文档内容
专题 11 三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）
目录：
01 两角和与差的三角函数
02 二倍角公式
03 半角公式
04 辅助角公式及应用
05 降幂公式
06 万能公式
07 积化和差与和差化积公式
08 三角恒等变换的应用
01 两角和与差的三角函数
1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式即可得解.
【解析】
.
故选：C.2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于 的方程，解之即可求得 的值.
【解析】
，
，
又 ，
则 ，则
故选：A
3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）如图， ， 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的正切值，即可得出 的正切值，进而求出 的度数.
【解析】由题意及图得， ， ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故选：B.
4．（2023·四川宜宾·二模）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切的和差角公式即可代入求解.
【解析】 ，
故选：C
5．（2024·广西·模拟预测）已知 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦两角和公式和正弦函数的性质求出 ，代入即可求解.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ， 或 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故选：A
02 二倍角公式
6．（21-22高三上·陕西汉中·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．0.5 D．0或2
【答案】C
【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.
【解析】因为 ，所以 ，
所以由 得 ，
故选：C
7．（20-21高三上·吉林松原·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用和角的余弦公式展开，再平方即得解.
【解析】解：由题得 ，
两边平方得 .
故选：C
8．（23-24高三上·福建宁德·期中）已知 是第一象限角， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简求值.
【解析】因为 是第一象限角， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
9．（2024·江西·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出 ，再由二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再
代入计算可得.
【解析】因为 ，即 ，
则 ．
故选：A
10．（2024·辽宁·一模）若 ，则 （ ）
A． 或2 B． 或 C．2 D．
【答案】C【分析】
根据已知条件，利用正切的二倍角公式求出 tanα，再利用正余弦二倍角公式和同角三角函数的商数关系化
简要求值的式子，带值计算即可得到答案.
【解析】 或 ，
代入tanα求得值均为：2.
故选：C.
11．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．故选：D
03 半角公式
12．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】根据已知条件求出 和 的值，再利用 求解即可.
【解析】∵角 是第二象限角，且终边经过点 ，
∴ ， ，
∴ .
故选：C．
13．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.
【解析】由三角函数定义得
所以 .
故选：A.
14．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【解析】因为 ，而 为锐角，
解得： ．
故选：D．
15．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用半角公式即可求解.
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
故答案为： .
04 辅助角公式及应用
16．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】借助辅助角公式与同角三角函数基本关系计算即可得.
【解析】 ，故 ，由 ，则 ，故 ，
.
故答案为： .
17．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 ，其中 ，满足 ，则
．
【答案】
【分析】根据 代入计算，化简可得关于 的方程，解方程即可.
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 .
故答案为： .
18．（2024·全国·模拟预测）设 ，则函数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】平方后，设 ，得到 ， ，根据函数单调性得到最值，得到答
案.【解析】设 ， ，两边平方得 ．
设 ，两边平方得 ，
则 ，
由于 ， ，则 ， ，
又由于 在区间 上单调递增，
所以当 时, 的最大值为 ，
则 在区间 上的最大值为 ．
故答案为：
19．（2024·河南新乡·三模）已知函数 ，若存在 ，使得 ，
则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】利用辅助角公式化简函数 ，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.
【解析】函数 ，由 ，得 ，
由存在 ，使得 ，得 ，解得 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
05 降幂公式
20．（2022·云南·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．2【答案】C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【解析】解：由题得 .
故选：C
21．（22-23高三下·安徽·开学考试）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【解析】由已知 ，化简得 ．
平方得 ，
所以 ．
故选：A．
22．（2021·四川巴中·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】根据降幂公式和二倍角的正弦公式化简等式左边即可得解.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题考查了降幂公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.23．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）已知的数 （ ），若对任意的实数t，
在区间 上的值域均为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对 运用倍角公式作恒等变换求出周期，则其周期 ，据此可以求解.
【解析】 ，其周期为 ，
由题意有： .
故选：D.
06 万能公式
24．（20-21高一下·陕西西安·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得 的值.
【解析】 .
故选：A.
25．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 结合正切和角公式化简，求得 ，利用万能公式即可求解.【解析】∵ ，∴ ，
解得 或 （舍去），
所以 .
故选：D
26．（2021·河北邯郸·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【解析】由 ，得 ，所以 ，
从而
故选：B
07 积化和差与和差化积公式
27．（2021高三·全国·专题练习）求cos +cos -2sin cos 的值；
【答案】0
【分析】利用和差化积进行化简求值即可得解.
