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７ ６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
4.2 三角函数的图象与性质
学生用书P223
>+ A %"
P55 > A+
Z SINY+ A3 Z "SINY " + A+.E
E E
*Z SINY+ A O1 *Z SINY+ A
1
/]]J +
Z SINY + A O2 Z SINY+ A
1 ]]
+ /J
Z SINY + A O3 Z SINY + A
> 3 +" 3 +"
Z "SINY + A O4 Z "SINY + A
+
A
B Z SINY Z COSY Z TANY
B 3 3 YYK L;
Z Z Z
F A 0 Y 0 Y 0 Y
; = ; = 3
> / /D:Y K ? L; /D:Y K L; /: L
/: K L; /: K L; L;
+ AE K: AE K: AE K:
B A ;K K = L; ;K K= L; K− K L;
AEK: AEK:
P5
5 ;K K = L; ;K K = L;
*
!>+ >+
B C K )
Z BTJOY CDPTY B CTJOY DPT TJO . Z BTJOY CDPTY DTJOYDPTY
B C B C
Z "TJOY #DPTY $ " #hTJOY $ UBO # * *). Z BTJOY CDPTY D D
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DPTY+ . Z BTJOY DPTY CTJOYDPTY D ! *" U TJOY DPTY ]U]
U
TJOYDPTY >KMD KM!?.
学生用书P224
题型 一 根据图象确定函数解析式 3.求φ
代入法 把图象上的一个已知点坐标代入 此时Ａ Ｂ ω已
求函数ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ ω φ 解析式的方法与 （１） ： （ ， ，
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ （ ＞０， ＞０，｜ ｜＜π） 知 或代入图象与直线ｙ Ｂ的交点坐标求解 此时要注意交
步骤 ） ＝ （
： 点是在上升区间上还是在下降区间上 ．
）
Ｍ ｍ
1.求Ａ Ｂ 确定函数的最大值 Ｍ 和最小值 ｍ 则 Ａ － Ｂ 五点法 确定φ值时 往往以 五点法 中的第一个零点为
、 ， ， ＝ ， （２） ： ， “ ”
２
突破口．
Ｍ ｍ
＋ ．
＝ 例1 （ 全国甲文， ， 分）已知函数ｆ ｘ ωｘ φ 的
２ ２０２１ １５ ５ （ ）＝２ｃｏｓ（ ＋ ）
( )
2.求ω ω ２π． 部分图象如图所示 则ｆ π ．
， ＝ Ｔ ， ＝ － ３
２
专题四 三角函数与解三角形 ７ ７
一定是函数的零点 因此在判断直线ｘ ｘ 或点 ｘ 是不是
， ＝ ０ （ ０，０）
函数图象的对称轴或对称中心时 可通过检验 ｆ ｘ 的值
， （ ０）
进行．
( ) ( ) 例2 （ 海南开学摸底联考， ） 夸父一号 是我国首颗综
解析 由题图可知点 π， ， １３π， 在ｆ（ｘ）的图象上， ２０２４ ７ “ ”
０ ２
３ １２ 合性太阳探测卫星 于 年 月 日在酒泉卫星发射中心
， ２０２２ １０ ９
Ｔ
３ １３π π ３π， 则 Ｔ ， 所以 ω ２π ， 成功发射．在北京时间 年 月 日 夸父一号 成功地记
∴ ＝ － ＝ ＝ π ｜ ｜ ＝ Ｔ ＝ ２ ２０２４ １ １ ，“ ”
４ １２ ３ ４
( π)
录了第
２５
太阳活动周最大的耀斑．在探测的过程中
，
某信息的
注意：Ｔ ２ 不妨取ω ，
＝ ｜ ω ｜ ＝２ 传递可以用函数ｆ ｘ １ ２π－ ｔ π ｔｘ ｔｘ ４ ｔ来近似
（ ）＝ｅ · （ ３ｃｏｓ４ －ｓｉｎ４ ）
则函数ｆ（ｘ） （ ｘ φ）．
＝２ｃｏｓ ２ ＋
模拟信号 其中ｔ为常数 是自然对数的底数 当ｔ １ 时 下列
， ，ｅ ， ＝ ，
解法一 结合题图可知，当ｘ １３π时，ωｘ φ １３π φ ｋ ２
＝ ＋ ＝２× ＋ ＝２ π
１２ １２ 说法正确的是 Ｂ
（ ）
（ｋ Ｚ）， φ ｋ １３ （ｋ Ｚ）， ( )
∈ ∴ ＝２ π－ π ∈ 函数ｆ ｘ 的图象关于点 ２π 对称
６ Ａ． （ ） ，０
( ) ３
令ｋ ，可得φ π，则ｆ（ｘ） ｘ π ， ( )
＝１ ＝－ ＝２ｃｏｓ ２ － 函数ｆ ｘ π 是偶函数
６ ６ Ｂ． ＋
( ) ( ) ６
ｆ π π π ５π ．
＝２ｃｏｓ ２× － ＝２ｃｏｓ ＝－ ３ 函数ｆ ｘ 的最小正周期是
