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特训 03 三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）
一、勾股定理解三角函数选填题
1.适用范围：已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值.
2.解题技法：
一画：画一个直角三角形；
二用：用勾股定理求出各条边长；
三求：求出当角α为锐角时的三角函数值；
四定：利用α所在象限确定符号.
二、整体代换法
题型特征：当题目中有特殊角( 等)与单倍角(a,β,x等)的和差=a,ma角的三角函数值，要求二倍角
(2a,2β,2x等)或 ， 等形式的三角函数值时，可用整体代换(换元或配角)简化解题过程
解题技法：
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”.
2.常见的配角技巧
目录：01 ：任意角的三角函数
02 ：同角三角函数的基本关系
03 ：诱导公式
04 ：三角恒等变换
01 ：任意角的三角函数
1．设角 的终边经过点 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助三角函数定义计算即可得.
【解析】 .
故选：C.
2．已知 是第二象限的角， 为其终边上的一点，且 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.
【解析】点 是第二象限的角 终边上的一点，则 ，
由 ，得 ，所以 .
故选：C
3．已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则
（ ）A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 ， ，再由两角差的余弦公式计算可得.
【解析】因为 ，即 ，
即角 的终边经过点 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D
4．已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 轴的非负半轴重合，终边分别过 ，则
（ ）
A． 或 B．2或 C． D．
【答案】D
【分析】取 的中点 ，利用三角函数定义得出 ，再由倾斜角和斜率的关系得出
，最后利用 得出答案.
【解析】记 为坐标原点，因为 ，所以 ，
所以点 ，均在以原点 为圆心 为半径的圆上.
连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
不妨设 ，则 ，
所以 .故选：D.
5．已知角 满足 ， ，且 ，则角 属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.
【解析】由 ， ，得出 为第四象限角，
所以 ，
则 为第二象限角或第四象限角，又因为 ，
所以 ，则 为第二象限角.
故选：B.
02 ：同角三角函数的基本关系
6．已知点 在角 的终边上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.
【解析】由题意， ，所以 .
故选：B.
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得 ，再由正切的二倍角公式代入计算，即可得到结果.
【解析】因为 ，则 ，
所以 .
故选：B
8．若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出 ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入
计算可得.
【解析】因为 ，即 ，
则 ．
故选：A9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
10．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
【解析】由 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍），
所以 .
故选：D.
11．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算 ，再根据和角公式计算即可.
【解析】因为 ，
又 ，即 ，则 ，
所以 ，
故 .
故选：D
12．已知 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找出 和 的关系，求出 和 即可求解.
【解析】 ，
，
①， ， ，
②，由①②解得 或 ，
， ，
， .
故选：C.
03 ：诱导公式
13．已知 ，求 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.
【解析】由 ，得
.
故选：B
14．已知函数 ，则“ ， ”是“ 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】当 时，代入可得 ，由正弦函数性质，可验证充分性， 为偶
函数时，得到 ，可验证必要性.
【解析】函数 ，当 时，
，
则 为奇函数，所以充分性不成立，
当 为偶函数时， ，所以必要性不成立，
故“ ， ”是“ 为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
15．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.
【解析】 .
故选：C
16．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，则 ，根据诱导公式及二倍角公式可得 ，根据诱导公式
和弦切互化得 ，代入并利用同角三角函数关系求解即可.
【解析】设 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：D
17．在平面直角坐标系中，若角 的顶点为原点，始边为 轴非负半轴，终边经过点 ，则
.
【答案】
【分析】先利用三角函数的定义得到 ，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得 .【解析】由三角函数的定义，得 ，所以
.
故答案为：
18．已知 且 ，则实数 的值为 .
【答案】 /
【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.
【解析】 ，
则
又 ，
即 ，
即 ，
故 ，即 .
故答案为： .
04 ：三角恒等变换
19．已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据 结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【解析】由 ，
得 ，
故
所以
.
故选：C.
20．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解.
【解析】
，
故选：D．
21．已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B【分析】根据角的范围可确定 为二､四象限角，则 ，即可利用二倍角公式得 ，利用
弦切互化即可求解.
【解析】由题意，得角 是第四象限角，则 ，
故 ，则 为二､四象限角，则 ，
又因为 ，
所以 （舍去）或 ，
所以 .
故选：B.
22．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】将 用 替换后，解方程解出 即可.
【解析】因为 ，
可得 ，
可得 ，
解得 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
23．已知函数 满足 ，若 ，且 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 得函数在 时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算 的
值.