【解析】cos +cos -2sin cos
= cos cos
=2cos cos cos = cos cos =0.
28．（22-23高三上·广东汕头·期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
．
(1)求证：B＝2A；(2)求 的取值范围．
【答案】(1)证明过程见解析.
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到 ，结合角的范围，得到 ；
（2）利用正弦定理得到 ，根据三角形为锐角三角形，得到 ，
，从而求出取值范围.
【解析】（1） ，
由正弦定理得： ，
由积化和差公式可得：
，
因为 ，
所以 ，
因为三角形ABC为锐角三角形，故 ，
所以 ，
故 ，即 ；
（2）由（1）知： ，
由正弦定理得：
，其中 ，
因为 ，
所以
，
由 得： ，
由 ，解得： ，
结合 可得： ， ，
故 在 上单调递增，
所以 ，
即 .
08 三角恒等变换的应用
29．（2024·山东·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 的最大值是
B．函数 在 上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
【答案】B【分析】根据题意，化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【解析】由函数 ，
可得最大值是2，最小正周期是 ，所以选项A，C错误；
当 ，可得 ，根据正弦函数的性质，
可得函数 在 上单调递增，所以B正确；
将函数 图象向左平移 得到函数 ，
此时函数 的图象不关于原点对称，所以D错误.
故选：B．
30．（2024·四川·模拟预测）已知函数 在 上有且仅有4个零点．则
图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】化简 ，由零点个数整体思想求出 ，并求出对称轴判断其范围，结合赋值法判断各
选项.
【解析】 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，若 在 上有且仅有4个零点，则 ，解得 ，
令 ，得 ，因为 ，
所以 ．当 ，
当 ， 当 ，只有D符合.
故选：D．
31．（22-23高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递减区间；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【答案】(1)最小正周期为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到 ，根据正弦型函数最小正周期和
单调区间的求法可直接求得结果；
（2）由 可求得 ，进而得到 ，利用两角和差余弦公式可求得结果.
【解析】（1）
，
的最小正周期 ；令 ，解得： ，
的单调递减区间为 .
（2）由（1）得： ， ，
， ，
.
32．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，
则直线 与 的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将函数 化简得 ，再结合 以及 的任意性求出
的值，从而求出 的解析式，再数形结合探究即可得出结果.
【解析】由题 ，
由 知 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ，故直线 经过点 与点 .
易知 的图象也过点 与点 ，
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象与直线 ，如图所示：
结合图象可知 的图象与直线 恰有5个交点，
故选：C.
33．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)判断 的形状；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的最大值.
【答案】(1) 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
(2)
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0时的情况即可；
（2）先根据（1）中的结论判断此时 为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构造关于角 B的
三角函数求值域，注意角B在锐角三角形中的范围即可.
【解析】（1）由题意： ，
整理得 ，故 或 ，
当 时， ， 为直角三角形，
当 时， ， 为等腰三角形，
当 且 时， ， ， 为等腰直角三角形.
所以 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
（2）由（1）知，若 为锐角三角形，则一定为等腰三角形， ，
由正弦定理 得 ， ，
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
当 时，即 时取最大值，最大值为 .
综上，最大值为
一、单选题
1．（2024·福建厦门·三模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可得 ，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.【解析】由 ，则 ，则 ，
，
则 ，由 ，故 .
故选：C.
2．（2024·河北保定·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出 ，再结合二倍角公式即可求解.
【解析】因为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 ．
故选：B.
3．（2024·贵州·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及 求出 和 ，再根据二倍角
的正弦公式及降幂公式化简 ，代入计算即可．
【解析】由题设有 ，即 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
故选：A．
4．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
【解析】 .
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是单位圆上不同的两点，其中 在第一象
限， 在第二象限，直线 的倾斜角分别为 ，若点 的横坐标分别为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义，可得 ， ， 即可利用和差角公式求
解.
【解析】单位圆的方程为 ，将点 的横坐标分别代入单位圆的方程，可求得，
根据三角函数的定义知 ， ，
因此 ．
故选:D．
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用切化弦可得 ，再由两角和差公式先求 ，最后由同角基本关系式求解.
【解析】因为 ，则 ，则 ，
所以 ，
而 ，则 ，
所以 .
故选：C
7．（2024·全国·三模）当 时， 的最大值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
【解析】原式 ，其中锐角 由 确定，由 ，得 ，
所以 .
故选：D
8．（2024·陕西榆林·三模）已知 ，若当 时，关于 的不等式
恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，易得 的对称轴为
，则 ，进而可得出答案.
