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专题四 三角函数与解三角形 ７ １
专题四 三角函数与解三角形
4.1 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换
学生用书P219
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2TJO DPT
A
>>+ 2 2 T D J P O T UBO ? L? L;
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A 0 ,AK
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T TJO TJODPT DPTTJO3 TJO TJODPTDPTTJO3
A
DPT DPTDPTTJOTJO# DPT DPTDPT TJOTJO#
UBO UBO UBOUBO
UBO 4 UBO 4
UBOUBO UBOUBO
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B C
> D> BTJO CDPT B CTJO DPT B C TJO B C
0
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DPT DPTTJO DPT TJO#
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UBO
P55 UBO 4
UBO
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DPT
> + + UBO UBO UBO UBOUBO
UBOUBO UBO UBOUBO
DPT DPT DPT TJO
DPT DPT
K TJO DPT
TJODPT UBO DPTTJO UBO
* TJO DPT
TJO DPT UBO DPT TJO UBO
dTJO TJO dDPT UBO T J O D P T
DPT TJO
学生用书P220
题型 一 同角三角函数基本关系式的应用 α α α．
（３）ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ｔａｎ
２α ２α
1.利用
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１
可以实现角α的正弦
、
余弦的互化
，
利用
（４）ｓｉｎ
２α
＝ ２
ｓ
α
ｉｎ
２α＝
ｔａｎ
２α
．
α ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １＋ｔａｎ
ｓｉｎ α可以实现角α的弦切互化． ２α
α＝ｔａｎ ２α ｃｏｓ １ ．
ｃｏｓ （５）ｃｏｓ ＝ ２α ２α＝ ２α
2. α α的齐次式的应用 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １＋ｔａｎ
ｓｉｎ ，ｃｏｓ 例1 已知θ为第二象限角❶ θ θ是关于ｘ的方程 ｘ２
已知 α的值 求关于 α与 α的齐ｎ次分式的值 ，ｓｉｎ ，ｃｏｓ ２ ＋
（１） ｔａｎ ， ｓｉｎ ｃｏｓ ：
分子 分母同除以 ｎα 转化为关于 α的式子求解．
（ ３－１）
ｘ
＋
ｍ
＝０（
ｍ
∈
Ｒ
）
的两根❷
，
则
ｓｉｎ
θ
－ｃｏｓ
θ❸的值为
（
Ｂ
）
、 ｃｏｓ ， ｔａｎ
的代换问题 含有 ２α ２α及 α α的整式
（２）“１” ： ｓｉｎ ，ｃｏｓ ｓｉｎ ·ｃｏｓ １－ ３ ３＋１
求值问题
，
可将所求式子的分母看作
“１”，
利用
“ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝
Ａ．
２
Ｂ．
２
Ｃ． ３ Ｄ．－ ３
代换后转化为 切 然后求解． 知识联想 由❶确定 θ， θ的符号；由❷联想一元二次
１” “ ”， ｓｉｎ ｃｏｓ
3.同角三角函数的基本关系式的常用变形 方程根与系数的关系，从而得出 θ， θ的和与积；由❸想到
ｓｉｎ ｃｏｓ
（１）ｓｉｎ
２α
＝１－ｃｏｓ
２α
，ｃｏｓ
２α
＝１－ｓｉｎ
２α． 利用（
ｓｉｎ
θ
±ｃｏｓ
θ）２
＝１±２ｓｉｎ
θ
ｃｏｓ
θ求得
ｓｉｎ
θ
－ｃｏｓ
θ的值．
α α ２ α α． 解析 因为 θ， θ是关于ｘ的方程 ｘ２ （ ）ｘ ｍ
（２）（ｓｉｎ ±ｃｏｓ ） ＝１±２ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ ２ ＋ ３－１ ＋ ＝０
７ ２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ｍ 3.三角函数式求值的基本类型
（ｍ Ｒ）的两根，所以 θ θ １－ ３， θ θ ．由
∈ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ 给角求值 化为特殊角的三角函数值 化为正 负相消
２ ２ （１） ：① ；② 、
æ ö２ 的项 消去求值 化分子 分母 使其出现公约数 然后约分
（ θ θ）２ θ θ 得ç１－ ３÷ ｍ，所以 ｍ ， ；③ 、 ， ，
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１＋２ｓｉｎ ｃｏｓ è ø ＝１＋ ＝
２ 求值．
３，又因为θ为第二象限角，所以 θ ， θ ，（在第二象 给值求值 解题的关键在于 变角 如α α β β α
－ ｓｉｎ ＞０ ｃｏｓ ＜０ （２） ： “ ”， ＝（ ＋ ）－ ，２ ＝
２ α β α β 等 把待求三角函数值的角用含已知角的式子
限内正弦值为正，余弦值为负）即 θ θ （判断 θ θ （ ＋ ）＋（ － ） ，
ｓｉｎ －ｃｏｓ ＞０ ｓｉｎ －ｃｏｓ
表示出来 求解时要注意对角的范围的讨论．
的符 号 是 关 键 ， 因 为 （ θ θ）２ （ θ θ）２ ，
） ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ －
给值求角 实质上可转化为 给值求值 问题 先求所求角
（３） ： “ ” ，
θ θ ４－２ ３ ｍ ２＋ ３，所以 θ θ ２＋ ３ 的某一三角函数值 再利用该三角函数值结合所求角的范围
４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ －２ ＝ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ＝ ，
４ ２ ２
求得角．
１＋ ３，故选
Ｂ． °
２ 例3 （ 安徽合肥一中期末， ） ° ° ｓｉｎ２０
例2 （ 广东中山纪念中学第三次测试， ）已知 α ２０２４ ４ ２ｓｉｎ８０ ·ｃｏｓ２０ － ２ｓｉｎ１０ °＝
２０２４ ４ ｔａｎ ·
( ) ( ) Ｄ
α π π α 则 α Ｂ （ ）
ｃｏｓ ＋ ＝（３－２ ２）ｃｏｓ － ， ｃｏｓ２ ＝ （ ）
４ ４
３ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．
３ ２ １ ３ ２ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－１
２ ( ２ ) ２ ( ) 解析 ２ｓｉｎ８０ ° ｃｏｓ２０ ° － ｓｉｎ２０ ° °
解析 α α π （ ） π α ， ２ｓｉｎ１０
ｔａｎ ｃｏｓ ＋ ＝ ３－２ ２ ｃｏｓ －
４ ４ °