２ ２ ６ ６ Ｃ． （ ） π
[ ]
解法二 由“五点法”作图知当ｘ π时， π φ π，即φ 函数ｆ ｘ 的单调递减区间是 π ｋ ５π ｋ ｋ Ｚ
＝ ２× ＋ ＝ ＝ Ｄ． （ ） － ＋ π， ＋ π ， ∈
３ ３ ２ １２ １２
( ) ( ) ( )
π，则 ｆ（ｘ） ｘ π ， ｆ π π π 解析 当ｔ １ 时，
－ ＝ ２ｃｏｓ ２ － ＝ ２ｃｏｓ ２× － ＝ ＝
６ ６ ２ ２ ６ ２
( )
２ｃｏｓ ５π ＝－ ３ ． ｆ（ｘ） １ ２π－２ １π · （ ｘ ｘ）２ ２ ｘ π
６ ＝ ｅ ３ｃｏｓ２ －ｓｉｎ２ ＝ ４ｃｏｓ ２ ＋ ＝
６
( )
题型 二 三角函数性质的综合应用 ｘ π ，
２ ｃｏｓ ２ ＋
６
1.三角函数的单调性 作出函数图象，如图．
求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式进行化
（１） ， Z
简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 ．
， “ ”
求形如ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 其中ω 的
（２） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ （ ＞０）
单调区间时 要视 ωｘ φ 为一个整体 通过解不等式求解．如
， “ ＋ ” ， 0 ? ? ? Y
果ω 那么一定要先借助诱导公式将ｘ的系数化为正数．
＜０，
已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区
（３） ，
由图可知 错误．
Ａ
间 然后利用集合间的关系求解．
，
函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ １ ２π π，（注意：解析式中的绝
2.三角函数的奇偶性 ＝ × ＝
２ ２ ２
ｙ ＝ Ａ （ωｘ ＋ φ） 奇函数 φ ＝ ｋ （ｋ Ｚ） 对值会使周期减半）故 错误．
ｓｉｎ → π ∈ Ｃ
（Ａ，ω ） 偶函数 φ ＝ π ＋ ｋ （ｋ Ｚ） ( ) ( )
≠０ → π ∈ ｆ ｘ π ｘ π ｘ ，是偶函数（注意： ｆ（ｘ）
２ ＋ ＝２ ｃｏｓ ２ ＋ ＝２｜ｓｉｎ ２ ｜
６ ２
ｙ ＝ Ａ （ωｘ ＋ φ） 奇函数 φ ＝ π ＋ ｋ （ｋ Ｚ） 为奇函数时 ｆ（ｘ） 为偶函数），故 正确．
ｃｏｓ → π ∈ ｜ ｜ Ｂ
２
（Ａ，ω ） 偶函数 φ ＝ ｋ （ｋ Ｚ） [ ｋ ｋ ]
≠０ → π ∈ 由图可知函数 ｆ（ｘ）的单调递减区间为 ５π π，２π π ，ｋ
3.三角函数的周期性 ＋ ＋ ∈
１２ ２ ３ ２
求三角函数的最小正周期 一般先通过恒等变换化为 ｙ
Ｚ，故 错误．
， ＝ Ｄ
Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 或 ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 知识拓展
ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ ＝ ｔａｎ（ ＋ ）＋
．正弦曲线和余弦曲线相邻的两条对称轴之间距离的 倍是
Ａ ω φ Ｂ为常数 Ａ ω 的形式 再应用公式Ｔ ２π １ ２
（ ， ， ， ， ≠０， ≠０） ， ＝
｜
ω
｜
一个周期．
正弦 余弦型 或Ｔ π 正切型 求解． ．正弦曲线和余弦曲线相邻的一条对称轴和一个对称中心之
（ 、 ） ＝ ω （ ） ２
｜ ｜ 间距离的 倍是一个周期．
4.三角函数图象的对称性 ４
．正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的 倍是一个
函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ为常数 Ａ ω 图象的 ３ ２
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ， ， ≠０， ≠０） 周期．
对称轴一定经过图象的最高点或最低点 对称中心的横坐标
，
７ ８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
创新知识交汇 ( ｘ )
所以ｆ（ｘ） π ５π ，
＝ ３ｓｉｎ ＋
２ ６
例 （多选）（ 湖南师大附中月考， ）已知函数ｆ ｘ
２０２４ １１ （ ）＝ 因为点Ａ是函数ｆ（ｘ）的图象在ｙ轴左侧距离ｙ轴最近的最高
( )