【解析】令 ，
由题意可得 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
函数 的对称轴为 ，则 ，
即 ，
即 ，结合 ，解得 .
故选：A.
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】选项A：由 ， ，可知 为锐角，
且 ，解得 ， 且 ，
所以 ，故A错误；
选项B：因为 ， ，因此 ，故B正确；选项C：因为 且 ．
所以 ，所以C正确；
选项D：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以D正确．
故选：BCD
10．（2023·浙江·二模）已知函数 为奇函数，则参数 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数 ，运用排除法，再验算即可.
【解析】 是奇函数，并在 时有意义， ，
对于A， ，
又
；
，是奇函数，正确；
对于B， ，错误；对于C， ，
又
；
，是奇函数，正确；
对于D， ，错误；
故选：AC.
11．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知 ，下列判断正确的是
（ ）
A．若 ，且 ，则
B． 时，直线 为 图象的一条对称轴
C． 时，将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若 在 上恰有9个零点，则 的取值范围为
【答案】BD
【分析】利用二倍角公式化简 ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
【解析】 ，
对于 ，根据条件，可得 ，故A错误；
对于 ，当 时， ，
所以直线 为 的一条对称轴，故B正确；对于 ，当 时， ，将 向左平移 个单位长度后可得
，
为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意 ，则 ，因为 在 上恰有9个零，
所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·全国·二模）已知 ，则 .
【答案】 /0.28
【分析】切化弦，然后整理可得 ，再利用倍角公式计算即可.
【解析】 ，
得 ，
解得 或 （舍）
所以 .
故答案为： .
13．（2024·湖北·三模）设函数 对任意的 均满足 ，则
【答案】1
【分析】由两角和的正弦公式先进行化简，再利用条件可得 为偶函数，可求得 的值，代入求解即可.【解析】因为 ，
又因为 ，所以函数 为偶函数，
即 ， ，
，
所以 .
故答案为：
14．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，若 ，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由二倍角公式可得 ，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得 ，
可得 ，根据三角形 为锐角三角形求出角B的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得
，可得范围.
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍去），
因为三角形 为锐角三角形，所以 ，又 ，解得 ，所以 .
因为 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题
15．（2024·黑龙江·二模）已知向量 ， ，且函数
在 上的最大值为 ．
(1)求常数 的值；
(2)求函数 的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积运算、二倍角和辅助角公式可化简 ，根据正弦型函数最大值可构造方
程求得 的值；
（2）采用整体代换的方式，构造不等式 ，解不等式即可求得单调递减区
间.
【解析】（1） ，
， ，解得： .（2）由（1）知： ，
令 ，解得： ，
的单调递减区间为 .
16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在 中，三边 所对的角分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的直径为4，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角 ，解三角方程即得；
（2）由正弦定理求得边 ，再由余弦定理求出边 ，利用面积公式即得.
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
因为 ．
所以 ，
又 ，则 ，因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理， ，则 ，由余弦定理， ，
解得 或 （舍去），
故 的面积 ．
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 ，判断 是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）已知等式利用正弦定理与两角和的正弦公式化简，再由同角三角函数的商数关系得到结论.
（2）由已知条件结合三角形面积公式，求出 的三个内角，判断三角形形状.
【解析】（1）已知 ，由正弦定理得 ，
由 ，有 ，可得 ，
所以 ，即 ，
由 ，有 ，即 ，
所以 ．
（2） 为等腰三角形，理由如下：
由题知 ， ， 的面积为 ，
则有 ，
所以 ，又 ，所以 ，
由（1）知 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 是等腰三角形．18．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调递减区间；
(2)当 时函数 的最小值为2，求实数 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【解析】（1） ，
， ，
减区间为 ．
（2） ， ，
当 时， 有最小值为 ，
由已知 ， ．
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母 ， ，…表示．
(1)在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），求点
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公
式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一个二阶矩
阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
【答案】(1)
(2) ，
(3)证明见解析【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的 和 ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点
的坐标；
（2）利用三角函数的定义得到旋转之前的 和 ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点 的坐标，
再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵；
（3）根据定义分别计算 、 、 ，证明 即可.
【解析】（1）可求得 ，设 ，则 ， ，
设点 ， ，
故
所以 .
（2）设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵 ，向量 ， ，则 ．
，对应变换公式为： ，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以 得证.
【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角 的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与 轴
正半轴重合；在角 的终边上任取一点 ，该点到原点的距离 ，则： ；
； .