ｓｉｎ α ( α π α π ) （ ） · ＝２ｓｉｎ （ ６０ ° ＋２０ °） ｃｏｓ ２０ ° － ｓｉｎ２０ ° （把 ８０ °表示成 ６０ °与 ２０ °的
α ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ３ － ２ ２ ２ｓｉｎ１０
ｃｏｓ ４ ４ 和，用两角和的正弦公式展开）
( )
ｃｏｓ π ｃｏｓ α ＋ｓｉｎ π ｓｉｎ α ，（切化弦） （ ° ° ° °） ° ｓｉｎ２０ °
４ ４ ＝２ ｓｉｎ６０ ｃｏｓ２０ ＋ｃｏｓ６０ ｓｉｎ２０ ｃｏｓ２０ － °
αæ ö æ ö ２ｓｉｎ１０
ｃ ｓｉ ｏ ｎ ｓ αè ç ２ ２ ｃｏｓ α － ２ ２ ｓｉｎ α ø ÷ ＝ （ ３－２ ２ ） è ç ２ ２ ｃｏｓ α ＋ ２ ２ ｓｉｎ α ø ÷， ＝ ３ｃｏｓ ２ ２０ ° ＋ｓｉｎ２０ ° ｃｏｓ２０ ° － ｓｉｎ２０ ° °
α α α ２ｓｉｎ１０
ｓｉｎ ·ｃｏｓ －ｓｉｎ ，（关键：两边同除以 α α
α α α＝３－２ ２ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ） （ °） ° ° °
ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ３ １＋ｃｏｓ４０ ｓｉｎ４０ ２ｓｉｎ１０ ｃｏｓ１０
＝ ＋ － °
α α ２α ２ ２ ２ｓｉｎ１０
ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ ，
２α α α＝３－２ ２
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ ３ ３ ° １ ° °（运用辅助角公式）
α ２α ＝ ＋ ｃｏｓ４０ ＋ ｓｉｎ４０ －ｃｏｓ１０
ｔａｎ －ｔａｎ ，（构造齐次式转化为关于 α的表达式 ２ ２ ２
α ＝３－２ ２ ｔａｎ ）
１＋ｔａｎ
３ （ ° °） °（运用诱导公式）
２α （ ） α ， ＝ ＋ｓｉｎ ６０ ＋４０ －ｃｏｓ１０
ｔａｎ ＋ ２－２ ２ ｔａｎ ＋３－２ ２＝０ ２
解得 α ．
ｔａｎ ＝ ２－１
３ ° °
２α ２α ＝ ＋ｃｏｓ１０ －ｃｏｓ１０
故 α ２α ２α ｃｏｓ －ｓｉｎ （关键：把“分母 ”用 ２
ｃｏｓ ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ ２α ２α １
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ
ｃｏｓ
２α
＋ｓｉｎ
２α代换
） ＝
３．
２
１－ｔａｎ
２α
１－
（
２－１
）２
２ ２－２ ２． 例4 （ 海南开学摸底联考， ） 设 α 为锐角 若
＝
１＋ｔａｎ
２α＝
１＋
（
２－１
）２ ＝
４－２ ２
＝
２ (
２０
)
２４
( )
１３ ，
故选 α π ４ 则 α π 的值为 ２４＋７ ３ ．
Ｂ． ｃｏｓ ＋ ＝ ， ｓｉｎ ２ － －
６ ５ ３ ５０
题型 二 三角函数式的化简和求值
解析 令α π θ，（不好找已知角与所求角之间的联系时，
＋ ＝
1.三角函数式的化简原则 ６
可以设中间元）
,> ED,>K+52U>E
( )
= )+U5 -* 则α θ π， α π θ ４ ，
＝ － ｃｏｓ ＋ ＝ｃｏｓ ＝
６ ６ ５
, , , /K+U5-
/ *+U>+ 又α是锐角， ｃｏｓ θ ＞０ ，
, 3 'U + U θ是锐角， θ ３ ，
3 ' >+ E>E ∴ ∴ ｓｉｎ ＝ ５
? F0 ( ) [ ( ) ] ( )
α π θ π π θ ２π
2.三角函数式化简的方法 ∴ ｓｉｎ ２ － ＝ ｓｉｎ ２ － － ＝ ｓｉｎ ２ － ＝
３ ６ ３ ３