λ ｓｉｎ πｘ ＋ φ （ λ ＞０，０＜ φ ＜π） 的部分图象如图 １ 所示 ， Ａ ， Ｂ分别 点，所以π ｘ Ａ ５π π，ｘ ２ ，
２ ＋ ＝ Ａ＝－
２ ６ ２ ３
为图象的最高点和最低点 过Ａ作ｘ轴的垂线 交ｘ轴于Ａ′ 点
， ， ， 因为点Ｃ是函数ｆ（ｘ）的图象在ｙ轴右侧的第一个对称中心，所
Ｃ为图象与ｘ轴的交点．将绘有该图象的纸片沿ｘ轴折成直二面
ｘ
以π Ｃ ５π ，ｘ １ ，
角 如图 所示 此时 ＡＢ 则下列四个结论正确的有 ＋ ＝π Ｃ＝
， ２ ， ｜ ｜＝ １０， ２ ６ ３
ＡＣ ( ) ( ) ( )
（ ） 翻折后， 则有 Ａ ， ２ ， ， Ｂ ，４ ， ， Ｃ ，１ ， ，
Z ０ － ３ ３ ０ ０ ０
" Z ３ ３ ３
@@ " ( )
@@ Ａ′ ， ２ ， ，
０ － ０
"0 $ Y "0 $ Y ３
# 所以→ＡＢ （ ， ， ），→ＡＣ （ ， ， ），
# ＝ ３ ２ － ３ ＝ ０ １ － ３
图 图
所以在题图
２
中，→ＡＢ·→ＡＣ
＝０＋２×１＋
（
－ ３
）２
＝５
，故
Ｃ
正确；
１ ２
λ ( ) ２
Ａ． ＝ ３ 设Ｑ（ｘ，ｙ， ），则 ＡＱ ｘ２ ｙ ２ （ ）２ ，可得ｘ２
０ ｜ ｜＝ ＋ ＋ ＋ ０－ ３ ≤２ ＋
３
φ π
Ｂ． ＝ ( ) ２
３ ｙ ２ ，所以区域Ｔ是在平面ｘ′Ｏｙ′内以点Ａ′为圆心，Ａ′Ｃ
＋ ≤１ ＝
图 中 →ＡＢ →ＡＣ ３
Ｃ． ２ ， · ＝５
为半径，且圆心角为 ＢＡ′Ｃ的扇形及其内部，如图 所示，
图 中 Ｓ 是 Ａ′ＢＣ 及其内部的点构成的集合．设集合 Ｔ １ ∠ ｂ
Ｄ． ２ ， △ ＝
[
"
｛ Ｑ ∈ Ｓ ｜｜ ＡＱ ｜≤２｝， 则Ｔ表示的区域的面积大于π @@ " $ #
４
$ %
"0 Z
解析 函数ｆ（ｘ）的最小正周期为Ｔ ２π ， #
＝ ＝４
π Y #
２ 图 图
以点Ｏ为坐标原点建立如图 所示的空间直角坐标系Ｏｘ′ｙ′ｚ′， ａ ｂ
ａ ＢＢ′
设点Ａ′（ ，ｔ， ），则点Ａ（ ，ｔ，λ），Ｂ（λ，ｔ ， ）， 则 ｔａｎ∠ ＢＡ′Ｃ ＝Ａ′Ｂ′＝ ３ ＜１ ，所以 ０＜∠ ＢＡ′Ｃ ＜ π，故区域Ｔ的面
０ ０ ０ ＋２ ０ ２ ４
则
｜
ＡＢ
｜＝
（λ
－０
）２
＋
（ｔ
＋２－
ｔ）２
＋
（
０－
λ）２
＝ ２
λ２
＋４＝ １０
，由λ
积Ｓ １ π ２ π，故 错误．故选
＜ × ×１ ＝ Ｄ ＡＣ．
，解得λ ，故 正确； ２ ４ ８
＞０ ＝ ３ Ａ
风向解读
( ｘ )
所以ｆ（ｘ）
＝ ３ｓｉｎ
π
＋
φ ，由 ｆ（
０
）
＝ ３ｓｉｎ
φ
＝
３，可得
ｓｉｎ
φ 本题巧妙地将三角函数图象通过折叠变成立体图形，结合空
２ ２
间直角坐标系，考查学生由三角函数图象求解析式的同时，
１ ，
＝ 还考查了空间想象能力， 选项还结合解析几何中圆的方程
２ Ｄ
等知识，体现新高考进行知识融合创新的趋势．
又因为函数ｆ（ｘ）在ｘ 附近单调递减，且 φ ，所以φ ５π，
＝０ ０＜ ＜π ＝
６
故 错误；
Ｂ
ｆ ｘ 与ｇ ｘ 有相同的最大值
学生用书P44 Ｂ． （ ） （ ）
ｆ ｘ 与ｇ ｘ 有相同的最小正周期
１． 多想少算、回归教材 （ 新课标 ， ， 分，中）当ｘ Ｃ． （ ） （ ）
２０２４ Ⅰ ７ ５ ∈［０， ｆ ｘ 与ｇ ｘ 的图象有相同的对称轴
( ) Ｄ． （ ） （ ）
时 曲线ｙ ｘ与ｙ ｘ π 的交点个数为 Ｃ
２π］ ， ＝ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ３ － （ ） 考点 1 三角函数的图象及其变换 学生用书P44
６
Ａ．３ Ｂ．４ １．（ 全国乙理， ， 分，中）把函数ｙ ｆ ｘ 图象上所有点的横
２０２１ ７ ５ ＝ （ ）
Ｃ．６ Ｄ．８
坐标缩短到原来的１ 倍 纵坐标不变 再把所得曲线向右平移
２． 多想少算 （多选）（ 新课标 ， ， 分，易）对于函数 ， ，
２０２４ Ⅱ ９ ６ ２
( ) ( )
ｆ ｘ ｘ和ｇ ｘ ｘ π 下列说法中正确的有 π个单位长度 得到函数ｙ ｘ π 的图象 则ｆ ｘ
（ ）＝ｓｉｎ２ （ ）＝ｓｉｎ ２ － ， ， ＝ｓｉｎ － ， （ ）＝
４ ３ ４
ＢＣ Ｂ
（ ） （ ）
ｆ ｘ 与ｇ ｘ 有相同的零点
Ａ． （ ） （ ）
专题四 三角函数与解三角形 ７ ９
( ｘ ) ( ｘ )
７π π １ ３
Ａ．ｓｉｎ － Ｂ．ｓｉｎ ＋ Ｃ． Ｄ．
２ １２ ２ １２ ２ ２
( ) ( )
( )
Ｃ．ｓｉｎ ２ ｘ － ７ １ π ２ Ｄ．ｓｉｎ ２ ｘ ＋ １ π ２ ４．（ ２０２０ 天津， ８ ， ５ 分，易）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ｘ ＋ π ．给出下列
３