【解析】因为 满足 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
得 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ， ，
，
因为 ，所以 .
故选：D.
24．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简 ，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.
【解析】因为 ，
， ，由正弦函数 在 上递增知： ，
故选：A.
25．已知 ，且 ， ， 是 在 内的三个不同零点，下列结论不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据方程 ， 求出 ， ， ，再逐项验证即可得到答案.
【解析】由题意： ， 得： ，
所以 或 ， ，
又 ，所以 ， ， .
故A正确；
，故B错误；
，故C正确；.故D正确.
故选：B
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“ ”是“ 为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【解析】易知 ，所以
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
2．（2024·重庆·模拟预测）已知 都是锐角， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得 ，再由 的单调性，求得 ，利用两角差的余弦公式，求得 ，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【解析】由 与 均为锐角，且 ，所以 ，
因为 ，可得 ， ，
又因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
则 .
故选：A.
3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重
合，终边经过点 ，则 （ ）
A．11 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得 的值，代入计算即可.
【解析】因为角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：D
5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得 ，利用两角和与差的正弦公式化简
，可得 ，根据角的范围，即可得到答案.
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，得 ，
即 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．
故选：D
6．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为 ，解
得 ，两边平方即可求解.
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出 ，由此即可顺利得解.
7．（2024·河南·三模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由正弦定理得 ，再通过两角和的正切公式得 ，最后使用基本不
等式求解即可.
【解析】因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
所以 ，
显然 必为正（否则 和 都为负，就两个钝角），
所以 ，当且仅当 ，即 取等号.
所以 .
故选：B.
8．（2024·湖南·二模）在 中，角 所对边分别为 ，且 ，若
， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【解析】由余弦定理得 ，
即 ，
，
所以 或 ，
又 ，所以 .
故选：C
【点睛】思路点睛：由余弦定理先求 ，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次
式方程解方程即可.二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）若 ，且 ，则（ ）
A．
B．
C． 在 上单调递减
D．当 取得最大值时，
【答案】AC
【分析】根据同角关系即可求解 ， ，即可判断AB,根据三角函数的性
质即可求解CD.
【解析】由 可得 ，所以 ，故 ，
对于A, ，故A正确，
对于B， ，故B错误，
对于C， ，则 ，由于 ， ，
所以 在 上单调递减，故C正确，
对于D， ，当 时取最大值，
故 ，故D错误，
故选：AC10．（2024·河南周口·模拟预测）设 ， ，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【分析】由两角和差的余弦公式判断A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断B，化弦为切，结合两
角和差的正余弦公式求解判断C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断D.
【解析】对于A，因为 ， ，则 ，
，故 ，
所以 ，正确；
对于B，因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ， ，
所以 ，错误；
对于C，由 得， ，所以 ，
即 ，因为 ， ，所以 ，
则 或 ，即 或 （不合题意，舍去），错误；
对于D， ，因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，正确.
故选：AD
11．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角 ，它的终边 与单位圆的交点P的坐标，无
论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角 的函数.下面给出这
些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作 的正弦函数，记作 ，即 ；
②把点P的横坐标x叫作 的余弦函数，记作 ，即 ；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作 的余割，记作 ，即 ；
④把点P的横坐标x的倒数叫作 的正割，记作 ，即 .
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数 的定义域为D．
【答案】ABD
【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.
【解析】 ，A正确；
，B正确；
函数 的定义域为 ，C错误；
，
当 时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式求出 ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可
得.
【解析】因为 ，所以 ，
所以.
故答案为：
13．（2024·江苏·一模）已知 ，且 ， ，则
．
【答案】 /
【分析】变形后得到 ，利用辅助角公式得到 ，得到 ，
两边平方后得到 ，利用同角三角函数关系求出 .
【解析】由题可知 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
两边平方后得 ，故 ，
．
故答案为：
14．（2020·江苏南京·模拟预测）在锐角三角形 中，已知 ，则
的取值范围是 .【答案】
【分析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到
取值范围，利用三角函数的恒等变换化简 为 ，构
造函数利用导数研究其值域即可.
【解析】由题意可得， ，
即 .不妨设
则
由 得 令 ，
单调递减，
单调递增，
取得极小值，也是最下值， ，
所以 在 上的值域为 ，
所以 ,又△ 为锐角三角形，
所以 ，
则 ，故 .,
令 ，故 在 上单调递增，
所以 的值域为
故 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.