化简三角函数式的常见方法有弦切互化 异名化同名 异角化
， ， θ ２π θ ２π，
同角 降幂与升幂等． ｓｉｎ２ ｃｏｓ －ｃｏｓ２ ｓｉｎ
， ３ ３
专题四 三角函数与解三角形 ７ ３
易得 θ θ θ ２４， 所以ｘ ｋ ，ｋ Ｚ，ｘ １００７π，ｋ Ｚ，
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ＝ π ∈ ＝ ｋ １∈
２５ １
因为 ，
θ ２θ ２θ ７ ， １００７＝１×１９×５３
ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ ２５ 所以ｘ ， ， ， ，
＝π １９π ５３π １００７π
( ) ( ) 当ａ ，ｂ 时，
α π ２４ １ ７ ３ ２４＋７ ３． ＝－１ ＝－１
∴ ｓｉｎ ２ － ＝ × － － × ＝－
３ ２５ ２ ２５ ２ ５０ ２
ｘ ， ２０１４π ，
ｃｏｓ２ ＝－１ ｃｏｓ ｘ ＝－１
多想少算
（ ｋ ）
则ｘ ２ ２＋１ π，ｋ Ｚ，ｘ ２０１４π，ｋ Ｚ，
例 （ 福 建 名 校 联 盟 联 考， ） 方 程 ｘ ＝ ２∈ ＝ ｋ ３∈
２０２４ ８ ２ｃｏｓ ２ · ２ ２ ３＋１
( ) （ ｋ ）
ｘ ２０１４π ２ ｘ 所有正根的和为 Ｃ 令 ２ ２＋１ π ２０１４π，ｋ ，ｋ Ｚ，得（ ｋ ）·（ ｋ ）
ｃｏｓ２ －ｃｏｓ ｘ ＝ｃｏｓ４ －１ （ ） ＝ ｋ ２ ３∈ ２ ２＋１ ２ ３＋１ ＝
２ ２ ３＋１
，ｋ ，ｋ Ｚ，方程无解，（提示：奇数 奇数 偶数）
Ａ．８１０π Ｂ．１００８π Ｃ．１０８０π Ｄ．１８００π ４０２８ ２ ３∈ × ≠
( ２ ) 所以方程所有正根的和为 ，故
解析 ｘ ｘ ２０１４π ｘ ２ ｘ ， π＋１９π＋５３π＋１００７π＝１ ０８０π
２ｃｏｓ２ ｃｏｓ２ －ｃｏｓ ｘ ＝ｃｏｓ４ －１＝２ｃｏｓ ２ －２ 选
Ｃ．
２
令ａ ｘ，ｂ ２０１４π ， 风向解读
＝ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ ｘ
本题解题的关键是通过换元将计算式变简单后，利用三角函
则 ａ（ａ ｂ） ａ２ ，即ａｂ ，（提示：将复杂的表达式用简单字
２ － ＝２ －２ ＝１ 数的有界性确定方程的解，与利用三角恒等变换等方法解方
母代换，使计算简化）
程的题目不同，需要在复习过程中多涉猎不同类型的题目，
因为ａ ｘ，所以ａ ［ ， ］，同理ｂ ［ ， ］，所以ａ ，ｂ
＝ｃｏｓ２ ∈ －１ １ ∈ －１ １ ＝１ 拓展解题思路，锻炼思维能力，以应对新高考对思维能力考
或ａ ，ｂ ，
＝１ ＝－１ ＝－１ 查的要求．
２
当ａ ，ｂ 时， ｘ ， ２０１４π ，
＝１ ＝１ ｃｏｓ２ ＝１ ｃｏｓ ｘ ＝１
学生用书P41
１． 回归教材 （ 新课标 ， ， 分，易）已知 α β ｍ
２０２４ Ⅰ４ ５ ｃｏｓ（ ＋ ）＝ ，
α β 则 α β Ａ
ｔａｎ ｔａｎ ＝２， ｃｏｓ（ － ）＝ （ ）
ｍ ｍ
ｍ ｍ
Ａ．－３ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．３
３ ３
α
２．（ 全国甲理， ， 分，中） 已知 ｃｏｓ 则
２０２４ ８ ５ α α ＝ ３，
ｃｏｓ －ｓｉｎ
( )
α π Ｂ
ｔａｎ ＋ ＝ （ ）
４
３
Ａ．２ ３＋１ Ｂ．２ ３－１ Ｃ． Ｄ．１－ ３
２
３．（ 新课标 ， ， 分，中）已知α为第一象限角 β为第三象
２０２４ Ⅱ１３ ５ ，
限角 α β α β 则 α β ２ ２ ．
，ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝４，ｔａｎ ｔａｎ ＝ ２＋１， ｓｉｎ（ ＋ ）＝ －
３
考点 1 三角函数的概念、同角三角函数的基本