２．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，中）函数ｙ ｆ ｘ 的图象由函
２０２３ １２ １０ ５ ＝ （ ） 结论
：
( )
数ｙ ｘ π 的图象向左平移π个单位长度得到 则ｙ ｆ ｘ 的最小正周期为
＝ｃｏｓ ２ ＋ ， ＝ ①（ ） ２π；
６ ６ ( )
ｆ π 是ｆ ｘ 的最大值
ｆ ｘ 的图象与直线ｙ １ ｘ １ 的交点个数为 Ｃ ② （ ） ；
（ ） ＝ － （ ） ２
２ ２
把函数ｙ ｘ的图象上所有点向左平移π个单位长度
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ③ ＝ｓｉｎ ，
３．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）函数ｙ ωｘ φ 的部 ３
２０２０ Ⅰ １０ ５ ＝ｓｉｎ（ ＋ ） 可得到函数ｙ ｆ ｘ 的图象．
＝ （ ）
分图象如图所示 则 ωｘ φ ＢＣ
， ｓｉｎ（ ＋ ）＝ （ ） 其中所有正确结论的序号是 Ｂ
（ ）
Ａ．① Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③
( )
５．（ 新高考 ， ， 分，中）记函数ｆ ｘ ωｘ π ｂ ω
２０２２ Ⅰ ６ ５ （ ）＝ｓｉｎ ＋ ＋ （ ＞
４
的最小正周期为 Ｔ．若２π Ｔ 且 ｙ ｆ ｘ 的图象关于点
０） ＜ ＜π， ＝ （ ）
( ) ( ) ３
Ａ．ｓｉｎ ｘ ＋ π Ｂ．ｓｉｎ π －２ ｘ ( ) ( )
３ ３ ３π 中心对称 则ｆ π Ａ
( ) ( ) ，２ ， ＝ （ ）
２ ２
ｘ π ５π ｘ
Ｃ．ｃｏｓ ２ ＋ Ｄ．ｃｏｓ －２
６ ６ ３ ５
４．（ 新课标 ， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ ωｘ φ 如 Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ２ Ｄ．３
２０２３ Ⅱ １６ ５ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ），
６．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ ｘ
图 Ａ Ｂ是直线ｙ １ 与曲线ｙ ｆ ｘ 的两个交点 若 ＡＢ ２０２２ Ⅱ ９ ５ （ ）＝ｓｉｎ（２ ＋
， ， ＝ ＝ （ ） ， ｜ ｜ ＝ ( )
２ φ φ 的图象关于点 ２π 中心对称 则 ＡＤ
）（０＜ ＜π） ，０ ， （ ）
３
π 则ｆ ３ ．
， （π）＝ － ( )
６ ２ ｆ ｘ 在区间 ５π 单调递减
Ａ． （ ） ０，
１２
( )
ｆ ｘ 在区间 π １１π 有两个极值点
Ｂ． （ ） － ，
１２ １２
直线ｘ ７π是曲线ｙ ｆ ｘ 的对称轴
Ｃ． ＝ ＝ （ ）
６
考点 2 三角函数的性质及其应用 学生用书P44 直线ｙ ３ ｘ是曲线ｙ ｆ ｘ 的切线
Ｄ． ＝ － ＝ （ ）
２
ｘ ｘ ( )
１．（ 全国乙文， ， 分，易）函数ｆ ｘ 的最小 ７．（ 江苏， ， 分，中）将函数ｙ ｘ π 的图象向右
２０２１ ４ ５ （ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ２０２０ １０ ５ ＝３ｓｉｎ ２ ＋
３ ３ ４
正周期和最大值分别是 Ｃ
（ ） 平移π个单位长度 则平移后的图象中与ｙ轴最近的对称轴
，
和 和 ６
Ａ．３π ２ Ｂ．３π ２
和 和 的方程是 ｘ ５ ．
Ｃ．６π ２ Ｄ．６π ２ ＝－ π
２．（ 新高考 ， ， 分，易） 下列区间中 函数ｆ ｘ ２４
２０２１ Ⅰ ４ ５ ， （ ）＝ ８．（ 新课标 ， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ ωｘ ω
( ) ２０２３ Ⅰ １５ ５ （ ）＝ｃｏｓ －１（ ＞
ｘ π 单调递增的区间是 Ａ 在区间 有且仅有 个零点 则ω的取值范围是 ［ ，
７ｓｉｎ － （ ） ０） ［０，２π］ ３ ， ２
６
( ) ( ) ） ．
３
π π
Ａ． ０， Ｂ． ，π ９．（ 全国乙理， ， 分，中）记函数ｆ ｘ ωｘ φ ω
２ ２ ２０２２ １５ ５ （ ）＝ｃｏｓ（ ＋ ）（ ＞０，
( ) ( )
３π ３π φ 的最小正周期为Ｔ．若ｆ Ｔ ３ ｘ π为ｆ ｘ 的零
Ｃ． π， Ｄ． ，２π ０＜ ＜π） （ ）＝ ， ＝ （ ）
２ ２ ２ ９
３．（ ２０２３ 全国乙，文 １０ ，理 ６ ， ５ 分，易）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ 点 ， 则ω的最小值为 ３ ．
