 ，
，
，
要使 为常数，即 ，此时 为常数1，
存在 ，使得 且 为常数1．
【说明】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积
为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力；
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
已知非空集合 ，函数 的定义域为 ，若对任意 且 ，不等式 恒成
立，则称函数 具有 性质．
（1）当 ，判断 、 是否具有 性质；（2）当 ， ， ， ，若 具有 性质，求 的取值范围；
（3）当 ， ， ，若 为整数集且具有 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的
的值；
【提示】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；（2）依题意， 为增函数，
由双勾函数的图象及性质即得解；（3）由题意， ， ，又为常值函数，
故 ，由此即可得解；
【解析】（1） 为减函数， ， 具有 性质；
为增函数， ， 不具有 性质；
（2）依题意，对任意 ， 恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得 （因为 在 上是增函数）
当 时，函数单调递增，满足对任意 ， 恒成立，
综上，实数 的取值范围为 ， ．
（3） 为整数集，具有 性质的函数均为常值函数，
当 ， 恒成立，周期为2，
设 ， ，
由题意， ，则 ，
当 ， ， ，
当 ， ， ，
综上， 为奇数；
【说明】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力；