关系及诱导公式 学生用书P41
１．（ 课标 理， ， 分，易）若α为第四象限角 则 Ｄ
２０２０ Ⅱ ２ ５ ， （ ）
α α α α
Ａ．ｃｏｓ２ ＞０ Ｂ．ｃｏｓ２ ＜０ Ｃ．ｓｉｎ２ ＞０ Ｄ．ｓｉｎ２ ＜０
２．（ 全国甲理， ， 分，中）沈括的 梦溪笔谈 是中国古代科
２０２２ ８ ５ 《 》
技史上的杰作 其中收录了计算圆弧长度的 会圆术 ．如图 ＡＢ
， “ ” ，
(
是以Ｏ为圆心 ＯＡ为半径的圆弧 Ｃ是ＡＢ的中点 Ｄ在ＡＢ
， ， ，
(
上
，
ＣＤ ＡＢ． 会圆术 给出ＡＢ
⊥ “ ”
(
ＣＤ２
．当ＯＡ ＡＯＢ °时 ｓ Ｂ
＋ＯＡ ＝２，∠ ＝６０ ， ＝ （ ）
１１－３ ３ １１－４ ３
Ａ． Ｂ．
２ ２
９－３ ３ ９－４ ３
Ｃ． Ｄ．
２ ２
( )
３．（ 全国乙文， ， 分，易）若 θ π θ １ 则
２０２３ １４ ５ ∈ ０， ，ｔａｎ ＝ ，
２ ３
θ θ １０ ．
ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ －
５
考点 2 三角恒等变换 学生用书P41
θ θ
１．（ 新高考 ， ， 分，易）若 θ 则ｓｉｎ （１＋ｓｉｎ２ ）
２０２１ Ⅰ ６ ５ ｔａｎ ＝－２， θ θ ＝
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
Ｃ
（ ）
６ ２ ２ ６
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ ５
２．（ 新课标 ， ， 分，易）已知α为锐角 α １＋ ５ 则
的弧长的近似值ｓ的计算公式 ｓ ＡＢ ２０２３ Ⅱ ７ ５ ，ｃｏｓ ＝ ，
： ＝ ４
７ ４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
α ( )
Ｄ ５．（ 全国甲，文 ，理 ， 分，中） 若 α π
ｓｉｎ ＝ （ ） ２０２１ １１ ９ ５ ∈ ０， ，
２ ２
α
３－ ５ －１＋ ５ ３－ ５ －１＋ ５ α ｃｏｓ 则 α Ａ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｔａｎ２ ＝ α， ｔａｎ ＝ （ ）
８ ８ ４ ４ ２－ｓｉｎ
３．（ 新课标 ， ， 分，易）已知 α β １ α β １５ ５ ５ １５
２０２３ Ⅰ ８ ５ ｓｉｎ（ － ）＝ ，ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ １５ ５ ３ ３
６．（ 新高考 ， ， 分，中）若 α β α β
１ 则 α β Ｂ ２０２２ Ⅱ ６ ５ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ｃｏｓ（ ＋ ）＝
， ｃｏｓ（２ ＋２ ）＝ （ ） ( )
６
α π β 则 Ｃ
２ ２ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ， （ ）
７ １ １ ７ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
９ ９ ９ ９ α β α β
Ａ．ｔａｎ（ － ）＝１ Ｂ．ｔａｎ（ ＋ ）＝１
４．（ 课标 理， ， 分，易）已知 α 且 α
２０２０ Ⅰ ９ ５ ∈（０，π）， ３ｃｏｓ ２ － α β α β
Ｃ．ｔａｎ（ － ）＝－１ Ｄ．ｔａｎ（ ＋ ）＝－１
α 则 α Ａ
８ｃｏｓ ＝５， ｓｉｎ ＝ （ ）
５ ２ １ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ３ ９
学生用书P42 １ ３ ６ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ５ ５ ３