( )
φ ） 在区间 π ， ２π 单调递增 ， 直线ｘ ＝ π和ｘ ＝ ２π为函数ｙ ＝ １０．（ ２０２１ 全国甲理， １６ ， ５ 分，难）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ２ｃｏｓ（ ωｘ ＋ φ ）
６ ３ ６ ３ æ æ ö ö æ
( ) 的部分图象如图所示 则满足条件çｆ ｘ ｆç ７π ÷ ÷ çｆ ｘ
ｆ ｘ 的图象的两条对称轴 则ｆ ５π Ｄ ， è （ ）－ è－ ø ø è （ ）
（ ） ， － ＝ （ ） ４
１２
æ ö ö
３ １ ｆç４π ÷ ÷ 的最小正整数ｘ为 ．
Ａ．－ Ｂ．－ － è ø ø＞０ ２
２ ２ ３
８ ０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称．
①（ ）
ｆ ｘ 的图象关于原点对称．
②（ ）
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称．
③（ ） ＝
２
１１．（ 课标 理， ， 分，难）关于函数ｆ ｘ ｘ １ 有
２０２０ Ⅲ １６ ５ （ ）＝ｓｉｎ ＋ ｘ ｆ ｘ 的最小值为 ．
ｓｉｎ ④（ ） ２
如下四个命题 其中所有真命题的序号是 ．
： ②③
ｆ ｘ 的图象可由ｙ ｘ的图象平移得到
学生用书P46 ②（ ） ＝３ｓｉｎ
１．（ 广东揭阳二模， ）把函数ｆ ｘ ｘ的图象向左平 ｆ ｘ 的图象上相邻两个对称中心间的距离为π
２０２４ ４ （ ）＝３ｓｉｎ ３ ③（ ）
２
移 １ 个最小正周期后 所得图象对应的函数为 Ｃ
， （ ） ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
４ ④（ ） ＝
( ) ( ) ３
ｙ ｘ ３ ｙ ｘ ３ ( )
Ａ． ＝３ｓｉｎ ３ ＋ Ｂ． ＝３ｓｉｎ ３ － 若有且仅有一个说法是错误的 则ｆ π Ｄ
４ ４ ， ＝ （ ）
２
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ． ＝３ｃｏｓ３ Ｄ． ＝－３ｃｏｓ３
２．（ 辽宁八市八校第二次联考， ） 已知函数ｆ ｘ ３ ３ ３ ３ ３ ３
２０２４ ３ （ ） ＝ Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
( ) ２ ２ ２ ２
ωｘ π ω 图象相邻两条对称轴之间的距离为 若 ２．（ 湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中三
ｓｉｎ ＋ （ ＞０） ２π， ２０２４
４
校联考， ）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 若ｆ ｘ 在区
ｆ ｘ 在 ｍ ｍ 上是增函数 则ｍ的取值范围是 Ｂ ７ （ ）＝（ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ）ｃｏｓ ， （ ）
（ ） （－ ， ） ， （ ） [ ]
( ] ( ] ( ] ( ] 间 π θ 上是单调函数 则实数θ的取值范围是 Ｃ
π π ３π ３π － ， ， （ ）
Ａ． ０， Ｂ． ０， Ｃ． ０， Ｄ． ０， ３
４ ２ ４ ２ [ ) [ )
３．（ 黑龙江部分重点中学第二次联考， ）函数ｆ ｘ π π π π
２０２４ ７ （ ）＝ Ａ． ， Ｂ． － ，
Ａ ωｘ φ Ａ ω φ 的部分图象如图所示 则函 ６ ３ ６ ３
ｃｏｓ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０，｜ ｜＜π） ， ( ] ( ]
数ｙ ｆ ｘ 在区间 内的零点个数为 Ｃ π π π π
＝ （ ）－１ ［０，２π］ （ ） Ｃ． － ，－ Ｄ． － ，
３ １２ ３ １２
Z
３．（ 广东广州二模， ）已知函数 ｆ ｘ ωｘ φ
２０２４ ７ （ ）＝ ２ｓｉｎ（ ＋ ）
( )
ω φ π 的部分图象如图所示 若将函数ｆ ｘ 的图象
＞０，｜ ｜＜ ， （ ）
２
0 Y 向右平移θ θ 个单位长度后所得曲线关于ｙ轴对称 则θ
（ ＞０） ，
的最小值为 Ａ
（ ）
Z
Ａ．３ Ｂ．４
Ｃ．５ Ｄ．６ 0 Y
４．（多选）（ 福建莆田二模， ）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则
２０２４ ９ （ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，
ＡＤ
（ ）
( ) π π ３π π