１．（ 广东深圳一模， ）若角 α 的终边过点 则
２０２４ １ （４，３）， ( ) ( )
( ) ７．（ 河北石家庄二模， ）已知α π 且 α π
２０２４ ７ ∈ ０， ， ｃｏｓ － ＝
α π Ａ ２ ４
ｓｉｎ ＋ ＝ （ ）
２ ( )
α 则 α π Ｄ
２ｃｏｓ２ ， ｔａｎ ＋ ＝ （ ）
４ ４ ３ ３ ４
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
５ ５ ５ ５
( ) Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ． ７ Ｄ． １５
２．（ 浙江宁波二模， ）若α为锐角 α ４ 则 α π
２０２４ ２ ，ｓｉｎ ＝ ， ｓｉｎ ＋ ＝ ８．（ 湖南长沙长郡中学二模， ）已知 α α １ α
５ ３ ２０２４ ７ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ，０≤
Ａ ５
（ ） ( )
则 α π Ｄ
≤π， ｓｉｎ ２ － ＝ （ ）
４＋３ ３ ４－３ ３ ３＋４ ３ ３－４ ３ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１０ １０ １０ １０
３．（ 湖南长沙师大附中月考， ）已知角α的顶点在坐标原点 始 １７ ２ １７ ２
２０２４ ５ ， Ａ．－ Ｂ．
５０ ５０
边与ｘ轴的非负半轴重合 终边经过点 ｔ 若 α ２ ５ 则
， （－１，）， ｓｉｎ ＝ ， ３１ ２ ３１ ２
５ Ｃ．－ Ｄ．
５０ ５０
( )
α π Ｃ ９．（ 福建莆田二模， ）已知角α的顶点为坐标原点 始边与
ｔａｎ － ＝ （ ） ２０２４ ７ ，
４ ｘ轴的非负半轴重合 把它的终边绕原点逆时针旋转角β后经
，
１ １ ( ) æ ( ) ö
Ａ．－３ Ｂ．－ Ｃ．３ Ｄ．
３ ３ 过点 ４ ３ ç β ５ β π ÷ 则 α Ａ
， èｔａｎ ＝ ， ∈ ０， ø， ｓｉｎ ＝ （ ）
５ ５ １２ ２
２
ｃｏｓ π
４．（ 甘肃二诊， ）计算 １ ５ Ｄ １６ ３３ ５６ ６３
２０２４ ７ ＋ ＝ （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ４ ６５ ６５ ６５ ６５
２ｃｏｓ π ｃｏｓ π
５ ５ θ θ
１０．（ 广东广州二模， ）已知复数ｚ ２ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ θ Ｒ
２０２４ １２ ＝ （ ∈ ）
１ １＋ｉ
Ａ．２ Ｂ．－ Ｃ．－１ Ｄ．－２
２
的实部为 则 θ ４ ．
θ ０， ｔａｎ２ ＝
５．（ 山东新高考联合质量测评， ）已知 ｃｏｓ２ ３ ２ ３
２０２４ ７ (
π θ
) ＝
４
， １１．（
２０２４
广东揭阳二模，
１３
）已知
ｓｉｎ
２α
＝ｓｉｎ ２
α
，
则
ｔａｎ
α
＝ ０
或
ｃｏｓ －
４ ( )
则 ｓｉｎ２ θ ＝ （ Ｄ ） ２ ，ｔａｎ α ＋ π ４ ＝ １ 或 －３ ．
１ １ ７ ７
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． 学生用书P42
４ ４ １６ １６
( ) ( )
６．（ 安徽皖北协作区联考， ）已知 α β ３ α β １．（ 江苏南通二模， ）若 α α π α π 成
２０２４ ６ ｔａｎ（ － ）＝ ，ｓｉｎ（ － ） ２０２４ ８ ｃｏｓ ，ｃｏｓ － ，ｃｏｓ ＋
４ ６ ３
α β 则 α β Ｃ 等比数列 则 α Ｂ
＝３ｃｏｓ（ ＋ ）， ｔａｎ －ｔａｎ ＝ （ ） ， ｓｉｎ２ ＝ （ ）
专题四 三角函数与解三角形 ７ ５
３ ３ Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．１ Ｄ．２
Ａ． ４ Ｂ．－ ６ ７．（多选）（ 浙江温州二模， ）已知角α的顶点为坐标原点
２０２４ ９ ，
１ １ 始边与ｘ轴的非负半轴重合 Ｐ 为其终边上一点 若角
Ｃ． Ｄ．－ ， （－３，４） ，
３ ４ β的终边与角 α的终边关于直线ｙ ｘ对称 则 ＡＣＤ
( ) ( ) ２ ＝－ ， （ ）
２．（ 湖北百校联考， ）已知α π α π
２０２４ ６ ∈ ０， ，ｔａｎ ＋ ＝２ ２， α ３
２ ９ Ａ．ｃｏｓ（π＋ ）＝
( ) ５
２３π α
ｓｉｎ －２ β ｋ π α ｋ Ｚ
则 ( １８ ) 的值为 （ Ｄ ） Ｂ． ＝２ π＋ ２ ＋２ （ ∈ ）
π α
ｃｏｓ ＋
９ β ７
Ｃ．ｔａｎ ＝
２４
Ａ．－
４ ２
Ｂ．
１
Ｃ．
２ ３
Ｄ．
７ 角β的终边在第一象限
Ｄ．
９ ３ ３ ３
( )
３．（ ２０２４ 东北三省三校第二次模拟， ７ ）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ（ ωｘ ＋ ８．（ ２０２４ 江苏南京、盐城一模， １４ ）已知α ， β ∈ ０， π ， 且 ｓｉｎ α －
φ ω φ 为偶函数 其图象相邻两对称轴之间的距 ２
）（ ＞０，０≤ ≤π） ，
α α β １ α β １ 则 α β ８ ．
离为 若 α ｆ α ２ 则ｓｉｎ２ －ｃｏｓ２ ＋１的值为 Ｄ ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ ， ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝
π， ｓｉｎ ＋（ ）＝ ， α （ ） ２ ２ ３
３ １＋ｔａｎ
学生用书P43
４ ４ ５ ５
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
９ ９ ９ ９ １． 新定义理解 （多选）（ 安徽芜湖二模， ）在平面直角
４．（ 福建厦门二模， ）已知 ° α ° α ２０２４ １０
２０２４ ７ ｃｏｓ（１４０ － ）＋ｓｉｎ（１１０ ＋ ）＝ 坐标系ｘＯｙ中 角θ以坐标原点Ｏ为顶点 以ｘ轴的非负半轴
° α 则 α Ｄ ， ，
ｓｉｎ（１３０ － ）， ｔａｎ ＝ （ ） 为始边 其终边经过点Ｍ ａ ｂ ＯＭ ｍ ｍ 定义ｆ θ
， （ ， ），｜ ｜＝ （ ≠０）， （ ）
３ ３ ｂ ａ ｂ ａ
Ａ． Ｂ．－ ＋ ｇ θ － 则 ＡＣＤ
３ ３ ＝ ｍ ， （ ）＝ ｍ ， （ ）
( ) ( )
Ｃ． ３ Ｄ．－ ３
ｆ π ｇ π
( ) Ａ． ＋ ＝１
５．（ 广东广州一模， ）已知α β是函数ｆ ｘ ｘ π ６ ６
２０２４ ８ ， （ ）＝３ｓｉｎ ２ ＋ －２
６ ｆ θ ｆ２ θ
Ｂ． （ ）＋ （ ）≥０
( )
在 π 上的两个零点 则 α β Ａ ｆ θ
０， ， ｃｏｓ（ － ）＝ （ ） 若 （ ） 则 θ ３
２ Ｃ． ｇ θ ＝２， ｓｉｎ２ ＝
（ ） ５
ｆ θ ｇ θ 是周期函数
２ ５ Ｄ． （ ） （ ）
Ａ． Ｂ．
３ ３ ２． 创新知识交汇 （ 重庆质量检测， ）已知ｘ ｘ 为方程
２０２４ １４ １， ２
１５－２ ２ ３＋ ５ [ ]
Ｃ． Ｄ． ｘ２ １ １ ｘ ２ 的两个实数根 且 α β
６ ６ － β－ α β ＋ ＝０ ， ， ∈
ｔａｎ ｔａｎ（ ＋ ） ３
６．（ ２０２４ 辽宁鞍山二模， ８ ）已知α ， β均为锐角 ，ｓｉｎ α ＝３ｓｉｎ β · ( )
π ｘ ｘ 则 α的最大值为 ．
ｃｏｓ（
α
＋
β
），
则
ｔａｎ
α取得最大值时
，ｔａｎ（
α
＋
β
）
的值为
（
Ｄ
）
０，
２
， １＝３ ２， ｔａｎ １２ ２