ｆ π １ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ． ＝ ８ ４ ８ ２
４ ２ ４．（ 浙江省镇海中学适应性测试， ）已知函数 ｆ ｘ
ｆ ｘ 的最大值为 ２０２４ ６ （ ）＝
Ｂ． （ ） １
( )
Ｃ．
ｆ
（
ｘ
）
在
０，
π 上单调递增 ２ｃｏｓ
２ωｘ
＋ｓｉｎ２
ωｘ
－１（
ω
＞０），
ｆ
（
ｘ
１）＝
ｆ
（
ｘ
２）＝
２
２
，｜
ｘ
１－
ｘ
２｜
的最小
２
将函数ｆ ｘ 的图象向右平移 个单位长度后与ｆ ｘ 的图 值为２π 则ω Ａ
Ｄ． （ ） π （ ） ， ＝ （ ）
象重合 ３
５．（ 湖北四调， ）设函数ｆ ｘ ｘ φ ｘ φ 对任 １
２０２４ １２ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｃｏｓ（ ＋ ） Ａ． Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
２
意的ｘ ｘ Ｒ 均满足ｆ ｘ ｆ ｘ 则 φ ．
（ ∈ ） （－ ）＝ （ ）， ｔａｎ ＝ １ ５．（多选）（ 黑龙江齐齐哈尔二模， ）已知函数 ｆ ｘ
２０２４ ９ （ ）＝
( ) ( )
学生用书P46
ｘ π ｘ ５π 则 ＢＤ
ｓｉｎ － ＋ｃｏｓ － ， （ ）
１．（ 江苏南京、盐城一模， ）关于函数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ ３ ６
２０２４ ５ （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ( )
æ ö ｆ ｘ ２π 为偶函数
Ａ． －
çＡ ω φ π ÷ 有下列四个说法 ３
è ＞０， ＞０，０＜ ＜ ø， ：
２ ( )
曲线ｙ ｆ ｘ 的对称中心为 ｋ π ｋ Ｚ
ｆ ｘ 的最大值为 Ｂ． ＝ （ ） π＋ ，０ ， ∈
①（ ） ３ ３
专题四 三角函数与解三角形 ８ １
( )
ｆ ｘ 在区间 π ４π 上单调递减 得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 分
Ｃ． （ ） ， － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， （５ ）
３ ３ ６ ３
( ) é ù
Ｄ． ｆ （ ｘ ） 在区间 π ３ ， ４ ３ π 上有一条对称轴 所以ｆ （ ｘ ） 的单调递增区间为 ë ê ê － π ６ ＋ ｋ π， π ３ ＋ ｋ πû ú ú （ ｋ ∈ Ｚ ） ．
æ
６．（多选）（ 河南五市联考， ）函数ｆ ｘ ωｘ φ çω 分
２０２４ １０ （ ）＝２ｓｉｎ（ ＋ ） è （６ ）
( Ａ ) ( )
ö 由 知 ｆ π Ａ π ３
（２） （１） ， ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ＝ ，
φ π ÷的部分图象如图所示 则 ＢＣＤ ２ ４ ３ ２
＞０，｜ ｜＜ ２ ø ， （ ） ( )
又Ａ 所以Ａ π π ４π 所以Ａ π 分
Z ∈（０，π）， ＋ ∈ ， ， ＝ ， （８ ）
３ ３ ３ ３
由正弦定理及ｂ ｃ ａ得 Ｂ Ｃ Ａ 分
＝２ － ２ ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ － ２ｓｉｎ ， （９ ）
因为Ａ Ｂ Ｃ
＋ ＋ ＝π，
0 ? Y ( )
所以 Ｂ ２π Ｂ ６ 分
ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ － － ， （１０ ）
３ ２
ω φ π
Ａ． ＝２， ＝ 整理得 Ｂ ２ 分
６ ｃｏｓ ＝ ， （１２ ）
２
æ ö
( )
Ｂ． 不等式ｆ （ ｘ ）＞１ 的解集为 è çｋ π＋ π ６ ， ｋ π＋ π ２ ø ÷ （ ｋ ∈ Ｚ ） 又Ｂ ∈ ０， ２π ， 所以Ｂ ＝ π ，
３ ４
７π为ｆ ｘ 的一个零点 故角Ｂ的大小为π． 分
Ｃ． （ ） （１３ ）
１２ ４
９．（ 重庆第六次质量检测， ）设函数ｆ ｘ ωｘ
若Ａ Ｂ Ｃ为 ＡＢＣ内角 且ｆ Ａ ｆ Ｂ 则Ａ Ｂ或Ｃ π ２０２４ １６ （ ）＝ ｃｏｓ ·
Ｄ． ， ， △ ， （ ）＝ （ ）， ＝ ＝
３ ( )
７．（多选）（ 广东深圳二模， ）已知函数 ｆ ｘ ωｘ ｓｉｎ ωｘ ＋ π － １ （ ω ＞０）， 且函数ｆ （ ｘ ） 的图象相邻两条对称轴
２０２４ １０ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ６ ４
ａ ωｘ ｘ Ｒ ω 的最大值为 其部分图象如图所示 则
ｃｏｓ （ ∈ ， ＞０） ２， ， 之间的距离为π．
ＡＣＤ
（ ） ２
Z [ ]
若ｘ π 求ｆ ｘ 的值域
（１） ∈ ０， ， （ ） ；
２
把函数ｆ ｘ 图象上所有点的横坐标变为原来的 １ 纵坐
（２） （ ） （
２
0 ? Y 标不变 再将所得图象向左平移 π 个单位长度 得到函数
）， ，
６
ａ ｇ ｘ 的图象 讨论函数ｇ ｘ 的单调性
Ａ． ＝ ３ （ ） ， （ ） ；
( ) 在 ＡＢＣ中 记 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别为 ａ ｂ ｃ ｆ Ａ
函数ｆ ｘ π 为偶函数 （３） △ ， ， ， ， ， ， （ ）＝
Ｂ． －
６
１ 外接圆面积为 Ｂ Ｃ ＡＢＣ 的内角
满足条件的正实数ω存在且唯一 － ， ４π，ｔａｎ ＝（２－ ３）ｔａｎ ，△
Ｃ． ２
ｆ ｘ 是周期函数 且最小正周期为 ＢＡＣ的平分线与外角平分线分别交直线ＢＣ于Ｄ Ｅ两点
Ｄ． （ ） ， π ∠ ， ，
求ＤＥ的长度．
８．（ 山东济宁一模， ）已知函数ｆ ｘ １ ２ｘ ２ｘ
２０２４ １５ （ ）＝ （ｓｉｎ －ｃｏｓ ）－ ( )
２
解析 ｆ ｘ ωｘ ωｘ π １
ｘ ｘ ． （１） （ ）＝ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ －
３ｓｉｎ ｃｏｓ（π－ ） ６ ４
求ｆ ｘ 的单调递增区间
（１） （ ） ； ３ ωｘ ωｘ １ ２ωｘ １
已知 ＡＢＣ 的内角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别为 ａ ｂ ｃ 且 ＝ ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ －
（２） △ ， ， ， ， ， ２ ２ ４
( Ａ ) ( ) Ｔ
ｆ π ３ ｂ ｃ ａ．求角Ｂ的大小． ３ ωｘ １ ωｘ １ ωｘ π 由题意得 π
＋ ＝ ， ＝２ － ２ ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ ， ＝ ，
２ ４ ２ ４ ４ ２ ６ ２ ２
( )
解析 ｆ ｘ １ ｘ ｘ ｘ 又Ｔ ２π ω ω 则ｆ ｘ １ ｘ π ．
（１） （ ）＝－ ｃｏｓ２ ＋ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ω ， ＞０，∴ ＝１， （ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋
２ ｜２ ｜ ２ ６
[ ] [ ] [ ]
３ ｘ １ ｘ 若ｘ π 则 ｘ π π ７π ｆ ｘ １ １ ．
＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ∈ ０， ， ２ ＋ ∈ ， ，∴ （ ）∈ － ，
２ ２ ２ ６ ６ ６ ４ ２
( ) ( )
ｘ π ． 分 由题意得ｇ ｘ １ ｘ ５π
＝ｓｉｎ ２ － （４ ） （２） （ ）＝ ｓｉｎ ４ ＋ ，
６ ２ ６
令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 由 π ｋ ｘ ５π π ｋ ｋ Ｚ 得 π １ ｋ ｘ
－ ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ π， ∈ ， － ＋２ π≤４ ＋ ≤ ＋２ π（ ∈ ）， － ＋ π≤ ≤
２ ６ ２ ２ ６ ２ ３ ２
８ ２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
( )
π １ ｋ ｋ Ｚ 因此ｆ ｘ ｘ π
－ ＋ π（ ∈ ）； （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ ，
１２ ２ ３
( )
由π ｋ ｘ ５π ３π ｋ ｋ Ｚ 得 π １ ｋ ｘ π 当ｘ ｍ 时 ｘ π π ｍ π
＋２ π≤４ ＋ ≤ ＋２ π（ ∈ ）， － ＋ π≤ ≤ ∈（０， ） ，２ ＋ ∈ ，２ ＋ ，
２ ６ ２ １２ ２ ６ ３ ３ ３
若ｆ ｘ 在 ｍ 有最大值无最小值 则由正弦函数图象得
１ ｋ ｋ Ｚ ． （ ） （０， ） ，
＋ π（ ∈ ）
２ π ｍ π ３π 解得π ｍ ７π
[ ] ＜２ ＋ ≤ ， ＜ ≤ ，
ｇ ｘ 在 π １ ｋ π １ ｋ ｋ Ｚ 上单调递增 在 ２ ３ ２ １２ １２
∴ （ ） － ＋ π，－ ＋ π （ ∈ ） ， ( ]
３ ２ １２ ２ 即ｍ的取值范围为 π ７π ．
é ù ，
ê ê π １ ｋ π １ ｋ ú ú ｋ Ｚ 上单调递减． １２ １２
ë－ ＋ π， ＋ πû（ ∈ ）
１２ ２ ６ ２ 将 ｆ ｘ 的图象向右平移 π 个单位长度得 ｙ
（２） （ ） ＝
( ) ( )
６
ｆ Ａ １ Ａ π １ Ａ π [ ( ) ]
（３） （ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋ ＝－ ⇔ｓｉｎ ２ ＋ ＝－１，
２ ６ ２ ６ ｘ π π ｘ的图象 再将图象上所有点的横
ｓｉｎ ２ － ＋ ＝ｓｉｎ２ ，
Ａ ６ ３
∵０＜ ＜π，
坐标变为原来 倍 纵坐标不变 得ｇ ｘ ｘ的图象
２ （ ） （ ）＝ｓｉｎ ，
Ａ ２ ．
∴ ＝ π ｘ ｘ
３ 所以ｈ ｘ ｇ ｘ ｘ
（ ）＝ （ ）＋ ＝ｓｉｎ ＋ ，
( ) Ｃ ２ ２
ＡＢＣ的外接圆半径Ｒ Ｂ π Ｃ ３－ｔａｎ
△ ＝２，ｔａｎ ＝ｔａｎ － ＝ Ｃ＝ ｈ′ ｘ ｘ １ ｘ
３ １＋ ３ｔａｎ （ ）＝ｃｏｓ ＋ ， ∈（－２π，π），
２
Ｃ 解得 Ｃ 舍去负值 ．则Ｃ π Ｂ π．
（２－ ３）ｔａｎ ， ｔａｎ ＝１（ ） ＝ ， ＝ 令ｈ′ ｘ 得 ｘ １
４ １２ （ ）＝０， ｃｏｓ ＝－ ，
２
而 ＡＤＥ π π ５ 且由ＡＤ ＡＥ分别为 ＡＢＣ内 外
∠ ＝π－ － ＝ π， ， △ ， 则ｘ ４π或ｘ ２π或ｘ ２π
３ ４ １２ ＝－ ＝－ ＝ ，
３ ３ ３
ＡＥ
角平分线可知ＡＤ ＡＥ 故 Ｅ π．因此ＡＥ ｃ ＤＥ ( )
⊥ ， ∠ ＝ ＝ ， ＝ ＝ 当ｘ ４π 时 ｈ′ ｘ ｈ ｘ 单调递增
１２ π ∈ －２π，－ ， （ ）＞０， （ ） ，
ｃｏｓ ３
１２ ( )
ｃ 当ｘ ４π ２π 时 ｈ′ ｘ ｈ ｘ 单调递减
在 ＡＢＣ中 由正弦定理可知 ｃ Ｒ Ｃ π ∈ － ，－ ， （ ）＜０， （ ） ，
， △ ， ， ＝２ ｓｉｎ ＝４ｓｉｎ ＝ ３ ３
π ４ ( )
ｃｏｓ 当ｘ ２π ２π 时 ｈ′ ｘ ｈ ｘ 单调递增
１２ ∈ － ， ， （ ）＞０， （ ） ，
３ ３
故ＤＥ ２ ２ ２ ２ ． ( )
２ ２， ＝ ＝ ＝４ ３－４ 当ｘ ２π 时 ｈ′ ｘ ｈ ｘ 单调递减
π ６＋ ２ ∈ ，π ， （ ）＜０， （ ） ，
ｃｏｓ ３
１２ ４
" 所以ｈ ｘ 的极大值点为 ４π和２π．
（ ） －
３ ３
& #
$ %
学生用书P48
１０．（ 福建三明质量检测， ）已知函数 ｆ ｘ ωｘ
２０２４ １６ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ １． 创新考法 （ 广东广州一模， ）已知函数ｆ ｘ 的部分图
( ) ２０２４ ６ （ ）
ωｘ π 其中ω 图象的两条相邻对称轴间的距离
ｃｏｓ ＋ （ ＞０） 象如图所示 则ｆ ｘ 的解析式可能是 Ｄ
６ ， （ ） （ ）
Z
为π．
２ 0 Y
若ｆ ｘ 在 ｍ 上有最大值无最小值 求实数ｍ的取值
（１） （ ） （０， ） ，
范围
； ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
Ａ． （ ）＝ｓｉｎ（ｔａｎ ） Ｂ． （ ）＝ｔａｎ（ｓｉｎ ）
将函数ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位长度 再将图象上 ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
（２） （ ） ； Ｃ． （ ）＝ｃｏｓ（ｔａｎ ） Ｄ． （ ）＝ｔａｎ（ｃｏｓ ）
６ ２． 创新知识交汇 （ 湖北武汉二调， ）函数ｆ ｘ ωｘ
所有点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 得到ｇ ｘ ２０２４ ７ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋
２ （ ）， （ ）
φ 的部分图象如图 若→ＴＡ →ＡＢ 则点Ａ的纵坐标为 Ｂ
） ， ＝ ， （ ）
的图象 设ｈ ｘ ｇ ｘ １ ｘ 求ｈ ｘ 在 上的极大
， （ ）＝ （ ）＋ ， （ ） （－２π，π） Z
２ #
值点． "
5
( ) 0 Y
解析 ｆ ｘ １ ωｘ ３ ωｘ ωｘ π
（１） （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ＋ ，
２ ２ ３
因为图象相邻两条对称轴间的距离为π
，
２ ２－ ２ ３－１
Ａ． Ｂ． Ｃ． ３－ ２ Ｄ．２－ ３
所以周期Ｔ π 即ω ２π ２ ２
＝２× ＝π， ＝ Ｔ ＝２，
２
